第四章 三角形 单元整体教案-2024-2025学年北师大版数学七年级下册

这是一份第四章 三角形 单元整体教案-2024-2025学年北师大版数学七年级下册，共25页。
第四章　三角形4．1　认识三角形第1课时　三角形的定义和内角和1．理解三角形的概念，掌握三角形内角和定理，并能利用三角形内角和定理解决一些简单问题；2．会根据三角形的内角将三角形分类，并掌握直角三角形的相关性质．重点掌握三角形内角和定理和直角三角形性质．难点探求三角形内角和等于180°.一、导入新课(三兄弟之争)在一个直角三角形村庄里，住着三个内角，平时他们非常团结，有一天，老三不高兴了，对老大说“凭什么你的度数最大，我也要和你一样大！”老大说：“这是不可能的，否则我们这个家就要被拆散，围不起来了！”“为什么呢？”老二、老三纳闷起来……同学们，你们知道其中的道理吗？二、探究新知探究点一：三角形的内角和观察下面两个实物图，回答下列问题：(1)你能从图中找出几个不同的三角形？(2)这些三角形有什么共同的特点？三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相连所组成的图形叫作三角形．1．三角形的表示方法教师：刚才的结构图中那么多三角形，你是怎么区分的？用符号“△”表示，如图记作：△ABC，注意：三个大写字母可以颠倒顺序．2．三角形的三要素教师：构成三角形的元素有哪些？三角形的边：组成三角形的线段．三角形的顶点：相邻两边的公共端点．三角形的内角：相邻两边组成的角．我们把它们称之为三角形的三要素．小明只撕下三角形的一个角，也得到了上面的结论，他是这样做的：如图①，剪一个三角形纸片，它的三个内角分别为∠1，∠2和∠3.撕下∠1，按图②所示进行摆放，其中∠1的顶点与∠2的顶点重合，它的一条边与∠2的一条边重合．利用图②，小明说明了三角形三个内角的和为180°.你知道他是如何说明的吗？说说你的想法，并与同伴进行交流归纳：三角形三个内角的和等于180.【例1】在△ABC中，点D，E分别在AB，BC边上，且DE∥AC，∠BED＝48°，∠A＝54°，求∠B的度数．解：因为DE∥AC，∠A＝54°，所以∠BDE＝∠A＝54°，在△BDE中，∠BDE＝54°，∠BED＝48°，所以∠B＝180°－54°－48°＝78°.探究点二：直角三角形的两个锐角互余(1)图中小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？小颖的呢？试着说明理由．(2)图中小亮三角形被遮住的两个内角可能是什么角？将所得结果与(1)的结果进行比较．(3)根据三角形内角的大小，我们可以把三角形分为哪几类呢？3．三角形按角分类：锐角三角形(有三个角都是锐角的三角形)钝角三角形(有一个角是钝角的三角形)直角三角形(有一个角是直角的三角形)“直角三角形ABC”常用符号“Rt△ABC”来表示．把直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角边．直角三角形的两个锐角之间有什么关系？归纳：直角三角形的两个锐角互余．【例2】一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，这个三角形一定是(　　)A．直角三角形　　B．锐角三角形C．钝角三角形 D．无法判定三、课堂练习1．在△ABC中，∠A＝38°，∠B＝45°，则∠C＝________.2．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则△ABC是________三角形．3．在△ABC中，∠A＝∠B＋10°，∠C＝∠B－40°，则∠A＝________，∠B＝________，∠C＝________．4．请给下面的三角形分类：四、课堂小结1．三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°.2．三角形内角和定理的证明．3．直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．五、课后作业完成本节课对应练习．本节课通过一段对话设置疑问，巧设悬念，激发学生获取知识的求知欲，充分调动学生学习的积极性，使学生由被动接受知识转为主动学习，从而提高学习效率．然后让学生自主探究，在教学过程中充分发挥学生的主动性，让学生提出猜想．在教学中，教师通过必要的提示指明学生思考问题的方向，在学生提出验证三角形内角和的不同方法时，教师注意让学生上台演示自己的操作过程和说明自己的想法，这样有助于学生接受三角形的内角和是180°这一结论．第2课时　三角形三边的关系1．掌握三角形按边分类方法，能够判定三角形是否为特殊的三角形；2．探索并掌握三角形三边之间的关系，能够运用三角形的三边关系解决有关问题．重点三角形三边关系的探究和归纳．难点运用三角形的三边关系解决有关问题．一、导入新课数学来源于生活，生活中处处有数学．观察下面的图片，你发现了什么？问：你能不能给三角形下一个完整的定义？二、探究新知探究点一：三角形按边分类观察图中的三角形你能发现它们各自的边长之间有什么关系吗？归纳总结：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形．三边都相等的三角形叫作等边三角形．(正三角形) eq \a\vs4\al(三角形按,边分类)  eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(不等边三角形,\a\vs4\al(等腰三,角形)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(只有两边相等的三角形,三边相等的三角形（等边三角形）)))) 【类型一】将三角形按边分类【例1】下列关于三角形按边分类的集合中，正确的是(　　) eq \o(\s\up7(),\s\do5(A)) 　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(B)) 　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(C)) 　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(D)) 探究点二：三角形三边的关系(1)节日的晚上，房梁上亮起了彩灯，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由．