数学中考二次函数综合压轴题专题训练 参考地区：江苏省

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（2）在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)在双曲线上，且x0=．求点P到y轴的距离；
（3）当a2-2a-2b+3=0，且1≤x00得到抛物线G2，G2与线段AB交于点E（点E不与点B重合），与线段BC交于点F，连接EF是否存在m的值，使得EF∥AC？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）把，代入，
得∶解得∶，
∴抛物线的表达式为．
（2）如图，设与相交于点H，设过点A，B，C的圆的圆心为点M，
∵，
∴当时，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点D在上，
∵抛物线的对称轴垂直平分线段，
∴点M在抛物线的对称轴上，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
设点，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∵点D在直线上，
∴点．
（3）∵向右平移个单位得到抛物线，
∴的解析是为，
∵，
∴，
设直线的解析式为：，
则．
解得：，
∴直线的解析式为：，
设点，
作交x轴于点，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
整理得：
∴，
∵点F在上，
∴，
把代入得：，
整理得：，
解得：或，
∵
∴．
如图1，已知抛物线y=ax(x+8)顶点C的纵坐标是4，与x轴交于A、O两点，经过点A的直线y=kx+b经过B(0，-6)，D为直线AB上一动点．
（1）a=______；k=______；
（2）连接OD，当线段OD与直线AB夹角为2∠OAB时，求点D的坐标．
（3）如图2，连接OC，线段OC上是否存在点E，连接ED，当∠EDB=3∠OAB时，线段ED被x轴截得线段比为2：3两部分，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）∵，顶点的纵坐标是4，
∴，
∴，
∴，
令，即，
解得：，，
∴，
把，代入得：，解得：，
（2）∵线段与直线的夹角为，
∴或，
当时，如图1，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点在的垂直平分线上，
∵，
∴点横坐标为，，
∴；
当时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
解得：（舍去），，
∴，
综上所述，点D的坐标为或；
（3）存在；
由（1）得：，
∴，
设直线的解析式为，
代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点E是线段上一点，
∴设，其中，
如图2，设抛物线对称轴交直线于G，交x轴于点J，在x轴负半轴上取点，使，连接，，过点E作，交于D，交x轴于K，
∵，J是中点，
∴G是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，，且，
∴设直线的解析式为，
代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立方程组得，
解得：，
∴，
∵线段被x轴截得线段比为两部分，
∴或，
∴或，
∴或，
解得：或，
∴点E的坐标为或．
已知二次函数y=ax2+x+c的图象经过点A(-1，)和点B(2，1)．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点C(m+1，y1)，D(m+2，y2)都在该二次函数的图象上，试比较y1和y2的大小，并说明理由；
（3）点P，Q在直线AB上，点M在该二次函数图象上．问：在y轴上是否存在点N，使得以P，Q，M，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）把，代入得：
，
解得：，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）∵，都在该二次函数的图象上，
∴，，
∴，
当时，即时，；
当时，即时，；
当时，即时，；
（3）设直线的函数解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为，
当为正方形的边时，
①∵，
∴，
过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作的垂线，垂足为点H，
∵轴，
∴，
∴，则，
设，则，
∴，
∴点N纵坐标为，
即，
∵以，，，为顶点的四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
把代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
②如图：构造，
和①同理可得：，，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
③如图：构造，
和①同理可得：，，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
④如图：构造，
和①同理可得：，，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
当为正方形对角线时，
⑤如图：构造矩形，过点P作于点K，
易得，
∴，
设，则，
和①同理可得：，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，则，
∴，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
⑥如图：构造，
同理可得：，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
综上：或或或或或
．
如图，抛物线y＝ax2＋2x＋8与x轴交于A(－2，0)，B(b，0)两点，与y轴交于点C(0，c)，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接BC，CD.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M为线段BC上一点，当MC＝MD时，求点M的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】解：(1)将点A(－2，0)代入抛物线y＝ax2＋2x＋8中，
得(－2)2a＋2×(－2)＋8＝0，解得a＝－1，
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋8，
（2）由(1)知抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋8，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点D(1，0)，
设BC所在直线的解析式为y＝kx＋d，把B(4，0)，C(0，8)代入，得k=-2,d=8,
∴BC所在直线的解析式为y＝－2x＋8.
