2024~2025学年广东省广州市白云区九年级上学期期末模考数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年广东省广州市白云区九年级上学期期末模考数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 下列图案中不是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据中心对称图形的定义，绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．
可知A、B、D是中心对称图形；
选项C、绕中心旋转180度后所得的图形与原图形不会重合，不是中心对称图形．
故选：C．
2. 把抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，所得抛物线为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】把抛物线先向上平移2个单位长度，则所得抛物线为：，再向左平移4个单位长度，所得抛物线为：，
故选：A．
3. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∴，
故选：D．
4. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则此方程的根是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
此时方程化为，
，
，
∴．
故选：B．
5. 如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m，他在地面上的影长为2.1m．若小芳比爸爸矮0.3m，则她的影长为（ ）

A. 1.3mB. 1.65mC. 1.75mD. 1.8m
【答案】C
【解析】根据比例的性质可得：，解得：x=1.75，故选C．
6. 如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（ ）
A. y=﹣B. y=﹣C. y=﹣D. y=
【答案】C
【解析】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵∠BOA=90°，
∴∠BOC+∠AOD=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BOC=∠OAD，
又∵∠BCO=∠ADO=90°，
∴△BCO∽△ODA，
∵=tan30°=，
∴，
∵×AD×DO=xy=3，
∴S△BCO=×BC×CO=S△AOD=1，
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：y=﹣．
故选C．
7. 在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设表示华山、表示华阳古镇、表示太白山，列表如下：
共有9种情况，他们两家去同一景点旅游共有3中情况，
∴；
故选B．
8. 如图，为的直径，弦和相交，若，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连接，如图，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
则，
故选：B．
9. 如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】设点A的坐标为，．则．
∴点B的纵坐标为．
∴点B的横坐标为．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴．
．
∴．
故选：D．
10. 抛物线（，，为常数，，）经过点，，有下列结论：
①一元二次方程的两个根为，；
②若点，在该抛物线上，则；
③对于任意实数，总有；
④．
其中正确的有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】∵抛物线（，，为常数，，）经过点，，
∴，，
∴一元二次方程的两个根为，，故结论①正确；
∵抛物线（，，为常数，，）经过点，，∴抛物线对称轴是直线，
又∵，
∴时，随的增大而减小，
∵点，在该抛物线上，且点关于直线对称的点为，，
∴，故结论②错误；
∵，
∴当时，函数有最大值，
∴对于任意实数，总有，
∴，故结论③正确；
∵抛物线经过点，
∴，
∵对称轴是直线，，
∴，
∴，
∴，
∴，故结论④正确，
综上所述，正确的有个．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 某种药品原售价为16元，经过连续两次降价后售价为9元，则平均每次降价的百分率为_____．
【答案】
【解析】设平均每次降价百分率为，
根据题意得：，
解得：，（舍去）
故，
则平均每次降价．
12. 如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为_________m.

【答案】7
【解析】设树的高度为m，由相似可得，解得，所以树的高度为7m
13. 如图，有一张矩形纸片，长15cm，宽9cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是48cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为_____．
【答案】（15﹣2x）（9﹣2x）＝48
【解析】设剪去的小正方形边长是xcm，
则纸盒底面的长为（15﹣2x）cm，宽为（9﹣2x）cm，
根据题意得：（15﹣2x）（9﹣2x）＝48．
14. 如图，圆锥底面圆的半径，母线长，则这个圆锥的侧面积为______．
【答案】
【解析】圆锥的底面半径为，
圆锥的底面圆的周长，
圆锥的侧面积．
15. 如图所示，点B，A分别在反比例函数和的图象上，轴，点C在x轴的负半轴上，若，则的值为______．
【答案】6
【解析】设A点坐标为，B点坐标为，
∴
∵轴，
∴
∵
∴，
∵点在上，
∴
，
，
∵点B，A分别在反比例函数和的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴,
∴．
16. 如图，已知正方形，E为的中点，F是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于M，现在有如下5个结论：①定是直角三角形；②；③当M与C重合时，有；④平分正方形的面积；③，在以上5个结论中，正确的有______．

【答案】①②③⑤
【解析】∵四边形是正方形，
∴，
∵E为的中点，
∴，
由翻折可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴是直角三角形，
故①②正确，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵
∴，故⑤正确，
如图1中，当M与C重合时，

