中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题24江苏中考数学大题满分综合训练01(最新模拟30题：基础易错压轴)(原卷版+解析)

这是一份中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题24江苏中考数学大题满分综合训练01(最新模拟30题：基础易错压轴)(原卷版+解析)，共56页。试卷主要包含了计算，先化简，再求值，解方程组和不等式组；，，且售价均为整数等内容，欢迎下载使用。

易错题满分训练：1-10题
主要针对前5道易得分的大题进行训练，题型有：实数的运算、分式的化简求值、解方程与不等式、全等三角形、切线的证明、矩形的计算与证明、统计、概率.
易错题提升训练：11-20题
主要针对前中间易丢分的中等大题进行训练，题型有：圆的有关计算与证明、锐角三角函数的应用、基本作图、特殊四边形的计算与证明、二次函数的性质、反比例函数与一次函数结合、函数的应用等.
压轴题培优训练：21-30题
主要针对后几道的压轴大题进行训练，题型有：函数的实际应用问题、反比例函数综合问题、二次函数的实际应用问题、三角形有关新定义问题、四边形有关新定义问题、圆有关新定义问题、函数有关新定义问题、几何变式与类比变换压轴题.
1．（2023·江苏常州·统考一模）计算：4−−22+π−30−2−1．
2．（2023·江苏盐城·校联考模拟预测）先化简，再求值：(4ba−2b+2)÷aa2−4b2，其中a+2b=−2
3．（2023·江苏常州·统考一模）解方程组和不等式组；
(1)2x−y=3x+y=6
(2)x+1>42x−1−5>1
4．（2023·江苏盐城·校联考模拟预测）关于x的一元二次方程mx2−4x+3=0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若m为正整数，求出此时方程的根．
5．（2023·江苏南京·校联考一模）某商店销售甲、乙两种商品，甲的成本为5元，乙的成本为7元．甲现在的售价为10元，每天卖出30个；售价每提高1元，每天少卖出2个．乙现在的售价为14元，每天卖出6个；售价每降低1元，每天多卖出4个．假定甲、乙两种商品每天卖出的数量和不变（和为36袋），且售价均为整数．
(1)当甲的售价提高x元，乙的售价为 元；（用含x的代数式表示）
(2)当甲的售价提高多少元时，销售这两种商品当天的总利润是268元？
6．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．
(1)求证：△BDE≌△CDF；
(2)若AE=13，AF=7，试求DE的长．
7．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C，∠A＝∠B＝30°，连接BD．求证：BD是⊙O的切线．
8．（2023·江苏徐州·校考一模）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC,∠BCD=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．
(1)求证：四边形ABCF是矩形；
(2)若ED=EC，求证：EA=EG．
9．（2023·江苏常州·统考一模）为庆祝中国共青团成立100周年，某校团委开展四项活动：A项参观学习，B项团史宣讲，C项经典诵读，D项文学创作，要求每位学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图：
(1)本次调查的样本容量是_____，B项活动所在扇形的圆心角的大小是_____°；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．
10．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）明明和文文周末相约到某植物园晨练，这个植物园有A，B，C，D四个入口，他们可随机选择一个人口进入植物园，假设选择每个入口的可能性相同．
(1)他们其中一人进入植物园时，从B入口处进入的概率为______．
(2)用树状图或列表法求她们两人选择相同入口进入植物园的概率．
11．（2023·江苏徐州·校考一模）如图，已知点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O外，∠BCD=∠BAC，BE∥CD交⊙O于E点．
(1)CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；
(2)若⊙O的半径为5，∠BAC=30°，求线段BE的长．
12．（2023·江苏徐州·统考一模）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校门口安装一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测，无需人员停留和接触．如图所示，BF是水平地面，其中EF是测温区域，测温仪安装在校门AB上的点A处，已知∠DAG=60°，∠DAC=30°．
(1)∠ACG=___________度，∠ADG=___________度．
(2)学生DF身高1.5米，当摄像头安装高度BA=3.5米时，求出图中BF的长度；（结果保留根号）
(3)为了达到良好的检测效果，测温区EF的长不低于3米，请计算得出设备的最低安装高度BA是多少？（结果保留1位小数，参考数据：3≈1.73）
13．（2023·江苏南京·校联考一模）如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，只用无刻度的直尺作图.
(1)在图①中，作∠A的角平分线；
(2)在图②中，在AC边上找一点D，使得AB2=AD⋅AC．
14．（2023·江苏苏州·苏州工业园区星湾学校校考模拟预测）如图，半径为10的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO=12．
(1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；
(2)求AB的长．
15．（2023·江苏常州·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
(1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），
(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
16．（2023·江苏常州·统考一模）如图，一次函数y=kx+2k≠0的图像与反比例函数y=mxm≠0,x>0的图像交于点A2,n，与y轴交于点B，与x轴交于点C−4,0．
(1)求k与m的值；
(2)点P是x轴正半轴上一点，若BP=BC，求△PAB的面积．
17．（2023·江苏常州·统考一模）在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为y=−x﹔②函数表达式为y=−1x﹔③函数的图像经过点1,−1；④函数的图像上任意一点到x轴、y轴的距离相等；⑤函数值y随x的增大而减小．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子A中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．
(1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到②的概率是______；
(2)先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．
18．（2023·江苏常州·统考一模）已知直线l:y=kxk≠0过点A−1,2．点P为直线l上一点，其横坐标为m．过点P作y轴的垂线，与函数y=4xx>0的图象交于点Q．
(1)求k的值；
(2)①求点Q的坐标（用含m的式子表示）；
②若△POQ的面积等于3，求出点P的横坐标m的值．
19．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）某水果批发超市以每千克50元的价格购进一批车厘子，规定每千克车厘子的售价不低于进价又不高于90元，经市场调查发现，车原子的日销售量y（千克）与每千克价x（元）满足一次函数的关系，其部分对应数据如下表所示；
(1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当每千克车厘子的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
20．（2023·江苏泰州·一模）如图，OA=OB，∠AOB=90°，点A，B分别在函数y=k1x（x>0）和y=k2x（x>0）的图象上，且点A的坐标为(1,4)．
(1)求k1，k2的值：
(2)若点C，D分在函数y=k1x（x>0）和y=k2x（x>0）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得△COD≌△AOB，若存在，请直接出点C，D的坐标：若不存在，请说明理由．
21．（2023·江苏扬州·校考一模）精准扶贫工作已经进入攻坚阶段，贫苦户李大叔在政府的帮助下，建起塑料大棚，种植优质草莓，今年二月份正式上市销售．在30天的试销中，每天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，部分数据如下表：
设第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数关系满足如下图像：已知种植销售草莓的成本为5元/千克，每天的利润是w元．（利润＝销售收入﹣成本）
(1)将表格中的最后一列补充完整；
(2)求y关于x的函数关系式；
(3)求销售草莓的第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元？
22．（2023·江苏苏州·统考一模）平面直角坐标系中，反比例函数y=3kxk≠0的图象与一次函数y=kx−2k图象交于A、B两点（点A在点B左侧）．
(1)求A、B两点的坐标（用含k的代数式表示）；
(2)当k=2时，过y轴正半轴上一动点C0,n作平行于x轴的直线，分别与一次函数y=kx−2k、反比例函数y=3kx的图象相交于D、E两点，若CD=3DE，求n的值；
(3)若一次函数y=kx−2k图象与x轴交于点F，AF+BF≤5，直接写出k的取值范围．
23．（2023·江苏泰州·统考二模）已知：如图，抛物线y=−x2+bx+c经过原点O，它的对称轴为直线x=2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向下运动，设动点P运动的时间为t秒，连接OP并延长交抛物线于点B，连接OA，AB．
(1)求抛物线解析式及顶点坐标；
(2)当三点A，O，B构成以为OB为斜边的直角三角形时，求t的值；
