中考数学一轮复习专题17 相似三角形（10个高频考点）（强化训练）（2份，原卷版+解析版）

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【考点1 比例的性质】
1．（2022·辽宁抚顺·统考一模）若，且，则的值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解析】由题意可得a、b的值，从而得到2a-b的值．
【详解】解：由题意可得a=0.75b，
代入a+b=14可得：1.75b=14，
∴b=8，
∴a=8×0.75=6，
∴2a-b=2×6-8=4，
故选B．
【点睛】本题考查比例的性质与代数式求值的综合应用，熟练求解二元一次方程组是解题关键．
2．（2022·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考一模）若= ，则 的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据比例设b=2k，a=3k，然后代入比例式计算即可得解．
【详解】解:∵=
∴设b=2k,a=5k,
则==
故选B
【点睛】本题考查比例的基本性质，解题关键是熟练掌握性质.
3．（2022·河北·模拟预测）已知a，b，c为正实数，且，则直线一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】先根据比例的性质求出k的值，然后代入，根据一次函数的性质即可得出函数图像不经过的象限.
【详解】∵a，b，c为正实数，
∴a+b+c≠0，
∴k==2,
∴一次函数表达式为y=2x+3,
∴它的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选D.
【点睛】此题考查了一次函数的性质和图象，以及比例的性质，根据等比性质求出k的值是解答本题的关键.
4．（2022·四川内江·统考一模）已知实数x，y，z满足，则的值为_________．
【答案】
【分析】令＝＝=，则x=2k，y=6k，z=3k．代入求值即可．
【详解】∵＝＝=，
∴x=2k，y−z=3k，x+z=5k，
∴y=6k，z=3k.
∴===.
故答案为.
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的运算法则.
5．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）锐角三角形的外心为O，外接圆直径为d，延长，分别与对边交于．
(1)求的值；
(2)求证：．
【答案】(1)1
(2)见解析
【分析】（1）根据，进而可以解决问题；
（2）延长交于M，由于交于点O．然后由，可以求得结论．
【详解】（1）解：由于交于点O，
∴，，，
∴；
（2）证明：如图，延长交于M，设R为的外接圆半径，交于点O．
∵，
同理有：，，
代入，
得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，分式的加减法，比例的性质，解决本题的关键是掌握三角形外接圆与外心．
【考点2 比例线段】
6．（2022·甘肃甘南·校考一模）下列各组线段中，成比例的是（ ）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【答案】D
【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论．
【详解】解：A、∵2×5≠3×4，∴选项A不成比例；
B、∵2×8≠4×6，∴选项B不成比例；
C、∵3×12≠6×8，∴选项C不成比例；
D、∵1×15=3×5，∴选项D成比例．
故选：D．
【点睛】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
7．（2022·统考一模）已知线段，，则a，b的比例中项线段等于______．
【答案】2
【分析】设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积求解即可得出答案．
【详解】解：设线段x是线段a，b的比例中项，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴舍去，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的比例中项的含义，理解“若，则是的比例中项”是解本题的关键．
8．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，将一条长为的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分(阴影处)沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分成了三段，若这三段长度由短到长的比为，则折痕对应的刻度有________种可能．
【答案】4
【分析】剪成三段，而且三段比为，那么最短一段为，中间一段为，最长的为，分类讨论即可．
【详解】剪成三段，而且三段比为，那么最短一段为，中间一段为，最长的为，接下来分类讨论：
（1）0-为第一段，为第二段，为第三段，则折痕刻度为处；
（2）0-为第一段，为第二段，为第三段，则折痕刻度为处；
（3）0-为第一段，为第二段，为第三段，则折痕刻度为处；
（4）0-为第一段，为第二段，为第三段，则折痕刻度为处；
（5）0-为第一段，为第二段，为第三段，则折痕刻度为处；
（6）0-为第一段，为第二段，为第三段，则折痕刻度为处．
故折痕对应的刻度可能情况有4种．
【点睛】本题考查了线段的比例关系，根据情况分类讨论是关键．
9．（2022·江苏盐城·校考一模）在比例尺为1：100 000的盐都旅游地图上，测得大纵湖东晋水城与杨侍生态园的距离约为31 cm，则大纵湖东晋水城与杨侍生态园的实际距离约为______km．
【答案】31
【分析】图上的距离除以比例尺，算出实际距离，进而把厘米换算成千米即可．
【详解】解：由题意得，
故答案为：31．
【点睛】本题考查比例尺的实际应用，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
10．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知三条线段 满足 ，且 ．
（1）求 的值；
（2）若线段 是线段 和 的比例中项，求 的值．
【答案】（1）a=6，b=4，c=7；（2）d=
【分析】（1）设，用含k的代数式分别表示出，再由a+b+c=17，建立关于k的方程，解方程求出k的值，从而可求出的值．
（2）由已知线段 是线段 和 的比例中项，可得到d2=ab，代入计算求出d的值．
【详解】（1）解：设
∴a=3k，b=2k，c+1=4k即c=4k-1
∵a+b+c=17
∴3k+2k+4k-1=17
解之：k=2
∴a=6，b=4，c=7．
（2）解：∵线段 是线段 和 的比例中项
∴d2=ab=6×4=24
解之：d=．
【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设法”用表示出、、可以使计算更加简便．
【考点3 黄金分割】
11．（2022·湖南衡阳·统考中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（结果精确到．参考数据：，，）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设雕像的下部高为x m，由黄金分割的定义得求解即可．
【详解】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（2-x）m，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
雷锋雕像为2m，
∴
∴，
即该雕像的下部设计高度约是1.24m，
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
12．（2022·山东枣庄·校考模拟预测）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A．（20﹣x）2＝20xB．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202D．以上都不对
