2024~2025学年广东省汕头市潮阳区贵屿镇九年级上学期12月期末数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年广东省汕头市潮阳区贵屿镇九年级上学期12月期末数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
2. 下列运动形式属于旋转的是（ ）
A. 荡秋千B. 飞驰的火车
C. 传送带移动D. 电梯的运行
【答案】A
【解析】A、荡秋千，是属于旋转，则此项符合题意；
B、飞驰的火车，是属于平移，则此项不符合题意；
C、传送带移动，是属于平移，则此项不符合题意；
D、电梯的运行，是属于平移，则此项不符合题意；
故选：A．
3. 下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．方程，只有在时满足题意，不一定是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．方程是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
4. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A. x是实数，则
B. 人在月球上所受的重力比在地球上小
C. 任意选择某电视频道，正在播放动画片
D. 一个三角形三个内角的和小于180°
【答案】D
【解析】A．x是实数，则，是必然事件；
B．人在月球上所受的重力比在地球上小，是必然事件；
C．任意选择某电视频道，正在播放动画片，是随机事件；
D．一个三角形三个内角的和小于180°，是不可能事件．
故选D．
5. 关于x的一元二次方程的一个根为1，则m的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】∵一元二次方程的一个根为1，
∴，
解得，
故选：C．
6. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，
∴，
又∵顶点为，
∴抛物线的解析式为．
故选：C．
7. 已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则该圆锥的侧面积是（）
A. 10πB. 15πC. 20πD. 25π
【答案】C
【解析】圆锥的侧面积=5×8π÷2=20π．
故选C．
8. 如图，已知中，，则圆周角的度数是（ ）
A. 50°B. 25°C. 100°D. 30°
【答案】B
【解析】∵，∴．故选：B．
9. 已知抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交于点C，则点C的坐标为（ ）
A. （3，6）B. （0，8）
C. （0，﹣1）D. （4，0）或（2，0）
【答案】B
【解析】当x＝0时，y＝（0﹣3）2﹣1＝8，
所以抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交点C的坐标是（0，8）．
故选：B．
10. 如图，在中，，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线，为切点，则线段长度的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接如图：
∵是的切线，
根据勾股定理知
∴当时， 线段最短，
∵在中，
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）
11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的度数为 _____．
【答案】72°
【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠B＝108°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝72°．
故答案为：72°．
12. 的两根分别为，则__________．
【答案】4
【解析】∵
∴根据根与系数的关系可得，，
故答案为：4．
13. 在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为5，那么x轴与的位置关系是____．
【答案】相离
【解析】∵的圆心坐标为，
∴的圆心到x的距离为6，
∵的半径为5，
∴轴与的位置关系是相离；
故答案为：相离．
14. 如果函数的图象与x轴没有公共点，那么m的取值范围是___________．
【答案】
【解析】函数的图象与x轴没有公共点，
，
解得：；
故答案为：．
15. 如图，在中，顶点在轴的负半轴上，，，，将绕点逆时针旋转，每次旋转90°，则第6次旋转结束时点的坐标是______．
【答案】
【解析】设点A的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴（正值舍去），
∴，
∵将绕点A逆时针旋转，每次旋转，
∴每4次为一个循环，点B回到起始位置，
∵，
∴ 第6次旋转结束时点的坐标与第2次旋转点B的位置相同，即相当于把点B绕点A逆时针旋转，
∴此时点B的对应点与点关于对称，
∴此时点B的对应点坐标为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共3小题，每题7分，共21分）
16. 年4月日是第个世界读书日，主题是“阅读改变未来”．人间最美四“阅”天，恰是读书好时节，我市某校开展了“书香为伴，阅见美好”主题活动，包括A创意书签我来做，B荐书海报我来绘，C古诗词集我来诵，D书香伴我成长等活动．
（1）若小明选择报名参加A，B，C，D中的一项活动，则他选中C的概率为______；
（2）若小华和小明各自从A，B，C，D中选择参加一项活动，用列表法或画树状图法求一人选中A一人选中C的概率．
解：（1）小明选择报名参加A，B，C，D中的一项活动，则他选中C的概率为：．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中一人选中A一人选中C的结果有2种，
故一人选中A一人选中C的概率为：．