(3)将△PAB沿直线PB折叠后，那么点A的对称点A1能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的t的值；若不能，请说明理由．
24．（2023·江苏苏州·统考一模）苏州乐园森林世界位于美丽的大阳山东南角，包含25项森林主题演出与游乐项目，其中“冲上云霄”是其经典项目之一，其轨道总长约1040米，极限高度62.5米.如图所示，A→B→C为“冲上云霄”过山车的一部分轨道（B为轨道最低点），它可以看成一段抛物线.其中OA=1254米，OB=252米（轨道厚度忽略不计）．
(1)求抛物线A→B→C的函数关系式；
(2)在轨道距离地面5米处有两个位置P和C，当过山车运动到C处时，又进入下坡段C→E（接口处轨道忽略不计）.已知轨道抛物线C→E→F的形状与抛物线A→B→C完全相同，求OE的长度；
(3)现需要对轨道下坡段A→B进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架GD、GM、HI、HN，且要求OM=MN．如何设计支架，才能用料最少？最少需要材料多少米？
25．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）如图，在7×4的方格纸中，点A、B、C都在格点上，请用无刻度的直尺作图．
(1)在图1中的线段AC上找一个点D，使CD=13AC；
(2)在图2中作一个格点上的△FCE，使得△FCE∽△ABC，且△FCE的面积为△ABC的面积的五分之一；
(3)在图3中，点A、B、C均在⊙O上，点D是AC的中点．请仅用无刻度的直尺画出∠B的平分线BE交⊙O于点E（保留作图痕迹，不写作法）．
26．（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且DE=CF，点P在射线BC上（点P不与点F重合）．将线段EP绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，过点E作GD的垂线QH，垂足为点H，交射线BC于点Q．
(1)如图1，若点E是CD的中点，点P在线段BF上，请直接写出线段BP，QC，EC满足的数量关系______．
(2)如图2，若点E不是CD的中点，点P在线段BF上，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(3)正方形ABCD的边长为9，DE=13DC，QC=2，请直接写出线段BP的长______．
27．（2023·江苏宿迁·统考一模）已知，点D是∠CAB的边AB上一点．
(1)如图甲，DE⊥AC，垂足为E，DF平分∠ADE交边AC于点F，FO⊥AC交边AB于点O，求证：OD=OF；
(2)如图乙，DE⊥AB交边AC于点E，EO平分∠AED交边AB于点O，OF⊥AC，垂足为点F，求△OED≌△OEF；
(3)如图丙，在线段AD上找一点O作⊙O，使⊙O经过点D且与AC相切．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出作法过程，不证明）
28．（2023·江苏徐州·徐州市第十三中学校考一模）如图，矩形ABCD中，AB=6,BC=8，点E是CD的中点，P是射线DA上一点，延长EP交直线AB于F，过P作PG⊥EF，分别交射线CB、直线AB于G、H．
(1)①当PD=3时，EFPG= ；
②点P在AD上取不同位置，EFPG的值是否变化？若不变，求出它的值，若改变，请说明理由；
(2)连接FG，当△PFG是等腰直角三角形时，求PD的长；
(3)直接写出CG的最小值 ．
29．（2023·江苏盐城·校联考模拟预测）如图1，对于平面上小于或等于90°的∠MON，我们给出如下定义：若点P在∠MON的内部或边上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则将PE+PF称为点P与∠MON的“点角距”，记作d∠MON,P．如图2，在平面直角坐标系xOy中，x、y正半轴所组成的角记为∠xOy．
(1)已知点A4,0、点B3,1，则d∠xOy,A= ，d∠xOy,B= ．
(2)若点P为∠xOy内部或边上的动点，且满足d∠xOy,P=4，在图2中画出点P运动所形成的图形．
(3)如图3与图4，在平面直角坐标系xOy中，射线OT的函数关系式为y=43xx≥0．
①在图3中，点C的坐标为4,1，试求d∠xOT,C的值；
②在图4中，抛物线y=−12x2+2x+c经过A5,0，与射线OT交于点D，点Q是A，D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求c的值和当d∠xOT,Q取最大值时点Q的坐标．
30．（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”．
(1)利用下面哪组图形可以得到一个对角互余四边形______（填写序号）
①两个等腰三角形；②两个等边三角形；③两个直角三角形；④两个全等三角形
(2)如图1，在对角互余四边形ABCD中，∠D=30°，且AC⊥BC，AC⊥AD．若BC=1，求四边形ABCD的面积和周长．
(3)如图2，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC=90°，点O是△ACD外接圆的圆心，连接OA，∠OAC=∠ABC．求证：四边形ABCD是“对角互余四边形”；
(4)在（3）的条件下，如图3，已知AD=a，DC=b，AB=3AC，连接BD，求BD2的值．（结果用带有a，b的代数式表示）
每千克售价x/元
…
60
70
…
日销售量y/千克
…
100
80
…
x（天）
1
2
3
…
x
每天的销售量（千克）
10
12
14
…

2023年中考数学大题高分秘籍（江苏专用）
专题24江苏中考数学大题满分综合训练01（最新模拟30题：基础+易错+压轴）
易错题满分训练：1-10题
主要针对前5道易得分的大题进行训练，题型有：实数的运算、分式的化简求值、解方程与不等式、全等三角形、切线的证明、矩形的计算与证明、统计、概率.
易错题提升训练：11-20题
主要针对前中间易丢分的中等大题进行训练，题型有：圆的有关计算与证明、锐角三角函数的应用、基本作图、特殊四边形的计算与证明、二次函数的性质、反比例函数与一次函数结合、函数的应用等.
压轴题培优训练：21-30题
主要针对后几道的压轴大题进行训练，题型有：函数的实际应用问题、反比例函数综合问题、二次函数的实际应用问题、三角形有关新定义问题、四边形有关新定义问题、圆有关新定义问题、函数有关新定义问题、几何变式与类比变换压轴题.
一、解答题
1．（2023·江苏常州·统考一模）计算：4−−22+π−30−2−1．
【答案】−32
【分析】根据二次根式的计算，乘方的计算，非零数的零次幂的运算，负指数的运算法则即可求解．
【详解】解：4−−22+π−30−2−1
=2−4+1−12
=−32．
【点睛】本题主要考查实数的运算，掌握二次根式，乘方，非零数的零次幂，负指数的运算法则是解题的关键．
2．（2023·江苏盐城·校联考模拟预测）先化简，再求值：(4ba−2b+2)÷aa2−4b2，其中a+2b=−2
【答案】2(a+2b)，−4
【分析】先把分式的化简，再整体代入求值．
【详解】解：(4ba−2b+2)÷aa2−4b2
=4b+2a−4ba−2b⋅(a+2b)(a−2b)a
=2(a+2b)，
当a+2b=−2时，
原式=−4．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握因式分解是解题的关键．
3．（2023·江苏常州·统考一模）解方程组和不等式组；
(1)2x−y=3x+y=6
(2)x+1>42x−1−5>1
【答案】(1)x=3y=3
(2)x>4
【分析】（1）根据二元一次方程组加减消元法即可求解．
（2）分别求出不等式组个不等式的解集，按照不等式组的解法技巧同大取大求出不等式组的解集．
【详解】（1）解：∵2x−y=3x+y=6
将第一个方程和第二个方程相加，得3x=9，
∴x=3．
把x=3代入第二个方程，得y=3．
∴原方程组的解是x=3y=3
故答案为：x=3y=3
（2）解：解不等式x+1>4，得x>3．
解不等式2x−1−5>1，得x>4．
∴原不等式组的解集是x>4．
故答案为：x>4．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组和一元一次不等式组．是否能熟练掌握二元一次方程组的加减消元法以及一元一次不等式组的解法技巧（同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解）是解题的关键．
4．（2023·江苏盐城·校联考模拟预测）关于x的一元二次方程mx2−4x+3=0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若m为正整数，求出此时方程的根．
【答案】(1)m≤43且m≠0
(2)x1=1，x2=3
【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围；
（2）由（1）的结论，结合m为正整数，可得出m的值，再其代入原方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程mx2−4x+3=0有实数根，
∴m≠0Δ=−42−4×m×3≥0，
解得：m≤43且m≠0，
∴m的取值范围为m≤43且m≠0；
（2）∵m≤43且m≠0，且m为正整数，
∴m=1，
∴原方程为x2−4x+3=0，
即x−3x−1=0，
解得：x1=1，x2=3．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，找出关于m的一元一次不等式组；（2）代入m的值，求出方程的解．
5．（2023·江苏南京·校联考一模）某商店销售甲、乙两种商品，甲的成本为5元，乙的成本为7元．甲现在的售价为10元，每天卖出30个；售价每提高1元，每天少卖出2个．乙现在的售价为14元，每天卖出6个；售价每降低1元，每天多卖出4个．假定甲、乙两种商品每天卖出的数量和不变（和为36袋），且售价均为整数．
(1)当甲的售价提高x元，乙的售价为 元；（用含x的代数式表示）
(2)当甲的售价提高多少元时，销售这两种商品当天的总利润是268元？
【答案】(1)14−12x
(2)甲零食的售价提高4元时，销售这两种零食当天的总利润是268元
【分析】（1）先计算甲的售价提高后乙的销售数量，再计算乙的售价；
（2）设甲零食的售价提高x元时，将两种商品的利润相加，可得方程，解之即可．
【详解】（1）解：当甲的售价提高x元，
乙的售价为：14−36−30−2x−64=14−12x；
（2）设甲零食的售价提高x元时，销售这两种零食当天的总利润是268元，
由题意得，10−5+x30−2x+36−30−2x14−12x−7=268，
解得：x1=4，x2=193（不符合题意，舍去）．
答：甲零食的售价提高4元时，销售这两种零食当天的总利润是268元．