设点M(m，－2m＋8)(0＜m＜4)，
∴MC2＝m2＋[8－(－2m＋8)]2＝5m2，MD2＝(m－1)2＋(－2m＋8)2＝5m2－34m＋65，
∵MC＝MD，∴MC2＝MD2，
即5m2＝5m2－34m＋65，解得m＝ ，
∴点M的坐标为(，)；
（3）存在．∵D(1，0)，C(0，8)，∴OD＝1，OC＝8，∴CD＝
分三种情况：
①当PC＝CD时，如解图，过点C作CE⊥DP于点E，则DE＝PE.
∵DE＝OC＝8，∴PD＝2DE＝16，
∴P(1，16)；
②当PD＝CD时，如解图，
则有P1(1，)或P2(1， )；
③当PC＝PD时，如解图，过点P作PF⊥CD于点F，
∵点P在对称轴上，
∴设点P(1，m)，则PD＝m.
∵PC＝PD，PF⊥CD，
∴DF＝ CD＝ ，
∵PD∥OC，∴∠OCD＝∠FDP，
∵∠DOC＝∠PFD＝90°，
∴△COD∽△DFP.
∴,
∴ ，解得m＝，
∴P(1， )，
综上所述，点P的坐标为(1，16)或(1， )或(1，－ )或(1，).
如图，抛物线y=ax2+bx-3的图象与x轴分别交于A，B（3,0）两点，与y轴交于点C，一次函数y=-3x-3的图象经过A，C两点.
求抛物线的表达式.
P是第四象限内抛物线上一个动点，点P的横坐标为m，过点P作直线PM⊥x轴于点M，交AC于点Q.
①当PM=PQ时，求m的值；
②在①的条件下，N是直线AC上一点，当△PQN是直角三角形时，请直接写出点N的坐标.

【解析】（1）∵一次函数y= -3x-3的图象与x轴交于点 A,
∴当y=0时,-3x-3=0,解得x=-1.∴A(-1,0).
把A(-1,0),B(3,0)分别代入y=ax²+bx-3,得a=1,b=-2
∴二次函数的表达式为y=x²-2x-3.
（2）①∵点 P的横坐标为 m,直线 PM⊥x轴于点M,交AC 于点 Q,点P在抛物线y=x²-2x-3
上，点Q在直线AC上，
∴P(m,m²-2m-3),M(m,0),Q(m,-3m-3).
∴PM=0-(m²-2m-3) =-m²+2m+3, PQ=m²-2m-3-(-3m-3)=m²+m.
又∵ PM=PQ
∴-m2+2m+3=(m2+m),解得m=-1(舍去)或m=2.
∴m的值为2；
②点N的坐标为（0，-3）或.
【提示】如解图,当m=2时,P(2,-3),Q(2,-9). ∴PQ=6.
①当∠QPN=90°时,
∵C(0,-3),P(2,-3),∴PC∥x轴.
又∵PQ⊥x轴,∴∠QPC=90°.
∴点 N与点 C重合.
∴ 此 时点 N 的 坐 标为(0,-3).
②当∠PNQ=90°时,过点 N作NE⊥PQ于点 E,如解图.
∵∠PNQ=∠QPC,∠PQN=∠CQP, ∴△QNP∽△QPC.
∴.
又∵CQ= ,
∴,∴QN=.
∵∠QEN=∠QPC=90°,∠NQE=∠CQP,
∴△NQE∽△CQP.
∴,∴.
∴EN=,EQ=.
∴点N的横坐标为：2-= ,ME=9-=.
又∵点 N位于第四象限，
∴此时点N的坐标为 .
③∠NQP=90°不成立.
综上所述，当△PQN是直角三角形时，点 N的坐标为（0，-3）或.
已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，-3），其顶点D的坐标为（1,-4）.
求抛物线的表达式.
如图1，P是直线BC下方的抛物线上的点，连接PC，PB，直线y=-x+b´经过点B，交抛物线于点E，交y轴于点G. 若△PBC的面积记作S1，△GBC的面积记作S2，求的最大值.
