数学中考二次函数综合压轴题专题训练 参考地区：湖北省考

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（1）求b的值；
（2）如图，M是第一象限抛物线上的点，∠MAB=∠ACO，求点M的横坐标；
（3）将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点N．设L的顶点横坐标为n，NC的长为d．
①求d关于n的函数解析式；
②L与x轴围成的区域记为U，U与△ABC内部重合的区域（不含边界）记为W．当d随n的增大而增大，且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围．
【解析】解：（1）二次函数与轴交于，
，
解得：；
（2），
二次函数表达式为：，
令，解得或，令得，
，，，
设，
作轴于点，如图，
，
，即，
解得或（舍去），
的横坐标为；
（3）①将二次函数沿水平方向平移，
纵坐标不变为4，
图象的解析式为，
，
，
；
②由①得，画出大致图象如下，
随着增加而增加，
或，
中含，，三个整点（不含边界），
当内恰有2个整数点，时，
当时，，当时，，
，
，或，
，
或，
；
当内恰有2个整数点，时，
当时，，当时，，
，
或，，
，
或，
；
当内恰有2个整数点，时，此种情况不存在，舍去．
综上所述，的取值范围为或．
在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=x2+2x+c（c是常数）经过点(-2，-2)．点A、B是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为m、-m，点C的横坐标为-5m，点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，连结AB、AC．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）求证：当m取不为零的任意实数时，tan∠CAB的值始终为2；
（3）作AC的垂直平分线交直线AB于点D，以AD为边、AC为对角线作菱形ADCE，连结DE．
①当DE与此抛物线的对称轴重合时，求菱形ADCE的面积；
②当此抛物线在菱形ADCE内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
【解析】解：（1）将代入，
得：，解得：，
∴抛物线表达式为：；
（2）过点B作于点H，则，
由题意得：，
∴，，
∴在中，；
（3）①如图，记交于点M，

由题意得，，
由，
得：对称轴为直线：
∵四边形是菱形，
∴点A、C关于对称，，
∵与此抛物线的对称轴重合，
∴，
解得：，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，则，
∴；
②记抛物线顶点为点F，把代入，得：，
∴，
∵抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大，
∴菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，
当时，如图，符合题意，
当m继续变大，直至当直线经过点F时，符合题意，如图：
过点F作于点Q，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：或（舍），
∴，
当时，如图，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意；
当时，如图，符合题意：
当m继续变小，直至点A与点F重合，此时，符合题意，如图：
∴；
当m继续变小，直至直线经过点F时，也符合题意，如图：
过点F作于点Q，同上可得，
，
∴，
解得：或（舍），
当m继续变小时，仍符合题意，如图：
∴，
综上所述，m的取值范围为：或或．
在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线y= ax2-2ax+2a（a为常数且a>0）与y轴交于点A．
（1）若a=1，求抛物线的顶点坐标；
（2）若线段OA（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
（3）若抛物线与直线y=x交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．
【解析】解：（1）当时，抛物线．
∴顶点坐标．
（2）令，则，
∴，
∵线段上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，
∴“完美点”的个数为4个或5个．
∵，
∴当“完美点”个数为4个时，分别为，，，；
当“完美点”个数为5个时，分别为，，，，．
∴．
∴a的取值范围是．
（3）根据，
得抛物线的顶点坐标为，过点，，．
∵抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，
显然，“完美点”，，符合题意．
下面讨论抛物线经过，的两种情况：
①当抛物线经过时，解得此时，，，．
如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个．
②当抛物线经过时，解得此时，，，．
如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个．
∴a的取值范围是．