【答案】A
【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则，即可求解．
【详解】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，
且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，
∴，
∴（20−x）2＝20x，
故选：A．
【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
13．（2022·云南玉溪·统考一模）如图，点A坐标是(0，0)，点C坐标是(2，2)，现有E、F两点分别从点D(0，2)和点B(2，0)向下和向右以每秒一个单位速度移动，Q为EF中点．设运动时间为t．
（1）在运动过程中始终与线段EC相等的线段是 ；四边形CEAF面积＝ ．
（2）当t＝1秒时，求线段CQ的长．
（3）过点B作BP平行于CF交EC于点P．当t＝ 时，线段AP最短，此时作直线EP与x轴交于点K，试证明，点K是线段AB的黄金分割点．
【答案】（1）FC，4；（2）；（3）t＝（+1）s，见解析
【分析】（1）连接CD、CB，则四边形ABCD是正方形，CD＝CB＝2，证△CDE≌△CBF（SAS），得EC＝FC，即可解决问题；
（2）先由全等三角形的性质得EC＝FC，∠DCE＝∠BCF，再证△ECF是等腰直角三角形，当t＝1时，DE＝1，然后由勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质求解即可；
（3）证∠BPC＝90°，则点P的轨迹在以BC为直径的圆弧上，设BC的中点为G，连接AG，当点P在AG上时，AP最短，此时，PG＝BG＝1，再求出E（0，1﹣），t＝（+1）s，然后由待定系数法求出CE的解析式，即可解决问题．
【详解】解：（1）连接CD、CB，如图1所示：
∵A（0，0）、C（2，2）、D（0，2）、B（2，0），
∴CD＝CB＝AB=AD=2，
∴四边形DABC是菱形
又
∴四边形ABCD是正方形，
∵E、F两点分别从点D和点B向下和向右以每秒一个单位速度移动，
∴DE＝BF，
∵∠CDE＝∠CBF＝90°，
∴△CDE≌△CBF（SAS），
∴EC＝FC，
S四边形CEAF＝S四边形CEAB+S△CBF＝S四边形CEAB+S△CDE＝S正方形ABCD＝CB•CD＝2×2＝4，
故答案为：FC，4；
（2）∵△CDE≌△CBF，
∴EC＝FC，∠DCE＝∠BCF，
∵∠DCE+∠ECB＝90°，
∴∠BCF+∠ECB＝90°，即∠ECF＝90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
当t＝1时，DE＝1，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE＝＝＝，
∴EF＝CE＝×＝，
∵Q为EF中点，
∴CQ＝EF＝＝；
（3）∵BP∥CF，∠ECF＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴点P的轨迹在以BC为直径的圆弧上，
设BC的中点为G，连接AG，如图2所示：
当点P在AG上时，AP最短，
此时，PG＝BG＝1，
在Rt△ABG中，由勾股定理得AG＝＝＝，
∴AP＝AG﹣PG＝﹣1，
∵BC∥DE，
∴∠AEP＝∠GCP，
∵GC＝GP，
∴∠GCP＝∠GPC，
∵∠GPC＝∠APE，
∴∠AEP＝∠APE，
∴AP＝AE＝﹣1，
∴E（0，1﹣），
∴DE＝2﹣（1﹣）＝+1，
∴t＝（+1）s，
故答案为：（+1）s；
设CE的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
将C（2，2）、E（0，1﹣）代入解析式得：，
解得：，
∴CE的解析式为：y＝x+1﹣，
令y＝0，x＝3﹣，
∴K（3﹣，0），
∴BK＝2﹣（3﹣）＝﹣1，
∴＝，
∴点K是线段AB的黄金分割点．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、点的轨迹、待定系数法求直线的解析式、勾股定理、黄金分割等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（2011·河北廊坊·统考中考模拟）如图1，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．
某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在中，若点为边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点任作一条直线交于点E，再过点作直线，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是的黄金分割线．请你说明理由．
（4）如图4，点E是的边的黄金分割点，过点E作，交于点，显然直线是的黄金分割线．请你画一条的黄金分割线，使它不经过各边黄金分割点．
【答案】（1）对，理由见解析（2）不可能，理由见解析；（3）理由见解析（4）见解析
【分析】（1）由于、、是同高，而点为边的黄金分割点，则，所以，故直线是的黄金分割线；
（2）只需判断它们面积比是否相等，若相等则中线是三角形的黄金分割线，否则不是；
（3）根据平行线间的距离相等，则，设直线与交于点，则．通过图形面积的转化，直线分三角形的图形面积有，故直线也是的黄金分割线；
（4）画法不唯一，只需分成图形面积比相等即可．
【详解】解：（1）直线是的黄金分割线．理由如下：
设的边上的高为．
则，，，
∴，．
又∵点为边的黄金分割点，
∴．则．
∴直线是的黄金分割线．
（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
∴，即，
∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．
（3）∵，
∴和的公共边上的高也相等，
∴．
设直线与交于点．则．
∴
，．
又∵，∴．
∴直线也是的黄金分割线．
（4）画法不唯一，现提供两种画法；
画法一：如答图1，取的中点，再过点作一条直线分别交，DC于，N点，则直线MN就是的黄金分割线．
画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作交于点，连接MN，则直线MN就是的黄金分割线．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中线性质、黄金分割、三角形的面积、平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，关键是黄金分割线的灵活运用．
15.（2022·辽宁沈阳·沈阳市外国语学校校考一模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB=AC=3，BC=4，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为______．
【答案】10-4
【分析】作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得到BH=CH=2，根据勾股定理求出AH，根据线段的“黄金分割”点的定义得到CD、BE的长，求出DE的长，最后由三角形面积公式解答即可．
【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC，
∴BH=CH=BC=2，
在Rt△ABH中，，
∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10-4．
【点睛】本题考查的是黄金分割、等腰三角形的性质，熟记黄金比值是解题的关键．
【考点4 平行线分线段成比例】
16．（2022春·九年级单元测试）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为_____．
【答案】
【分析】如图，过点作于点，于点，过点作交于点．证明，设，证明，设，则，求出，可得结论．