(2)在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系？为什么？猜想：AC＋CB＞AB证明： eq \x(\a\al(方法一：测量法,画不同类别的三角形，用直尺分别测量两条路线的长度．))  方法二：几何推导因为两点之间，线段最短．所以AC＋CB＞AB.同理：AC＋AB＞BC，AB＋BC＞AC.教师引导学生归纳：结论1三角形两边的和大于第三边．做一做1．分别量出图中三个三角形的三边长度，并填入空格内．(1)a＝　　　　　(2)a＝　　　　　(3)a＝　 b＝　　　　　　 b＝　　　　　　b＝　 c＝　　　　　　 c＝　　　　　　c＝计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？再画一些三角形试一试．结论2三角形任意两边之差小于第三边．教师追问：你可以验证一下吗？2．如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA的长为半径作弧，与边BC交于点D，图中是否有线段长度等于BC－AB呢？能用圆规直观说明BC－AB与AC之间的大小关系吗？改变三角形的形状再试试看，你能得到什么结论？【类型二】判定三条线段能否组成三角形【例2】以下列各组线段为边，能组成三角形的是(　　)A．2 cm，3 cm，5 cm　　　B．5 cm，6 cm，10 cmC．1 cm，1 cm，3 cm D．3 cm，4 cm，9 cm方法总结：判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可．【类型三】判断三角形边的取值范围【例3】一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是(　　)A．3＜x＜11　　　　B．4＜x＜7C．－3＜x＜11 D．x＞3方法总结：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．三、课堂练习1．判断正误：(1)一个钝角三角形一定不是等腰三角形．(　　)(2)等边三角形是特殊的等腰三角形．(　　)(3)等腰三角形的腰和底一定不相等．(　　)(4)等边三角形是锐角三角形．(　　)(5)直角三角形一定不是等腰三角形．(　　)2．五条线段的长分别为1 cm，2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，以其中三条线段为边长可以构成________个三角形．3．若等腰三角形的一边长是5 cm，另一边长是8 cm，则这个等腰三角形的周长为________cm.4．若等腰三角形的一边长是4 cm，另一边长是9 cm，则这个等腰三角形的周长为________cm.四、课堂小结1．三角形按边分类：有两边相等的三角形是等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，三边互不相等的三角形是不等边三角形．2．三角形中三边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．五、课后作业完成本节课对应练习．本节课让学生经历一个探究解决问题的过程，抓住“任意的三条线段能不能围成一个三角形”引发学生探究的欲望，围绕这个问题让学生自己动手操作，发现有的能围成，有的不能围成，由学生自己找出原因，为什么能？为什么不能？初步感知三条边之间的关系，重点研究“能围成三角形的三条边之间到底有什么关系”．通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大于第三边这一结论．这样教学符合学生的认知特点，既增加了学习兴趣，又增强了学生的动手能力．第3课时　三角形的高、中线、角平分线1．理解三角形的高、中线、角平分线的概念；2．能够准确地画出三角形的高、中线、角平分线，并能够进行简单的应用．重点理解三角形的高、中线、角平分线的概念，并能准确地画出三角形的高、中线、角平分线．难点画钝角三角形夹钝角两边的高和三角形的高、中线、角平分线的应用．一、导入新课这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？本节我们一起来解决这个问题．二、探究新知探究点一：三角形的高如图，在△ABC中，点D是BC边上的动点，连接AD，在点D的运动过程中，观察点D或线段AD有哪些特殊的位置．说说你的想法，并与同伴进行交流．当点D运动到如图所示的位置时，AD⊥BC，AD是△ABC高．归纳：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高．【类型一】三角形高的画法【例1】作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　　) eq \o(\s\up7(),\s\do5(A)) 　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(B)) 　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(C)) 　　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(D)) 【类型二】根据三角形的面积求高【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为________.探究点二：三角形的中线在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线．