2024年广东省揭阳市榕城区中考二模数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2024年广东省揭阳市榕城区中考二模数学试题（原卷版+解析版），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间120分钟，满分120分）
一、选择题：（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1. 生产厂家检测4个篮球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的篮球是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ）

A. B. C. D.
4. 通过大量的掷图钉试验，发现钉尖朝上的频率稳定在附近，则可估计钉尖朝上的概率为（ ）
A B. C. D.
5. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，垂直平分于点E，则的长为（ ）
A. B. C. 4D. 2
6. 如果四点，和和在反比例函数的图象上，那，，之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7. 某人把“抖空竹”的一个姿势抽象成数学问题．如图所示，已知，，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
8. 2023年5月12日是我国第15个全国防灾减灾日，我校组织八年级部分同学进行了两次地展应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离人数比第一次的多15，结果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了240秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则x满足的方程为（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，在扇形中，，半径，点是上一点，连接，沿将扇形折叠，使得点落在的延长线上的点处，连接，则图中阴影部分面积为（结果保留）（ ）
A. B.
C. D.
10. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为直线．若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
11. 若最简二次根式与能够合并，则______．
12. 已知方程，用含代数式表示，则________．
13. 如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点，镜子，树底三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为米，米，米，则树高为______米．

14. 如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则______．
15. 如图是某学校全体教职工年龄频数分布直方图（统计中采用“上限不在内”的原则，如年龄为36岁统计在小组，而不在小组），根据图中提供的信息，有下列说法：
①该学校教职工总人数是50；
②年龄在小组的教职工人数占该学校全体教职工总人数的；
③教职工年龄中位数一定落在这一组；
④教职工年龄的众数一定在这一组．
其中正确的是 ________．
16. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转n个45°，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是______．
三、解答题（本大题4小题，其中17-18题各4分，19-20题各6分，共20分）
17. 解不等式组．
18. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
（1）长为的线段，其中、都在格点上
（2）面积为5的正方形，其中、、、都在格点上
19. 以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
（1）上面第二步计算中，中括号里的变形的依据是________；
（2）上面的运算过程中第________步出现了错误；
（3）请你从出错的那一步开始把解题过程补充完整．
20. 在某次物理实验中，需要在图中的1、2、3个位置处安装3个元件形成电路，现有A、B、C三个元件，其中有一个元件在上一次实验操作中被烧坏掉，现将三个元件分别任意安装到1、2、3处；
（1）位置1处安装被烧坏的元件概率为_______；
（2）请用合适的方法分析并求出闭合开关后，小灯泡能亮的概率．
四、解答题（本大题3小题，其中21题8分，22-23各10分，共28分）
21. 某小区了改善绿化环境，计划购买、两种树苗共棵，其中 树苗每棵 元， 树苗每棵元． 经测算购买两种树苗一共需要元．
（1）计划购买 两种树苗各多少棵?
（2）在实际购买中，小区与商家协商：两种树苗的售价均下降元（），且每降低 元，小区就多购买树苗棵，树苗棵．小区实际购买这两种树苗的费用比原计划费用多了元，则该小区实际购买 树苗共多少棵?
22. 如图，是的外接圆，是的直径，点D在上，，连接，延长交过点C的切线于点E．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若的长为 ___________．
23. 三月是草长莺飞的好时节，某高校组织学生春游，出发点位于点C处，集合点位于点E处，现有两条路线可以选择：①，②．已知B位于C的正西方，A位于B的北偏西方向米处，且位于C的北偏西方向处．D位于A的正西方向米处，E位于C的西南方向，且正好位于D的正南方向．
（参考数据：，，，）
（1）求A与C之间的距离（结果保留整数）；
（2）已知路线①的步行速度为40米/分钟，路线②的步行速度为75米/分钟，请计算说明：走哪条线路用时更短？（结果保留一位小数）
五、解答题（本大题2小题，每小题12分，共24分）
24. 定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”．
（1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是 ；
（2）如图②，已知点，是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点．连接，，，求的面积；
（3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，点为平面内一点，是否存在点、，使得以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
25. 在矩形中，点是射线上一动点，连接，过点作于点，交直线于点．