【详解】解：如图，过点作于点，于点，过点作交于点．
平分，，，
，
，
，
设，则，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
的周长，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
17．（2022·北京·统考中考真题）如图，在矩形中，若，则的长为_______．
【答案】1
【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可．
【详解】解：在矩形中， ，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
18．（2022·上海·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则_____．
【答案】或
【分析】由题意可求出，取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，满足，进而可求此时，然后在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则，证明△DE1E2是等边三角形，求出E1E2＝，即可得到，问题得解．
【详解】解：∵D为AB中点，
∴，即，
取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，此时DE1∥BC，，
∴，
在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则，
∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠C=60°，BC＝，
∵DE1∥BC，
∴∠DE1E2=60°，
∴△DE1E2是等边三角形，
∴DE1＝DE2＝E1E2＝，
∴E1E2＝，
∵，
∴，即，
综上，的值为：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据进行分情况求解是解题的关键．
19．（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】解：过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，
根据题意得，
∵，
∴，
又∵，
∴
故选：C
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键．
20．（2022·湖南长沙·长沙市北雅中学校考模拟预测）知识拓展
如图1，由，，可得；
如图2，由，，可得；
解决问题 如图3，直线AB与坐标轴分别交于点， ，反比例函数 的图象与AB交于C，D两点．
(1)若，n取何值时的面积最大？
(2)若，求点B的坐标．
【答案】(1)当时，的面积最大
(2)
【分析】（1）由得，利用三角形面积公式得出，转化为顶点式即可求解；
（2）过点C作于E，过点D作于F，根据得，得出，根据点C在反比例函数 上，得出，代入直线AB的解析式，即可求解．
（1）
解：∵，
∴，
∵点， ，
∴，
∴时，取最大值，最大值为8，
即当时，的面积最大；
（2）
解：如图，
∵，
∴，
过点C作于E，过点D作于F，
∴，
∴，
∵点 ，
∴，
∴，
∴点C的纵坐标为，
∵点C在反比例函数 的图象上，
∴，
∵点， ，
∴直线AB的解析式为，
∵点C在直线AB上，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了三角形面积公式，待定系数法求函数解析式，知识拓展得出的结论，解第一问的关键是建立与n的函数关系式，解第二问的关键是得出．
【考点5 相似多边形】
21．（2022·山东青岛·校考一模）下列结论不正确的是 （ ）
A．所有的正方形都相似B．所有的菱形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似D．所有的正五边形都相似
【答案】B
【分析】利用“对应角相等，对应边的比也相等的多边形相似”进行判定即可．
【详解】解：、所有的正方形都相似，故A正确，不合题意；
、菱形的内角不一定相等，所以所有的菱形不一定都相似，故B不正确；符合题意；
、所有的等腰直角三角形都相似，故C正确，不合题意；
、所有的正五边形边都相似，故D正确，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是了解对应角相等，对应边的比也相等的多边形相似，比较简单．
22.（2022·广东阳江·统考一模）若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4B．1：2C．2：1D．1：16
【答案】B
【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．
【详解】解：∵两个相似多边形面积比为1：4，
∴周长之比为 ＝1：2．
故选：B．
【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
23．（2022·河北·模拟预测）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理求出四边形ABCD的四条边之比，根据相似多边形的判定方法判断即可．
【详解】作AE⊥BC于E，
则四边形AECD为矩形，
∴EC＝AD＝1，AE＝CD＝3，
∴BE＝4，
由勾股定理得，AB＝＝5，
∴四边形ABCD的四条边之比为1：3：5：5，
D选项中，四条边之比为1：3：5：5，且对应角相等，
故选：D．
【点睛】此题考查相似多边形的判定定理，两个多边形的对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形相似，此题求出多边形的剩余边长是解题的关键，利用矩形的性质定理，勾股定理求出边长.
24.（2022·河北衡水·统考一模）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：
甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．
乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）．
A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对
【答案】C
【分析】根据相似多边形的对应边成比例、对应角相等进行判断即可．
【详解】解：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，平移后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似；
乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边不平行，因此各角与原菱形角不相等，即新菱形与原菱形不相似．
所以甲对，乙不对，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似多边形的判定．此题难度不大，熟练应用相似多边形的判定方法是解题关键．
25.（2022·山东青岛·山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）如图，一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形，如果小矩形与原来的矩形相似，那么小矩形的长边与短边的比是_____．
【答案】：1．
【分析】设原来矩形的长为x，宽为y，先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，即可得答案.
【详解】设原来矩形的长为x，宽为y，
则对折后的矩形的长为y，宽为，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x：y＝y：，
解得x：y＝：1．
故答案为：：1
【点睛】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，正确找出对应边是解题关键.