如图，AE是△ABC的BC边上的中线．议一议(1)在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线．你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的位置关系？三角形有三条中线，并且它们相交于一点．这点称为三角形的重心．(2)如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？为什么？归纳：三角形的中线能将三角形的面积平分．【类型三】根据三角形的中线求线段的长【例3】在△ABC中，AC＝5 cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2 cm，则BA＝________.【类型四】利用中线解决三角形的面积问题【例4】如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝________.探究点三：三角形的角平分线三角形的角平分线的定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线．请你探究三角形的三条角平分线是否相交于一点．三角形的三条高呢？你是怎么做的？与同伴进行交流．三角形的三条角平分线交于一点．三角形的三条高所在的直线交于一点．【类型五】利用三角形的角平分线求角度【例5】如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．三、课堂练习1．下列说法错误的是(　　)A．三角形的三条角平分线都在三角形内部B．三角形的重心是三角形三条中线的交点C．三角形的中线、角分线都是射线D．三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分2．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，且S△ABC＝4 cm2，则S阴影＝________cm2.3．在△ABC中，∠A＝ eq \f(1,2) ∠B＝ eq \f(1,3) ∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，求∠DCE的度数．四、课堂小结1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫作三角形的高．2．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫作三角形的中线．3．三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点的线段叫作三角形的角平分线．五、课后作业完成本节课对应练习．本节课由实际问题“平分三角形蛋糕”引入，让学生意识到数学与实际生活的密切联系，明确数学来源于生活又服务于生活，学习用数学方法解决实际问题．在教学中通过同学们画图来理解三角形的高、中线和角平分线的概念，进而得出三角形的三条中线、三条角平分线和三条高所在的直线分别相交于一点．然后通过例题和练习促使同学们更好地掌握所学的知识点．画钝角三角形的高时，同学们感到有困难，教师应加以指导．4.2　全等三角形1．了解全等三角形的概念及全等三角形的对应元素；2．能用符号正确地表示两个三角形全等，掌握全等三角形的性质；3．能熟练找出两个全等三角形的对应角和对应边．重点能用符号正确地表示两个三角形全等，掌握全等三角形的性质．难点能熟练找出两个全等三角形的对应角和对应边．一、导入新课在我们的周围，经常可以看到形状、大小完全相同的图形，这类图形在几何学中具有特殊的意义．观察下列图案，指出这些图案中形状与大小相同的图形．你能再举出一些例子吗？二、探究新知探究点一：全等三角形的定义例如，在图中，△ABC与△DEF能够完全重合，它们是全等三角形．能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．全等的表示方法“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．△ABC与△DEF全等，记探究点二：全等三角形的性质议一议(1)全等三角形的对应边相等吗？对应角相等吗？教师引导总结：全等三角形对应边相等，对应角相等．(2)全等三角形对应边的高相等吗？对应边的中线呢？还有哪些相等的线段？举例说明．学生画出一组全等三角形及其高和中线并测量，小组讨论，学生得出：全等三角形对应边的高、中线相等．教师引导总结：全等三角形的对应线段都相等．(3)如图，已知△ABC≌△A′B′C′，你如何在△A′B′C′中画出与线段DE相对应的线段？【类型一】全等三角形的对应元素【例1】如图，若△BOD≌△COE，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角．解：△BOD与△COE的对应边为BO与CO，OD与OE，BD与CE；△ADO与△AEO的对应角为∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，∠AOD与∠AOE.【类型二】运用全等三角形的性质求三角形的角或边【例2】如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，∴∠DEF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，∴CF＝BC－BF＝7－4＝3.三、课堂练习1．如图，点E在AC上，△ABC≌△DAE，BC＝3，DE＝7，则CE的长为(　　)A．2　　　 B．3　　　 C．4　　　 D．5 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第1题图)) 　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第2题图)) 2．