2024~2025学年广东省深圳市福田区九年级上学期12月期末数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年广东省深圳市福田区九年级上学期12月期末数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（共8小题，共24分）
1. 从正面观察如图所示的几何体，看到的形状图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】从正面看，下方长方体看到的是长方形，上方圆柱看到的也是长方形
且两个长方形在左侧位置对齐
故选：A
2. 数据显示2022年末南昌市常住人口约654万人，654万可以用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】654万.
故选：B.
3. 如图，直线，射线AB分别交直线a，b于点B，C，点D在直线a上，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵a∥b，
∴∠1=∠DBC=50°，
∵∠DBC=∠A+∠2，∠A=30°，
∴∠2=20°，
故选：A．
4. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A. 5，3．1B. 5，，1C. 2，，1D. 5，1，
【答案】B
【解析】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为5，，1．故选：B．
5. 八年级学生去距学校s千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了1小时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的m倍，设骑车同学的速度为x千米/小时，则可列方程（ ）
A. =+1B. -=1
C. =+1D. =1
【答案】A
【解析】设骑车同学的速度为x千米/小时，则汽车的速度为mx千米/小时，
根据题意得：=+1．
故选：A．
6. 如图，在中，边上的垂直平分线分别交边于点E，交边于点D，若的长为9cm，的长为6cm，则的长为（ ）
A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm
【答案】B
【解析】∵是边上的垂直平分线，，
∴，
∴．
故选：B．
7. 小明从家骑共享单车去体育场锻炼一会儿后，又步行原路返回，途中在早餐店用餐，如图表示小明离家的距离y（千米）与离家的时间t（分）之间的函数关系，则下列说法错误的是（ ）