【点睛】本题考查了一元二次方程应用，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
6．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．
(1)求证：△BDE≌△CDF；
(2)若AE=13，AF=7，试求DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)DE=3
【分析】（1）利用中点性质可得BD=CD，由平行线性质可得∠DBE=∠DCF，再由对顶角相等可得∠BDE=∠CDF，即可证得结论；
（2）由题意可得EF=AE-AF=6，再由全等三角形性质可得DE=DF，即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∵BE∥CF，
∴∠DBE=∠DCF，
在△BDE和△CDF中，
∠DBE=∠DCFBD=CD∠BDE=∠CDF，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
（2）解：∵AE=13，AF=7，
∴EF=AE-AF=13-7=6，
∵△BDE≌△CDF，
∴DE=DF，
∵DE+DF=EF=6，
∴DE=3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
7．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C，∠A＝∠B＝30°，连接BD．求证：BD是⊙O的切线．
【答案】证明见解析
【分析】连接OD，求出∠ODB＝90°，根据切线的判定推出即可．
【详解】如图，连接OD，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠DAB＝30°，
∴∠DOB＝∠ODA+∠DAB＝60°，
∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
即OD⊥BD，
∴直线BD与⊙O相切．
【点睛】此题主要考查了切线的判定，三角形的内角和以及三角形的外角性质，关键是证明OD⊥BD．
8．（2023·江苏徐州·校考一模）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC,∠BCD=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．
(1)求证：四边形ABCF是矩形；
(2)若ED=EC，求证：EA=EG．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据AB∥DC,FC=AB，可得四边形ABCF是平行四边形，再由∠BCD=90°，即可求证；
（2）根据四边形ABCF是矩形，∠AFD=∠AFC=90°，从而得到∠DAF=90°−∠D,∠CGF=90°−∠ECD，再由ED=EC，可得∠D=∠ECD，从而得到∠DAF=∠CGF，进而得到∠EAG=∠EGA，即可求证．
【详解】（1）证明：∵AB∥DC,FC=AB，
∴四边形ABCF是平行四边形．
∵∠BCD=90°，
∴四边形ABCF是矩形．
（2）证明：∵四边形ABCF是矩形，
∴∠AFD=∠AFC=90°，
∴∠DAF=90°−∠D,∠CGF=90°−∠ECD．
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD．
∴∠DAF=∠CGF．
∵∠EGA=∠CGF，
∴∠EAG=∠EGA．
∴EA=EG．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
9．（2023·江苏常州·统考一模）为庆祝中国共青团成立100周年，某校团委开展四项活动：A项参观学习，B项团史宣讲，C项经典诵读，D项文学创作，要求每位学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图：
(1)本次调查的样本容量是_____，B项活动所在扇形的圆心角的大小是_____°；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．
【答案】(1)80,54
(2)见解析
(3)估计其中意向参加“参观学习”活动的人数有800人
【分析】（1）条形图中“D项”有16人，扇形统计图中“D项”的百分比是20%，可求出样本容量；从而求出“B项”的百分比，根据圆心角的计算方法即可求解；
（2）由（1）算出样本容量，分别减去其他项目的人数，即可求解“C项”的人数，由此可补全条形统计图；
（3）根据样本的中参加“参观学习”的百分比，即可估算总体的情况．
【详解】（1）解：条形图中“D项”有16人，扇形统计图中“D项”的百分比是20%，
∴样本容量为1620%=80，
∴“B项”的百分比为1280×100%=15%，
∴“B项”的圆心角为360°×15%=54°，
故答案为：80,54．
（2）解：样本容量是80，
∴C项的人数为80−32−12−16=20（人），补全条形统计图，如图所示，
（3）解：参加“参观学习”的人数是32人，占样本的百分比为3280×100%=40%，
∴该校有2000名学生，参加“参观学习”活动的人数估计为40%×2000=800（人）．
【点睛】本题主要考查统计与调查的相关知识，理解条形统计图，扇形统计图的意思，掌握样本容量的计算方法，圆心角的计算方法，根据样本百分比估算总体的方法是解题的关键．
10．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）明明和文文周末相约到某植物园晨练，这个植物园有A，B，C，D四个入口，他们可随机选择一个人口进入植物园，假设选择每个入口的可能性相同．
(1)他们其中一人进入植物园时，从B入口处进入的概率为______．
(2)用树状图或列表法求她们两人选择相同入口进入植物园的概率．
【答案】(1)14
(2)14
【分析】（1）根据概率计算公式进行求解即可；
（2）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，然后找到他们两人选择不同入口进入植物园的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵一共有A、B、C、D四个入口，进入每个入口的概率相同，
∴他们其中一人进入植物园时，从B入口处进入的概率为14，
故答案为：14；
（2）解：列表如下：
由表格可得一共有16种等可能性的结果数，其中他们两人选择不同入口进入植物园的结果数有4种，
∴她们两人选择不同入口进入植物园的概率=416=14．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键．
11．（2023·江苏徐州·校考一模）如图，已知点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O外，∠BCD=∠BAC，BE∥CD交⊙O于E点．
(1)CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；
(2)若⊙O的半径为5，∠BAC=30°，求线段BE的长．
【答案】(1)CD是⊙O的切线,理由见解析；
(2)BE=53．
【分析】（1）连接CO并延长交⊙O于F点，连接BF，根据圆周角定理得到∠A=∠F，求得∠BCD=∠F，根据直径所对的圆周角是直角得到∠CBF=90°，求得∠FCD=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接OB，OC交BE于点G，根据平行线的性质得到∠OGB=∠OCD=90°，根据垂径定理得到BE=2BG，根据圆周角定理求出∠BOC=2∠BAC=60°，解直角三角形求出BG即可．
【详解】（1）证明：连接CO并延长交⊙O于F点，连接BF，
∴∠A=∠F，
∵∠BCD=∠BAC，
∴∠BCD=∠F，
∵CF为⊙O直径，
∴∠CBF=90°，
∴∠F+∠BCF=90°，
∴∠BCD+∠BCF=90°，即∠FCD=90°，
∵CF为⊙O直径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）连接OB，OC交BE于点G，
∵BE∥CD，
∴∠OGB=∠OCD=90°，即OC⊥BE，
∴BE=2BG，
∵∠BOC=2∠BAC=60°，BO=5，
∴BG=BO·sin60°=5×32=532，
∴BE=2BG=53．
【点睛】本题考查了圆的相关知识，圆周角定理，切线的判定，解直角三角形；掌握切线的判定以及特殊三角形的性质是解题的关键．
12．（2023·江苏徐州·统考一模）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校门口安装一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测，无需人员停留和接触．如图所示，BF是水平地面，其中EF是测温区域，测温仪安装在校门AB上的点A处，已知∠DAG=60°，∠DAC=30°．
(1)∠ACG=___________度，∠ADG=___________度．
(2)学生DF身高1.5米，当摄像头安装高度BA=3.5米时，求出图中BF的长度；（结果保留根号）
(3)为了达到良好的检测效果，测温区EF的长不低于3米，请计算得出设备的最低安装高度BA是多少？（结果保留1位小数，参考数据：3≈1.73）
【答案】(1)60；30
(2)23米
(3)设备的最低安装高度BA是4.1米
【分析】（1）根据题意得出∠CAG=∠DAG−∠DAC=30°，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；
（2）根据题意，先求得AG=2，解Rt△ADG即可求解；
（3）根据题意得出AC=CD=3，解Rt△AGC，得出AG=233，然后根据AB=AG+GB，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，DG⊥AG，
∵∠DAG=60°，∠DAC=30°．
∴∠CAG=∠DAG−∠DAC=30°，
∴∠ACG=90°−∠CAG=60°；∠ADG=90°−∠DAG=30°，
故答案为：60；30；
（2）解：∵AB=3.5,DF=1.5，
∴AG=AB−BG=3.5−1.5=2，
在Rt△ADG中，∠ADG=30°，
∴GD=AGtan∠ADG=233=23米；
（3）解：∵∠DAC=30°，∠ADG=30°，
∴AC=CD=3,
∴AG=AC⋅cs∠CAG=3×32=323，
∴BA=AG+GB= 332+1.5≈4.1（米），
∴设备的最低安装高度BA是4.1米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
13．（2023·江苏南京·校联考一模）如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，只用无刻度的直尺作图.
