2024~2025学年广东省揭阳市榕城区九年级上学期期末综合训练题数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年广东省揭阳市榕城区九年级上学期期末综合训练题数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图，这是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】从上面看到的图形为：
故选：D．
2. 已知关于的方程的两个实数根为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵方程的两个实数根为，
∴，
故迁：D.
3. 如图，在矩形中，对角线，交于点O，若，则的长为（ ）
A. 3B. 6C. D.
【答案】B
【解析】∵在矩形中，对角线，交于点O，
∴，，
∵，
∴．
故选：B．
4. 已知，，在双曲线上，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴双曲线双曲线在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，
∵，
∴点，在第三象限，在第一象限，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
5. 大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵P为的黄金分割点，，
∴，
∵的长度为，
∴，
∴，
∴的长度是，
故选：A．
6. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，
∵在中，，
∴设，
∴，
∴．
故选：B．
7. 在一个不透明的盒子中装有颗黑、白两种颜色的棋子，除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一颗棋子，记下颜色后放回盒子中，记为一次试验，通过大量试验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在，则盒子中黑色棋子可能有（ ）
A. 5颗B. 10颗C. 18颗D. 26颗
【答案】C
【解析】设盒子中黑色棋子可能有x颗，
，
，
经检验，符合题意．
∴盒子中黑色棋子可能有颗．
故选：C．
8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，
解得：，
又∵方程是一元二次方程，
∴，
即，
故的取值范围为：且，
∴的最小整数值为．
故选：A．
9. 数学活动课上，小明为了测量学校旗杆的高度，在他脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆顶端，此时，小明画出如图所示的示意图，并估计他的眼睛与地面的距离为，同时测得，，则旗杆的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】已知，，，
故，
根据光的反射定律，，
又，
∴，
∴，即，
解得：，
故选：A．
10. 如图，四边形是边长为2的正方形，点为线段上的动点，为的中点，射线交的延长线于点，过点作的垂线交于点、交的延长线于点，则以下结论：①；②；③当点与点重合时；④当时，；⑤当点和点重合时，，成立的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∵，，
∴，故②正确；
当点F与点C重合时，如图2，
∵E是中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴，
∴，故③正确；
如图3所示，
∵，即P是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
同理可得，
∴，
∴，故④正确；
当点P与点B重合时，
同理可证明，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，∴，
∴，
∴，故⑤错误；
∴正确的有4个，
故选：C．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 已知，则______．
【答案】
【解析】设，
则，
∴．
故答案为：．
12. 如图，菱形的对角线交于坐标原点．已知点，，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】∵菱形的对角线交于坐标原点O．点，
∴，
故答案为：．
13. 某公司今年1月份的利润为100万元，3月份的利润上升到144万元，若1至3月利润的增长率相同，则每月增长的百分率是____________．
【答案】
【解析】设平均每月利润增长的百分率为x，
根据题意，得，
解得，（舍去），
∴平均每月利润增长的百分率为．
故答案为：．
14. 如图，，点是斜边的中点，，，，则______．
【答案】9
【解析】在中，，D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，∴，∴，
又∵，∴，
∴，
∵，∴，∴．
故答案为：9．
15. 如图，射线与函数图象相交于点，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点；再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线，交函数图象于点，连接，则的面积是______．
【答案】1
【解析】把点代入，得，
∴，∴，设点，
如图，过点C作轴于E，于F，过点A作轴于G，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
由作图方法可知，是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵点C在第一象限，
∴，
∴，
∴，
∵轴于E，于F，是的平分线，
∴，
∴，
故答案为：1．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16. 计算：．
解：
．
17. 图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
（1）在图①中画出的中线；
（2）在图②的边上找到一点E，使；
（3）在图③的边上找到一点F，使．
解：（1）如图，即为所求，
（2）如图，点E即为所求，
找出格点G、H，与交于点E，由图知
∴∽
∴
∴点E即所求；
（3）如图，点F即为所求，
找到格点M、N，与交于点F，由图知
∴∽
∴
∴
∴点F即为所求．
18. 小宇和小辉所在的科学社团研究了四种生活现象，先将“A．冰雪融化”“B．镜花水月”“C．光合作用”“D．葡萄酿酒”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（为物理现象，主要为化学变化），卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．活动规则：小宇先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小辉再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是物理现象，则由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识；若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识；其他情况重抽．
（1）小宇随机抽取一张卡片，正面图案是化学变化的概率是______；
（2）这个活动规则对他们双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由．
解：（1）小宇随机抽取一张卡片，正面图案是化学变化的概率是；
故答案为：；
（2）公平，理由如下：
将冰雪融化、镜花水月、光合作用、冰雪消融、葡萄酿酒分别用表示，列表如下：
由表可知，共有16种等可能的结果，其中他们抽取的两张卡片上都是化学变化的有4种，他们抽取的两张卡片上都是物理变化的有4种．
（抽取的两张卡片正面图案均为化学变化），
（抽取的两张卡片上都是物理变化），
故这个规则对他们双方公平是公平的．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行50米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为30°．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点在同一条直线上．其中，米．
（1）求无人机的飞行高度；（结果保留根号）
（2）求河流的宽度CD．（结果保留根号）
解：（1）由题意得，，，
∴，，
∴，∴米；
（2）如图，过点作于，则米，米，，
在中，，
∴，
∴米，
∴米，
∴米．
20. 如图1，在正方形中，点是边上一点，且点不与、重合，过点作的垂线交延长线于点，连接．
（1）计算的度数；
（2）如图2，过点作，垂足为，连接．求证：．
（1）解：四边形是正方形，
，，
，，
，
，即
，
，，
是等腰直角三角形．；
（2）证明：如图2，连接，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∵四边形是正方形，是对角线，
∴等腰直角三角形，，，
∴，
∴；
又∵，
∴，
∴，
∴．
21. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值．
解：
无论取何实数，都有，
，即的最小值为2．
试利用配方法解决下列问题：
（1）直接写出的最小值 ；
（2）比较代数式与的大小，并说明理由；
（3）如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值．
解：（1）
无论取何实数，都有，
，即的最小值为3．
故答案为：3．
（2）
（3）四边形面积为：
四边形面积的最大值为．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22. 如图，在中，，点是边上一动点（不与，重合），，交于点，且．
（1）求证：
（2）若，求的值
（3）若为直角三角形时，求的值
（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）如图，过作于，
∵，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
结合（2）可得，
当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形时，为8或．
23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出不等式的解集；
（3）若点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标．
解：（1）将代入得：，解得：，
∴反比例函数的解析式为；
将代入反比例函数解析式可得，∴，
将，代入反比例函数解析式可得，解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）由图象可得：不等式的解集为或；
（3）∵点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为，
∴点的纵坐标为，
∴，
设点，
∵以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴当为对角线时，与互相平分，
∴，∴，
∴；
当为对角线时，与互相平分，
∴，解得：，∴；
当为对角线时，与互相平分，
∴，解得：，∴；
综上所述，满足条件的点的坐标为或或．小辉
小宇
A
B
C
D
A
B
C
D