初中数学湘教版（2024）九年级上册第2章 一元二次方程2.5 一元二次方程的应用一等奖课件ppt

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1.掌握一元二次方程在面积（体积）问题中的应用方法。2.能够根据实际问题列出正确的一元二次方程，并求解方程以得到问题的答案。3.经历将实际问题抽象为数学问题的过程，培养学生的数学建模能力。4.通过自主探究、合作交流等方式，提高学生的分析问题和解决问题的能力。
列一元二次方程解应用题的一般步骤：1.审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量2.设：设未知数3.找：找出等量关系4.列：列出方程5.解：解方程，求出未知数的值6.验：检验方程的解能否保证实际问题有意义7.答：写出答语
如图，在一长为40cm、宽为28cm的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后， 折成一个无盖的长方体形盒子. 若已知长方体形盒子的底面积为364cm2， 求截去的四个小正方形的边长.
解：设截去的小正方形的边长为xcm， 则无盖长方体形盒子的底面长与宽分别为(40-2x)cm，(28-2x)cm. 根据等量关系， 可以列出方程(40-2x)(28-2x)=364．
将铁皮截去四个小正方形后， 可以得到下图． 这个长方体形盒子的底面就是图中的阴影部分， 因此本问题涉及的等量关系是：盒子的底面积=盒子的底面长×盒子的底面宽.
整理， 得x2-34x+189=0．解得x1=27,x2=7．如果截去的小正方形的边长为27cm， 那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为54cm， 这超过了矩形铁皮的长(40cm) ． 因此x1=27不合题意， 应当舍去．因此， 截去的小正方形的边长为7cm．
如图， 一长为32m、宽为20m的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分进行了绿化. 若已知绿化面积为540m2，求道路的宽.
思考：虽然 “整个矩形的面积-道路所占面积=绿化面积”，但道路不是规则图形， 因此不便于计算！你有方法使得计算更简单吗?
若把道路平移， 则可得到下图， 此时绿化部分就成了一个新的矩形了， 再由本问题涉及的等量关系： 矩形的面积 = 矩形的长 × 矩形的宽， 就可建立一个一元二次方程．
新矩形的长：(32-x) m
新矩形的宽：(20-x) m
新矩形的面积： (32-x)(20-x) m2
解：设道路宽为x m， 则新矩形的长为(32-x) m， 宽为(20-x) m.根据等量关系得 (32-x)(20-x)=540.整理，得x2-52x+100=0.解得 x1=2，x2=50（不合题意，舍去）.答： 道路宽为2 m.
思考：为什么x=50不符合题意？
矩形地面的长为32m、宽为20m，因为50>20,道路的宽不能大于地面的宽，所以x=50不符合题意
利用一元二次方程解决几何图形问题的方法:几何图形问题,一般是从面积(或体积)等方面找相等关系，规则的几何图形直接利用面积(或体积)公式列方程即可,不规则图形一般先分割或组合成规则图形，再运用规则图形的面积(或体积)公式列方程.
如图所示， 在△ABC 中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8cm. 点 P沿 AC边从点A向终点C以1 cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点 C 向终点 B 以2 cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点P，Q出发几秒后，可使△PCQ 的面积为9 cm2?
利用一元二次方程解决动点问题:在解决动点问题时,应先分析点的运动过程,画出代表图形和临界图形,然后设出未知数,并用含未知数的式子表示出相关的线段的长度,再根据题目中的等量关系列方程求解.
【知识技能类作业】必做题：
1.某中学准备建一个面积为375 m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10 m．设游泳池的长为x m，则可列方程为( )A．x(x－10)＝375 B．x(x＋10)＝375C．2x(2x－10)＝375 D．2x(2x＋10)＝375
2.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2 cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s，则经过____s后，P，Q两点之间相距25 cm.
3.如图，在一块长17m、宽12m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为176m2，则修建的路宽应为　 　m.
4.如图，在矩形ABCD中,AB=10cm,AD=8cm,点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则________秒时，△BPQ的面积是6cm2．
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，有一点到终点运动即停止，当t＝ ______时，S△DPQ＝28cm2．
6.如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是_________________.
(32－2x)(20－x)＝570
如图，将一张长方形纸板的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形(阴影部分即剪掉的部分)，剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．若长方形纸板边长分别为40 cm和30 cm，且折成的长方体盒子表面积是950 cm2，求此时长方体盒子的体积．
解：设剪掉的小正方形的边长为x cm，根据题意，得2x2＋20x×2＝30×40－950，x2＋20x－125＝0，解这个方程得x1＝5，x2＝－25(不合题意，应舍去)，当x＝5时，长方体盒子的体积为x(30－2x)(20－x)＝5×(30－2×5)×(20－5)＝1 500(cm3)，答：此时长方体盒子的体积为1 500 cm3
3.以正方形木板的边长为长，在正方形木板上锯掉一块2 cm宽的长方形木条，剩下部分的面积是48 cm2，那么原正方形木板的面积是( )A．8 cm2 B．8 cm2或64 cm2 C．64 cm2 D．36 cm2
如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6 cm2?(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm?(3)在(1)中，△PQB的面积能否等于8 cm2？说明理由．