(1)在图①中，作∠A的角平分线；
(2)在图②中，在AC边上找一点D，使得AB2=AD⋅AC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）延长AB构造等腰三角形，根据等腰三角形的性质可知∠A的角平分线过等腰三角形底边的中点，找出底边中点P与点A连接即可；
（2）设网格边长为1，如图，取格点P、Q、M，连接PQ交网格于N，连接MN，交网格于E，连接BE交AC于D，可得△ABD~△ECD，根据AB2=AD⋅AC可得ADCD=169，根据相似三角形的性质结合网格特征作出CE=94即可得答案．
【详解】（1）解：如图，点射线AP即为所求；
（2）解：设网格边长为1，如图，取格点P、Q、M，连接PQ交网格于N，连接MN，交网格于E，连接BE交AC于D，
∵AB2=AD⋅AC，ABAC=45，
∴ADCD=169，
∵CE∥AB，
∴△ABD~△ECD，
∴ADCD=ABCE=169，
∴CE=94
∴如图，点D即为所求；
【点睛】本题考查了无刻度的直尺作图、等腰三角形的性质、角平分线的定义和相似三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
14．（2023·江苏苏州·苏州工业园区星湾学校校考模拟预测）如图，半径为10的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO=12．
(1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；
(2)求AB的长．
【答案】(1)相切，理由见解析
(2)12
【分析】（1）连接CM，由AC平分∠OAM可得∠OAC=∠CAM，又因为MC=AM，所以∠CAM=∠ACM，进而可得∠OAC=∠ACM，所以OA∥MC，可得MC⊥x轴，进而可得出结论；
（2）过点M作MN⊥y轴于点N，则AN=BN，且四边形MNOC是矩形，设AO=m，可分别表达MN和ON，进而根据勾股定理可建立等式，得出结论．
【详解】（1）解：猜测⊙M与x轴相切，理由如下：
如图，连接CM，
∵AC平分∠OAM，
∴∠OAC=∠CAM，
又∵MC=AM，
∴∠CAM=∠ACM，
∴∠OAC=∠ACM，
∴OA∥MC，
∵OA⊥x轴，
∴MC⊥x轴，
∵CM是半径，
∴⊙M与x轴相切．
（2）解：如图，过点M作MN⊥y轴于点N，
∴AN=BN=12AB，
∵∠MCO=∠AOC=∠MNA=90°，
∴四边形MNOC是矩形，
∴NM=OC，MC=ON=10，
设AO=m，则OC=12−m，
∴AN=10−m，
在Rt△ANM中，由勾股定理可知，AM2=AN2+MN2，
∴102=10−m2+12−m2，
解得m=4或m=18（舍去），
∴AN=6，
∴AB=12．
【点睛】本题主要考查切线的判定、勾股定理、矩形的性质和判定、角平分线的性质和平行线的判定和性质，熟练运用相关知识是解题的关键．
15．（2023·江苏常州·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
(1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），
(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)作图见解析
(2)AE=CF，证明见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图的画法，分别以A、C为圆心，以大于12AC的长为半径画弧，交于两点，过两点作直线即可得到线段AC的垂直平分线．
（2）利用矩形及垂直平分线的性质，可以证得△AEO≌△CFO，根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：AE=CF．证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO．
∵EF为AC的垂直平分线，
∴OA=OC．
∴△AEO≌△CFO．
∴AE=CF．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图的画法、矩形的性质、全等三角形的判定和性质．
16．（2023·江苏常州·统考一模）如图，一次函数y=kx+2k≠0的图像与反比例函数y=mxm≠0,x>0的图像交于点A2,n，与y轴交于点B，与x轴交于点C−4,0．
(1)求k与m的值；
(2)点P是x轴正半轴上一点，若BP=BC，求△PAB的面积．
【答案】(1)k=12，m=6
(2)4
【分析】（1）根据一次函数与反比例函数图像与性质，将相应点代入表达式解方程即可得到答案；
（2）过点A作AH⊥x轴，垂足为H，如图所示，得到AH=3，OB=2，从而OP=OC=4，利用S△PAB=S△PAC−S△PBC代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵一次函数y=kx+2k≠0的图像与反比例函数y=mxm≠0,x>0的图像交于点A2,n，与y轴交于点B，与x轴交于点C−4,0
∴把x=−4，y=0代入y=kx+2，得0=−4k+2，解得k=12，把x=2，y=n代入y=12x+2，得n=12×2+2=3；
∴把x=2，y=3代入y=mx，得3=m2，解得m=6；
（2）解：过点A作AH⊥x轴，垂足为H，如图所示：
∵ A2,3，
∴ AH=3，
∵一次函数y=12x+2的图像与y轴交于点B，即当x=0时，y=2，
∴B0,2，
∴OB=2，
∵BP=BC，BO⊥CP，
∴OP=OC=4，
∴S△PAB=S△PAC−S△PBC =12PC⋅AH−12PC⋅BO =12×8×3−2 =4．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合问题，涉及一次函数与反比例函数图像与性质、函数图像交点问题及平面直角坐标系中图形面积求解，熟练掌握一次函数与反比例函数图像与性质是解决问题的关键．
17．（2023·江苏常州·统考一模）在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为y=−x﹔②函数表达式为y=−1x﹔③函数的图像经过点1,−1；④函数的图像上任意一点到x轴、y轴的距离相等；⑤函数值y随x的增大而减小．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子A中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．
(1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到②的概率是______；
(2)先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．
【答案】(1)12
(2)抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率是23
【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：从盒子A中任意抽出1支签，抽到②的概率是12
（2）解：列表如下：
．
所有等可能结果共有6种，
其中抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的有：①③；①④；①⑤；②③，共4种，
∴P（抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合）=46=23．
答：抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率是23．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18．（2023·江苏常州·统考一模）已知直线l:y=kxk≠0过点A−1,2．点P为直线l上一点，其横坐标为m．过点P作y轴的垂线，与函数y=4xx>0的图象交于点Q．
(1)求k的值；
(2)①求点Q的坐标（用含m的式子表示）；
②若△POQ的面积等于3，求出点P的横坐标m的值．
【答案】(1)k=−2
(2)①−2m,−2m；②−1
【分析】（1）由直线l:y=kxk≠0过点A−1,2，代入直线解析式即可求解；
（2）①根据题意可求点P的纵坐标为yP=−2m，由PQ⊥y轴，可得点Q的纵坐标为yQ=−2m，由点Q在函数y=4xx>0的图象上，可求点Q的横坐标即可；②根据点P，Q的坐标可求PQ的长，利用三角形面积公式，即可．
【详解】（1）解：∵直线y=kx过点A−1,2，
∴−k=2，即k=−2．
（2）解：①∵P在直线y=−2x上且横坐标为m，
∴点P的纵坐标为yP=−2m，
∵PQ⊥y轴，
∴点Q的纵坐标为yQ=−2m．
∵点Q在函数y=4xx>0的图象上，
∴点Q的横坐标为xQ=4−2m=−2m．
∴点Q的坐标为−2m,−2m．
②∵Pm,−2m，Q−2m,−2m，
∴PQ=−2m−m=−2m−m，
∵△POQ中PQ边上的高ℎ=−2m，
∴S△POQ=12PQℎ，
∵△POQ的面积等于3，
∴12×−2m−m×−2m=3，
