高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积练习题，共4页。

课程基本信息
学科
数学
年级
高一
学期
下学期
课题
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积
教科书
书名：数学必修第二册
出版社：人民教育出版社出版日期：2019 年 6 月
学生信息
姓名
学校
班级
学号
杜鹏
抚远市第一中学
高一
作业练习
【必做题】
一、基础练习：
已知圆锥的表面积为 am2,且它的侧面积展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径。
当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等？
一个长、宽、高分别是 80cm，60cm，55cm 的水槽中装有 200000cm3的水，现放入一个直径为 50cm 的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出？
二、能力提升：
一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径 2R 相等,下列结论正确的()
圆柱的侧面积为 2πR2
圆锥的侧面积为 2πR2
圆柱的侧面积与球面面积相等
圆柱、圆锥、球的体积之比为 3∶1∶2
设计意图：利用所学的体积公式和方法，解决一些复杂的问题，培养学生数学运算和直
观想象的核心素养。
5.如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为 8 cm 的半球形冰淇淋,请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略不计),使冰淇淋融化后不会溢出杯子,怎样设计最省材料?最省材料为多少?
设计意图：通过解决实际问题，培养学生建模的核心素养。
【选做题】
完成本节课的思维导图，可以加入自己的设计。
探究球的体积的其他求法，了解牟合方盖推到球的体积公式的过程。
x2
将椭圆
a2
y2
b2
 1(a  b  0) 所围成的椭圆面分别绕其
长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球 A，B。类比祖暅原理中的方法，探究椭球 A 的体积公式，并写出椭球 A,B 的体积之比。设计意图：本题对学生的类比思想要求比较高，虽然学生为学习圆锥曲线，但利用祖暅原理能解决此问题，也为学生后继学习打下基础。
参考答案：
【必做题】
1.解：设圆锥的底面半径为 r，圆锥的母线为 L，
则由π × 2πrL = 2πr 得 L=2r 又因为 S = πr2 + πr ∙ 2 = a,即 3πr2 = a,
所以 r = 3πa，及直径为2 3πa.
3π3π
2.R=3
3.解：V= 4π R3 ≈ 4 × 3.14 × 253 ≈ 65417(cm3)
球33
水中球的体积V1 = V球
× 2 ≈ 43611(cm3)
3
V长方体=80× 60 × 55 = 264000(cm3)
所以V长方体-200000=264000-200000=64000>43611
所以水不会从水槽中溢出。4.D
5.解析：设圆锥的高为 h cm.因为半球的半径为 4 cm,
所以 V
=1×4π×43=128π,
半球 233
V=1π×42·h=16πh.
圆锥 33
要使冰淇淋融化后不会溢出杯子,
则有 V
≤V,即128π≤16πh,解得 h≥8.
半球圆锥33
即当圆锥形杯子的高大于或等于 8 cm 时,冰淇淋融化后不会溢出杯子,因为
S 圆锥侧=πrl=πr ℎ2 + r2=4π ℎ2 + 16在[8,+∞)上单调递增,所以当 h=8 时,S 圆锥侧最小,
所以圆锥的高为 8 cm 时,制造杯子最省材料,此时最省材料为16 5 cm2.
【选做题】
b (1)
2
h2
a2
3.解析：和球体的方法一样，因为是对称的，可以分割为两个部分，对于椭球 A，考虑上半部分，上半部分是由 y 轴右侧的椭圆绕 x 轴旋转一周而来，所以对于一个截面平行于底
面，设到 y 轴的距离为 h，则满足椭圆方程 h2  y2 

 ，解得
，截面
a2b2
1(a
b0)y 
面积为
y  b2 (1
h ) ，所以构造圆柱里面扣掉一个圆锥，底面半径为 b，高为 a,构造几何体
2
a2
体积为 y  2b2 a ，椭球 A 体积为 y  4b2 a ，同理椭球 B 体积为 y  4a2b ，所以椭球 A,B 体
333
积比为 b 。
a