（1）当矩形是正方形时，以点为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接．
①如图1，若点在线段上，则线段与之间的数量关系是________，位置关系是________；
②如图2，若点在线段的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
（2）如图3，若点在线段上，以和为邻边作，是中点，连接，，．
①求面积的最大值；
②直接写出的最小值是________．
2024年初中学业水平考试第二次模拟考试
数学科试卷
（时间120分钟，满分120分）
一、选择题：（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1. 生产厂家检测4个篮球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的篮球是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据绝对值最小的最接近标准质量可得答案．
【详解】解：∵，
∴质量为－0.5的篮球最接近标准质量，
故选：B．
本题考查了正数和负数，理解绝对值的意义是解题关键．
2. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了平方、绝对值、算术平方根、立方根等知识，根据运算法则计算后即可得到答案．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项正确，符合题意．
故选：D．
3. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．看不见的棱要用虚线表示．找到从前面看所得到的图形即可．
【详解】解：卷纸的主视图应是：
，
故选：C．
4. 通过大量的掷图钉试验，发现钉尖朝上的频率稳定在附近，则可估计钉尖朝上的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据随机事件通过大量重复试验发生的频率与概率的关系求解即可．
【详解】掷图钉钉尖朝上为随机事件，通过大量的试验，该事件发生的频率稳定在，于是可以把频率估计成该事件发生的概率．
故选：C．
本题主要考查用频率估计概率，牢记随机事件的频率与概率的关系（可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率）是解题的关键．
5. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，垂直平分于点E，则的长为（ ）
A. B. C. 4D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理，由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出，得出，由勾股定理求出即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
6. 如果四点，和和在反比例函数的图象上，那，，之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积相等，求出各点纵坐标，比较大小即可．
【详解】解：，和和在反比例函数的图象上，
，
，，，
，
故选A．
7. 某人把“抖空竹”的一个姿势抽象成数学问题．如图所示，已知，，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】延长交于点，根据得到，结合三角形内外角关系即可得到答案．
【详解】解：延长交于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故选B；
本题主要考查平行线的性质及三角形内外角的性质，解题的关键是作出辅助线．
8. 2023年5月12日是我国第15个全国防灾减灾日，我校组织八年级部分同学进行了两次地展应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多15，结果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了240秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则x满足的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．根据第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多15，结果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了240秒，列出分式方程即可．
【详解】解：由题意得：，
故选：A．
9. 如图，在扇形中，，半径，点是上一点，连接，沿将扇形折叠，使得点落在的延长线上的点处，连接，则图中阴影部分面积为（结果保留）（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式及勾股定理的巧妙运用是解题的关键．
利用勾股定理求出的长，即可求出的面积，再将余下的阴影部分的面积转化为右上方弓形的面积即可解决问题．
【详解】：因，且，
所以．
由折叠可知，
，
则．
设长为，
则，
在中，
，
解得，
所以．
又因为余下的阴影部分的面积与右上方的弓形面积相等，
则，
所以．
故选：C．
10. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为直线．若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据，可得出，解得，进而可确定的取值范围，函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
11. 若最简二次根式与能够合并，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据最简二次根式以及同类二次根式定义即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：，
，
故答案为：2．
本题考查了最简二次根式、同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解决本题的关键．
12. 已知方程，用含代数式表示，则________．
【答案】
【解析】
【分析】把x看成已知数，用x表示出y即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看成已知数求出y．
13. 如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点，镜子，树底三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为米，米，米，则树高为______米．

【答案】
【解析】
【分析】点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知，则，由相似三角形的判定定理可得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长．
【详解】解：点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知，

，
，
，
又，
，
，
米，米，米
，
米．
故答案为：．
本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
14. 如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则______．
【答案】
【解析】
【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：

∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴点，
∴，
故答案为：．
本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．
15. 如图是某学校全体教职工年龄的频数分布直方图（统计中采用“上限不在内”的原则，如年龄为36岁统计在小组，而不在小组），根据图中提供的信息，有下列说法：
①该学校教职工总人数是50；
②年龄在小组的教职工人数占该学校全体教职工总人数的；
③教职工年龄中位数一定落在这一组；
④教职工年龄的众数一定在这一组．
其中正确的是 ________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．根据直方图，可得该学校教职工总人数为（人），即可判断①； 在小组的教职工人数占该学校全体教职工总人数的比例为，即可判断②； 根据中位数的定义，即可判断③；教职工年龄在的总人数最多，但教职工年龄的众数在哪一组并不确定，即可判断④．
【详解】解：①该学校教职工总人数为（人），故符合题意；
②在小组的教职工人数占该学校全体教职工总人数的比例为，故符合题意；
③由第25个，第26个数据落在这一组，可得教职工年龄的中位数一定落在这一组，符合题意；
④教职工年龄在的总人数最多，但教职工年龄的众数在哪一组并不确定．不符合题意
故答案为：①②③．
16. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转n个45°，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形变换与点坐标，掌握几何图形的特点及变换的规律，找出点坐标变换的规律是解题的关键．根据正六边形的特点分别求出每个内角，外角的度数，以及边长的关系，再根据旋转的特殊计算出旋转规律，由此可知当时，点所在位置，由此即可求解．
【详解】解：∵正六边形，
∴每个内角的度数为，即，
∴正六边形的一个外角为，即与轴正半轴的夹角为，
如图所示，未旋转时，连接，正六边形的边长为，，过点作于点，
∴，
∵
∴
∴
在中，根据勾股定理得，，
∴，
∴，
当正六边形绕点顺时针旋转，
∴，即旋转次，正六边形回到起始位置，
∴当时，，即旋转轮后，点回到了原位置，如图所示，
∵，
∴，即当时，顶点的坐标是，
故答案为：．
三、解答题（本大题4小题，其中17-18题各4分，19-20题各6分，共20分）
17. 解不等式组．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为．
18. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
（1）长为的线段，其中、都在格点上
（2）面积为5的正方形，其中、、、都在格点上
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的运用，正方形的判定，本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理与勾股定理的逆定理即可解决问题．
（1）由勾股定理可知当直角边为1和3时，则斜边为，由此可得线段；
（2）由勾股定理可知当直角边为1和2时，则斜边为，把斜边作为正方形的边长即可得到面积为5的正方形．
【小问1详解】
解：如图，线段即所求，
其中；
【小问2详解】
如图，四边形即为所求，
其中：，
连接，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，且面积为．
19. 以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
（1）上面第二步计算中，中括号里的变形的依据是________；
（2）上面的运算过程中第________步出现了错误；
（3）请你从出错的那一步开始把解题过程补充完整．
【答案】（1）分式的基本性质
（2）三 （3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的混合计算：
（1）根据分式的基本性质填写即可；
（2）观察可知，上面的运算过程中第三步计算减法的时候第二个分式的分子中的符号没有变号；
（3）根据分式的运算法则，先乘除，后加减，有括号的先算括号内的．
【小问1详解】
解：上面第二步计算中，中括号里变形是通分，其依据是分式的基本性质，
故答案为：分式的基本性质；
【小问2详解】
解：观察可知，上面的运算过程中第三步出现错误，原因是计算减法的时候第二个分式的分子中的符号没有变号，
故答案为：三；
【小问3详解】
解：原式