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转，得到△ADE，点E落在BC上，猜想∠BAD和∠BED之间的数量关系，并说明理由．四、课堂小结1．全等三角形的概念：能够完全重合的三角形叫作全等三角形．2．全等三角形的性质：全等三角形的对应角、对应线段相等．五、课后作业完成本节课对应练习．首先展示全等形的图片，激发学生兴趣，从图中总结全等形和全等三角形的概念．然后总结全等三角形的性质，最后通过实例和练习让同学们熟悉运用全等三角形的性质解决一些简单的问题．本节课知识浅显易懂，同学们掌握的较好．4．3　探索三角形全等的条件第1课时　利用“边边边”判定三角形全等1．经历探索“边边边”判定三角形全等的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2．会应用“边边边”判定两个三角形全等，了解三角形的稳定性．重点三角形全等条件的探索过程和利用“边边边”判定两个三角形全等．难点利用“SSS”说明三角形全等的思考和推理过程．一、导入新课要画一个三角形与小明画的三角形全等，你会怎么画(1)要画一个与已知三角形全等的三角形，至少需要几个与边或角的大小有关的条件？(2)只给一个条件(一条边或一个角)可以吗？(3)给出两个条件画三角形时，有哪几种可能的情况？每种情况下画出的三角形一定全等吗？请你试一试，并与同伴进行交流．二、探究新知探究点一：全等三角形判定定理“SSS”两个三角形有三个条件相等时，可以分几种情况？如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？下面我们来逐一探索．做一做：(1)已知一个三角形的三个内角分别为40°，60°，80°.你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？(2)已知一个三角形的三条边分别为4 cm，5 cm和7 cm，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？(3)小组合作，选择三条线段作为三角形的三条边，并用尺规作出这个三角形．把你作的三角形与同伴作的进行比较，它们一定全等吗？通过作图我们知道：已知三角形的三条边画三角形，则画出的所有三角形全等．这样就得到了三角形全等的条件：三边对应相等的两个三角形全等．简写为“边边边”或“SSS”．【类型一】利用“SSS”判定两个三角形全等【例1】如图，AB＝DE，AC＝DF，点E，C在直线BF上，且BE＝CF.试说明：△ABC≌△DEF.解析：已知△ABC与△DEF两边相等，通过BE＝CF可得BC＝EF，即可根据“SSS”判定△ABC≌△DEF.解：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝EC＋CF，即BC＝EF.在△ABC和△DEF中，∵ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝EF，,AB＝DE，,AC＝DF，)) ∴△ABC≌△DEF(SSS).【类型二】“SSS”与全等三角形的性质综合进行证明【例2】如图所示，△ABC是一个风筝架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架．试说明：AD⊥BC.解析：要使AD⊥BC，根据垂直的定义，需使∠1＝∠2，而∠1＝∠2可由△ABD≌△ACD求得．解：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.在△ABD和△ACD中，∵ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,BD＝CD，,AD＝AD，)) ∴△ABD≌△ACD(SSS)，∴∠1＝∠2(全等三角形的对应角相等).∵∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝∠2＝90°，∴AD⊥BC(垂直的定义).探究点二：已知三边作三角形已知三角形三边的长，根据全等三角形的判定“SSS”，三角形的形状和大小也就确定了．作三角形相当于确定三角形三个顶点的位置．因此可先确定三角形的一条边(即两个顶点)，再分别以这条边的两个端点为圆心，以已知线段长为半径画弧，两弧的交点即为另一个顶点．【类型三】根据三角形的三边作图【例3】已知三条线段a、b、c，用尺规作出△ABC，使BC＝a，AC＝b，AB＝c.解：作法：1.作线段BC＝a；2．以点C为圆心，以b为半径画弧，再以B为圆心，以c为半径画弧，两弧相交于点A；3．连接AC和AB，则△ABC即为所求作的三角形，如图所示．探究点三：三角形的稳定性取三根长度适当的木条，用钉子钉成一个三角形的框架，你所得到的框架的形状固定吗？用四根木条钉成的框架的形状固定吗？图(1)是用三根木条钉成的三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性．图(2)的形状是可以改变的，它不具有稳定性．在生活中经常会看到采用三角形的结构去建筑．就是用到了它的稳定性．同学们能举出一些生活中应用三角形的稳定性的例子吗？【类型四】三角形稳定性的应用【例4】要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形，至少需要加钉1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定……那么要使一个n边形木架不变形，至少需要几根木条固定？解析：由于多边形(三边以上的)不具有稳定性，将其转化为三角形后木架的形状就不变了．根据具体多边形转化为三角形的经验及题中所加木条可找到一般规律．解：过n边形的一个顶点可以作(n－3)条对角线，把多边形分成(n－2)个三角形，所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要(n－3)根木条固定．三、课堂练习1．