数学必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积精练

一、单选题

1．已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

2．在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上､下底面均为正方形）称为方亭.在方亭中，，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为，则该方亭的体积为（    ）

A． B． C． D．

3．生活中有很多球缺状的建筑．一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高．球冠的面积公式为，球缺的体积公式为，其中R为球的半径，H为球缺的高．现有一个球被一平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之比为，则这两个球缺的体积之比为（    ）

A． B． C． D．

4．如图，位于贵州黔南的“中国天眼”是具有我国自主知识产权､世界最大单口径､最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠所在球的半径为，球冠底的半径为，球冠的高为，球冠底面圆的周长为.已知球冠的表面积公式为，若，则球冠所在球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

5．《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，AC⊥CD，AC＝BC＋CD＝2，当△BCD的面积最大时，鳖臑ABCD的表面积为（    ）

A． B． C． D．

6．已知三棱锥，在底面中，，，面，，则此三棱锥的外接球的表面积为（     ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．已知圆锥的顶点为，底面半径为，高为1，，是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是（    ）

A．圆锥的侧面积是

B．与底面所成的角是

C．面积的最大值是

D．该圆锥内接圆柱侧面积的最大值为

8．在圆锥中，是母线上靠近点的三等分点，，底面圆的半径为，圆锥的侧面积为，则（    ）

A．当时，从点到点绕圆锥侧面一周的最小长度为

B．当时，过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为

C．当时，圆锥的外接球表面积为

D．当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动

三、填空题

9．已知一个圆锥内接于球O（圆锥的底面圆周及顶点均在同一球面上），圆锥的高是底面半径的3倍，圆锥的侧面积为，则球O的表面积为________．

10．在四面体PABC中，，，，设，则该几何体的外接球的体积为_________

11．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于______.

12．四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝5，，，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为_____．

四、解答题

13．如图，长方体由，，，，过作长方体的截面使它成为正方形.

（1）求三棱柱的外接球的表面积；

（2）求 .

14．某市政府为确保在“十四五”开局之年做好城市基础设施配套建设，优化公园环境，方便市民休闲活动．计划在城市公园内的一条小河上建造一座桥，如图为建造该桥所用的钢筋混凝土预制件模型（该模型是由一个长方体挖去一个直四棱柱而成）及尺寸（单位：米）

（Ⅰ）问：浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝士（钢筋体积略去不计）？

（Ⅱ）为防止该预制件桥梁风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液（假定保护液涂层均匀、单位面积使用的保护液一定），为合理购买保护液数量，请计算该预制件的表面积是多少？

注：，结果精确到0.01．

15．球与棱长为的正四面体的每一个面都相切，求此球的体积．

16．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥.

（1）求剩余部分的体积；

（2）求三棱锥A－A1BD的体积及高.

参考答案：

1．D

【分析】根据给定条件确定出三棱锥体积最大时的点C位置，再求出球半径即可得解.

【详解】设球的半径为，因，则的面积，

而，且面积为定值，则当点到平面的距离最大时，最大，

于是，当是与球的大圆面垂直的直径的端点时，三棱锥体积最大，最大值为，解得，

所以球的表面积为.

故选：D

2．B

【分析】先根据方亭四个侧面的面积之和得到的长度，然后作辅助线找到并求方亭的高，最后利用棱台的体积计算公式求解即可.

【详解】如图，过作，垂足为，

由四个侧面的面积之和为知，侧面的面积为，

∴（梯形的面积公式），则.

由题意得：，在中，.

连接，，过作，垂足为，易知四边形为等腰梯形且，，则，

∴，

∴该方亭的体积，（棱台的体积公式）.

故选：B.

3．C

【分析】设小球缺的高为，大球缺的高为，则，由球冠面积比可得，与的关系，再把球缺体积用含有的代数式表示，则答案可求．

【详解】设小球缺的高为，大球缺的高为，则，

由题意可得，，则，

，即，，

小球缺的体积；

大球缺的体积．

小球缺与大球缺的体积比为．

故选：C．

4．B

【分析】如图，点是球冠所在球的球心，点是球冠底面圆的圆心，点是球冠底面圆周上点，线段是球冠的高，先求，再求出，，即得和球的表面积.