【考点6 相似三角形的判定与性质】
26．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作，射线交线段于点D，将射线绕点O顺时针旋转交射线于点E，连接．
(1)证明：；（用图1）
(2)当为直角三角形时，求的长度；（用图2）
(3)点A关于射线的对称点为F，求的最小值．（用图3）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)2
【分析】（1）由条件可证得，根据相似三角形对应边成比例得，即；
（2）先根据函数关系式求出的长度，然后作出对应的图2，可证明，从而得到，设，，结合对应边成比例，得到，则，解方程得到，所以，，再由（1）的结论，可计算出．
【详解】（1）证明：已知射线绕点O顺时针旋转交射线于点E，
，
，
，
,
，
又，
，
；
（2）解：直线，当时，，
，
，
当时，，
，
，
，
如图2，，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
，即，
，
，
，
，，
由（1）知：，
，
（3）解：如图3，由对称得：,
则动点F在以O为圆心，以为半径的半圆上运动，
当F在y轴上，此时在B的正上方，的值最小，如图4，
此时，即的最小值是2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形、一次函数与坐标轴交点问题、轴对称图形特征、圆的性质、动点中的最短距离问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定，采用数形结合，利用相似比列方程求线段长是解题关键．
27．（2022·江苏淮安·统考中考真题）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形中，为锐角，为中点，连接，将菱形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点．
(1)【观察发现】与的位置关系是______；
(2)【思考表达】连接，判断与是否相等，并说明理由；
(3)如图（2），延长交于点，连接，请探究的度数，并说明理由；
(4)【综合运用】如图（3），当时，连接，延长交于点，连接，请写出、、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析；
(3)，理由见解析；
(4)，理由见解析．
【分析】（1）利用菱形的性质和翻折变换的性质判断即可；
（2）连接，，由可知点B、、C在以为直径,E为圆心的圆上，则，由翻折变换的性质可得，证明，可得结论；
（3）连接，，，延长至点H，求出，，可得，然后证明，可得，进而得到即可解决问题．
（4）延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点，设，，解直角三角形求出，，利用勾股定理求出，然后根据相似三角形的判定和性质及平行线分线段成比例求出，，再根据勾股定理列式即可得出结论．
【详解】（1）解：∵在菱形中，，
∴由翻折的性质可知，，
故答案为：；
（2）解：，
理由：如图，连接，，
∵为中点，
∴，
∴点B、、C在以为直径,E为圆心的圆上，
∴，
∴，
由翻折变换的性质可知，
∴，
∴；
（3）解：结论：；
理由：如图，连接，，，延长至点H，
由翻折的性质可知，
设，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，点B、、C在以为直径,E为圆心的圆上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（4）解：结论：，
理由：如图，延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点，
设，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在中，则有，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，翻折变换，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
28．（2022·宁夏·中考真题）如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于、两点，与反比例函数的图象相交于点，，，：：．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点是线段上任意一点，过点作轴平行线，交反比例函数的图象于点，连接当面积最大时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)点D的坐标为
【分析】（1）过点作轴于点，先证∽，根据对应边成比例得，结合已知条件推出，，， ，可得，代入反比例函数解析式求出m值即可；
（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式为，设点的横坐标为，则，，用含t的代数式表示出ED，进而利用三角形面积公式得到关于t的一元二次函数，化成顶点式，即可求出最值．
（1）
解：如图，过点作轴于点，
∴，
又∵，
∽，
∴，
∵，，
，
，，
，
．
点在反比例函数的图象上，
．
反比例函数的表达式为：．
（2）
解：由题意可知，
设直线的解析式为，
将，代入，
得，
解得，
直线的解析式为：．
设点的横坐标为，则，，
，
的面积为：


．
，
时，面积取最大值，最大值为，
将代入，得
∴点D的坐标为．
【点睛】本题属于一次函数、反比例函数以及二次函数的综合题，考查待定系数法求一次函数、反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数解直角三角形，以及二次函数的最值等，解第一问的关键是求出点A的坐标，解第二问的关键是求出面积的函数表达式．
29．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在中，，，点在直线上，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．
(1)求证：；
(2)当点在线段上（点不与点，重合）时，求的值；
(3)过点作交于点，若，请直接写出的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
(3)或
【分析】（1）作AH⊥BC于H，可得BH＝AB，BC＝2BH，进而得出结论；
（2）证明△ABD∽△CBE，进而得出结果；
（3）当点D在线段AC上时，作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G，设AB＝AC＝3a，则AD＝2a，解直角三角形BDF，求得BD的长，根据△DAG∽△DBF求得AQ，进而求得AN，进一步得出结果；当点D在AC的延长线上时，设AB＝AC＝2a，则AD＝4a，同样方法求得结果．
（1）
证明：如图1，
作AH⊥BC于H，
∵AB＝AB，
∴∠BAH＝∠CAH＝∠BAC＝×120°＝60°，BC＝2BH，
∴sin60°＝，
∴BH＝AB，
∴BC＝2BH＝AB；
（2）
解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝，
由（1）得，，
同理可得，
∠DBE＝30°，，
∴∠ABC＝∠DBE，，
∴∠ABC−∠DBC＝∠DBE−∠DBC，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴；
（3）
：如图2，
当点D在线段AC上时，
作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G，
设AB＝AC＝3a，则AD＝2a，
由（1）得，，
在Rt△ABF中，∠BAF＝180°−∠BAC＝60°，AB＝3a，