∴m=1（舍），m=−1，
∴点P的横坐标m为−1．
【点睛】本题考查一次函数解析式与反比例函数，直线垂直y轴上的点的特征，三角形面积，掌握一次函数解析式，直线垂直y轴上的点的特征，三角形面积是解题关键．
19．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）某水果批发超市以每千克50元的价格购进一批车厘子，规定每千克车厘子的售价不低于进价又不高于90元，经市场调查发现，车原子的日销售量y（千克）与每千克价x（元）满足一次函数的关系，其部分对应数据如下表所示；
(1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当每千克车厘子的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)y=−2x+22050≤x≤90
(2)当每千克车厘子的售价定为80元时，日销售利润最大，最大利润是1800元
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据“日销售利润=每千克利润×日销售量”可得函数解析式，将函数解析式配方成顶点式即可得最值情况．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为y=kx+bk≠0，
将60,100,70,80代入，得：
60k+b=10070k+b=80，
解得：k=−2b=220，
∴y与x之间的函数表达式为y=−2x+22050≤x≤90；
（2）解：设每千克车厘子的售价定为w元，根据题意得：
w=x−50−2x+220=−2x2+320x−11000=−2x−802+1800，
∵−2<0，
∴当x=80时，w取得最大值，最大值为1800，
答：当每千克车厘子的售价定为80元时日销售利润最大，最大利润是1800元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
20．（2023·江苏泰州·一模）如图，OA=OB，∠AOB=90°，点A，B分别在函数y=k1x（x>0）和y=k2x（x>0）的图象上，且点A的坐标为(1,4)．
(1)求k1，k2的值：
(2)若点C，D分在函数y=k1x（x>0）和y=k2x（x>0）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得△COD≌△AOB，若存在，请直接出点C，D的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)k1=4，k2=−4
(2)C4,1，D1,−4
【分析】（1）过点A作AE⊥y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴交于点F，将点A代入y=k1x即可求得k1，证明△AOE≌△BOF，从而求得点B坐标，将点B代入y=k2x求得k2；（2）由△COD≌△AOB可得OC=OA=OB=OD，可得C与B关于x轴对称，A与D关于x轴对称即可求得坐标．
【详解】（1）如图，过点A作AE⊥y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴交于点F，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
又∵∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠BOF=∠EAO，
又∵∠AEO=∠OFB，OA=OB，
∴△AOE≌△BOF（AAS），
∴AE=OF，OE=BF，
∵点A的坐标为(1,4)，
∴AE=1，OE=4，
∴OF=1，BF=4，
∴B（4，-1），
将点A、B分别代入y=k1x和y=k2x，
解得，k1=4，k2=−4；
（2）由（1）得，点A在y=4x图象上，点B在y=−4x图象上，两函数关于x轴对称，
∵△COD≌△AOB，
∴OC=OA=OB=OD，
只需C与B关于x轴对称，A与D关于x轴对称即可，如图所示，
∴点C（4，1），点D（1，-4）．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定和性质，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
21．（2023·江苏扬州·校考一模）精准扶贫工作已经进入攻坚阶段，贫苦户李大叔在政府的帮助下，建起塑料大棚，种植优质草莓，今年二月份正式上市销售．在30天的试销中，每天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，部分数据如下表：
设第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数关系满足如下图像：已知种植销售草莓的成本为5元/千克，每天的利润是w元．（利润＝销售收入﹣成本）
(1)将表格中的最后一列补充完整；
(2)求y关于x的函数关系式；
(3)求销售草莓的第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)见解析
(2)y＝{−12x+19(0(3)销售草莓的第30天时，当天的利润最大，最大利润是272元
【分析】（1）设每天的销售量为z，则用待定系数法可求出每天的销售量与销售天数x的一次函数关系式，根据关系式填表即可；
（2）根据图像写出分段函数即可；
（3）根据函数关系列出x和w之间的关系式，利用二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）设每天的销量为z，
∵每天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，
∴z＝sx+t，
∵当x＝1时，z＝10，x＝2时z＝12，
∴{s+t=102s+t=12，
解得{s=2t=8，
即z＝2x+8，
当x=30时，销售量z=68，
则将表格中的最后一列补充完整如下表：
（2）由函数图像知，当0＜x≤20时，y与x成一次函数，且函数图像过(10，14)，(20，9)，
设y＝kx+b，
∴{10k+b=1420k+b=9，
解得{k=−12b=19，
∴y＝-12x+19（0＜x≤20），
当20＜x≤30时，y＝9，
∴y关于x的函数关系式为y＝{−12x+19(0（3）由题意知，当0＜x≤20时，
w＝(2x+8)(−12x+19−5)＝﹣x2+24x+112＝−(x−12)2+256，
∴此时当x＝12时，w有最大值为256，
当20＜x≤30时，
w＝（2x+8）×（9-5）＝18x+32，
∴此时当x＝30时，w有最大值为272，
综上所述，销售草莓的第30天时，当天的利润最大，最大利润是272元．
【点睛】本题主要考查一次函数的图像和性质，二次函数的应用等知识，熟练掌握一次函数的图像和性质及二次函数的应用是解题的关键．
22．（2023·江苏苏州·统考一模）平面直角坐标系中，反比例函数y=3kxk≠0的图象与一次函数y=kx−2k图象交于A、B两点（点A在点B左侧）．
(1)求A、B两点的坐标（用含k的代数式表示）；
(2)当k=2时，过y轴正半轴上一动点C0,n作平行于x轴的直线，分别与一次函数y=kx−2k、反比例函数y=3kx的图象相交于D、E两点，若CD=3DE，求n的值；
(3)若一次函数y=kx−2k图象与x轴交于点F，AF+BF≤5，直接写出k的取值范围．
【答案】(1)A−1,−3k，B3,k
(2)−2+13或−2+22
(3)−34≤k≤34且k≠0
【分析】（1）将两个解析式联立求解，即可得到A、B的坐标；
（2）因为过C0,n的直线平行与x轴，可得点D、E的纵坐标都为n．将y=n代入y=2x−4和y=6x，得xD=n2+2和xE=6n，分当02时两种情况，分别表示出CD与DE，根据CD=3DE即可求解；
（3）设Ax1,kx1−2k,Bx2,kx2−2k，根据反比例函数y=3kxk≠0的图象与一次函数y=kx−2k交于A、B两点，联立得：x2−2x−3=0，根据AF+BF≤5，可得x1−x22≤25k2+1，从而得到关于k的不等式，即可求解．
【详解】（1）解：联立y=3kxy=kx−2k解之得x1=3y1=k，x2=−1y2=−3k，
∵点A在点B左侧，
∴A−1,−3k，B3,k；
（2）解：∵k=2，
∴反比例函数与一次函数的解析式为y=6x和y=2x−4，点B3,2，
∵过C0,n的直线平行与x轴，
∴点D、E的纵坐标都为n．
将y=n代入y=2x−4和y=6x，得：
xD=n2+2和xE=6n，
∵B3,2．
∴分两种情况
当0∵CD=3DE，
∴n2+2=36n−n2−2，
整理，得n2+4n−9=0，
n=−2+13，n=−2−13（舍），
当n>2时，CD=n2+2，DE=n2+2−6n，
∵CD=3DE，
∴n2+2=3n2+2−6n，
整理，得n2+4n−18=0，
n=−2+22，n=−2−22（舍）
综上所述：n的值为−2+13或−2+22；
（3）解：设Ax1,kx1−2k,Bx2,kx2−2k，
∵反比例函数y=3kxk≠0的图象与一次函数y=kx−2k图象交于A、B两点，