如图2，连接BD. 若M是x轴上的动点，Q是抛物线上的动点，是否存在点M，Q，使得以点M，Q，B，D为顶点且BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】（1）∵抛物线的顶点 D的坐标为(1,-4),
∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)²-4(a≠0).
将点C(0,-3) 代入y=a(x-1)²-4(a≠0),得a-4=-3,解得a=1.
∴抛物线的表达式为y=(x-1)²-4=x²-2x-3.
（2）令y=0,则x²-2x-3=0.∴x=-1或x=3.
∵点A 在点B的左侧,∴点A(-1,0), B(3,0).
设直线 BC 的解析式为y=kx+b₁(k≠0)，把点B(3,0), C(0,-3)代入,得k=1,b=-3
∴直线 BC的解析式为y=x-3.
如解图,过点 P作PN⊥x轴于点 N, 交BC于点 M.
设点P的坐标为(t,t²-2t-3),则点 M的坐标为(t, t-3).
∴PM=t-3-(t²-2t-3)=-t²+3t.
∴S1=(xB-xC)·PM=×3(-t2+3t)=t2+t,
把点B(3,0)代入直线 BG 的解析式y=-x+b´ 得-3+b´=0 .
∴b´=3. ∴直线 BG 的解析式为y=-x+3.
令x=0,则y=3.∴点G(0, 3).
∴GC=6. ∴S2=OB·GC=×3×6=9.
∴.
∵,抛物线的开口向下，
∴当时, 的值最大，最大值为 .
∴的最大值为.
（3）点M的坐标为（-1+，0）或（-1-，0）.
【提示】由题意知BK为□BDKQ 的对角线,如解图.
根据题意,点B向左平移2个单位长度,向下平移4个单位长度得到点D,则点Q经过同样的变换得到点M.
设点Q(m, 4), 则点M(m-2, 0).
∵点Q在抛物线上,∴m²-2m-3=4.
解得m=1+ 或m=1-.
∴点M的坐标为（-1+，0）或（-1-，0）.
综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y= -x2+bx+c与直线相交于A，B两点，其中点A(3，4)，B(0，1)．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）过点B作BC∥x轴交抛物线于点C，连接AC，在抛物线上是否存在点P使tan∠BCP=tan∠ACB．若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）
（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到y1=a1x2+b1x+c1(a1≠0)，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点E为原抛物线对称轴上的一点，F是平面直角坐标系内的一点，当以点B、D、E、F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
【解析】解：（1）∵把点，代入得
，
解得，
∴．
（2）存在．
理由：∵轴且，
∴，
∴（舍去），，
∴．
过点作于点，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴．
设直线交轴于点，
，，
∴，．
连接交抛物线于，连接交抛物线于，
∴，的解析式为，，
∴，解得，
或，解得．
∴把，代入得，，
∴，．
综上所述，满足条件的点坐标为，．
【小问3详解】
、、、．
方法一：
①以为对角线，如图作的垂直平分线交于点交直线于
∵，，
∴．
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
．
②以为边
如图以为圆心，为半径画圆交直线于点，；连接，，
过点作，过点作，和相交于点，同理可得
，，
，
．
过点作直线于点，则；
在和中，由勾股定理得，
，
，．
点是由点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的，
，，
③以为边
如图以点为圆心，长为半径画圆交直线于点和，
连接，，则，
过点作于点，则，在和中，由勾股定理得，
，
、，
，
，
、、三点共线，
过点作，过作，
和相交于点，
∵、，
的中点．
，点为的中点，
．
综上所述：、、、．