【详解】解：如图，点是球冠所在球的球心，点是球冠底面圆的圆心，点是球冠底面圆周上点，线段是球冠的高.

依题意，垂直于球冠底面，显然，

在Rt中，，即，

整理化简得，

所以球冠所在球的半径.

因为球冠底面圆的周长，所以，

又球冠的表面积公式为，且，则，

因为，所以，解得，

故球的表面积为.

故选：B.

5．D

【分析】根据题意可证明，从而说明三角形BCD是直角三角形，求得，进而求得四个直角三角形的面积，可得答案.

【详解】由题意可知：AB⊥平面BCD，平面BCD，

故AB⊥ ,又AC⊥CD，平面ABC，

故平面ABC，平面ABC，

故,

所以 ,当且仅当时取得等号，

故 ,

由AB⊥平面BCD，可知,

故 ,

所以 ,

,

所以鳖臑ABCD的表面积为 ，

故选：D

6．D

【分析】利用正弦定理求出的外接圆半径为1，结合面，求出外接球半径，进而求出外接球的表面积.

【详解】设的外接圆半径为R，因为，，由正弦定理得：，所以的外接圆半径为1，设球心O在的投影为D，则DA=1，因为面，，故，由勾股定理得：，即此三棱锥的外接球的半径为2，故外接球表面积为.

故选：D

7．ABD

【分析】根据圆锥的性质，计算基本量，判断AB选项，根据的面积公式，计算顶角的取值范围，计算面积的最值，利用圆锥和内接圆柱的轴截面，计算侧面积的最大值.

【详解】圆锥的母线，则圆锥的侧面积，故A正确；

设与底面所成的角是，，即，故B正确；

轴截面的顶角是，当顶角等于时，面积的最大值是，故C错误；

下图是圆锥和圆柱的截面图，设圆柱底面半径，则高是，则圆锥内接圆柱的侧面积，当时，侧面积取得最大值，故D正确.

故选：ABD

8．ACD

【分析】根据圆锥的侧面积可得出，利用圆锥的侧面展开图与余弦定理可判断A选项；计算出过顶点和两母线的截面三角形的最大面积，可判断B选项的正误；根据几何关系列等式求出圆锥的外接球的半径，结合球体的表面积公式可判断C选项的正误；计算出圆锥的内切球半径以及棱长为的正四面体的外接球半径，可判断D选项的正误.

【详解】圆锥的侧面积为，则.

对于A选项，当时，，将圆锥的侧面沿着母线展开如下图所示：

则圆锥的底面周长为，，

在中，，，

由余弦定理可得，A对；

对于B选项，当时，，设圆锥轴截面等腰三角形的顶角为，

则，则为钝角，

在圆上任取两点、，则，，

当且仅当时，等号成立，故顶点和两母线的截面三角形的最大面积为，B错；

对于C选项，当时，，圆锥的高为，

设圆锥的外接球的半径为，则，即，可得，

故圆锥的外接球的表面积为，C对；

对于D选项，当时，，圆锥的高为，

设圆锥的内切球半径为，圆锥的轴截面面积为，

圆锥的轴截面周长为，

由等面积法可得，可得，

将棱长为的正四面体可放在一个正方体内，使得该正四面体的四个顶点恰为正方体的四个顶点，如下图所示，

则该正方体的棱长为，所以正四面体的外接球的半径为，

因此，当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动，D对.

故选：ACD.

9．

【解析】设圆锥的底面半径为，球的半径为，根据勾股定理可得，根据圆锥的侧面积公式可得，再根据球的表面积公式可得结果.

【详解】设圆锥的底面半径为，球的半径为，则圆锥的高为，

则球心到圆锥的底面的距离为，

根据勾股定理可得，化简得，

因为圆锥的高为，母线长为，

所以圆锥的侧面积为，

所以，解得，所以，

所以球O的表面积为.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：利用圆锥的侧面积公式和球的表面积公式求解是解题关键.

10．

【分析】利用球的几何性质求出外接球的半径，即可求出外接球的体积.

【详解】如图,该四面体的外接球的球心O必经过△ABC外接圆的圆心且垂直于平面ABC的直线上,且到A,P的距离相等.