∴3kx=kx−2k，
整理得：x2−2x−3=0，
∴x1+x2=2,x1x2=−3，
∵AF+BF≤5，
∴AF+BF=AB=x1−x22+kx1−2k−kx2−2k2=k2+1x1−x22≤5，
k2+1x1−x22≤25，
∴x1−x22≤25k2+1，
∴x1+x22−4x1x2=4−4×−3≤25k2+1，
∴−34≤k≤34，
∴−34≤k≤34且k≠0，
即k的取值是−34≤k≤34且k≠0．
【点睛】本题考查了双曲线与直线的交点，两点间距离公式，一元二次方程根与系数关系，根的判别式，掌握两个函数图象交点与方程组的关系是解题的关键．
23．（2023·江苏泰州·统考二模）已知：如图，抛物线y=−x2+bx+c经过原点O，它的对称轴为直线x=2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向下运动，设动点P运动的时间为t秒，连接OP并延长交抛物线于点B，连接OA，AB．
(1)求抛物线解析式及顶点坐标；
(2)当三点A，O，B构成以为OB为斜边的直角三角形时，求t的值；
(3)将△PAB沿直线PB折叠后，那么点A的对称点A1能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的t的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)y=−x2+4x；(2,4)
(2)1秒
(3)能，(5− 5 )秒或2 5秒或(5+ 5 )秒
【分析】（1）根据抛物线过原点，对称轴为直线x=2，待定系数求解析式即可求解；
（2）设B(x，−x2+4x)．三点A，O，B构成以为OB为斜边的直角三角形，勾股定理得出OA2+AB2=OB2，B( 52 , 154 )．继而得出直线OB的解析式为y= 3_2 x，当x=2时，y=3，得出AP=4−3=1，进而即可求解；
（3）分三种情况讨论，①点A1在x轴正半轴上；②点A1在y轴负半轴上，③点A1在x轴负半轴上，分别画出图形，根据轴对称的性质，勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：由题意得c=0−b2×(−1)=2，
解得b=4c=0，
∴抛物线的解析式为y=−x2+4x；
∵y=−x2+4x=−(x−2)2+4，
∴顶点A的坐标为(2,4)；
（2）如图1，
设B(x，−x2+4x)．
∵三点A，O，B构成以OB为斜边的直角三角形，
∴ OA2+AB2=OB2，
即22+42+(x−2)2+(−x2+4x−4)2=x2+(−x2+4x)2，
整理，得2x2−9x+10=0，
解得x1= 52，x2=2(舍去)，
∴B( 52 , 154 )．
设直线OB的解析式为y=kx，则52 k= 154，
解得k= 3_2，
∴y= 3_2 x．
当x=2时，y=3，
∴AP=4−3=1，
∴t=1÷1=1(秒)；
（3）分三种情况：
①若点A1在x轴正半轴上，如图2，
可得PD2+A1D2=PA12，
即(4−t)2+(2 5 −2)2=t2，
解得t=5− 5；
②若点A1在y轴负半轴上，如图3，连接AA1交OB于E．
可得OA1=OA=25，
∴∠OA1A=∠OAA1，
∵OA1∥AP，
∴∠OA1A=∠A1AP，
∴∠OAA1=∠A1AP，
∵AA1⊥OP，
∴∠OEA=∠PEA=90°．
在△OAE与△PAE中，
∠OAE=∠PAEAE=AE∠OEA=∠PEA，
∴△OAE≌△PAE(ASA)，
∴OA=PA=2 5，
∴t=2 5；
③若点A1在x轴负半轴上，如图4.
可得PD2+A1D2=PA12，
即(t−4)2+(25+2)2=t2，
解得t=5+ 5；
综上所述，所有满足条件的t的值为(5− 5 )秒或2 5秒或(5+ 5 )秒．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，特殊三角形问题，轴对称的性质，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．（2023·江苏苏州·统考一模）苏州乐园森林世界位于美丽的大阳山东南角，包含25项森林主题演出与游乐项目，其中“冲上云霄”是其经典项目之一，其轨道总长约1040米，极限高度62.5米.如图所示，A→B→C为“冲上云霄”过山车的一部分轨道（B为轨道最低点），它可以看成一段抛物线.其中OA=1254米，OB=252米（轨道厚度忽略不计）．
(1)求抛物线A→B→C的函数关系式；
(2)在轨道距离地面5米处有两个位置P和C，当过山车运动到C处时，又进入下坡段C→E（接口处轨道忽略不计）.已知轨道抛物线C→E→F的形状与抛物线A→B→C完全相同，求OE的长度；
(3)现需要对轨道下坡段A→B进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架GD、GM、HI、HN，且要求OM=MN．如何设计支架，才能用料最少？最少需要材料多少米？
【答案】(1)y=15x−2522；
(2)OE=452；
(3)当OM=MN=6时用料最少，最少需要材料532米．
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出P，C坐标，再求出PC长度，通过抛物线C→E→F的形状与抛物线A→B→C完全相同，平移长度为PC，可得抛物线C→E→F解析式，可得结论；
（3）先设出M，N横坐标，再代入解析式，分别求出G，H的纵坐标，然后求出GD、GM、HI、HN之和的最小值，从而求出最少所需材料．
【详解】（1）解：由图象可设抛物线解析式为：y=ax−2522，
把A0,1254代入，得：1254=a0−2522，解得：a=15，
∴抛物线A→B→C的函数关系式为：y=15x−2522；
（2）当y=5时，5=15x−2522，解得：x1=152，x2=352，
∴P152,5，C352,5，
∴PC=352−152=10，
∵抛物线C→E→F的形状与抛物线A→B→C完全相同，
∴抛物线C→E→F由抛物线A→B→C右平移PC个单位，
∴抛物线C→E→F为：y=15x−252−102=15x−4522，
当y=0时，x=452
∴OE=452；
（3）设OM=MN=m，Mm,0，N2m,0，
yG=15m−2522=15m2−5m+1254，
yH=152m−2522=45m2−10m+1254，
∴l=GD+GM+HI+HN
=m+15m2−5m+1254+2m+45m2−10m+1254
=m2−12m+1252
=m−62+532，
∵a=1>0，
∴开口向上，
∴当m=6时，l最短，最短为532米，
即：当OM=MN=6时用料最少，最少需要材料532米．
【点睛】本题考查二次函数的应用以及平移的性质，关键用抛物线的性质解决实际问题．
25．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）如图，在7×4的方格纸中，点A、B、C都在格点上，请用无刻度的直尺作图．
(1)在图1中的线段AC上找一个点D，使CD=13AC；
(2)在图2中作一个格点上的△FCE，使得△FCE∽△ABC，且△FCE的面积为△ABC的面积的五分之一；
(3)在图3中，点A、B、C均在⊙O上，点D是AC的中点．请仅用无刻度的直尺画出∠B的平分线BE交⊙O于点E（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）取格点M，N，连接MN交AC于点D，则点D即为所求；
（2）取格点E，F，再根据相似三角形的判定，即可求解；
（3）连接OD，并延长OD交⊙O于点E，即可求解．
【详解】（1）解：如图，点D即为所求；
理由：取格点M，N，连接MN交AC于点D，则AM∥CN，且AM=2CN，
∴△ADM∽△CDN，
∴ADCD=AMCN=2，
∴AD=2CD，
∴CD=13AC；
（2）解：如图，△FCE即为所求；
理由：根据题意得：AC=22+42=25，BC=12+22=5，AB=5，
EF=2,CE=1,CF=12+22=5，
∴ACEF=BCCE=ABCF=5，
∴△FCE∽△ABC，
∵S△ABC=12×5×2=5，S△CEF=12CE×EF=12×1×2=1，
∴S△CEF=15S△ABC；
（3）解：如图，BE即为所求．
理由：∵点D是AC的中点，OE为半径，
∴OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴∠ABE=∠CBE，
即BE平分∠ABC．
【点睛】本题考查了作图——复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了垂径定理和圆周角定理．
26．（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且DE=CF，点P在射线BC上（点P不与点F重合）．将线段EP绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，过点E作GD的垂线QH，垂足为点H，交射线BC于点Q．
(1)如图1，若点E是CD的中点，点P在线段BF上，请直接写出线段BP，QC，EC满足的数量关系______．