A. 体育场离小明家4千米
B. 小明从体育场到早餐店的平均速度千米/小时
C. 小明吃早餐用了分钟
D. 小明从早餐店回家的平均速度是3千米/小时
【答案】D
【解析】A．由纵坐标看出体育场离小明家4千米，说法正确，不符合题意；
B．由纵坐标看出早餐店距体育场千米，由横坐标看出从体育场到早餐店的时间为分钟，所以平均速度为千米/小时，说法正确，不符合题意；
C．由横坐标看出吃早餐的时间为分钟，说法正确，不符合题意；
D．由横坐标看出小明从早餐店回家的时间为分钟，由纵坐标看出小明从早餐店回家的距离为2千米，所以平均速度为千米/小时，说法错误，符合题意；
故选：D．
8. 如图，在4×4的方格纸中，有一个格点△ABC（三角形的三个顶点都在格点上，每个小正方形的边长为1），下列关于它的描述，正确的是（ ）
A. △ABC的三边都是有理数B. △ABC是等腰三角形
C. △ABC的面积为6.5D. △ABC是直角三角形
【答案】C
【解析】由勾股定理得：AB＝，AC＝，BC＝，
A、AB和BC边为无理数，AC边为有理数，故本选项不符合题意；
B、AB、AC、BC都不相等，不是等腰三角形，故本选项不符合题意；
C、△ABC面积为4×4−×3×4−×1×4−×1×3＝6.5，故本选项符合题意；
D、AB2＋BC2≠AC2，不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（共5小题，共15分）
9. 若2x＝3y，且x≠0，则值为_____．
【答案】
【解析】∵2x=3y，且x≠0，
∴两边除以2y得：，
∴；
故答案为：．
10. 已知，，则x的值为______．
【答案】
【解析】∵，
∴，
将代入
得，，
即：，，∴或，
∵，∴舍，
∴，
故答案为：2．
11. 如图，电路图上有三个开关，，，和两个小灯泡，，随机闭合开关，，，中的两个，能让灯泡发光的概率是______．
【答案】
【解析】画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中能让灯泡发光的结果数为2，
∴能让灯泡发光的概率为：，
故答案为：．
12. 如图，点C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边和等边，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ、OC．现给出以下结论：①；②；③CO平分；④．其中正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】∵等边ABC和等边CDE，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，
即∠ACD＝∠BCE，
在ACD与BCE中， ，
∴ACD≌BCE（SAS），
∴AD＝BE，故①正确；
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠APC=∠BPO，
∴∠AOB=180°-∠CBE-∠BPO=180°-∠CAD-∠APC=∠ACP=60°，
∴，故②正确；
∵ACD≌BCE（已证），
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证），
∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，
∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，
在ACP与BCQ中， ，
∴ACP≌BCQ（ASA），
∴AP＝BQ，CP=CQ，
∴△CPQ为等边三角形
∴∠CPQ＝60°，
∴∠ACB＝∠CPQ，
∴PQ∥AE，
假设OC平分
∴∠PCO=∠QCO=30°，
∵CP=CQ，∴OC⊥PQ，OC平分PQ，
∴OP=OQ，∴CO平分∠POQ，
∵∠AOB=60°，∴∠POQ=180°-∠AOB=120°，∴∠POC=∠QOC=60°，
∵∠BCA=∠DCE=60°，∠OCA=∠BCA+∠OCP=∠DCE+∠OCQ=90°，
在△AOC和△EOC中，，
∴△AOC≌△EOC（ASA），∴AC=EC，
∵题中没有AC=EC条件，
为此只有AC=EC时CO平分，故③不正确；
在OA上截取OH=OC，连结CH，过C作CF⊥OA于F，CG⊥BE于G，
∴∠AFC=∠BGC=90°，
∵ACP≌BCQ，
∴∠CAP=∠CBQ，
在△AFC和△BGC中，，
∴△AFC≌△BGC（AAS），
∴CF=CG，
∵CF⊥OA，CG⊥BE，
∴CO平分∠AOE，
∵∠AOB=60°，
∴∠AOE=180°-∠AOB=180°-60°=120°，
∴∠HOC=∠EOC=60°，
∴△OHC为等边三角形，
∴CH=CO，∠HCO=60°，
∴∠ACH+∠HCB=60°，∠HCB+∠BCO=60°，
∴∠ACH=∠BCO，
在△AHC和△BOC中，，
∴△AHC≌△BOC（SAS），
∴AH=BO，
∴AO=AH+HO=BO+OC，
故④正确．
综上所述，正确的是①②④．
故答案为：①②④．
13. 定义新运算：对于任意实数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：
（1）的值为______．
（2）化简的结果为______．
（3）若的值大于13，则x的取值范围为____________．
【答案】22
【解析】（1）由题意得：，
故答案为：22；
（2）
，
故答案：；
（3）∵的值大于13，且，
∴，
解得：，
故答案为：．
三、解答题（共7小题，共61分）
14. 先化简，再求值：，请在0、±1、±2中选一个你喜欢的数字求值．
解：原式
，
由分式有意义的条件可知a不能取±2，0，﹣1，
∴当时，原式．
15. 为了解某区2015年七年级学生的体育测试情况，随机抽取了该区若干名七年级学生的体育测试成绩等级，绘制如图统计图（不完整）：

请根据以上统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量 ，“A等级”对应扇形的圆心角度数为 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）该区约10000名七年级学生，根据抽样调查结果，请估计其中体育测试成绩为“D等级”的学生人数．
解：（1）本次抽样调查的样本容量：（名），“A等级”对应扇形的圆心角度数为．
故答案为：200，．
（2）B等级的人数为（名），C等级的人数为：（名）．
如图：