如图，AB＝CD，AC＝BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由．2．如图，D，F是线段BC上的两点，AB＝CE，AF＝DE，要使△ABF≌△ECD，还需要条件________________________________________________________________________．3．如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了(　　)A．节省材料，节约成本B．保持对称C．利用三角形的稳定性D美观漂亮四、课堂小结1．边边边：三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．2．三角形的稳定性五、课后作业完成本节课对应练习．本节课从操作探究活动入手，有效地激发了学生的学习积极性和探究热情，提高了课堂的教学效率，促进了学生对新知识的理解和掌握．从课堂教学的情况来看，学生用“边边边”判定两个三角形全等掌握较好，达到了教学预期的目的．第2课时　利用“角边角”和“角角边”判定三角形全等1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“角边角”和“角角边”；2．能运用“角边角”和“角角边”的判定方法进行简单的说理．重点理解并掌握三角形全等的判定方法——“角边角”和“角角边”．难点能运用“角边角”和“角角边”的判定方法进行有条理的思考和简单的说理．一、导入新课如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？学生活动：学生先自主探究出答案，然后再与同学进行交流．教师点拨：显然仅仅带①或②是无法配成完全一样的玻璃的，而仅仅带③则可以，为什么呢？本节课我们继续研究三角形全等的判定方法．二、探究新知探究点一：全等三角形判定定理“ASA”由前面的讨论我们知道，如果给出一个三角形三条边的长度，那么由此得到的三角形都是全等的．如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？每种情况下得到的三角形都全等吗？尝试·思考如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边．情况会怎样呢？小组合作选择两个角和一条线段作为三角形的两个内角及其夹边，并用尺规作出这个三角形．你作的三角形与同伴作的一定全等吗？归纳：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”．几何语言：在△ABC和△A′B′C′中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠A′，,AB＝A′B′，,∠B＝∠B′，)) ∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).回顾上述作图过程，请你总结已知三角形的两角及其夹边，用尺规作这个三角形”的方法和步骤．如图，已知∠α，∠β，线段c，用尺规作△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c.请按照给出的作法作出相应的图形：【类型一】利用“ASA”判定两个三角形全等【例1】如图，CD∥AB，CD＝CB，点E在BC上，∠D＝∠ACB.(1)试说明：CE＝AB；(2)若∠A＝125°，则∠BED的度数是__55°__．解：因为CD∥AB，所以∠DCE＝∠B.在△DEC和∠CAB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠D＝∠ACB，,CD＝BC，,∠DCE＝∠B，)) 所以△DEC≌△CAB(ASA)，所以CE＝AB.探究点二：全等三角形判定定理“AAS”如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，情况会怎么样呢？你能将它转化为“尝试·思考”中的条件吗？与同伴进行交流．归纳：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”．几何语言：在△ABC和△DEF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠D，,∠B＝∠E，,BC＝EF，)) ∴△ABC≌△DEF(AAS)【类型二】利用“AAS”判定两个三角形全等【例2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，且BC＝ED.试说明：DB＝CE.解：因为ED⊥AB，所以∠ADE＝∠ACB＝90°.在△ABC和△AED中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠A，,∠ACB＝∠ADE，,BC＝ED，)) 所以△ABC≌△AED(AAS).所以AB＝AE，AC＝AD.所以DB＝CE.三、课堂练习1．如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，试说明：△ADF≌△CBE. eq \o(\s\up7(),\s\do5(第1题图)) 　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第2题图)) 2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E.AD与BE交于F，若BF＝AC，试说明：△ADC≌△BDF.3．如图，AB与CD相交于点O，O是AB的中点，∠A＝∠B，△AOC与△BOD全等吗？为什么？四、课堂小结1．角边角：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．2．角角边：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．五、课后作业完成本节课对应练习．