20. 在某次物理实验中，需要在图中的1、2、3个位置处安装3个元件形成电路，现有A、B、C三个元件，其中有一个元件在上一次实验操作中被烧坏掉，现将三个元件分别任意安装到1、2、3处；
（1）位置1处安装被烧坏的元件概率为_______；
（2）请用合适的方法分析并求出闭合开关后，小灯泡能亮的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据烧坏的元件安装到1、2、3处的概率一样即可得到答案；
（2）根据并联电路的特点可知，位置1处必须放完好的元件才能保证形成电路，假设A、B、C中烧坏的元件为A，由此列树状图求解即可．
【小问1详解】
解：∵烧坏的元件安装到1、2、3处的概率一样，
∴位置1处安装被烧坏的元件概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据并联电路的特点可知，位置1处必须放完好的元件才能保证形成电路，假设A、B、C中烧坏的元件为A，列树状图如下所示：
由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，其中小灯泡能亮的结果数有4种，
∴小灯泡能亮的概率为．
本题主要考查了简单的概率计算和列树状图或列表法求解概率，熟知概率的相关知识是解题的关键．
四、解答题（本大题3小题，其中21题8分，22-23各10分，共28分）
21. 某小区为了改善绿化环境，计划购买、两种树苗共棵，其中 树苗每棵 元， 树苗每棵元． 经测算购买两种树苗一共需要元．
（1）计划购买 两种树苗各多少棵?
（2）在实际购买中，小区与商家协商：两种树苗的售价均下降元（），且每降低 元，小区就多购买树苗棵，树苗棵．小区实际购买这两种树苗的费用比原计划费用多了元，则该小区实际购买 树苗共多少棵?
【答案】（1）计划购买 树苗棵，树苗棵
（2）该小区实际购买 树苗共棵
【解析】
【分析】（1）设购买树苗棵，树苗棵，利用单价、数量与总价的关系，结合题意即可得到关于，的二元一次方程组，解之即可得出结果；
（2）利用单价、数量与总价的关系即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其符合题意的值代入中即可求出结论．
【小问1详解】
设购买树苗棵，树苗棵，根据题意得，
答：计划购买 树苗棵，树苗棵；
【小问2详解】
根据题意得，
整理得，
，(不符合题意，舍去)
，
答：该小区实际购买 树苗共棵．
本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出相应的二元一次方程组和一元二次方程是解本题的关键．
22. 如图，是的外接圆，是的直径，点D在上，，连接，延长交过点C的切线于点E．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若的长为 ___________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，是解题的关键．
（1）利用等腰三角形的性质可得，再利用圆周角定理可得，即可求解；
（2）利用切线的性质可得，再利用圆内接四边形的对角互补及平角的定义可得，再由（1）的结论可得，从而可证，再根据平行线的性质可得，即可求解；
（3）根据圆周角定理可得，再利用勾股定理求得的长，从而可证，再根据相似三角形的性质求得的长，最后利用勾股定理计算即可．
【小问1详解】
证明： ∵，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
证明：连接OC，如图：
∵与相切于点C，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
小问3详解】
解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
23. 三月是草长莺飞的好时节，某高校组织学生春游，出发点位于点C处，集合点位于点E处，现有两条路线可以选择：①，②．已知B位于C的正西方，A位于B的北偏西方向米处，且位于C的北偏西方向处．D位于A的正西方向米处，E位于C的西南方向，且正好位于D的正南方向．
（参考数据：，，，）
（1）求A与C之间的距离（结果保留整数）；
（2）已知路线①的步行速度为40米/分钟，路线②的步行速度为75米/分钟，请计算说明：走哪条线路用时更短？（结果保留一位小数）
【答案】（1）500米；
（2）走线路①用时更短
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合和熟练掌握方位角的概念是解题的关键．
（1）过点A作，交的延长线于点H，利用锐角三角函数依次求出即可；
（2）设与的交点为M；利用矩形的性质、解直角三角形等知识求出米，米，米，米，米，再分别求出两条线路的用时，比较后即可得到结论．
【小问1详解】
解：如图，过点A作，交的延长线于点H，
则，
由题意可知，，，
∴（米），
∴（米），
即A与C之间的距离为500米；
【小问2详解】
设与的交点为M，由题意可知， ，
∴四边形是矩形，
∴米，（米），
米，
由题意可知，，
∴是等腰直角三角形，
∴米，
∴米，
∴路线①的步行的时间为（分钟）
路线②的步行的时间为（分钟）
∵，
∴走线路①用时更短．
五、解答题（本大题2小题，每小题12分，共24分）
24. 定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”．
（1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是 ；
（2）如图②，已知点，是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点．连接，，，求的面积；
（3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，点为平面内一点，是否存在点、，使得以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）
（3）存在，或
【解析】
【分析】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数和二次函数的图象和性质，菱形的性质，理解坐标与图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键．
（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或边上；
（2）根据“梦之点”的定义和二次函数的解析式，求得，的坐标；根据二次函数的顶点式，求出抛物线的顶点，点的坐标，抛物线的对称轴，根据，即可求得答案；
（3）设，由以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形可得，利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案．
【小问1详解】
∵矩形的顶点坐标分别是，，，，
∴设矩形的“梦之点”为，满足，，
∴点，，中，是矩形“梦之点”为点，．
故答案为：，．
【小问2详解】
∵，是抛物线上的“梦之点”
∴点，是直线上的点，
∴，
∴，，
∴，；
∵，
∴二次函数的顶点，二次函数的对称轴为，
设抛物线的对称轴交于，
∴，
∴
∴
．
【小问3详解】
存在，理由如下：
设，
∵以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形，
∴，
∴，
解得：，
当，，
∴点；
当，，
∴点；
综上所述，点的坐标为：或者．
25. 在矩形中，点是射线上一动点，连接，过点作于点，交直线于点．

（1）当矩形是正方形时，以点为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接．
①如图1，若点在线段上，则线段与之间的数量关系是________，位置关系是________；
②如图2，若点在线段的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
（2）如图3，若点在线段上，以和为邻边作，是中点，连接，，．
①求面积的最大值；
②直接写出的最小值是________．
【答案】（1）①相等，垂直；②成立，理由见解析
（2）①时，的面积取最大值为；②．
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形和矩形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、二次函数的最值、圆的性质，难度较大，找出图中的全等三角形和相似三角形是解题的关键．
（1）①证明，得到，，再证明四边形为平行四边形，从而可得结果；
②根据（1）中同样的证明方法求证即可；
（2）①连接，，设，则，证明，则，即，得到，则的面积，根据二次函数的性质即可得到答案；
②说明C、E、G、F四点共圆，得出的最小值为圆M半径的最小值，利用勾股定理表示出，求出最值即可得到的最小值．
【小问1详解】
解：①∵四边形为正方形，
∴即，
∵，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，而，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴且，
∴，，
故答案为：相等；垂直；
②成立，理由是：
当点E在线段的延长线上时，
同理可得：，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，而，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴且，
∴，；
【小问2详解】
①连接，

∵，
设，则，
同（1）可得：，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴的面积，
当时，的面积的最大值为；
②∵，
∴C、E、G、F四点共圆，
∵四边形是平行四边形，M为中点，
∴M也是中点，
∴M是四边形外接圆圆心，
则的最小值为圆M半径的最小值，
∵，
设，
当时，y取最小值，
∴的最小值为，
故的最小值为．
故答案为：