（3）体育测试成绩为“D等级”的学生人数为（名）．
16. 如图，在ABC中，是上的点，，，分别是，的中点，，，求，的长．
解：连接，如图，
，是中点，
，
是的中点，
，
又，
，
在中，，
即，
解得，
．
17. 如图，已知斜坡长为60米，坡角（即）为，，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示），修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡．
（1）若修建的斜坡的坡角为，求平台的长；（结果保留根号）
（2）一座建筑物距离A处30米远（即为30米），小明在D处测得建筑物顶部H的仰角（即）为，点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且，求建筑物的高度．（结果保留根号）
解：（1）米，为中点，
米，
由题意可知，，，
，
在中，米，，
米，米，
斜坡的坡角为，即，
，
米，
米；
（2）在中，米，，
米，米，
米，
米，
由（1）可知，米，米，米，
，，，
，四边形是矩形，
米，米，
米，
在中，，米，
米，
米．
18. 数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究；下面是他们的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：
（1）函数的自变量x的取值范围是______；
（2）下表是y与x的几组对应值，则表中m的值为______；
（3）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点画出函数的图象，并写出这个函数的一条性质：______；
（4）画出函数的图象，结合函数图象，直接写出时，x的取值范围．
解：（1）当时，分母都不为0，
故答案为：；
（2）当时，，
故答案为：；
（3）画出函数的图象如图：
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
故答案为：时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
（4）画出函数的图象，如上图，
观察图象，时，x的取值范围或．
19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边AB在x轴的正半轴上，顶点C，D在第一象限内，正比例函数y1＝3x的图象经过点D，反比例函数的图象经过点D，且与边BC交于点E，连接OE，已知AB＝3．
（1）点D的坐标是 ；
（2）求tan∠EOB的值；
（3）观察图象，请直接写出满足y2＞3的x的取值范围；
（4）连接DE，在x轴上取一点P，使，过点P作PQ垂直x轴，交双曲线于点Q，请直接写出线段PQ的长．
解：（1）∵正方形ABCD的边长AB=3，∴AD=3，
∵D点在正比例函数y1＝3x上，
设D（x，3），代入y1＝3x得3=3x，解得x=1，∴D，
故答案为：；
（2）∵反比例函数的图象经过点D，
∴k=1×3=3，∴，
∵E点的横坐标为1+3=4，
∴E（4，y），代入得到EB=，∴tan∠EOB=.
（3）如图，根据图象可得＞3时，图象在直线y=3的上方，
∴x的取值为0＜x＜1，
（4）当点P在线段AB上时，如图1，设AP=m，则PB=3-m
∵S△PDE=S梯形ABED-S△ADP-S△PBE=
==，
解得m=3，
∴OP=1+3=4，
∴点P（4，0），
当x=4时，，∴Q（4，），∴PQ=，
当点P在线段AB的延长线时，如图2，设AP=m，则PB=m-3，
∵S△PDE=S△ADP-S梯形ABED-S△PBE=
==，
解得m=5，
∴OP=1+5=6，
∴点P（6，0），
当x=6时，，
∴Q（6，），
∴PQ=，
综上，PQ的长为或．
20. 实际问题：
某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：
从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有多少种不同的结果？
模型探究：
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．
探究一：
（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表①
如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表②
如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．
（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．
（4）从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．
探究二：
（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．
（2）从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．
探究三：
从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果．
归纳结论：
从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有______种不同的结果．
问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．
拓展延伸：
（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）
（2）从3，4，5，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有______种不同的结果．
解：探究一：
（3）如下表：
所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，8，9也就是从3到9的连续整数，其中最小是3，最大是9，所以共有7种不同的结果．
（4）从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取2个整数，这2个整数之和的最小值是3，和的最大值是 所以一共有种．
探究二：
（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，如下表：
从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有4种，
（2）从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，
这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是12,
所以从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有7种，
从而从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取3个整数，
这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是
所以一共有种，
探究三：
从1，2，3，4，5这5个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是 最大是，
所以这4个整数之和一共有5种，
从1，2，3，4，5，6这6个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是 最大是，
所以这4个整数之和一共有9种，
从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取4个整数，
这4个整数之和最小值是10，和的最大值是，
所以一共有 种不同的结果．
归纳结论：
由探究一，从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种．
探究二，从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种，
探究三，从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有 种不同的结果．
从而可得：
从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有种不同的结果．
问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），
一次任意抽取5张奖券，这5张奖券和的最小值是15，和的最大值是490，
共有种不同的优惠金额．
拓展延伸：
（1） 从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有种不同的结果．
当 有


或
或
从1，2，3，…，36这36个整数中任取29个或7个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果．
（2）由探究可知：从3，4，5，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，等同于从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，
所以：从3，4，5，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有种不同的结果．x
…
0
2
4
5
…
y
…
m
0
1
3
4
4
3
2
…
所取的2个整数
1，2
1，3，
2，3
2个整数之和
3
4
5
所取的2个整数
1，2
1，3，
1，4
2，3
2，4
3，4
2个整数之和
3
4
5
5
6
7
取的2个整数









2个整数之和






取的3个整数
1,2,3
1,2,4
1,3,4
2,3,4
3个整数之和
6
7
8
9