∴AF＝3a•cs60°＝，BF＝3a•sin60°＝，
在Rt△BDF中，DF＝AD＋AF＝，
，
∵∠AGD＝∠F＝90°，∠ADG＝∠BDF，
∴△DAG∽△DBF，
∴，
∴，
∴，
∵ANDE，
∴∠AND＝∠BDE＝120°，
∴∠ANG＝60°，
∴，
∴，
如图3，
当点D在AC的延长线上时，
设AB＝AC＝2a，则AD＝4a，
由（1）得，
CE＝，
作BR⊥CA，交CA的延长线于R，作AQ⊥BD于Q，
同理可得，
AR＝a，BR＝，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：的值为或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类和较强的计算能力．
30．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．
(1)∠EDC的度数为 ；
(2)连接PG，求△APG 的面积的最大值；
(3)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
(4)求的最大值．
【答案】(1)45°
(2)9
(3)PE=DG，理由见解析
(4)
【分析】（1）先说明∠B=45°，再说明DE是△CBP的中位线可得DEBP，然后由平行线的性质即可解答；
（2）先说明△EDF和△GFC是等腰直角三角形可得DF=EF= 、GF=CF= ；设AP=x，则BP=12-x，BP=12-x=2DE，然后通过三角形中位线、勾股定理、线段的和差用x表示出AG，再根据三角形的面积公式列出表达式，最后运用二次函数求最值即可；
（3）先证明△GFD≌△CFE，可得DG=CE，进而可得PE=DG；由△GFD≌△CFE可得∠ECF=∠DGF，进而得到∠GHE=∠CFE=90°，即可说明DG、PE的位置关系；
（4）先说明△CEF∽△CDH得到，进而得到，然后将已经求得的量代入可得 ，然后根据求最值即可．
【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12
∴∠B=∠ACB=45°
∵，D、E分别为BC、PC的中点
∴DEBP，DE=
∴∠EDC=∠B=45°．
（2）解：如图：连接PG
∵∠EDC=∠ACB=45°，GF⊥DC
∴△EDF和△GFC是等腰直角三角形
∴DF=EF= ，GF=CF= ，
设AP=x，则BP=12-x，BP=12-x=2DE
∴DE=，EF=
∵Rt△APC，
∴PC=
∴CE=
∵Rt△EFC
∴FC=FG=
∴CG=CF=
∴AG=12-CG=12-=
∴S△APG=
所以当x=6时，S△APG有最大值9．
（3）解：DG=PE，DG⊥PE，理由如下：
∵DF=EF，∠CFE=∠GFD，GF=CF
∴△GFD≌△CFE(SAS)
∴DG=CE
∵E是PC的中点
∴PE=CE
∴PE=DG；
∵△GFD≌△CFE
∴∠ECF=∠DGF
∵∠CEF=∠PEG
∴∠GHE=∠EFC=90°，即DG⊥PE．
（4）解：∵△GFD≌△CFE
∴∠CEF=∠CDH
又∵∠ECF=∠DCH
∴△CEF∽△CDH
∴，即
∴
∵FC= ，CE=，CD=
∴
∴的最大值为．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线、平行线的性质、二次函数求最值、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
【考点7 网格中的相似三角形】
31．（2022·湖北恩施·统考模拟预测）如图，在边长相等的正方形网格中，A、B、C 为小正方形的顶点，则∠ABC=_______．
【答案】135°．
【分析】由题意，在网格中取格点D、E，连接BD、BE、DE，求出各边的边长，然后利用全等三角形的判定和性质，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，在网格中取格点D、E，连接BD、BE、DE，如图：
由勾股定理，则
，，，，，，
∴，，，
∴，
∴△ABC∽△DBE，
∴∠ABC=∠DBE=90°+45°=135°．
故答案为：135°．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理与网格问题，解题的关键是正确的确定格点，利用全等三角形的性质进行解题．
32．（2022·山东济宁·模拟预测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于_____．
【答案】
【分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可．
【详解】解：∵，
，
，
∴，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相似．
33．（2022·浙江宁波·统考一模）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）．
(1)在图1中画出一个格点，使得与相似，周长之比为2：1；
(2)在图2中画出一个格点，使得与相似，面积之比为2：1．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长扩大2倍即可．
（2）根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作．
（2）如图，即为所求作．
【点睛】本题考查作图﹣相似变换，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
34．（2022·吉林长春·统考一模）图①、图②、图③分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，画线段AB的中点F．
(2)在图②中，画的中位线GH，点G、H分别在线段CD、CE上，并直接写出与四边形DEHG的面积比．
(3)在图③中，画，点R在格点上，且被线段MN分成的两部分图形的面积比为1：3．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，面积比为1：3
(3)见解析
【分析】（1）根据网格的特点，找到之间单元网格的对角线，交于点，则点即为所求；
（2）根据（1）的方法找到的中点，连接，根据相似三角形的性质即可求出与四边形DEHG的面积比；
（3）根据（2）的结论，可知，只要经过的中位线，根据在网格上，找到符合题意的点即可求解．
【详解】（1）如图①：
（2）如图②：
，
与四边形DEHG的面积比为1：3．
（3）如图③，画出一种即可．
【点睛】本题考查了网格与相似三角形，相似三角形的性质，三角形中位线的性质，根据网格的特点找到线段的中点是解题的关键．
35．（2022·湖北武汉·统考一模）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，各个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，边BC上的点D也是一个格点．仅用无刻度的直尺在定网格中画图．画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
(1)在图1中，先画出AC的平行线DE交AB边于点E，可在BC边上画点F，使；
(2)在图2中，先在边AB找点M，使△MDC与△MAC的面积相等，再在AC上画点N，使△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据格点特点画出AC的平行线即可；根据格点特点作MA⊥AC，连接MC，则△AMC为等腰直角三角形，连接MC、NB，MC与NB交于点O，根据矩形性质可知，O为MC的中点，连接AO，则AO平分∠MAC，即∠OAC=45°，因此延长AO，与BC交于一点，即为点F；