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y= ax2-2ax-3a(a>0)与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点．
（1）求线段AB的长；
（2）当a=1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan∠ABD的值；
（3）延长CD交x轴于点E，当AD=DE时，将△ADB沿DE方向平移得到△A´EB´．将抛物线L平移得到抛物线L´，使得点A´，B´都落在抛物线L´上．试判断抛物线L´与L是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【解析】解：（1）∵抛物线：与轴交于A，B两点，
∴，整理得，解得
∴
则；
（2）当时，抛物线：，
则
设，则，
设直线解析式为，
∵点D在直线上，
∴，解得，
则直线解析式为，
设直线与抛物线对称轴交于点E，则，
∴，
∵的面积与的面积相等，
∴，解得，
∴点，
过点D作于点H，则，
则；
（3）设直线解析式，
则，解得，
那么直线解析式为，
过点D作，如图，
则，
∵，
∴，
∵将沿方向平移得到，
∴
由题意知抛物线平移得到抛物线，设抛物线解析式为，
∵点，都落在抛物线上
∴，
解得，
则抛物线解析式为
∵
整理得，解得，
∴抛物线与交于定点．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)经过点(-1，6)，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接AC，BC，tan∠CBA=4．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交AC于点D．点M是线段DE上一动点，MN⊥y轴，垂足为N，点F为线段BC的中点，连接AM，NF．当线段PD长度取得最大值时，求AM+MN+NF的最小值；
（3）将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段PD长度取得最大值时的点D，且与直线AC相交于另一点K．点Q为新抛物线上的一个动点，当∠QDK=∠ACB时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
【解析】（1）解：令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将和代入得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：令，则，
解得或，
∴，
设直线的解析式为，
代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
设（），则，
∴，
∵，
∴当时，最大，此时，
∴，，，
∴，，
连接，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当共线时，取最小值，即取最小值，
∵点为线段的中点，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得，
∴，
∴新抛物线由向左平移2个单位，向下平移2个单位得到，
∴，
过点作交抛物线于点，
∴，
同理求得直线的解析式为，
∵，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得，，
当时，，
∴，
作关于直线的对称线得交抛物线于点，
∴，
设交轴于点，
由旋转的性质得到，
过点作轴，作轴于点，作于点，
当时，，
解得，
∴
∵，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
同理直线的解析式为，
联立，
解得或，
当时，，
∴，
综上，符合条件的点的坐标为或．
综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y= -x2+bx+c与直线相交于A，B两点，其中点A(3，4)，
B(0，1)．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）过点B作BC∥x轴交抛物线于点C，连接AC，在抛物线上是否存在点P使tan∠BCP=tan∠ACB．若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）
（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到y1=a1x2+b1x+c1(a1≠0)，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点E为原抛物线对称轴上的一点，F是平面直角坐标系内的一点，当以点B、D、E、F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
【解析】解：（1）∵把点，代入得
，解得，
∴．
（2）存在．
理由：∵轴且，
∴，
∴（舍去），，
∴．
过点作于点，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴．
设直线交轴于点，
，，
∴，．
连接交抛物线于，连接交抛物线于，
∴，的解析式为，，
∴，解得，
或，解得．
∴把，代入得，，
∴，．
综上所述，满足条件的点坐标为，．
（3）、、、．
方法一：
①以为对角线，如图作的垂直平分线交于点交直线于
∵，，
∴．
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