17. 某商场今年二月份的营业额为400万元，三月份由于经营不善，其营业额比二月份下降10%．后来通过加强管理，五月份的营业额达到518.4万元．求三月份到五月份营业额的月平均增长率．
解：设三月份到五月份营业额的月平均增长率为x，
根据题意得，，
解得（不合题意,舍去）．
答：三月份到五月份营业额的月平均增长率为20%．
18. 如图，的外接圆直径AB交CD于点，已知，，求的度数．
解：连接，如图所示：
∵AB是圆的直径，
∴，，，
∵，
∴．
四、解答题（本大题共3小题，每题9分，共27分）
19. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点的坐标分别为A-2,0，，．
（1）将平移后得到，若点对应的点的坐标为，画出平移后的；
（2）画出关于轴对称的；
（3）画出关于原点成中心对称的．
解：（1）如图，即为所求；
（2）如图所示，即为所求，
（3）如图所示，即为所求，
20. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求；
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．
解：（1）根据题意知平行于墙的一边的长为米，
则有：，
∴，
解得：，
当时，，不符合题意，故舍去，
当时，，
则当苗圃园的面积为72平方米时，．
（2）设苗圃园的面积为y，
∴，
∵，
∴苗圃园的面积y有最大值，
∵，且，
解得：，
∴，
∴当时，y取得最大值，此时平方米；
当时，平方米．
21. 如图，在ΔABC中，，是边上的点，以为半径的圆分别交边于点，过点作于点．
（1）求证：直线是的切线．
（2）若，，求劣弧的长．
解：（1）连结
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
∴有线是切线.
（2）∵，∴，
∴，
∴
五、解答题（本大题共2小题，22题13分、23题14分，共27分）
22. 综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，．
【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：；
【解决问题】如图2，连结，求线段的长．
【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，直接写出面积是
解：数学思考：证明：将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，
，，
，
，
，
，
，
；
解决问题：解：过点作，交的延长线于点，连接
，
，
矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，
，，
，
，
，
，
∴是等边三角形，
，
，
，
，
，
；
拓展研究：解：当线段与交于点时，作于，
是的中点，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，
当的延长线交于点时，由上知，
，
，
综上所述，的面积是或．
23. 九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程
（1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10米，隧道顶部最高处距地面6.25米，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式
（2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖起方向上的高度差至少为0.5米，为了确保安全，问该隧道能否让最宽3米，最高3.5米的两辆车居中并列行驶（不考虑两车之间的空隙）？
（3）探究：该课题学习小组为进一步探究抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：
①如图2，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上，设矩形ABCD的周长为为l，求l的最大值
②如图3，过原点作一条直线y=x，交抛物线于M，交抛物线的对称轴于N，P为直线OM上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，问在直线OM上是否存在点P，使以点P、N、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，6.25），且图象过（10，0）点，
代入顶点式得： y=a（x-5）2+625，
∴0=a（10-5）2+6.25， 解得：a=-0.25，
∴y=-0.25（x-5）2+6.25；
（2）当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时，
∴10-3×2=4， 4÷2=2，
∴x=2代入解析式得： y=-0.25（2-5）2+6.25； y=4， 4-3.5=0.5，
∴隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶；
（3）I．假设AO=x，可得AB=10-2x， ∴AD=-0.25（x-5）2+6.25；
∴矩形ABCD的周长为l为：

∴l的最大值为： ．
II当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，
∵P在y=x的图象上，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．
∴∠POA=∠OPA=45°，
∴Q点的纵坐标为5，
∴5= −m2+10m 4 ，
解得：，
所以P或
当∠P3NQ3=90°时，过点Q3作Q3K1⊥对称轴，
当△NQ3K1为等腰直角三角形时，△NP3Q3为等腰直角三角形，
Q点在OM的上方时，
P3Q3=2Q3K1，P3Q3=， Q3K1=5-x，
Q点在OM的下方时，
P4Q4=2Q4K2，P4Q4=， Q4K2=x-5，
∴ ， 解得：x1=4，x2=10，
P3（4，4），P4（10，10）
∴使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为：
或或（4，4）或（10，10）．