(2)如图2，若点E不是CD的中点，点P在线段BF上，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(3)正方形ABCD的边长为9，DE=13DC，QC=2，请直接写出线段BP的长______．
【答案】(1)BP+QC=EC
(2)成立，理由见解析
(3)4或8
【分析】（1）先证明△GED≅△EPQ可得PQ=ED，再根据ED=EC=12DC、BP+QC=12DC，即可得出结论；
（2）先证明△GED≅△EPQ可得PQ=ED，再根据EC=DC−DE，BP+QC=BC−PQ，且DC=BC即可证明；
（3）①当点P在线段BF上时，点Q在线段BC上，由（2）可得BP=EC−QC，根据DE=13DC=3即可求出结果；②当点P在线段FC上时，点Q在线段BC的延长线上，证明△GED≅△EQP，可得PQ=DE=3，再根据QC=2，求出PC=1，即可求出结果．
【详解】（1）解：BP+QC=EC，证明如下：
∵∠PEG=90°，
∴∠GED+∠PEC=90°，
又∵∠EPC+∠PEC=90°，
∴∠GED=∠EPC，
∵∠G+∠GEH=90°，∠PEQ+∠GEH=90°，
∴∠G=∠PEQ，
在△GED和△EPQ中，
∠G=∠PEQEG=EP∠GED=∠EPQ，
∴△GED≅△EPQASA，
∴PQ=ED，
又点E是CD的中点，
∵ED=EC=12DC，
∴PQ=12DC，
∵四边形ABCD是正方形，
DC=BC，
∵BP+QC=BC−PQ，
∴BP+QC=DC−12DC=12DC，
∴BP+QC=EC．
（2）解：成立，证明过程如下：
∵∠PEG=90°，
∴∠GED+∠PEC=90°，
又∵∠EPC+∠PEC=90°，
∴∠GED=∠EPC，
∵∠G+∠GEH=90°，∠PEQ+∠GEH=90°，
∴∠G=∠PEQ，
在△GED和△EPQ中，
∠G=∠PEQEG=EP∠GED=∠EPQ，
∴△GED≅△EPQASA，
∴PQ=ED，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=BC，
∵EC=DC−DE，
∴EC=BC−PQ，
又∵PQ=BC−BP+QC，
∴EC=BC−BC−BP+QC=BP+QC．
（3）解：①当点P在线段BF上时，点Q在线段BC上，如图所示；
由（2）可知：BP=EC−QC，
∵DE=13DC=3，∴EC=6，∴BP=6−2=4；
②当点P在线段FC上时，点Q在线段BC的延长线上，如图：
∵∠GEP=90°，
∴∠GEH+∠PEQ=90°，
又∵∠GEH+∠G=90°，
∴∠G=∠PEQ，
∵∠DEH=∠QEC，∠DEH+∠GDE=90°，∠QEC+∠Q=90°，
∴∠Q=∠GDE，
在△GDE和△EQP中，
∠GDE=∠Q∠G=∠PEQGE=PE，
∴△GED≅△EQPAAS，
∴PQ=DE=3，
∵QC=2，
∴PC=PQ−QC=1，
∴BP=BC−PC=9−1=8；
综上所述，线段BP的长为4或8．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定及线段中点的定义和对顶角的性质、正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定证明△GED≅△EQP是解题的关键．
27．（2023·江苏宿迁·统考一模）已知，点D是∠CAB的边AB上一点．
(1)如图甲，DE⊥AC，垂足为E，DF平分∠ADE交边AC于点F，FO⊥AC交边AB于点O，求证：OD=OF；
(2)如图乙，DE⊥AB交边AC于点E，EO平分∠AED交边AB于点O，OF⊥AC，垂足为点F，求△OED≌△OEF；
(3)如图丙，在线段AD上找一点O作⊙O，使⊙O经过点D且与AC相切．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出作法过程，不证明）
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】（1）由DE⊥AC，FO⊥AC易证FO∥DE，由“两直线平行，内错角相等”得到∠1=∠DFO，结合角平分线得到∠2=∠DFO，最后依据“等角对等边”可证明；
（2）由题意易得∠EDO=∠EFO，由平分线得到∠1=∠2，易证得△OED≌△OEFAAS；
（3）过点D作DE⊥AB交边AC于点E，点E作EO平分∠AED交边AB于点O，点O作OF⊥AC，垂足为点F，以点O为圆心，OF为半径作圆，⊙O为所求．
【详解】（1）证明：如图甲，
∵DE⊥AC，FO⊥AC，
∴FO∥DE，
∴∠1=∠DFO，
∵DF平分∠ADE，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠DFO，
∴OD=OF；
（2）证明：如图乙，
∵DE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠EDO=∠EFO=90°，
∵EO平分∠AED，
∴∠1=∠2，
在△OED与△OEF中，
∠EFO=∠EDO∠1=∠2OE=OE，
∴△OED≌△OEFAAS；
（3）如图，过点D作DE⊥AB交边AC于点E，点E作EO平分∠AED交边AB于点O，点O作OF⊥AC，垂足为点F，以点O为圆心，OF为半径作圆，
∴⊙O与AC相切，
由（2）可知△OED≌△OEF，
∴OF=OD，
∴⊙O经过点D，
即⊙O为所求．
【点睛】本题考查了垂直的定义、角平分线的性质、平行线的判定和性质、等角对等边、全等三角形的证明和性质、尺规作图；解题的关键是熟练掌握相关性质及尺规作图方法．
28．（2023·江苏徐州·徐州市第十三中学校考一模）如图，矩形ABCD中，AB=6,BC=8，点E是CD的中点，P是射线DA上一点，延长EP交直线AB于F，过P作PG⊥EF，分别交射线CB、直线AB于G、H．
(1)①当PD=3时，EFPG= ；
②点P在AD上取不同位置，EFPG的值是否变化？若不变，求出它的值，若改变，请说明理由；
(2)连接FG，当△PFG是等腰直角三角形时，求PD的长；
(3)直接写出CG的最小值 ．
【答案】(1)①43；②EFPG不发生变化，值为43
(2)2或14
(3)62
【分析】（1）①作PH⊥BC于H，作FT⊥CD，交CD的延长线于T，证明∠DEP=∠DPE=45°，可得EF=2FT=2AD=82，同理可得，PG=2PH=2CD=62，即可求解；②作PH⊥BC于H，作FT⊥CD，交CD的延长线于T，证明△ETF∽△GHP，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当点P在AD上时，当点P在DA的延长线上时，结合相似三角形的判定和性质，即可求解；
（3）设PD=x,GH=y，证明△PDE∽△PHG，可得y=18x，从而得到CG=x+y=x+18x≥62，即可求解．
【详解】（1）解：①如图1，作PH⊥BC于H，作FT⊥CD，交CD的延长线于T，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE=12CD=3，
∵PD=3，
∴DE=PD，
∴∠DEP=∠DPE=45°，
∴EF=2FT=2AD=82，
同理可得，
PG=2PH=2CD=62，
∴EFPG=8262=43，
故答案为：43；
②如图1，EFPG不发生变化，理由如下：
作PH⊥BC于H，作FT⊥CD，交CD的延长线于T，
∴∠FTE=∠PHG=90°，
∴∠PGH+∠GPH=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°，
∴∠DCB=∠PHG，
∴PH∥CD，
∴∠FET=∠EPH，
∵PG⊥EF，
∴∠GPE=90°，
∴∠GPH+∠EPH=90°，
∴∠FET=∠PGH，
∴△ETF∽△GHP，
∴EFPG=ETPH=BCAB=43；
（2）解：如图2，当点P在AD上时，
由（2）得：EFPG=43，
∵△PFG是等腰直角三角形，
∴PF=PG，
∴EFPF=43，
∴EPPF=13，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAP=∠PDE,∠FAP=∠DEP，
∴△FAP∽△EDP，
∴DPAP=EPPF=13，
∴PD=14AD=2，
如图3，当点P在DA的延长线上时，
由（2）得：PFEF=34，
∵AB∥CD，
∴APAD=PFEF=34，
∴AP=34AD=6，
∴PD=AP+AD=14，
综上所述：DP=2或14；
（3）解：如图1，
设PD=x,GH=y，
∵∠PDE=∠PHG=90°,∠PED=∠PGH，
∴△PDE∽△PHG，
∴PDPH=DEGH，
∴x6=3y，
∴y=18x，
∴CG=x+y=x+18x≥62，
∴CG的最小值为：62，
故答案为：62．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是设未知数，表示出CG的长，
29．（2023·江苏盐城·校联考模拟预测）如图1，对于平面上小于或等于90°的∠MON，我们给出如下定义：若点P在∠MON的内部或边上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则将PE+PF称为点P与∠MON的“点角距”，记作d∠MON,P．如图2，在平面直角坐标系xOy中，x、y正半轴所组成的角记为∠xOy．