．
②以为边
如图以为圆心，为半径画圆交直线于点，；连接，，
过点作，过点作，和相交于点，同理可得
，，
，
．
过点作直线于点，则；
在和中，由勾股定理得，
，
，．
点是由点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的，
，，
③以为边
如图以点为圆心，长为半径画圆交直线于点和，
连接，，则，
过点作于点，则，在和中，由勾股定理得，
，
、，
，
，
、、三点共线，
过点作，过作，
和相交于点，
∵、，
的中点．
，点为的中点，
．
综上所述：、、、．
如图，在平面直角坐标系中，经过点A(-1，2），B(-3，-2)的抛物线y=ax2+bx+1（a，b为常数）与y轴交于点C，顶点为点D．点P为点B右侧抛物线上一点，其横坐标为m(m>-3)．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在抛物线的对称轴上找一点E，使得AE+CE取得最小值，求E点坐标；
（3）若点M坐标为(2m-3，-2)，连结AM，取线段AM的中点Q，将点Q绕点A顺时针方向旋转90°得到点N，连结AN，以AM，AN为邻边构造矩形AMFN．
①设AQ的长为l，求l关于m的函数解析式；
②请直接写出当点P在矩形AMFN外部时，m的取值范围．
【解析】（1）解：把，点分别代入抛物线，
得，∴，
故抛物线的解析式为．
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴是直线，
∵，点满足，
∴A、B两点是关于直线的对称点，
连接，交直线于点，则点就是满足取得最小值的点，
∵，令，则，
∴，
设直线的解析式为，
将代入直线的解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴．
（3）解：①∵点坐标为，点，
∴线段的中点的横坐标为，
∴，
如图所示，点在点右边，
∴，即时，点在点A的右侧，
此时；
如图所示，点在点左边，
∴，即时，点在点A的左侧，
此时．
综上所述，l关于m的函数解析式为；
②点为点右侧抛物线上一点，其横坐标为，
点坐标为，点是线段的中点，且，
第一种情况，当点在点右边，此时矩形在直线下方，点在直线上方，此时点在矩形外部，
∴在点中，，则，在点中，，
∴此种情况不存在；
第二种情况，如图所示，当点在点右边，此时矩形在直线下方，点在直线下方，过点作于点，当时点在矩形外部，，
∴，即，
∴，，
∴，
解得，或，
∴；
第三种情况，如图所示，点在点左边，则，即，点在点右边，则，此时点在矩形外部，
∴；
第四种情况，如图所示，点在点左边，则，即，点在点左边，点右边，则，当时点在矩形外部，，
∴，，
∴，
解得，，
∴；
综上所述，点在矩形外部时，或或．
如图1，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A，C两点，交y轴于点B，对称轴为x=2，若点A的坐标为
(-1，0)，OB=OC，点D(m，8)为某个动点．
（1）直接写出点B，C的坐标；
（2）当点D在抛物线上且在对称轴右侧时，设直线AD的解析式为y=kx+d，依据函数图象试求不等式ax2+(b-k)x+c-d0)与直线l：y=ax相交于B、C两点，抛物线与x轴相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）当a=1时，如图（1）过点A作直线l´垂直于x轴，把线段AC绕点C顺时针旋转135°，AC所在的直线交直线l´于点P，求点P的坐标；
（3）规定：横、纵坐标均为整数的点称为格点．如(1，2)，（-3，4）等，如图（2）直线l与抛物线所围成的部分（不含边界）格点数恰为22个，求点a的取值范围．
【解析】（1）解：将代入，得到，
∴；
（2）解：当时，抛物线，直线为，
解得，，
∴点，点，
如图，若，则
过点A作的垂线，垂足为点G，过点G作x轴的垂线交x轴于点N，作交于点M，则等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
设，
∵，
解得．
∴点，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点；
（3）解：解得，，
∴，
设直线交直线交与点D，直线交直线与点F，交 于点E，则，
∴，
∴，
设由抛物线 与直线围成的区域（不含边界）的格点为（m、n均为整数），
∴或，
∴格点必在线段与上，
又∵该区域共有22个格点，且，
∴线段与各有11个格点，
∴，
∴，
又∵线段上共有11个格点，
∴当时，，即，
∴，
当时，，此时线段上也恰好有11个格点，
综上所述，满足条件的a的取值范围为或者．
如图，已知二次函数y= -x2+bx+c的图象与x轴交于点A(-4，0)和点B，与y轴交于点C(0，4)，连接AC．点P为x轴上方抛物线上一动点（点P不与点C重合），设点P的横坐标为t．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）连接PC，当∠PCA=45°时，求t的值；
（3）设以A，O，C，P为顶点的四边形的面积为S，
①求S关于t的函数解析式；
②根据S的不同取值，试探索点P的个数情况．
【解析】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，
∴，∴，
∴该二次函数的解析式为；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．如图，
∴点P的纵坐标为4，