如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(0，－3)两点，与x轴的另一个交点为D.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，过点B作BC∥x轴交抛物线于点C，连接AC. 点E从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动，运动时间为t秒，过点E作x轴的垂线交抛物线于点P，连接AP，CP，若S△PAC＝，求t的值；
（3）如图2，点M为平面内的任意一点，点N为抛物线对称轴上一动点，若以点M，N，B，D为顶点的四边形是矩形，请直接写出点M的坐标．

【解析】解：（1）将A(-1，0)，B(0，-3)
代入y=x2+bx+c中，
得 , 解得,
∴抛物线的解析式为y＝x2-2x-3；
（2）∵BC∥x轴，令y=x2-2x-3中y=-3，
得x=0或x=2，∴C(2，-3)，
设直线AC的解析式为y=kx+m，将A(-1，0)，
C(2，-3)代入y=kx＋m，得, 解得,
∴直线AC的解析式为y=-x-1，
当0＜t≤2时，如解图，设EP与AC交于点G，过点C作CF⊥x轴于点F，
设P(t，t2-2t-3)，G(t，-t-1)，
∴PG=-t-1-(t2-2t-3)=-t2+t+2，
∴S△PAC=S△APG+S△PCG=PG·AE+PG·EF=PG·AF=t2+t+3，
∴t2+t+3=，
解得t1＝ ，t2＝ (舍去)，
当2＜t＜3时，如图，设PE与AC的延长线交于点G，过点C作CF⊥x轴于点F，
设P(t，t2-2t-3)，G(t，-t-1)，
∴PG=t2-2t-3-(-t-1)=t2-t-2，
∴S△PAC=S△APG-S△PCG=PG·AE-PG·EF=PG·AF=t2t-3，
∴t2t-3= ，解得t3= ，t4= (舍去)，
综上所述，t的值为或；
（3）令y=x2-2x-3中y=0，解得x=-1或x=3，
∴点D的坐标为(3，0)，
设M(x，y)，N(1，n)，
∴DN2=4＋n2，BN2=1＋(n＋3)2，BD2＝18.
①当∠BDN＝90°时，如解图，
方法一：BN2=DN2+BD2，
解得n=2，∴N1(1，2)，
方法二：构造相似，得N1(1，2)，
根据题意并由平移性质得M1(-2，-1)；
②当∠DBN=90°时，如解图，
方法一：BN2=DN2-BD2，解得n=-4，∴N2(1，-4)，
方法二：构造相似，得N2(1，-4)，根据题意并由平移性质得M2(4，-1)；
③当∠BND=90°时，如解图，

方法一：BN2=BD2-DN2，N3(1，)，N4(1，)，
方法二：构造相似，得N3(1， )，N4(1， )，
根据题意并由平移性质得得得M3(2， )，M4(2，)，
综上所述，点M的坐标为(-2，-1)或(4，-1)或(2， )或(2， ).
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A(-1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式，
（2）如图①，点P是直线 BC上方抛物线上一动点，过点P作BC的垂线交x轴于点D，过点 D
作DE⊥PD交y轴于点E,连接PE，若DP=2DE，求点P的坐标;
（3）如图②，点M是抛物线对称轴上一点，线段AM交y轴于点H，射线 BM交y轴于点G，作
GQ⊥BG交抛物线对称轴于点 Q，当OG-OH=2时，请直接写出点Q的坐标.

【解析】解：将点A(-1，0)，B(3，0)代入y=-x²+bx+c中，得a= -1,b=2,c=3,
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3;
（2）将x=0代入y=-x²+2x+3,得y=3,∴C(0,3),
∵B(3,0),∴OB=OC=3,∴∠OBC=45°,
∵PD⊥BC,∴∠PDB=45°,
∵PD⊥DE,∴∠PDE=90°,∴∠ODE=45°,
∵∠DOE=90°,∴∠OED=45°,
∴OD=OE,
①当点D在x轴负半轴时，如解图①，过点 P作PF⊥x轴于点F,则∠PFD=90°,
∴∠DPF=45°,∴DF=PF,
∵∠PFD=∠DOE,∠PDF=∠ODE,∴△PDF∽△EDO,∴=2,
设OD=OE=m,则PF=DF=2m,∴点P的坐标为(m,2m),
∴-m²+2m+3=2m,解得m1=,m2=(舍去),
∴点P的坐标为;

②当点D在x轴正半轴时，如解图②，过点 P作PF⊥x轴于点F,
∵∠ODE=∠FDP=45°,∠EOD=∠PFD=90°,
∴△ODE∽△FDP,
∴,
设OD=OE=n,∴DF=PF=2n,
∴P(3n,2n),∴2n=-(3n)²+2·3n+3,解得,n1=,n2=(舍去),
∴点P的坐标为 .
综上所述，，点 P 的坐标为 或 .
(3)点Q的坐标为(1,4)或(1,-4).