在△ABC中,由余弦定理得：.

由正弦定理得：,解得：

而，所以.

即该几何体的外接球的半径.

所以外接球的体积为.

故答案为：.

11．

【解析】求出鳖臑的外接球的半径，可求出，然后求出正方形的外接圆半径，利用公式可求出阳马的外接球半径，然后利用球体的表面积公式可得出答案.

【详解】四边形是正方形，，即，且，，

所以，的外接圆半径为，

设鳖臑的外接球的半径，则，解得.

平面，，可得，.

正方形的外接圆直径为，，

平面，所以，阳马的外接球半径，

因此，阳马的外接球的表面积为.

故答案为：.

【点睛】本题考查球体表面积和体积的计算，同时也涉及了多面体外接球问题，解题时要分析几何体的结构特征，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

12．50π

【分析】把四面体补成一个长方体，长方体的对角线就是其外接球的直径，由此可求得外接球半径，从而得表面积．

【详解】由题意可采用割补法，考虑到四面体A﹣BCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以为三边的三角形作为底面，且分别以a，b，c为长、侧棱两两垂直的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为a，b，c的长方体，

并且a2+b2＝25，a2+c2＝34，b2+c2＝41，

设球半径为R，则有(2R)2＝a2+b2+c2＝50，

∴4R2＝50，

∴球的表面积为．

故答案为：．

13．（1）（2）80

【解析】（1）根据直三棱柱底面为为直角三角形可得外接球球心的位置，利用勾股定理求半径，即可求解；

（2）根据等体积法及几何体的割补法可转化为求三棱锥即可.

【详解】（1）因为截面为正方形，

所以，

在中，，

即，解得，

在直三棱柱中，底面的外接圆半径为，

直三棱柱的外接球球心到面的距离为，

设三棱柱的外接球半径为，

则，

（2）因为，

在长方体中平面，

所以三棱锥的高为，

所以

.

【点睛】关键点点睛：根据直三棱柱外接球的的性质可知球心到底面的距离为高的一半，求出底面外接圆的半径即可利用勾股定理求解即可，利用分割法可把四棱锥转化为三棱锥求体积即可.

14．（Ⅰ）11.34立方米；（Ⅱ）81.72平方米.

【分析】（Ⅰ）由题知该预制件是由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的直四棱柱后剩下的几何体，利用柱体体积公式即求；

（Ⅱ）利用公式求该几何体的表面积即可.

【详解】（Ⅰ）由题意，该预制件是由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的直四棱柱后剩下的几何体，

则所求混凝土的量等价于该几何体的体积，

因为，

所以（立方米），

故浇制一个这样的预制件需要11.34立方米混凝土；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该预制件底面面积为，

其余侧面均为长方形，且，，

，

，

所有侧面面积之和为

，

所以该预制件的表面积是（平方米）．

15．．

【分析】在四面体中取面△的中心，连接、，易知可求，进而求正四面体的体积，若内切球半径为，由求，进而求球的体积．

【详解】如图，在四面体中，取底面△的中心，连接，，则．

又，则．

∴正四面体的体积．

设内切球球心为，半径为，连接，，，．

∴，可得，

∴球的体积．

16．（1）；（2）三棱锥A－A1BD的体积为，高为.

【分析】（1）由题意，先判断剩余部分的体积是正方体的体积减去棱锥的体积，结合棱锥和正方体的体积公式，即可求解；

（2）由（1），利用等体积法求得三棱锥体积，再设三棱锥的高为，结合等边三角形的面积解方程即得高.

【详解】解：（1）由题意，正方体的棱长为，则正方体的体积为，

又三棱锥的体积，

所以剩余部分的体积；

（2）由（1）知，设三棱锥的高为，是等边三角形，边长为，即面积，

则，即，解得，

故三棱锥A－A1BD的体积为，高为.

【点睛】方法点睛：

求空间几何体的表面积与体积的求法：

（1）公式法：对于规则的几何体的表面积和体积，可直接利用公式进行求解；

（2）割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积的计算，或不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；

（3）等体积法：等体积法也称积转化或等积变形，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积.