（2）连接AD，则AD正好过格点O，连接CO，并延长与AB交于一点M，连接MD，此时△MDC与△MAC的面积相等；连接PQ，交BC于点G，连接GH，交AC于点N，连接DN，则△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一．
(1)
解：根据格点特点连接GD，则GD∥AC，GD与AB的交点即为E点；根据格点特点作MA⊥AC，连接MC，则△AMC为等腰直角三角形，连接MC、NB，MC与NB交于点O，根据矩形性质可知：O为MC的中点，连接AO，
∵AM=AC，
∴AO平分∠MAC，
∴∠OAC=45°，
∴延长AO，与BC交于一点，即为点F，
，∠ACB=∠ACF，
∴△ACF∽△BCA．
(2)
连接AD，则AD正好过格点O，连接CO，并延长与AB交于一点M，连接MD，此时△MDC与△MAC的面积相等；
∵AC=DC，O为AD的中点，
∴CM平分∠ACD，
∴点M到AC，CD的距离相等，
∴△MDC与△MAC的面积相等；
连接PQ，交BC于点G，连接GH，交AC于点N，连接DN，则△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一；
∵在△PBG和△QCG中，
∴，
∴，
∴CG=，
∵AH∥GC，
，
，
设△GCN边CG上的高为h1，△HAN边AH上的高为h2，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计，熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，角平分线的性质，是解题的关键．
【考点8 相似三角形中的动点问题】
36．（2022·浙江金华·统考中考真题）如图，在菱形中，，点E从点B出发沿折线向终点D运动．过点E作点E所在的边（或）的垂线，交菱形其它的边于点F，在的右侧作矩形．
(1)如图1，点G在上．求证：．
(2)若，当过中点时，求的长．
(3)已知，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与相似（包括全等）？
【答案】(1)见解析
(2)或5
(3)或或或
【分析】（1）证明△AFG是等腰三角形即可得到答案；
（2）记中点为点O．分点E在上和点E在上两种情况进行求解即可；
（3）过点A作于点M，作于点N．分点E在线段上时，点E在线段上时，点E在线段上，点E在线段上，共四钟情况分别求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，
∵四边形是菱形，
∴，
∴．
∵FGBC，
∴，
∴，
∴△AFG是等腰三角形，
∴．
（2）解：记中点为点O．
①当点E在上时，如图2，过点A作于点M，
∵在中，，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
②当点E在上时，如图3，
过点A作于点N．
同理，，
，
∴．
∴或5．
（3）解：过点A作于点M，作于点N．
①当点E在线段上时，．设，则，
ⅰ）若点H在点C的左侧，，即，如图4，
．
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验，是方程的根，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验，是方程的根，
∴．
ⅱ）若点H在点C的右侧，，即，如图5，
．
∵，
∴，
∴，
∴，
此方程无解．
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验，是方程的根，
∴．
②当点E在线段上时，，如图6，．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
此方程无解．
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验，是方程的根，
∵，
∴不合题意，舍去；
③当点E在线段上时，，如图7，过点C作于点J，
在中，．
，
∴，
∴，
∵，
∴，符合题意，
此时，．
④当点E在线段上时，，
∵，
∴与不相似．
综上所述，s满足的条件为：或或或．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质、菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、矩形的性质、锐角三角函数等知识，分类讨论方法是解题的关键．
37．（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，在中，，，动点从点出发，沿方向以的速度向点运动，动点从点同时出发，沿方向以的速度向点运动．当点到达点时，，两点同时停止运动，以为一边向上作正方形，过点作，交于点设点的运动时间为单位：，正方形和梯形重合部分的面积为．
(1)当 ______ 时，点与点重合；
(2)当 ______ 时，点在上；
(3)当点在，两点之间不包括，两点时，求与之间的函数关系式；
(4)是否存在某一时刻，使得正方形的面积被直线平分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)存在，
【分析】（1）当点与点重合时，此时，且，由此列一元一次方程求出的值；
（2）当点在上时，如图1所示，此时．由相似三角形比例线段关系可得，从而由关系式，列一元一次方程求出的值；
（3）当点在两点之间运动(不包括两点)， 时，如答图3所示，此时重合部分为梯形．先计算梯形各边长，然后利用梯形面积公式求出，②当时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形，根据求出．
（4）由题意知，当时，正方形的面积被直线平分，列出方程，求出时间．
【详解】（1）当点与点重合时，，且，
∴，解得，
故答案为：；
（2）当点在上时，如答图1所示，此时．
∵
∴
∵四边形为正方形，
∴
∴，
∴，
则．
由，得，
解得：；
（3）当重合时，由（1）知，此时；
当点在上时，如答图2所示，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
即，
解得：；此时两点重合；
因此当点在两点之间(不包括两点)时，其运动过程如下：
①当时，如答图3所示，此时重合部分为梯形．
此时，
∴；
∵
∴，
∴．
∴，
∴，
；
②当时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形．
此时，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴，
可得，，
∴，
又，
∴．
∴
综上所述，当点在两点之间(不包括两点)时，与之间的函数关系式为：
．
（4）由（3）知，当时，正方形的面积被直线平分，
∴，
解得：，
∴当时，正方形的面积被直线平分．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，动点问题，一元二次方程的应用，分类讨论是解题的关键．
38．（2022·山东青岛·校考二模）已知，如图，矩形中，，，点以每秒个单位从点向点运动，同时点沿着以每秒个单位从向运动，在点运动的同时，作交于，当点移动到时，点和点停止运动．以和为边作平行四边形，设运动时间为秒．
(1)几秒时， ？
(2)设平行四边形的面积是，用表示；
(3)当时，吗？说明理由．
(4)存不存在某个时刻，使得？若存在，求出；若不存在，说明理由．
【答案】(1)当运动时间是秒时，∽
(2)
(3)，理由见解析
(4)
【分析】（1）可推出 ，进而得出，进一步得出结果；
（2）设交于，根据∽表示出，根据 表示出，从而表示出上的高，进一步得出结果；
（3）先表示出，根据 求得的值，进而表示出和，根据和的数量关系确定和的数量关系；
（4）连接交于，延长交于，当可推出点是的中点，进而推出点为的中点，进一步求得结果．
【详解】（1）解：，
，
四边形是矩形，
， ，