∴，
∴或，
∴，
∴．
（3）解：①令，则，
∴或，
∴，
∴．
当点P在的上方时，
即，，
过点P作于点D，如图，
则，，
∴，
∴
．
当点P在的下方时，
即，，
过点P作于点E，如图，
则，
∴
．
综上，S关于t的函数解析式为；
②当时，
，
∵，
∴当时，S有最大值为16，
∴．
当时，，
∴．
画出函数的大致图象，如图：
由图象可知：
当时，存在3个符合条件的点P；
当时，存在2个符合条件的点P；
当时，存在1个符合条件的点P．
如图1，抛物线y1= -x2+c的图象经过(2，0)．
（1）求c的值以及抛物线y1顶点坐标；
（2）当-3≤x≤1时，求y1的最大值和最小值；
（3）如图2，将抛物线y1向右平移m个单位（m>0），再向上平移2m个单位得到新的抛物线y2，点N为抛物线y1与y2的交点，设点N到x轴的距离为n，直接写出n关m的函数关系式，及当n随m的增大而减小时，m的取值范围．
【解析】（1）解：抛物线的图象经过，
∴，
解得，，
∴二次函数的解析式为：，
∴，
∴顶点的横坐标为，纵坐标为，
∴顶点坐标为；
（2）解：∵二次函数的顶点坐标为，图象开口向下，
∴当时，函数有最大值，最大值为，
当，随的增大而增大，当，随的增大而减小，
∴当时，，当时，，
∴当时，的最大值为，的最小值；
（3）解：将抛物线向右平移个单位（），再向上平移个单位得到新的抛物线，
∴，
当时，，整理得，，
又∵，
∴，
∴，
当时，
∴，
∵，
∴抛物线的开口向下，
当时，，，
当时，，，
综上所述，，当时，随的增大而减小 ．
如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx与x轴交于另一点A(4，0)，点B(-2，3)在此抛物线上，过点B作直线l交y轴于点C，且直线l与抛物线有且只有一个公共点B．
（1）①请直接写出：此抛物线的函数解析式为；
②求直线l的函数解析式；
（2）设抛物线的对称轴交x轴于点D，交直线l于点E，若点P在A点右侧的抛物线上，且PB=PE，求点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线先向右平移1个单位，再向上平移4个单位得到新抛物线，动点Q在新抛物线上，求动点Q到直线l的最短距离．
②根据直线交直线于，证明，根据相似三角形的性质列出等式求解即可．
【解析】（1）解：①将点，点代入可得：
，
解得：．
∴抛物线的解析式为．
②设直线的解析式为，代入点得，即，
∴直线的解析式为，
∵直线l与抛物线有且只有一个公共点B．
∴联立可得：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为．
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线．
，
，
∴点是线段的中点．
又∵，
垂直平分．
∵，
点是抛物线与直线的交点，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴的解析式为，
联立，
解得：，（舍去）．
∴点的坐标为．
（3）解：根据题意可得新抛物线的解析式为，
如图，将直线向上平移d个单位：得，
当直线与新抛物线有1个公共点时，则，
即，
故，
解得：，
则，
解得：，
直线与新抛物线的交点为．
过作直线的垂线，垂足为，过作轴于，交直线于，
∴，
令，则，解得：，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴．
∴，
，
，
，即，
，
，
新抛物线上的动点Q到直线l的最短距离是．
如图，抛物线y= -x2+bx+c与x轴分别交于A(-1，0)，B(7，0)两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，连接AC，若AD=5，CD=12，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线上一点，试探究：在抛物线对称轴上是否存在点Q，使以点B，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，试求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴分别交于，两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为．
（2）解：∵，且，
∴，且，
∴，
沿轴向右平移个单位，设平移后的点的对应点为，则点的纵坐标为，
∴把代入抛物线解析式，
∴，
解得或，
∴点的坐标为或，
∵，
∴当点落在抛物线上时，向右平移或个单位，
∴的值为或．
（3）解：抛物线解析式，
∴对称轴为，
∴设，
∵当点第一次落在抛物线上记为点，
∴由（2）可知，
①如图所示，当是平行四边形的对角线时，

设，，而，，
∴，
解得：，
∴，
②当为平行四边形的对角线时，

同理：设，，而，，
∴，
解得：，
∴，
③当为平行四边形对角线时，如图，

同理：设，，而，，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，点的坐标为或或．
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2ax-3a(a≠0)与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）当a=-1时，动直线x=m与抛物线交于点P，与直线BC交于点Q．
①设线段PO的长为d，求d关于m的函数解析式；
②若0