设．则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∴，故③正确，
如图2中，

当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，故④错误，
综上所述，正确的有：①②③⑤，
故答案为：①②③⑤
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
解：（1），
，
，
；
（2），
，
，
或，
．
18. 如图，在中，，，以直角顶点C为旋转中心，将旋转到的位置，其中，分别是A，B的对应点，且点B在斜边上，直角边交AB于D，求的度数．
解：∵，，
∴，
∵以直角顶点C为旋转中心，将旋转到的位置，
∴，，
∴，
∴，
∴．
19. 如图，在中，D为边上一点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
（1）证明：∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
20. 某数学小组为调查重庆实验外国语学校周五放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“：乘坐电动车，：乘坐普通公交车或地铁，：乘坐学校的定制公交车，：乘坐家庭汽车，：步行或其他”这五种方式中选择最常用的一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．
（1）本次调查中一共调查了 名学生；扇形统计图中，选项对应的扇形圆心角是 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若甲、乙两名学生放学时从、、三种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率．
解：（1）本次调查的学生人数为（名，
扇形统计图中，项对应的扇形圆心角是，
故答案为：200；72；
（2）选项的人数为（名，
补全条形图如下：
（3）画树状图如图：
共有9个等可能的结果，甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的结果有3个，
甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率为．
21. 脱贫攻坚收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于60元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示．
（1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
解：（1）设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y=kx+b，
将点（30，100）、（40，80）代入一次函数关系式得：，
解得：．
∴函数关系式为y=-2x+160；
（2）由题意得：w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，
∵-2＜0，抛物线开口向下，
∴当x＜55时，w随x的增大而增大，
∵30≤x≤60，
∴当x=55时，w有最大值，此时w=1250．
∴销售单价定为55元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大，最大利润是1250元．
22. 如图，是的直径，弦与相交，
图① 图②
（1）如图①，若,求和的度数；
（2）如图②，过点D作的切线，与的延长线交于点P,若,求的度数．
解：（1）∵是的直径，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴．
（2）连接，∵是的切线，
∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴．
23. 已知、两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点，点坐标为．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式的解集；
（4）若为直角三角形，直接写出值．
解：（1）把代入，得，
所以反比例函数解析式为，
把代入，得，解得，
把和代入，得，解得，
所以一次函数的解析式为；
（2）设直线与轴交于点，中，令，则，
即直线与轴交于点，
∴；
（3）由图象可得，不等式的解集为：或.
（4），， ，
，，，
①当是斜边时，
解得: 或.
①当是斜边时，
解得:
①当是斜边时，
解得:
的值为：-6，6，，.
24. 已知△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD′，连结D′E．
（1）如图1，当∠BAC=120°，∠DAE=60°时，求∠D′AE的度数；
（2）如图2，当DE=D′E时，求证：∠DAE=∠BAC．
（3）如图3，在（2）的结论下，当∠BAC=90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△D′EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必说明理由）．
解：（1）∵△ABD绕点A旋转得到△ACD′，
∴AD=AD′，∠CAD′=∠BAD，
∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，
∴∠D′AE=∠CAD′+∠CAE=∠BAD+∠CAE=∠BAC-∠DAE=120°-60°=60°，
∴∠D′AE=∠DAE=60°，
（2）在△ADE和△AD′E中， ，
∴△ADE≌△AD′E（SSS），
∴∠DAE=∠D′AE，
∴∠BAD+∠CAE=∠CAD′+∠CAE=∠D′AE=∠DAE，
∴∠DAE=∠BAC；
（3）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=∠ACD′=45°，
∴∠D′CE=45°+45°=90°，
∵△D′EC是等腰直角三角形，
∴，
由（2）DE=D′E，
∵△ABD绕点A旋转得到△ACD′，
∴BD=C′D，
∴．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图象经过A，B，C三点．
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值．
解：（1）∵点B的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴点；
（2）设抛物线的表达式为：，
把点代入得：，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（3）∵直线过点，
∴可设其函数表达式为：，
将点代入得：
解得：，
故直线的表达式为：，
过点P作y轴的平行线交于点H，
∵，
，
∵轴，
，
∴，
∵，
∴，
设点 ，则点，
∴，
∵ ，
∴有最大值，当时，其最大值为，此时点．销售单价x（元）
30
40
45
销售数量y（件）
100
80
70