，，
，
，
，
，
，
；
当运动时间是秒时，∽；
（2）设交于，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3），理由如下：
当时，四边形是矩形，
，
，
由 得，
，
，
，
，
，
，
；
（4）如图，

连接交于，延长交于，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
同理可得，
，
即：，
．
【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定等知识，解决问题的关键是转化条件，灵活运用相关知识．
39．（2022·浙江绍兴·一模）如图1，平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（5，0），D（3，0），点P从点A出发，沿y轴负方向在y轴上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，过点P作轴交直线AD于点E．
(1)设点P的运动时间为t（s），DE的单位长度为y，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
(2)当t为何值时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切？并求此时⊙E的半径；
(3)在点P的运动过程中，当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求此时t的值；
(4)如图2，将△ABD沿直线AD翻折，得到，连结，如果，求t值．（直接写出答案，不要求解答过程）．
【答案】(1)y关于t的函数关系式为，或
(2)当t为或16时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切，⊙E的半径为或12
(3)当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，t的值为或8或或10
(4)
【分析】（1）由勾股定理求出AD，分两种情况，由平行线得出比例式求出AE，得出DE即可；
（2）作EM⊥OD于M，则EM=4-t，由平行线得出比例式，得出，，当以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切时，PE=EM，分两种情况：①当0＜t＜4时；②当t＞4时；得出方程，解方程即可；
（3）当0≤t≤4时，由PE=DE，得出方程，解方程即可；当t＞4时，分三种情况：①当时，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当PE=PD时，由勾股定理得出方程，解方程即可；③当PE=DE时，得出方程，解方程即可；即可得出结果；
（4）设直线AD交于F，连接，则AF⊥，证明△AOD∽△BFD，得出比例式求出，得出，证明，得出比例式求出，即可得出t的值．
（1）
解：∵A（0，4），B（5，0），D（3，0），
∴OA=4，OD=3，
由勾股定理得：，
①当0≤t≤4时，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
②当t＞4时，；
综上所述，y关于t的函数关系式为，或；
（2）
解：如图1所示：作EM⊥OD于M，则EM=4-t，
∵，
∴，
即，
解得：，
当以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切时，PE=EM，分两种情况：
①当0＜t＜4时，，
解得：，此时；
②当t＞4时，，
解得：t=16，此时12；
综上所述，当t为或16时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切，⊙E的半径为或12；
（3）
解：当0≤t≤4时，由PE=DE，
∴，
解得：；
当t＞4时，分三种情况：如图2所示：
①当时，
由勾股定理得：，
即，
解得：t=8；
②当PE=PD时，
由勾股定理得：，
解得：，或t=4（舍去）；
∴；
③当PE=DE时，
解得：t=10；
综上所述：当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，t的值为或8或或10；
（4）
解：设AD交于F，连接，如图3所示：
则AF⊥，
∴∠AOD=∠BFD=90°，
又∵∠ADO=∠FDB，
∴∠OAD=∠FBD，△AOD∽△BFD，
∴，即，
∴，
∴，
∵，∠OAD=∠FBD，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、平行线分线段成比例定理、切线的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）和（4）中，需要进行分类讨论和作辅助线证明三角形相似才能得出结果．
40．（2022·辽宁大连·统考三模）如图，Rt△ABC中，，cm，cm，AD平分∠BAC交BC于点D，动点P从点A出发以2cm/s的速度沿边AB运动，当点P与点B重合时，停止运动．过点P作AB的垂线，交射线BC于点F．设点P的运动时间为t（s），△BPF与△ABD重合部分图形面积为s（）．
(1)请直接写出AB的长；
(2)求∠DAB的正切值；
(3)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【答案】(1)AB＝5
(2)
(3)当时，；当时，
【分析】对于（1），直接根据勾股定理求出答案即可；
对于（2），作DE⊥AB，根据“AAS”证明△ACD≌△AED，得AC＝3，CD＝DE，再说明△BDE∽△BAC，根据相似三角形的对应边成比例得CD，最后根据得出答案；
对于（3），当时，表示AP，PG，可得，，然后根据得出关系式；当时，表示BP，FP，根据三角形面积公式得出答案．
（1）
AB＝5．
在Rt△ABC中，；
（2）
过点D作DE⊥AB于点E，
则DEA＝DEB＝C＝90°，
∵AD平分BAC，
∴CAD＝BAD．
∵AD＝AD，
∴△ACD≌△AED，
∴AC＝AE＝3，CD＝DE．
∵B＝B，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）
当时，如图1所示，AP＝2t，PG＝t，
∴，，
∴；
当时，如图2所示，，
在Rt△BPF中，，
∴，
∴．
图1 图2
【点睛】这是一道关于动点的综合问题，考查了勾股定理，锐角三角函数，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等．
【考点9 相似三角形的应用】
41．（2022·广西贺州·统考中考真题）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由圆锥的圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根据园锥、圆柱体积公式可得液体的体积为63πcm3，圆锥的体积为72πcm3，设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：如图，作圆锥的高AC，在BC上取点E，过点E作DE⊥AC于点D，则AB=6cm，AC=6cm，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴CD=DE，
圆柱体内液体的体积为：
圆锥的体积为，
设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，
∴，
∴，
解得：x=3，
即此时“沙漏”中液体的高度3cm．
故选：B．
【点睛】本题考查圆柱体、圆锥体体积问题，解题的关键是掌握圆柱体、圆锥体体积公式，列出方程解决问题．
