高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念教案设计，共10页。教案主要包含了例题与练习，课后作业等内容，欢迎下载使用。
课例编号
2020QJ10SXRA001
学科
数学
年级
高一
学期
第一学期
课题
集合的概念
教科书
书名：普通高中教科书 数学必修第一册 A版
出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019 年 6月
教学人员
姓名
单位
授课教师
许绮菲
北京一七一中学教育集团
指导教师
李颖
北京市东城区教师研修中心
教学目标
教学目标：
1.初步了解集合与元素的特性，能准确使用符号表示集合与元素间的关系，用适当的方法表示集合；
2.在集合概念学习的过程中，从直观到抽象，逐步了解集合语言的抽象，严谨的特点，学会用集合的语言表述数学的研究对象；
3.基于集合知识的学习，积累抽象思维的经验，提升数学抽象素养。
教学重点：
认识元素与集合间的关系，准确使用符号语言刻画集合.
教学难点：
选择恰当的方法准确表示集合.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
2分钟
15分钟
4分钟
3分钟
新课引入
新课讲解
三 例题与练习
四 课堂小结
五 课后作业
方程是否有解？
所有到定点的距离等于定长的点组成何种图形？
通过大家讨论我们达成共识：方程在有理数范围内无解，
但在实数范围内有解．在平面内，所有到定点的距离等于定长的点组成一个圆；而在空间中，所有到定点的距离等于定长的点组成一个球面．因此，明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础.
问题1：如何简洁、准确地表述数学对象及研究范围呢？
我们看下面几个例子：
（1） 1～11之间的所有偶数 ；
（2） 地球上的四大洋 ；
（3） 不等式的解集 ；
（4） 较小的数．
例（1）中，我们把1～11之间的每一个偶数作为研究对象，即是研究范围．
在小学和初中，我们已经接触过一些集合．例如，自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（即圆）等．在我们进一步学习中，我们利用集合语言简洁、准确地表述数学问题．
为了更有效地使用集合语言，我们需要进一步了解集合的有关知识.
【教师讲解1】一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）．
给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了．例如，“1～11之间的所有偶数”构成一个集合，2，4，6，8，10是这个集合的元素，1，3，5，7，9，… 不是它的元素．一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．
问题2：上面的例（2）到例（4）也都能组成集合吗 ？ 它们的元素分别是什么？
显然例（2），（3）能组成集合，而“较小的数”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的．
【教师讲解2】我们通常用大写拉丁字母A，B，C，… 表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，… 表示集合中的元素．
如果是集合A的元素，就说属于（belng t）集合A集合，记作；如果a不是集合A的元素，就说a不属于（nt belng t）集合A，记作．
问题3：若用A表示前面例（1）中“1～11之间的每一个偶数”组成的集合，分别与集合A有何种关系呢？
易知，．
追问1：与的数学含义相同吗？
一般的，表示一个数字，一个元素，而表示一个集合，这个集合里只有一个元素.
追问2：如何用数学语言表述与之间关系呢？
基于上述分析，与是元素与集合的关系，元素属于集合，记作.
【教师讲解4】数学中一些常用的数集及其记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；
全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+；
全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；
全体实数组成的集合称为实数集，记作R．
【教师讲解3】集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的．当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念．关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“ 能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作” 集合论的创立过程体现了数学发生发展的背景和客观需求，数学的发现和创造过程充满着数学家的想象力、创造力和不屈不饶、精益求精的精神，展现了人类理性思维的巨大作用．
问题4：从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合．除此之外，还可以用什么方式表示集合呢？
“方程在实数范围内的解”只有，两个，可以表示为，
“1～11之间的所有偶数”组成的集合可以表示为，
“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝．
【教师讲解5】像这样把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫做列举法．
【练习1】用列举法表示集合：
大于1且小于6的整数；
方程所有实数根组成的集合.
追问1：“在平面内所有到定点的距离等于定长的点组成何种图形”，“不等式的解集”能用列举法表示吗？
不等式的解是， 因为的实数有无数个，所以的解集无法用列举法表示．
追问2：当集合中元素个数有无数个，我们如何表示呢？
我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且，把解集表示为
．
【教师讲解6】一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为．这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线，写成或．
追问3：整数集Z可以分为奇数集和偶数集．我们如何用描述法表示奇数集？
我们思考一下奇数集合中元素所有具有共同特征是什么呢？对于每一个，如果它能表示为的形式，那么x除以2的余数为1，它是一个奇数；反之，如果x是一个奇数，那么x除以2的余数为1，它能表示为的形式．所以，是所有奇数的一个共同特征，于是奇数集可以表示为
．
追问4：你能用这样的方法表示偶数集吗？
．
追问5：我们如何用描述法表示有理数集？
例1 选择恰当方式表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
（2）方程的所有实数根组成的集合．
解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么．
由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关 ， 因此一个集合可以有不同的列举方法．例如，例1（1）的集合还可以写成．
我们还可以用描述法表示集合．
（2）设方程的所有实数根组成的集合为B，由于集合B中只有两个元素，那么可以用列举法表示为．也可以用描述法表示为．
我们约定，如果从上下文的关系看，，是明确的，那么可以省略，只写其元素x．
练习 试分别用描述法和列举法表示下列集合：
（1）方程的所有实数根组成的集合A；
（2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B．
解：（1）设，则x是一个实数，且．因此，用描述法表示为
．
方程有两个实数根，，因此，用列举法表示为
．
（2）设，则x是一个整数，即，且．因此，用描述法表示为
．
大于10且小于20的整数有，因此，用列举法表示为.
本节课在小学和初中数学学习的基础上引入集合的含义及其表示，通过本节学习，我们在了解集合含义的基础上，会用符号语言刻画集合，并能判断元素与集合之间的关系．
本节的新概念，新符号较多，我们要明确符号代表的意义，熟悉不同的符号的表示形式，多用、多回归到概念，建立起符号和数学对象之间的关系．
高中数学内容的抽象程度提高了，我们要以更加积极主动的态度，刻苦钻研的精神，采取多样化学习方式，注重基础，拾级而上，按学习规律办事，逐步总结高中数学学习方法，尽早适应高中学习．
1. 认真阅读本节教材，完成课后练习；

2.查阅“集合论”创立相关资料，与同学分享.