本节课的教学借助于动手操作、分组讨论等探究出三角形全等的判定方法．在寻找判定方法说明两个三角形全等的条件时，可先把容易找到的条件列出来，然后再根据判定方法去寻找所缺少的条件．从课堂教学的情况来看，学生对“角边角”掌握较好，达到了教学的预期目的．存在的问题是少数学生在方法“AAS”和“ASA”的选择上混淆不清，还需要在今后的教学中进一步加强巩固和训练．第3课时　利用“边角边”判定三角形全等1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“边角边”；2．能运用“边角边”的判定方法进行简单的说理．重点理解并掌握三角形全等的判定方法——“边角边”．难点能运用“边角边”的判定方法进行简单的说理．一、导入新课当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况：二、探究新知探究点：全等三角形判定定理“SAS”如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，情况会怎样呢？小组合作选择两条线段和一个角作为三角形的两边及其夹角，并用尺规作出这个三角形．你作的三角形与同伴作的一定全等吗？归纳：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”几何语言：在△ABC和△DEF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DE，,∠A＝∠D，,AC＝DF，)) 所以△ABC≌△DEF.(SAS)回顾上述作图过程，请你总结“已知三角形的两边及其夹角，用尺规作这个三角形”的方法和步骤．如图，已知线段a，c，∠α，用尺规作△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α.尝试·交流如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角，情况会怎样呢？如图，已知△ABC的AB边和边长为l的AC边，以及AC边的对角∠B，你能用尺规确定顶点C的位置吗？把你作的三角形与同伴作的进行比较，由此你发现了什么？与同伴进行交流．【例】如图，A，D，F，B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC.试说明：△AEF≌△BCD.分析：由AE∥BC，根据平行线的性质，可得∠A＝∠B.由AD＝BF，可得AF＝BD.由AE＝BC，根据“SAS”，即可得△AEF≌△BCD.解：∵AE∥BC，∴∠A＝∠B.∵AD＝BF，∴AF＝BD.在△AEF和△BCD中，∵ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝BC，,∠A＝∠B，,AF＝BD，)) ∴△AEF≌△BCD(SAS).三、课堂练习1．下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF的是(　　)A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EFB．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DFC．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DFD．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF2．如图，已知AB＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，这个条件可以是________．3．如图，点B，C，F，E在同一条直线上，AB＝DE，BF＝CE，∠B＝∠E.试说明：AC∥DF.四、课堂小结1．边角边：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．2．全等三角形判定与性质的综合运用五、课后作业完成本节课对应练习．本节课首先复习巩固，设置问题，然后通过作图，自主探究，交流展示，得出结论，最后通过练习巩固提高．虽然学生在探究两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形是否全等出现了困难，但通过教师的引导也得到了解决，整个课堂同学们的积极性较高，达到了预期的效果．4．4　利用三角形全等测距离会利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系．重点利用三角形全等解决实际问题．难点在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达．一、导入新课一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离．在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出了一个办法，他面向碉堡的方向站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上，接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．二、探究新知探究点：利用三角形全等测量距离(1)按这名战士的方法，找出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证．(2)你能解释其中的道理吗？观察·思考如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小丽想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长．他叔叔帮他出了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝AC.连接BC并延长到E，使CE＝CB.