【提示】∵y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4,
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
设点M的坐标为(1，n)，
如解图③，记抛物线的对称轴与x轴交于点N，当点M在x轴上方时,作 QK⊥y轴于点 K,
∵tan∠OBG= ,
∴,∴OG=n,
∵tan∠MAN=,
∴,∴OH=n,,
∵OG-OH=2,∴n-n=2,
∴n=2,∴OG=3,∵OB=OC=3,
∴∠OCB=∠OBC=45°,
∵GQ⊥BC,∴∠BGQ=90°,
∴∠QGK=∠GQK=45°,∴GK=QK=1,
∴点 Q坐标为(1,4);
如解图④,当点M在 x轴的下方时，作QL⊥y轴于点 L，
∵tan∠OBG=,∴,∴OG=n,
∵tan∠MAN=,∴,∴OG=n,
∵OG-OH=2,∴n+n=2,∴n=-2,∴OG=3,
∴OB=OG=3,
∴∠OGB=∠OBG=45°,
∵GQ⊥BG,
∴∠BGQ=90°,∴∠QGL=∠GQL=45°,
∴GL=QL=1,
∴点Q坐标为(1,-4).
综上所述,点Q 的坐标为(1,4)或(1,-4).
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）一个二次函数的图像经过B、C、M(t，4)三点，其中t≠1，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段OB上（与点O、B不重合）．
①若D点的坐标为(3，0)，则t=_________；
②求t的取值范围：
③求OD·DB的最大值．
【解析】解：（1）二次函数的图象的顶点为，
；
令，解得或，
，；
（2）①由题知，该函数过点，，，
函数的解析式为：，
函数的对称轴为直线，
，，
点，关于对称轴对称，
，
，
②设二次函数的解析式为：，
将，，两点代入，得，
，
，
，
二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，，
，两点关于对称轴对称，点，
，
点在线段上，且与端点不重合，
，即，
时，过点，，三点的二次函数不存在，
且；
③，，
．
，
且，
时，有最大值，最大值为4．
如图①，已知抛物线y1=x2+bx+c与x轴交于两点O(0，0)、A(2，0)，将抛物线y1向右平移两个单位长度，得到抛物线y2，点P是抛物线y1在第四象限内一点，连接PA并延长，交抛物线y2于点Q．
（1）求抛物线y2的表达式；
（2）设点P的横坐标为xP，点Q的横坐标为xQ，求xQ-xP的值；
（3）如图②，若抛物线y3=x2-8x+t与抛物线y1=x2+bx+c交于点C，过点C作直线MN，分别交抛物线y1和y3于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
【解析】解：（1）二次函数的图象的顶点为，
；
令，解得或，
，；
（2）①由题知，该函数过点，，，
函数的解析式为：，
函数的对称轴为直线，
，，
点，关于对称轴对称，
，
，
②设二次函数的解析式为：，
将，，两点代入，得，
，
，
，
二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，，
，两点关于对称轴对称，点，
，
点在线段上，且与端点不重合，
，即，
时，过点，，三点的二次函数不存在，
且；
③，，
．
，
且，
时，有最大值，最大值为4．
在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x2+bx+3的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．
（1）OC=________；
（2）如图，已知点A的坐标是(-1，0)．
①当1≤x≤m，且m>1时，y的最大值和最小值分别是s、t，s-t=2，求m的值；
②连接AC，P是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作PD⊥x轴，垂足为D．作∠DPQ=∠ACO，射线PQ交y轴于点Q，连接DQ、PC．若DQ=PC，求点P的横坐标．
【解析】解：（1）当时，，即；
（2）①将点A代入
得，，
解得：，
∴解析式为：，
而，
∴对称轴为直线：，
当，且时，
∴y随着x的增大而减小，
∴当，，当时，，
由得，，
解得：或（舍）
∴；
②在中，，
由题意得，，，
∴四边形为平行四边形或等腰梯形，
当点P在x轴上方，四边形为平行四边形时，则，

∵轴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
∴，
将点代入，
得：，解得：或（舍），
∴；
当四边形为等腰梯形时，则，过点P作轴于点E，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴设，则，
∴，∴，
即；
当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形为平行四边形，则，
∵
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
将点P代入，
得：，解得：或，
而当时，，故舍，
∴，
综上：点P的横坐标为1或或．