(1)已知点A4,0、点B3,1，则d∠xOy,A= ，d∠xOy,B= ．
(2)若点P为∠xOy内部或边上的动点，且满足d∠xOy,P=4，在图2中画出点P运动所形成的图形．
(3)如图3与图4，在平面直角坐标系xOy中，射线OT的函数关系式为y=43xx≥0．
①在图3中，点C的坐标为4,1，试求d∠xOT,C的值；
②在图4中，抛物线y=−12x2+2x+c经过A5,0，与射线OT交于点D，点Q是A，D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求c的值和当d∠xOT,Q取最大值时点Q的坐标．
【答案】(1)4，4
(2)见解析
(3)①185；②c=52；点Q的坐标为4,52
【分析】（1）首先根据点A4,0到x轴的距离是0，到y轴的距离是4，可得d∠xOy,A；然后根据点B3,1到x轴的距离是1，到y轴的距离是3，求出d∠xOy,B的值即可；
（2）首先设点P的坐标是x,y，然后根据d∠xOy,P=4，可得x+y=4，据此求出点P运动所形成的图形即可；
（3）①首先过点C作CE⊥OT于点E，CF⊥x轴于点F，延长FC交OT于点H，则CF=1，然后根据直线OT对应的函数关系式为y=43xx≥0，求出点H的坐标为4,163，进而求出CH，OH的值；最后根据相似三角形判定的方法，判断出△HEC∽△HFO，再根据相似三角形的性质，即可求出EC的值，据此即可求解；
②首先过点Q作QG⊥OT于点G，作QH⊥x轴于点H，交OT于点K，设点Q的坐标为m,n，其中3≤m≤5，则n=−12m2+2m+52，然后判断出点K的坐标，以及HK，OK的大小，再判断出Rt△QGK∽Rt△OHK，再根据相似三角形的性质，即可求出QG=4m−3n5；最后求出d∠xOT,Q的值，根据二次函数最值的求法，求出当d∠xOT,Q取最大值时点Q 的坐标即可．
【详解】（1）解：∵点A4,0到x轴的距离是0，到y轴的距离是4，
∴d∠xOy,A=0+4=4，
∵点B3,1到x轴的距离是1，到y轴的距离是3，
∴d∠xOy,B=1+3=4，
故答案为：4；4；
（2）解：设点P的坐标是x,y，
∵d∠xOy,P=4，
∴x+y=4，
∴点P运动所形成的图形是线段y=4−x0≤x≤4，如图2所示：
（3）解：①如图3，过点C作CE⊥OT于点E，CF⊥x轴于点F，延长FC交OT于点H，则CF=1，
∵直线OT对应的函数关系式为y=43xx≥0，
∴点H的坐标为4,163，
∴CH=163−1=133，OH=OF2+FH2=42+1632=203，
∵CE⊥OT，
∴∠OHF+∠HCE=90°，
又∵∠OHF+∠HOF=90°，
∴∠HCE=∠HOF，
在△HEC和△HFO中，∠HCE=∠HOF，∠HEC=∠HFO，
∴△HEC∽△HFO，
∴ECFO=HCHO，
∴EC4=133203，
∴EC=135，
∴d∠xOT,C=135+1=185；
②如图4，过点Q作QG⊥OT于点G，作QH⊥x轴于点H，交OT于点K，
把A5,0代入y=−12x2+2x+c，得
−12×52+2×5+c=0，
解得c=52．
∴y=−12x2+2x+52
令−12x2+2x+52=43x，
解得x1=3，x2=−53，
故点D的横坐标为3，
设点Q的坐标为m,n，其中3≤m≤5，
则n=−12m2+2m+52，
∴点K的坐标为m,43m，QK=43m−n，
∴HK=43m，OK=OH2+HK2=m2+43m2=53m．
∵Rt△QGK∽Rt△OHK，
∴QGOH=QKOK，
∴QGm=43m−n53m
∴QG=4m−3n5，
∴d∠xOT,Q=QG+QH
=4m−3n5+n
=45m+25n
=45m+25−12m2+2m+52
=−15m2+85m+1
=−15m−42+215，
∵−15<0，3≤m≤5，
∴当m=4时，d∠xOT,Q取得最大值为215，
此时，点Q的坐标为4,52．
【点睛】此题主要考查了二次函数综合题，分类讨论思想的应用，数形结合思想的应用，从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力；还考查了相似三角形判定的方法和性质的应用，“点角距”的含义和求法以及二次函数最值的求法，要熟练掌握．
30．（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”．
(1)利用下面哪组图形可以得到一个对角互余四边形______（填写序号）
①两个等腰三角形；②两个等边三角形；③两个直角三角形；④两个全等三角形
(2)如图1，在对角互余四边形ABCD中，∠D=30°，且AC⊥BC，AC⊥AD．若BC=1，求四边形ABCD的面积和周长．
(3)如图2，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC=90°，点O是△ACD外接圆的圆心，连接OA，∠OAC=∠ABC．求证：四边形ABCD是“对角互余四边形”；
(4)在（3）的条件下，如图3，已知AD=a，DC=b，AB=3AC，连接BD，求BD2的值．（结果用带有a，b的代数式表示）
【答案】(1)①③
(2)周长为6+23；面积23
(3)见解析
(4)BD2=10a2+9b2
【分析】（1）结合定义来判断，重点是拼成的四边形一对对角互余．
（2）因为AC⊥BC，AC⊥AD，所以∠ACB=∠CAD=90°，所以在对角互余四边形ABCD中，只能∠B+∠D=90°．这样利用含30°直角三角形三边的特殊关系，就可以解决问题；
（3）连接OC，则OA=OC，得出∠AOC=2∠ADC，进而得出2∠ADC+2∠ABC=180°，即可得出∠ADC+∠ABC=90°；
（4）如图，作∠CDF=∠ABC，过点C作CE⊥DF于点E，连AE．得出AC:AB:BC=1:3:10，同理可得CE:DE:DC=1:3:10，进而证明△ACE∽△BCD，得出AE=BD10，在Rt△CDE中，DEDC=310，即可得出BD2=10a2+9b2．
【详解】（1）解：①两个等腰三角形底边相等，顶角互余，就可以，故①可以得到一个对角互余四边形；
②等边三角形不成，即使是全等的等边三角形拼成四边形对角和为120°或240°，故②得不到对角互余四边形；
③两个全等的直角三角形或有一条直角边相等的相似的两个直角三角都可以，故③可以得到一个对角互余四边形；
④若是两个全等的直角三角形，根据③可以得到一个对角互余四边形，两个一般全等三角形，不成立，
故答案为：①③．
（2）∵AC⊥BC，AC⊥AD，
∴∠ACB=∠CAD=90°，
∵对角互余四边形ABCD中，∠D=30°，
∴∠B=60°，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=1，
∴AB=2，AC=3，
在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠D=30°，
∴AD=3，CD=23，
∵S△ABC=12⋅AC⋅BC=12×3×1=32，S△ACD=12⋅AC⋅AD=12×3×3=332，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=23，
四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=2+1+23+3=6+23；
（3）连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=∠ABC，
∵AC=AC，
∴∠AOC=2∠ADC，
∴2∠ADC+2∠ABC=180°，
∴∠ADC+∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是“对角互余四边形”；
（4）如图，作∠CDF=∠ABC，过点C作CE⊥DF于点E，连AE．
∵∠ABC+∠ADC=90°，
∴∠ADC+∠CDF=90°．
∴AD2+DE2=AE2，即a2+DE2=AE2．
∵∠BAC=90°，AB=3AC，
∴AC:AB:BC=1:3:10．
同理可得CE:DE:DC=1:3:10．
∴ACBC=CECD．
∵∠CDF=∠ABC，
∴∠ACB=∠DCE．
∴∠BCD=∠ACE，
∴△ACE∽△BCD．
∴AEBD=ACBC=110，
∴AE=BD10．
在Rt△CDE中，DEDC=310，
∴DE=310b．
∴a2+310b2=BD102，即m2+910n2=BD210．
∴BD2=10a2+9b2．
【点睛】此题考查全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理、新定义问题的求解等知识与方法，此题难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．
A
B
C
D
A
A，A
B，A
C，A
D，A
B
A，B
B，B
C，B
D，B
C
A，C
B，C
C，C
D，C
D
A，D
B，D
C，D
D，D
①
②
③
①③
②③
④
①④
②④
⑤
①⑤
②⑤
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