连接DE并测量出它的长度，你知道其中的道理吗？小丽是这样想的：在△ABC和△DEC中，因为AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，BC＝EC，所以△ABC≌△DEC，所以AB＝DE.你能说出小丽每一步的理由吗？三、课堂练习【类型一】利用三角形全等测量物体的高度【例1】小强为了测量一幢楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P.测得视线PC与地面夹角∠DPC＝36°，视线PA与地面夹角∠APB＝54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB＝36米，小强计算出的楼高AB是多少米？解析：根据题意可得△CPD≌△PAB(ASA)，进而利用AB＝DP＝DB－PB求出即可．解：∵∠CPD＝36°，∠APB＝54°，∠CDP＝∠ABP＝90°，∴∠DCP＝∠APB＝54°.在△CPD和△PAB中，∵∠CDP＝∠ABP，DC＝PB，∠DCP＝∠APB，∴△CPD≌△PAB(ASA)，∴DP＝AB.∵DB＝36米，PB＝10米，∴AB＝36－10＝26(米).答：小强计算出的楼高AB是26米．【类型二】利用三角形全等测量物体的内径【例2】要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有OA＝OB＝OC＝OD，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD的长，其中的依据是全等三角形的判定条件(　　)A.SSSB．SASC．ASAD．AAS解析：如图，连接AB，CD.在△ABO和△DCO中，OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，OB＝OC，∴△ABO≌△DCO(SAS)，∴AB＝CD.故选B.【类型三】利用三角形全等测量距离的方案设计问题【例3】如图所示，有一池塘，要测量池塘两端A，B的距离，请用构造全等三角形的方法，设计一个测量方案(画出图形)，并说明测量步骤和依据．解析：本题让我们了解测量两点之间的距离的一种方法，设计时，只要符合全等三角形全等的条件，方案具有可操作性，需要测量的线段在陆地一侧可实施，就可以达到目的．解：在平地任找一点O，连接OA，OB，AB，延长AO至C，使CO＝AO，延长BO至D，使DO＝BO，则CD＝AB，依据是△AOB≌△COD(SAS).四、课堂小结1．利用全等三角形测量距离的依据“SAS”“ASA”“AAS”．2．运用三角形全等解决实际问题．五、课后作业完成本节课对应练习．通过实例引入课堂教学，激发学生的探究兴趣，从而了解到全等三角形在实际生活中的应用．在小组间的合作探究过程中，要鼓励学生大胆设想，充分展开联想，对三角形全等的利用进行深层的探究与学习，培养学生的创造性和独立解决问题的能力．☆　问题解决策略：特殊化学会借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题．重点学会借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题．难点将一般情形转化为特殊情形．一、提出问题问题：如图①，有两个边长为1的正方形，其中正方形EFGH的顶点E与正方形ABCD的中心重合．在正方形EFGH绕点E旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是多少？二、理解问题(1)在旋转过程中，两个正方形的重叠部分会呈现出哪些情形？(2)对于这些不同情形，如何求两个正方形重叠部分的面积？你遇到的困难是什么？三、拟定计划(1)哪些特殊情形下，两个正方形重叠部分的面积容易求出？(2)其他情形能转化为容易求解的特殊情形吗？四、实施计划(1)先考虑特殊情形．如图②，图③，这两种情形下，重叠部分的面积容易求出，都是 eq \f(1,4) .(2)将一般情形转化为特殊情形．如图④，连接EB，EC，两个正方形重叠部分的面积记作S重叠，则S重叠＝S△BEC＋S△CEN－S△BEM，可以发现，△BEM≌△CEN，这时，图④的情形就转化为图②的情形，S重叠＝S△BEC＝ eq \f(1,4) .因此，一般情形下，重叠部分的面积也是 eq \f(1,4) .五、回顾反思(1)回顾本题的解决过程，你有哪些感悟？(2)具有什么特点的问题，可以从特殊情形入手？如何寻找特殊情形？与同伴进行交流．在这个问题中，正方形EFGH的位置是变化的，所求重叠部分的面积有很多情形，因此，小明尝试从特殊情形入手，并借助特殊情形的经验解决了一般情形下的问题．因为某些因素(如形状、位置或数值等)不确定，使得问题有多种情形时，可以限制这个引起变化的因素，考虑最为特殊的情形，采用从特殊情形入手的策略解决问题．六、课后练习1．如图，点P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F，小颖从特殊情形入手，认为PD＋PE＋PF等于△ABC的高，AF＋BD＋CE等于△ABC周长的 eq \f(1,2) .你知道她是怎么做的吗？2．如图，四边形ABCD的面积是16，各边中点分别为M，N，P，Q，MP与NQ相交于点O，求图中阴影部分的面积．3．甲、乙两人轮流在一张圆桌上放置同样大小的硬币，每人每次只能放置一枚硬币，且放置过程中不允许重叠与倾斜，硬币不能超出桌面的边界．规定谁在桌上放下最后一枚硬币，谁就获胜．你知道获胜的策略吗？4．一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少？本节课通过图②和图③易求重叠部分的面积，将正方形EFGH绕点E旋转任一位置时，是否也能求出重叠部分的面积呢？通过教师的引导将一般情形转化为特殊情形，从而使问题得到了解决．教学中应让学生明白：从特殊到一般的思想方法是一种非常实用的思维模式，它可以帮助我们从特殊的情况中获得启发，进而应用到一般情况中去．三角三边√两边一角？两角一边√