42．（2022·贵州铜仁·模拟预测）如图，某温室屋顶结构外框为，立柱垂直平分横梁，，斜梁，为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为点在的延长线上，立柱，如图所示，若，则斜梁增加部分的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件证明，得到，即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵垂直平分横梁，
∴，
∵，，
∴
∴，
解得，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，含30度角的直角三角形的性质，证明，得到是解题的关键．
43．（2022·河北邯郸·校考三模）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：mm），则从闭合到打开B，D之间的距离减少了（ ）
A．25 mmB．20mmC．15 mmD．8mm
【答案】A
【分析】连接图2、图3中的BD，图2中证明△AEF∽△ABD，利用相似三角形的性质求得BD，在图3中证明四边形EFDB是矩形，求得BD，进而作差即可求解．
【详解】解：如图2，连接BD，
∵AE=CF=28，BE=DF=35 ，
∴，又∠EAF=∠BAD，
∴△AEF∽△ABD，
∴，又EF=20，
∴，解得：BD=45，
如图3，连接BD，
∵BEDF，BE=DF，
∴四边形EFDB是平行四边形，
∵∠BEF=90°，
∴四边形EFDB是矩形，则BD=EF=20，
∴从闭合到打开B，D之间的距离减少了45-20=25（mm），
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的应用、平行四边形的判定、矩形的判定与性质，理解题意，会利用相似三角形的判定与性质解决实际问题是解答的关键．
44．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O处，然后观测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A，此时测得观测者观看镜子的俯角α=60°，观测者眼睛与地面距离CD=1.7m，BD=11m，则旗杆AB的高度约为_________m．（结果取整数，）
【答案】17
【分析】如图容易知道CD⊥BD，AB⊥BD，即∠CDO=∠ABO=90°．由光的反射原理可知∠COD=∠AOB=60°，这样可以得到△COD∽△AOB，然后利用对应边成比例就可以求出AB．
【详解】解：由题意知∠COD=∠AOB=60°，∠CDE=∠ABE=90°，
∵CD=1.7m，
∴OD=≈1(m)，
∴OB=11-1=10(m)，
∴△COD∽△AOB．
∴，即，
∴AB=17(m)，
答：旗杆AB的高度约为17m．
故答案为：17．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质就可以求出结果．
45．（2022·浙江杭州·统考中考真题）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB=_________m．
【答案】9.88
【分析】根据平行投影得AC∥DE，可得∠ACB=∠DFE，证明Rt△ABC∽△Rt△DEF，然后利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．
∴AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
∵AB⊥BC，DE⊥EF，
∴∠ABC=∠DEF=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△DEF，
∴，即，
解得AB=9.88，
∴旗杆的高度为9.88m．
故答案为：9.88．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．证明Rt△ABC∽△Rt△DEF是解题的关键．
【考点10 位似变换】
46．（2022·广西·中考真题）已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（ ）
A．1 ：3B．1：6C．1：9D．3：1
【答案】C
【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案．
【详解】∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，
故选：C．
【点睛】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键．
47．（2022·山东威海·统考中考真题）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为( )
A．（）3B．（）7C．（）6D．（）6
【答案】C
【分析】根据题意得出A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，确定与△AOB位似的三角形为△GOH，利用锐角三角函数找出相应规律得出OG=，再由相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°
∴∠AOG＝180°，∠BOH＝180°，
∴A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，
∴与△AOB位似的三角形为△GOH，
设OA=x，
则OB=，
∴OC=，
∴OD=，
…
∴OG=，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形，找规律问题，相似三角形的性质等，理解题意，找出相应边的比值规律是解题关键．
48．（2022·广西河池·统考三模）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法正确的有（ ）个
①
②
③点A，O，三点在同一条直线上
④
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据位似图形的概念和相似三角形的性质判断即可．
【详解】解：以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
则△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：2，
∴S△ABC：S△A′B′C′=1：4，故①选项说法错误；
∴AB：A′B′=1：2，点A，O，A′三点在同一条直线上，BC∥B′C′，②③④说法正确；
故选C．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
49．（2022·河北保定·统考模拟预测）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【分析】根据位似变换的概念和性质、结合图形解答．
【详解】解：如图，
由图可知，点C的坐标为(-2，3)，
以点A为位似中心，在网格中画，使与△ABC位似，且位似比为1：2，
则点的坐标为(-5，0)或(-1，4)，
故选：D．
【点睛】本题考查位似变换的应用，熟练掌握位似变换的概念和性质是解题关键．
50．（2022·广西河池·统考中考真题）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线得到△A1B1C1．
（2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可．
【详解】（1）如图，为所作．
（2）如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）．
【点睛】本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴．