（全国通用）中考数学总复习 专题17 相似三角形（10个高频考点）（强化训练）（原卷版+解析）

这是一份（全国通用）中考数学总复习 专题17 相似三角形（10个高频考点）（强化训练）（原卷版+解析），共79页。

【考点1 比例的性质】
1．（2022·辽宁抚顺·统考一模）若ab=34，且a+b=14，则2a−b的值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．（2022·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考一模）若ba=25 ，则a−ba+b 的值为（ ）
A．14B．37C．35D．75
3．（2022·河北·模拟预测）已知a，b，c为正实数，且b+ca=a+cb=a+bc=k，则直线y=kx+k+1一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（2022·四川内江·统考一模）已知实数x，y，z满足2x=3y−z=5z+x，则5x−yy+2z的值为_________．
5．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆直径为d，延长AO,BO,CO，分别与对边BC,CA,AB交于D,E,F．
(1)求ODAD+OEBE+OFCF的值；
(2)求证：1AD+1BE+1CF=4d．
【考点2 比例线段】
6．（2022·甘肃甘南·校考一模）下列各组线段中，成比例的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm，5cmB．2cm，4cm，6cm，8cm
C．3cm，6cm，8cm，12cmD．1cm，3cm，5cm，15cm
7．（2022·统考一模）已知线段a=5+1，b=5−1，则a，b的比例中项线段等于______．
8．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，将一条长为60cm的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分(阴影处)沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分成了三段，若这三段长度由短到长的比为1:2:3，则折痕对应的刻度有________种可能．
9．（2022·江苏盐城·校考一模）在比例尺为1：100 000的盐都旅游地图上，测得大纵湖东晋水城与杨侍生态园的距离约为31 cm，则大纵湖东晋水城与杨侍生态园的实际距离约为______km．
10．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知三条线段 a，b，c 满足 a3=b2=c+14 ，且 a+b+c=17 ．
（1）求 a，b，c 的值；
（2）若线段 d 是线段 a 和 b 的比例中项，求 d 的值．
【考点3 黄金分割】
11．（2022·湖南衡阳·统考中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（结果精确到0.01m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）
A．0.73mB．1.24mC．1.37mD．1.42m
12．（2022·山东枣庄·校考模拟预测）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足BPAP=APAB，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A．（20﹣x）2＝20xB．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202D．以上都不对
13．（2022·云南玉溪·统考一模）如图，点A坐标是(0，0)，点C坐标是(2，2)，现有E、F两点分别从点D(0，2)和点B(2，0)向下和向右以每秒一个单位速度移动，Q为EF中点．设运动时间为t．
（1）在运动过程中始终与线段EC相等的线段是 ；四边形CEAF面积＝ ．
（2）当t＝1秒时，求线段CQ的长．
（3）过点B作BP平行于CF交EC于点P．当t＝ 时，线段AP最短，此时作直线EP与x轴交于点K，试证明，点K是线段AB的黄金分割点．
14．（2011·河北廊坊·统考中考模拟）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果ACAB=BCAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．
某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果S1S=S2S1，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．
（4）如图4，点E是▱ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是▱ABCD的黄金分割线．请你画一条▱ABCD的黄金分割线，使它不经过▱ABCD各边黄金分割点．
15.（2022·辽宁沈阳·沈阳市外国语学校校考一模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足MGMN=GNMG=5−15，后人把5−12这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB=AC=3，BC=4，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为______．
【考点4 平行线分线段成比例】
16．（2022春·九年级单元测试）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝33，则△ABC的周长为_____．
17．（2022·北京·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，若AB=3,AC=5,AFFC=14，则AE的长为_______．
18．（2022·上海·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，ADAB=DEBC，则AEAC=_____．
19．（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB=3，则线段BC的长是（ ）
A．23B．1C．32D．2
20．（2022·湖南长沙·长沙市北雅中学校考模拟预测）知识拓展
如图1，由DE∥BC，AD=DB，可得AE=EC；
如图2，由AB∥CD∥EF，AE=EC，可得BF=FD；
解决问题 如图3，直线AB与坐标轴分别交于点Am，0，B0,n m＞0,n＞0，反比例函数y=mx x>0的图象与AB交于C，D两点．
(1)若m+n=8，n取何值时ΔABO的面积最大？
(2)若SΔAOC=SΔCOD=SΔBOD，求点B的坐标．
【考点5 相似多边形】
21．（2022·山东青岛·校考一模）下列结论不正确的是 （ ）
A．所有的正方形都相似B．所有的菱形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似D．所有的正五边形都相似
22.（2022·广东阳江·统考一模）若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4B．1：2C．2：1D．1：16
23．（2022·河北·模拟预测）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（ ）
A．B．
C．D．
24.（2022·河北衡水·统考一模）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：
甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．
乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）．
A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对
25.（2022·山东青岛·山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）如图，一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形，如果小矩形与原来的矩形相似，那么小矩形的长边与短边的比是_____．
【考点6 相似三角形的判定与性质】
26．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，直线y=34x+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段AB上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作∠OCD=∠OAB，射线CD交线段OB于点D，将射线OC绕点O顺时针旋转90°交射线CD于点E，连接BE．
(1)证明：CDDB=ODDE；（用图1）
(2)当△BDE为直角三角形时，求DE的长度；（用图2）
(3)点A关于射线OC的对称点为F，求BF的最小值．（用图3）
27．（2022·江苏淮安·统考中考真题）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形ABCD中，∠B为锐角，E为BC中点，连接DE，将菱形ABCD沿DE折叠，得到四边形A′B′ED，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′．
(1)【观察发现】A′D与B′E的位置关系是______；
(2)【思考表达】连接B′C，判断∠DEC与∠B′CE是否相等，并说明理由；
(3)如图（2），延长DC交A′B′于点G，连接EG，请探究∠DEG的度数，并说明理由；
(4)【综合运用】如图（3），当∠B=60°时，连接B′C，延长DC交A′B′于点G，连接EG，请写出B′C、EG、DG之间的数量关系，并说明理由．
28．（2022·宁夏·中考真题）如图，一次函数y=kx+bk≠0的图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数y=mx(m≠0,x>0)的图象相交于点A，OB=1，tan∠OBC=2，BC：CA=1：2．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点D是线段AB上任意一点，过点D作y轴平行线，交反比例函数的图象于点E，连接BE．当△BDE面积最大时，求点D的坐标．
29．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在直线AC上，连接BD，将DE绕点D逆时针旋转120°，得到线段DE，连接BE，CE．
(1)求证：BC=3AB；
(2)当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，求CEAD的值；
(3)过点A作AN∥DE交BD于点N，若AD=2CD，请直接写出ANCE的值．
30．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．
(1)∠EDC的度数为 ；
(2)连接PG，求△APG 的面积的最大值；
(3)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
(4)求CHCE的最大值．
【考点7 网格中的相似三角形】
31．（2022·湖北恩施·统考模拟预测）如图，在边长相等的正方形网格中，A、B、C 为小正方形的顶点，则∠ABC=_______．
32．（2022·山东济宁·模拟预测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则C1C2的值等于_____．
33．（2022·浙江宁波·统考一模）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，△ABC是格点三角形（顶点在方格顶点处）．
(1)在图1中画出一个格点△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC相似，周长之比为2：1；
(2)在图2中画出一个格点△A2B2C2，使得△A2B2C2与△ABC相似，面积之比为2：1．
34．（2022·吉林长春·统考一模）图①、图②、图③分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，画线段AB的中点F．
(2)在图②中，画△CDE的中位线GH，点G、H分别在线段CD、CE上，并直接写出△CGH与四边形DEHG的面积比．
(3)在图③中，画△PQR，点R在格点上，且△PQR被线段MN分成的两部分图形的面积比为1：3．
35．（2022·湖北武汉·统考一模）如图是由边长为1的小正方形构成的6×9网格，各个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，边BC上的点D也是一个格点．仅用无刻度的直尺在定网格中画图．画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
(1)在图1中，先画出AC的平行线DE交AB边于点E，可在BC边上画点F，使△ACF∽△BCA；
(2)在图2中，先在边AB找点M，使△MDC与△MAC的面积相等，再在AC上画点N，使△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一．
【考点8 相似三角形中的动点问题】
36．（2022·浙江金华·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=10,sinB=35，点E从点B出发沿折线B−C−D向终点D运动．过点E作点E所在的边（BC或CD）的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH．
(1)如图1，点G在AC上．求证：FA=FG．
(2)若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长．
(3)已知FG=8，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似（包括全等）？
37．（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6cm，AC=12cm.动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F.设点P的运动时间为t(单位：s)，正方形和梯形重合部分的面积为Scm2．
(1)当t= ______ s时，点P与点Q重合；
(2)当t= ______ s时，点D在QF上；
(3)当点P在Q，B两点之间(不包括Q，B两点)时，求S与t之间的函数关系式；
(4)是否存在某一时刻，使得正方形APDE的面积被直线QF平分？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
38．（2022·山东青岛·校考二模）已知，如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P以每秒1个单位从点C向点B运动，同时点Q沿着AC以每秒2个单位从A向C运动，在点Q运动的同时，作QF⊥AC交AD于F，当点F移动到D时，点P和点Q停止运动．以QF和PQ为边作平行四边形PQFE，设运动时间为t秒．
(1)几秒时，△AQF ∽ △CPQ？
(2)设平行四边形PQFE的面积是S，用t表示S；
(3)当PF⊥AD时，CP=PQ吗？说明理由．
(4)存不存在某个时刻，使得QE∥BC？若存在，求出t；若不存在，说明理由．
39．（2022·浙江绍兴·一模）如图1，平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（5，0），D（3，0），点P从点A出发，沿y轴负方向在y轴上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，过点P作PE∥x轴交直线AD于点E．
(1)设点P的运动时间为t（s），DE的单位长度为y，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
(2)当t为何值时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切？并求此时⊙E的半径；
(3)在点P的运动过程中，当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求此时t的值；
(4)如图2，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，连结B′O，如果∠AOE=∠BOB′，求t值．（直接写出答案，不要求解答过程）．
40．（2022·辽宁大连·统考三模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，AD平分∠BAC交BC于点D，动点P从点A出发以2cm/s的速度沿边AB运动，当点P与点B重合时，停止运动．过点P作AB的垂线，交射线BC于点F．设点P的运动时间为t（s），△BPF与△ABD重合部分图形面积为s（cm2）．
(1)请直接写出AB的长；
(2)求∠DAB的正切值；
(3)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【考点9 相似三角形的应用】
41．（2022·广西贺州·统考中考真题）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6cm；圆柱体底面半径是3cm，液体高是7cm．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
42．（2022·贵州铜仁·模拟预测）如图1，某温室屋顶结构外框为△ABC，立柱AD垂直平分横梁BC，∠B=30°，斜梁AC=4m，为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为△EBC(点E在BA的延长线上)，立柱EF⊥BC，如图2所示，若EF=3m，则斜梁增加部分AE的长为（ ）
A．0.5mB．1mC．1.5mD．2m
43．（2022·河北邯郸·校考三模）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：mm），则从闭合到打开B，D之间的距离减少了（ ）
A．25 mmB．20mmC．15 mmD．8mm
44．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O处，然后观测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A，此时测得观测者观看镜子的俯角α=60°，观测者眼睛与地面距离CD=1.7m，BD=11m，则旗杆AB的高度约为_________m．（结果取整数，3≈1.7）
45．（2022·浙江杭州·统考中考真题）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB=_________m．
【考点10 位似变换】
46．（2022·广西·中考真题）已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（ ）
A．1 ：3B．1：6C．1：9D．3：1
47．（2022·山东威海·统考中考真题）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为( )
A．（43）3B．（43）7C．（43）6D．（34）6
48．（2022·广西河池·统考三模）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，以下说法正确的有（ ）个
①S△ABC:S△A′B′C′=1:2
②AB:A′B′=1:2
③点A，O，A′三点在同一条直线上
④BC∥B′C′
A．1B．2C．3D．4
49．（2022·河北保定·统考模拟预测）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点均在格点上，△ABC与△A′B′C′位似，点A为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点A的坐标为−3,2，则点C的对应点C′的坐标为（ ）
A．−5,2B．−1,2或−5,2C．−5,0D．−5,0或−1,4
50．（2022·广西河池·统考中考真题）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2:1，并写出点B2的坐标．专题17 相似三角形（10个高频考点）（强化训练）
【考点1 比例的性质】
1．（2022·辽宁抚顺·统考一模）若ab=34，且a+b=14，则2a−b的值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解析】由题意可得a、b的值，从而得到2a-b的值．
【详解】解：由题意可得a=0.75b，
代入a+b=14可得：1.75b=14，
∴b=8，
∴a=8×0.75=6，
∴2a-b=2×6-8=4，
故选B．
【点睛】本题考查比例的性质与代数式求值的综合应用，熟练求解二元一次方程组是解题关键．
2．（2022·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考一模）若ba=25 ，则a−ba+b 的值为（ ）
A．14B．37C．35D．75
【答案】B
【分析】根据比例设b=2k，a=3k，然后代入比例式计算即可得解．
【详解】解:∵ba=25
∴设b=2k,a=5k,
则a−ba+b=5k−2k5k+2k=37
故选B
【点睛】本题考查比例的基本性质，解题关键是熟练掌握性质.
3．（2022·河北·模拟预测）已知a，b，c为正实数，且b+ca=a+cb=a+bc=k，则直线y=kx+k+1一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】先根据比例的性质求出k的值，然后代入y=kx+k+1，根据一次函数的性质即可得出函数图像不经过的象限.
【详解】∵a，b，c为正实数，
∴a+b+c≠0，
∴k=(b+c)+(a+b)+(a+c)a+b+c=2,
∴一次函数表达式为y=2x+3,
∴它的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选D.
【点睛】此题考查了一次函数的性质和图象，以及比例的性质，根据等比性质求出k的值是解答本题的关键.
4．（2022·四川内江·统考一模）已知实数x，y，z满足2x=3y−z=5z+x，则5x−yy+2z的值为_________．
【答案】13
【分析】令2x＝3y−z＝5z+x=1k，则x=2k，y=6k，z=3k．代入5x−yy+2z求值即可．
【详解】∵2x＝3y−z＝5z+x=1k，
∴x=2k，y−z=3k，x+z=5k，
∴y=6k，z=3k.
∴5x−yy+2z=5×2k−6k6k+2×3k=4k12k=13.
故答案为13.
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的运算法则.
5．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆直径为d，延长AO,BO,CO，分别与对边BC,CA,AB交于D,E,F．
(1)求ODAD+OEBE+OFCF的值；
(2)求证：1AD+1BE+1CF=4d．
【答案】(1)1
(2)见解析
【分析】（1）根据S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO，进而可以解决问题；
（2）延长AD交⊙O于M，由于AD,BE,CF交于点O．然后由OD=R−DM,AM=2R，可以求得结论．
【详解】（1）解：由于AD,BE,CF交于点O，
∴ODAD=S△OBCS△ABC，OEBE=S△OACS△ABC，OFCF=S△OABS△ABC，
∴ODAD+OEBE+OFCF=1；
（2）证明：如图，延长AD交⊙O于M，设R为△ABC的外接圆半径，AD,BE,CF交于点O．
∵ODAD=R−DM2R−DM=1−R2R−DM=1−RAD，
同理有：OEBE=1−RBE，OFCF=1−RCF，
代入ODAD+OEBE+OFCF=1，
得(1−RAD)+(1−RBE)+(1−RCF)=1，
∴RAD+RBE+RCF=2，
∴1AD+1BE+1CF=2R=4d．
【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，分式的加减法，比例的性质，解决本题的关键是掌握三角形外接圆与外心．
【考点2 比例线段】
6．（2022·甘肃甘南·校考一模）下列各组线段中，成比例的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm，5cmB．2cm，4cm，6cm，8cm
C．3cm，6cm，8cm，12cmD．1cm，3cm，5cm，15cm
【答案】D
【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论．
【详解】解：A、∵2×5≠3×4，∴选项A不成比例；
B、∵2×8≠4×6，∴选项B不成比例；
C、∵3×12≠6×8，∴选项C不成比例；
D、∵1×15=3×5，∴选项D成比例．
故选：D．
【点睛】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
7．（2022·统考一模）已知线段a=5+1，b=5−1，则a，b的比例中项线段等于______．
【答案】2
【分析】设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积求解即可得出答案．
【详解】解：设线段x是线段a，b的比例中项，
∵a=5+1，b=5−1，
∴ax=xb，
∴x2=ab=(5+1)(5−1)=5−1=4，
∴x=±2．
∵x>0，
∴x=−2舍去，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的比例中项的含义，理解“若ax=xb，则x是a,b的比例中项”是解本题的关键．
8．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，将一条长为60cm的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分(阴影处)沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分成了三段，若这三段长度由短到长的比为1:2:3，则折痕对应的刻度有________种可能．
【答案】4
【分析】60cm剪成三段，而且三段比为1:2:3，那么最短一段为10cm，中间一段为20cm，最长的为30cm，分类讨论即可．
【详解】60cm剪成三段，而且三段比为1:2:3，那么最短一段为10cm，中间一段为20cm，最长的为30cm，接下来分类讨论：
（1）0-10cm为第一段，10−30cm为第二段，30−60cm为第三段，则折痕刻度为20cm处；
（2）0-10cm为第一段，10−40cm为第二段，40−60cm为第三段，则折痕刻度为25cm处；
（3）0-20cm为第一段，20−30cm为第二段，30−60cm为第三段，则折痕刻度为25cm处；
（4）0-20cm为第一段，20−50cm为第二段，50−60cm为第三段，则折痕刻度为35cm处；
（5）0-30cm为第一段，30−40cm为第二段，40−60cm为第三段，则折痕刻度为35cm处；
（6）0-30cm为第一段，30−50cm为第二段，50−60cm为第三段，则折痕刻度为40cm处．
故折痕对应的刻度可能情况有4种．
【点睛】本题考查了线段的比例关系，根据情况分类讨论是关键．
9．（2022·江苏盐城·校考一模）在比例尺为1：100 000的盐都旅游地图上，测得大纵湖东晋水城与杨侍生态园的距离约为31 cm，则大纵湖东晋水城与杨侍生态园的实际距离约为______km．
【答案】31
【分析】图上的距离除以比例尺，算出实际距离，进而把厘米换算成千米即可．
【详解】解：由题意得，
31÷1100000=3100000cm=31km
故答案为：31．
【点睛】本题考查比例尺的实际应用，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
10．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知三条线段 a，b，c 满足 a3=b2=c+14 ，且 a+b+c=17 ．
（1）求 a，b，c 的值；
（2）若线段 d 是线段 a 和 b 的比例中项，求 d 的值．
【答案】（1）a=6，b=4，c=7；（2）d=26
【分析】（1）设a3=b2=c+14=k，用含k的代数式分别表示出a，b，c，再由a+b+c=17，建立关于k的方程，解方程求出k的值，从而可求出a，b，c的值．
（2）由已知线段 d 是线段 a 和 b 的比例中项，可得到d2=ab，代入计算求出d的值．
【详解】（1）解：设a3=b2=c+14=k
∴a=3k，b=2k，c+1=4k即c=4k-1
∵a+b+c=17
∴3k+2k+4k-1=17
解之：k=2
∴a=6，b=4，c=7．
（2）解：∵线段 d 是线段 a 和 b 的比例中项
∴d2=ab=6×4=24
解之：d=26．
【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．
【考点3 黄金分割】
11．（2022·湖南衡阳·统考中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（结果精确到0.01m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）
A．0.73mB．1.24mC．1.37mD．1.42m
【答案】B
【分析】设雕像的下部高为x m，由黄金分割的定义得x2=5−12,求解即可．
【详解】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（2-x）m，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
雷锋雕像为2m，
∴x2=5−12,
∴x=5−1≈1.24，
即该雕像的下部设计高度约是1.24m，
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
12．（2022·山东枣庄·校考模拟预测）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足BPAP=APAB，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A．（20﹣x）2＝20xB．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202D．以上都不对
【答案】A
【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则BPAP=APAB，即可求解．
【详解】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，
且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，
∴BPAP=APAB，
∴（20−x）2＝20x，
故选：A．
【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
13．（2022·云南玉溪·统考一模）如图，点A坐标是(0，0)，点C坐标是(2，2)，现有E、F两点分别从点D(0，2)和点B(2，0)向下和向右以每秒一个单位速度移动，Q为EF中点．设运动时间为t．
（1）在运动过程中始终与线段EC相等的线段是 ；四边形CEAF面积＝ ．
（2）当t＝1秒时，求线段CQ的长．
（3）过点B作BP平行于CF交EC于点P．当t＝ 时，线段AP最短，此时作直线EP与x轴交于点K，试证明，点K是线段AB的黄金分割点．
【答案】（1）FC，4；（2）102；（3）t＝（5+1）s，见解析
【分析】（1）连接CD、CB，则四边形ABCD是正方形，CD＝CB＝2，证△CDE≌△CBF（SAS），得EC＝FC，即可解决问题；
（2）先由全等三角形的性质得EC＝FC，∠DCE＝∠BCF，再证△ECF是等腰直角三角形，当t＝1时，DE＝1，然后由勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质求解即可；
（3）证∠BPC＝90°，则点P的轨迹在以BC为直径的圆弧上，设BC的中点为G，连接AG，当点P在AG上时，AP最短，此时，PG＝BG＝1，再求出E（0，1﹣5），t＝（5+1）s，然后由待定系数法求出CE的解析式，即可解决问题．
【详解】解：（1）连接CD、CB，如图1所示：
∵A（0，0）、C（2，2）、D（0，2）、B（2，0），
∴CD＝CB＝AB=AD=2，
∴四边形DABC是菱形
又∠DAB=90°
∴四边形ABCD是正方形，
∵E、F两点分别从点D和点B向下和向右以每秒一个单位速度移动，
∴DE＝BF，
∵∠CDE＝∠CBF＝90°，
∴△CDE≌△CBF（SAS），
∴EC＝FC，
S四边形CEAF＝S四边形CEAB+S△CBF＝S四边形CEAB+S△CDE＝S正方形ABCD＝CB•CD＝2×2＝4，
故答案为：FC，4；
（2）∵△CDE≌△CBF，
∴EC＝FC，∠DCE＝∠BCF，
∵∠DCE+∠ECB＝90°，
∴∠BCF+∠ECB＝90°，即∠ECF＝90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
当t＝1时，DE＝1，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE＝DE2+CD2＝12+22＝5，
∴EF＝2CE＝2×5＝10，
∵Q为EF中点，
∴CQ＝12EF＝12×10＝102；
（3）∵BP∥CF，∠ECF＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴点P的轨迹在以BC为直径的圆弧上，
设BC的中点为G，连接AG，如图2所示：
当点P在AG上时，AP最短，
此时，PG＝BG＝1，
在Rt△ABG中，由勾股定理得AG＝AB2+BG2＝22+12＝5，
∴AP＝AG﹣PG＝5﹣1，
∵BC∥DE，
∴∠AEP＝∠GCP，
∵GC＝GP，
∴∠GCP＝∠GPC，
∵∠GPC＝∠APE，
∴∠AEP＝∠APE，
∴AP＝AE＝5﹣1，
∴E（0，1﹣5），
∴DE＝2﹣（1﹣5）＝5+1，
∴t＝（5+1）s，
故答案为：（5+1）s；
设CE的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
将C（2，2）、E（0，1﹣5）代入解析式得：2k+b=2b=1−5，
解得：k=5+12b=1−5，
∴CE的解析式为：y＝5+12x+1﹣5，
令y＝0，x＝3﹣5，
∴K（3﹣5，0），
∴BK＝2﹣（3﹣5）＝5﹣1，
∴BKAB＝5−12，
∴点K是线段AB的黄金分割点．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、点的轨迹、待定系数法求直线的解析式、勾股定理、黄金分割等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（2011·河北廊坊·统考中考模拟）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果ACAB=BCAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．
某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果S1S=S2S1，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．
（4）如图4，点E是▱ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是▱ABCD的黄金分割线．请你画一条▱ABCD的黄金分割线，使它不经过▱ABCD各边黄金分割点．
【答案】（1）对，理由见解析（2）不可能，理由见解析；（3）理由见解析（4）见解析
【分析】（1）由于S△ACD、S△BCD、S△ABC是同高，而点D为边AB的黄金分割点，则ADAB=BDAD，所以S△ADCS△ABC=S△BDCS△ADC，故直线CD是△ABC的黄金分割线；
（2）只需判断它们面积比是否相等，若相等则中线是三角形的黄金分割线，否则不是；
（3）根据平行线间的距离相等，则S△DCE=S△FEC，设直线EF与CD交于点G，则S△DGE=S△FGC．通过图形面积的转化，直线EF分三角形的图形面积有S△AEFS△ABC=S四边形BEFCS△AEF，故直线EF也是△ABC的黄金分割线；
（4）画法不唯一，只需分成图形面积比相等即可．
【详解】解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：
设△ABC的边AB上的高为ℎ．
则S△ADC=12AD·ℎ，S△BDC=12BD·ℎ，S△ABC=12AB·ℎ，
∴S△ADCS△ABC=ADAB，S△BDCS△ADC=BDAD．
又∵点D为边AB的黄金分割点，
∴ADAB=BDAD．则S△ADCS△ABC=S△BDCS△ADC．
∴直线CD是△ABC的黄金分割线．
（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
∴s1=s2=12s，即s1s≠s2s1，
∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．
（3）∵DF∥CE，
∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等，
∴S△DCE=S△FEC．
设直线EF与CD交于点G．则S△DGE=S△FGC．
∴S△ADC=S四边形AFGD+S△FGC
=S四边形AFGD+S△DGE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC．
又∵S△ADCS△ABC=S△BDCS△ADC，∴S△AEFS△ABC=S四边形BEFCS△AEF．
∴直线EF也是△ABC的黄金分割线．
（4）画法不唯一，现提供两种画法；
画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是▱ABCD的黄金分割线．
画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是▱ABCD的黄金分割线．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中线性质、黄金分割、三角形的面积、平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，关键是黄金分割线的灵活运用．
15.（2022·辽宁沈阳·沈阳市外国语学校校考一模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足MGMN=GNMG=5−15，后人把5−12这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB=AC=3，BC=4，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为______．
【答案】10-45
【分析】作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得到BH=CH=2，根据勾股定理求出AH，根据线段的“黄金分割”点的定义得到CD、BE的长，求出DE的长，最后由三角形面积公式解答即可．
【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC，
∴BH=CH=12BC=2，
在Rt△ABH中，AH=AB2−BH2=32−22=5，
∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，
∴CD=BE=5−12BC=5−12×4=25−2，
∴DE=BE+CD−BC=25−2+25−2−4=45−8，
∴.S△ADE=12DE⋅AH=12×(45−8)×5=10−45，
故答案为：10-45．
【点睛】本题考查的是黄金分割、等腰三角形的性质，熟记黄金比值是解题的关键．
【考点4 平行线分线段成比例】
16．（2022春·九年级单元测试）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝33，则△ABC的周长为_____．
【答案】53
【分析】如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT//AE交BC于点T．证明AB=3AD，设AD=CD=a，证明ET=CT，设ET=CT=b，则BE=3b，求出a+b，可得结论．
【详解】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT//AE交BC于点T．
∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，
∴FM=FN，
∴ SΔABFSΔADF=BFDF=12⋅AB⋅FM12⋅AD⋅FN=3，
∴AB=3AD，
设AD=DC=a，则AB=3a，
∵AD=DC，DT//AE，
∴ET=CT，
∴ BEET=BFDF=3，
设ET=CT=b，则BE=3b，
∵AB+BE=33，
∴3a+3b=33，
∴a+b=3，
∴ΔABC的周长=AB+AC+BC=5a+5b=53，
故答案为：53．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
17．（2022·北京·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，若AB=3,AC=5,AFFC=14，则AE的长为_______．
【答案】1
【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可．
【详解】解：在矩形ABCD中， AD∥BC ，∠ABC=90°，
∴AEBC=AFFC=14，BC=AC2−AB2=52−32=4，
∴AE4=14，
∴AE=1，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
18．（2022·上海·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，ADAB=DEBC，则AEAC=_____．
【答案】12或14
【分析】由题意可求出DE=12BC，取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，满足DE1=12BC，进而可求此时AE1AC=12，然后在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则DE2=12BC，证明△DE1E2是等边三角形，求出E1E2＝14AC，即可得到AE2AC=14，问题得解．
【详解】解：∵D为AB中点，
∴ADAB=DEBC=12，即DE=12BC，
取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，此时DE1∥BC，DE1=12BC，
∴AE1AC=ADAB=12，
在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则DE2=12BC，
∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠C=60°，BC＝12AC，
∵DE1∥BC，
∴∠DE1E2=60°，
∴△DE1E2是等边三角形，
∴DE1＝DE2＝E1E2＝12BC，
∴E1E2＝14AC，
∵AE1=12AC，
∴AE2=14AC，即AE2AC=14，
综上，AEAC的值为：12或14，
故答案为：12或14．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据DE=12BC进行分情况求解是解题的关键．
19．（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB=3，则线段BC的长是（ ）
A．23B．1C．32D．2
【答案】C
【分析】过点A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于D、E，根据题意得AD=2DE，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】解：过点A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于D、E，
根据题意得AD=2DE，
∵BD∥CE，
∴ABBC=ADDE=2，
又∵AB=3，
∴BC=12AB=32
故选：C
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键．
20．（2022·湖南长沙·长沙市北雅中学校考模拟预测）知识拓展
如图1，由DE∥BC，AD=DB，可得AE=EC；
如图2，由AB∥CD∥EF，AE=EC，可得BF=FD；
解决问题 如图3，直线AB与坐标轴分别交于点Am，0，B0,n m＞0,n＞0，反比例函数y=mx x>0的图象与AB交于C，D两点．
(1)若m+n=8，n取何值时ΔABO的面积最大？
(2)若SΔAOC=SΔCOD=SΔBOD，求点B的坐标．
【答案】(1)当n=4时，ΔABO的面积最大
(2)B0,92
【分析】（1）由m+n=8得m=8−n，利用三角形面积公式得出SΔABO=12OB⋅OA=12n(8−n)，转化为顶点式即可求解；
（2）过点C作CE⊥OB于E，过点D作DF⊥OB于F，根据SΔAOC=SΔCOD=SΔBOD得BF=EF=OE，得出BF=EF=OE=13n，根据点C在反比例函数y=mx x>0上，得出C(3mn,13n)，代入直线AB的解析式，即可求解．
（1）
解：∵m+n=8，
∴m=8−n，
∵点Am，0，B0,n m＞0,n＞0，
∴SΔABO=12OB⋅OA=12n(8−n)=−12(n−4)2+8，
∴n=4时，SΔABO取最大值，最大值为8，
即当n=4时，ΔABO的面积最大；
（2）
解：如图，
∵SΔAOC=SΔCOD=SΔBOD，
∴BD=CD=AC，
过点C作CE⊥OB于E，过点D作DF⊥OB于F，
∴DF∥CE∥OA，
∴BF=EF=OE，
∵点B0,n n＞0，
∴OB=n，
∴BF=EF=OE=13n，
∴点C的纵坐标为13n，
∵点C在反比例函数y=mx x>0的图象上，
∴C(3mn,13n)，
∵点Am，0，B0,n m＞0,n＞0，
∴直线AB的解析式为y=−nmx+n，
∵点C在直线AB上，
∴−nm×3mn+n=13n，
解得n=92，
∴B0,92．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了三角形面积公式，待定系数法求函数解析式，知识拓展得出的结论，解第一问的关键是建立SΔABO与n的函数关系式，解第二问的关键是得出BF=EF=OE=13n．
【考点5 相似多边形】
21．（2022·山东青岛·校考一模）下列结论不正确的是 （ ）
A．所有的正方形都相似B．所有的菱形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似D．所有的正五边形都相似
【答案】B
【分析】利用“对应角相等，对应边的比也相等的多边形相似”进行判定即可．
【详解】解：A、所有的正方形都相似，故A正确，不合题意；
B、菱形的内角不一定相等，所以所有的菱形不一定都相似，故B不正确；符合题意；
C、所有的等腰直角三角形都相似，故C正确，不合题意；
D、所有的正五边形边都相似，故D正确，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是了解对应角相等，对应边的比也相等的多边形相似，比较简单．
22.（2022·广东阳江·统考一模）若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4B．1：2C．2：1D．1：16
【答案】B
【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．
【详解】解：∵两个相似多边形面积比为1：4，
∴周长之比为14 ＝1：2．
故选：B．
【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
23．（2022·河北·模拟预测）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理求出四边形ABCD的四条边之比，根据相似多边形的判定方法判断即可．
【详解】作AE⊥BC于E，
则四边形AECD为矩形，
∴EC＝AD＝1，AE＝CD＝3，
∴BE＝4，
由勾股定理得，AB＝AE2+BE2＝5，
∴四边形ABCD的四条边之比为1：3：5：5，
D选项中，四条边之比为1：3：5：5，且对应角相等，
故选：D．
【点睛】此题考查相似多边形的判定定理，两个多边形的对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形相似，此题求出多边形的剩余边长是解题的关键，利用矩形的性质定理，勾股定理求出边长.
24.（2022·河北衡水·统考一模）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：
甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．
乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）．
A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对
【答案】C
【分析】根据相似多边形的对应边成比例、对应角相等进行判断即可．
【详解】解：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，平移后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似；
乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边不平行，因此各角与原菱形角不相等，即新菱形与原菱形不相似．
所以甲对，乙不对，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似多边形的判定．此题难度不大，熟练应用相似多边形的判定方法是解题关键．
25.（2022·山东青岛·山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）如图，一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形，如果小矩形与原来的矩形相似，那么小矩形的长边与短边的比是_____．
【答案】2：1．
【分析】设原来矩形的长为x，宽为y，先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，即可得答案.
【详解】设原来矩形的长为x，宽为y，
则对折后的矩形的长为y，宽为x2，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x：y＝y：x2，
解得x：y＝2：1．
故答案为：2：1
【点睛】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，正确找出对应边是解题关键.
【考点6 相似三角形的判定与性质】
26．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，直线y=34x+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段AB上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作∠OCD=∠OAB，射线CD交线段OB于点D，将射线OC绕点O顺时针旋转90°交射线CD于点E，连接BE．
(1)证明：CDDB=ODDE；（用图1）
(2)当△BDE为直角三角形时，求DE的长度；（用图2）
(3)点A关于射线OC的对称点为F，求BF的最小值．（用图3）
【答案】(1)见解析
(2)DE=94
(3)2
【分析】（1）由条件可证得△BDC∽△EDO，根据相似三角形对应边成比例得CDOD=DBDE，即CDDB=ODDE；
（2）先根据函数关系式求出AO、BO的长度，然后作出对应的图2，可证明tan∠OCD=tan∠OAB，从而得到OBOA=ODCD=68=34，设OD=3m，CD=4m，结合△CDB∽△AOB对应边成比例，得到BD=3m，则OB=BD+OD=3m+3m=6，解方程得到m=1，所以OD=BD=3，CD=4，再由（1）的结论CDDB=ODDE，可计算出DE=94．
【详解】（1）证明：已知射线OC绕点O顺时针旋转90°交射线CD于点E，
∴∠COE=90°，
∴∠AOB=∠COE=90°，
∵∠OCD=∠OAB，
∠ABO=90°−∠OAB,∠CEO=90°−∠OCD
∴∠ABO=∠CEO，
又∵∠BDC=∠EDO，
∴△BDC∽△EDO，
∴CDOD=DBDE
∴CDDB=ODDE；
（2）解：直线y=34x+6，当x=0时，y=6，
∴B(0,6)，
∴OB=6，
当y=0时，34x+6=0，
∴x=−8，
∴A(−8,0)，
∴OA=8，
如图2，∠BDE=90°，
∴∠ODC=∠BDE=90°，
∵∠OCD=∠OAB，
∴tan∠OCD=tan∠OAB，
∴OBOA=ODCD=68=34，
∴设OD=3m，CD=4m，
∵∠CDB=∠AOB=90°，
∴CD∥OA，
∴△CDB∽△AOB，
∴CDOA=BDOB，即4m8=BD6，
∴BD=3m，
∴OB=BD+OD=3m+3m=6，
∴m=1，
∴BD=3，CD=4，
由（1）知：CDDB=ODDE，
∴43=3DE，
∴DE=94
（3）解：如图3，由对称得：OA=OF,
则动点F在以O为圆心，以OA为半径的半圆AFA′上运动，
∴当F在y轴上，此时在B的正上方，BF的值最小，如图4，
此时BF=OF−OB=8−6=2，即BF的最小值是2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形、一次函数与坐标轴交点问题、轴对称图形特征、圆的性质、动点中的最短距离问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定，采用数形结合，利用相似比列方程求线段长是解题关键．
27．（2022·江苏淮安·统考中考真题）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形ABCD中，∠B为锐角，E为BC中点，连接DE，将菱形ABCD沿DE折叠，得到四边形A′B′ED，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′．
(1)【观察发现】A′D与B′E的位置关系是______；
(2)【思考表达】连接B′C，判断∠DEC与∠B′CE是否相等，并说明理由；
(3)如图（2），延长DC交A′B′于点G，连接EG，请探究∠DEG的度数，并说明理由；
(4)【综合运用】如图（3），当∠B=60°时，连接B′C，延长DC交A′B′于点G，连接EG，请写出B′C、EG、DG之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)A′D∥B′E；
(2)∠DEC=∠B′CE，理由见解析；
(3)∠DEG=90°，理由见解析；
(4)DG2=EG2+4916B′C2，理由见解析．
【分析】（1）利用菱形的性质和翻折变换的性质判断即可；
（2）连接B′C，BB′，由EB=EC=EB′可知点B、B′、C在以BC为直径,E为圆心的圆上，则∠BB′C=90°，由翻折变换的性质可得BB′⊥DE，证明DE∥CB′，可得结论；
（3）连接B′C，DB，DB′，延长DE至点H，求出∠DGA′=180°−2x−y，∠GB′C=90°−12y−x，可得∠CGA′=2∠GB′C，然后证明GC=GB′，可得EG⊥CB′，进而得到DE⊥EG即可解决问题．
（4）延长DG交EB′的延长线于点T，过点D作DR⊥GA′交GA′的延长线于点R，设GC=GB′=x，CD=A′D=A′B′=2a，解直角三角形求出A′R=a，DR=3a，利用勾股定理求出x=45a，然后根据相似三角形的判定和性质及平行线分线段成比例求出TB′=43a，DE=74CB′，再根据勾股定理列式即可得出结论．
【详解】（1）解：∵在菱形ABCD中，AD∥BE，
∴由翻折的性质可知，A′D∥B′E，
故答案为：A′D∥B′E；
（2）解：∠DEC=∠B′CE，
理由：如图，连接B′C，BB′，
∵E为BC中点，
∴EB=EC=EB′，
∴点B、B′、C在以BC为直径,E为圆心的圆上，
∴∠BB′C=90°，
∴BB′⊥B′C，
由翻折变换的性质可知BB′⊥DE，
∴DE∥CB′，
∴∠DEC=∠B′CE；
（3）解：结论：∠DEG=90°；
理由：如图，连接B′C，DB，DB′，延长DE至点H，
由翻折的性质可知∠BDE=∠B′DE，
设∠BDE=∠B′DE=x，∠A=∠A′=y，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADB=∠CDB=∠B′DA′，∠ABC=180°−y，
∴∠A′DG=∠BDB′=2x，∠DBE=∠DB′E=90°−y2
∴∠DGA′=180°−2x−y，
∴∠BEB′=∠BEH+∠B′EH=∠DBE+∠BDE+∠DB′E+∠B′DE=90°−y2+x+90°−y2+x=180°−y+2x，
∵EC=EB′，点B、B′、C在以BC为直径,E为圆心的圆上，
∴∠EB′C=∠ECB′=12∠BEB′=90°−12y+x，
∵A′D∥B′E，
∴∠A′B′E=180°−y，
∴∠GB′C=∠A′B′E−∠EB′C=180°−y−90°−12y+x=90°−12y−x，
∴∠CGA′=2∠GB′C，
∵∠CGA′=∠GB′C+∠GCB′，
∴∠GB′C=∠GCB′，
∴GC=GB′，
∵EB′=EC，
∴EG⊥CB′，
∵DE∥CB′，
∴DE⊥EG，
∴∠DEG=90°；
（4）解：结论：DG2=EG2+4916B′C2，
理由：如图，延长DG交EB′的延长线于点T，过点D作DR⊥GA′交GA′的延长线于点R，
设GC=GB′=x，CD=A′D=A′B′=2a，
∵∠B=60°，
∴∠A=∠DA′B′=120°，
∴∠DA′R=60°，
∴A′R=A′D⋅cs60°=a，DR=3a，
在Rt△DGR中，则有2a+x2=3a2+3a−x2，
∴x=45a，
∴GB′=45a，A′G=65a，
∵TB′∥DA′，
∴△B′TG∼△A′DG，
∴TB′DA′=GB′GA′，
∴TB′2a=45a65a
∴TB′=43a，
∵CB′∥DE，
∴CB′DE=TB′ET=43aa+43a=47，
∴DE=74CB′，
∵∠DEG=90°，
∴DG2=EG2+DE2，
∴DG2=EG2+4916B′C2．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，翻折变换，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
28．（2022·宁夏·中考真题）如图，一次函数y=kx+bk≠0的图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数y=mx(m≠0,x>0)的图象相交于点A，OB=1，tan∠OBC=2，BC：CA=1：2．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点D是线段AB上任意一点，过点D作y轴平行线，交反比例函数的图象于点E，连接BE．当△BDE面积最大时，求点D的坐标．
【答案】(1)y=12x(x>0)
(2)点D的坐标为1,−12
【分析】（1）过点A作AF⊥x轴于点F，先证△ACF∽△BCO，根据对应边成比例得BCAC=OBAF=OCCF=12，结合已知条件推出OC=2OB=2，AF=2，CF=4， OF=OC+CF=2+4=6，可得A6,2，代入反比例函数解析式求出m值即可；
（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=12x−1，设点D的横坐标为t，则D(t,12t−1)，E(t,12t)，用含t的代数式表示出ED，进而利用三角形面积公式得到关于t的一元二次函数，化成顶点式，即可求出最值．
（1）
解：如图，过点A作AF⊥x轴于点F，
∴∠AFC=∠BOC=90°，
又∵∠ACF=∠BCO，
∴△ACF∽△BCO，
∴BCAC=OBAF=OCCF=12，
∵OB=1，tan∠OBC=2，
∴OC=2OB=2，
∴AF=2，CF=4，
∴OF=OC+CF=2+4=6，
∴A6,2．
∵点A在反比例函数y=mx(m≠0,x>0)的图象上，
∴m=2×6=12．
∴反比例函数的表达式为：y=12x(x>0)．
（2）
解：由题意可知B0,−1，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A6,2，B0,−1代入y=kx+b，
得2=6k+b−1=b，
解得k=12b=−1，
∴直线AB的解析式为：y=12x−1．
设点D的横坐标为t，则D(t,12t−1)，E(t,12t)，
∴ED=12t−12t+1，
∴△BDE的面积为：
12(t−0)(12t−12t+1)
=−14t2+12t+6
=−14(t−1)2+254．
∵−14<0，
∴t=1时，△BDE面积取最大值，最大值为254，
将x=1代入y=12x−1，得y=12−1=−12
∴点D的坐标为1,−12．
【点睛】本题属于一次函数、反比例函数以及二次函数的综合题，考查待定系数法求一次函数、反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数解直角三角形，以及二次函数的最值等，解第一问的关键是求出点A的坐标，解第二问的关键是求出△BDE面积的函数表达式．
29．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在直线AC上，连接BD，将DE绕点D逆时针旋转120°，得到线段DE，连接BE，CE．
(1)求证：BC=3AB；
(2)当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，求CEAD的值；
(3)过点A作AN∥DE交BD于点N，若AD=2CD，请直接写出ANCE的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)3
(3)5719或2121
【分析】（1）作AH⊥BC于H，可得BH＝32AB，BC＝2BH，进而得出结论；
（2）证明△ABD∽△CBE，进而得出结果；
（3）当点D在线段AC上时，作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G，设AB＝AC＝3a，则AD＝2a，解直角三角形BDF，求得BD的长，根据△DAG∽△DBF求得AQ，进而求得AN，进一步得出结果；当点D在AC的延长线上时，设AB＝AC＝2a，则AD＝4a，同样方法求得结果．
（1）
证明：如图1，
作AH⊥BC于H，
∵AB＝AB，
∴∠BAH＝∠CAH＝12∠BAC＝12×120°＝60°，BC＝2BH，
∴sin60°＝BHAB，
∴BH＝32AB，
∴BC＝2BH＝3AB；
（2）
解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝180°−∠BAC2＝180°−120°2＝30°，
由（1）得，BCAB=3，
同理可得，
∠DBE＝30°，BEBD=3，
∴∠ABC＝∠DBE，BCAB=BEBD，
∴∠ABC−∠DBC＝∠DBE−∠DBC，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴CEAD=BEBD=3；
（3）
：如图2，
当点D在线段AC上时，
作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G，
设AB＝AC＝3a，则AD＝2a，
由（1）得，CE=3AD=23a，
在Rt△ABF中，∠BAF＝180°−∠BAC＝60°，AB＝3a，
∴AF＝3a•cs60°＝32a，BF＝3a•sin60°＝332a，
在Rt△BDF中，DF＝AD＋AF＝2a+32a=72a，
BD＝BF2＋DF2=332a2+72a2=19a，
∵∠AGD＝∠F＝90°，∠ADG＝∠BDF，
∴△DAG∽△DBF，
∴AGBF＝ADBD，
∴AG332a=2a19a，
∴AG=3319a，
∵AN∥DE，
∴∠AND＝∠BDE＝120°，
∴∠ANG＝60°，
∴AN＝AGsin60°=3319·23a=61919a，
∴ANCE=61919a23a=5719，
如图3，
当点D在AC的延长线上时，
设AB＝AC＝2a，则AD＝4a，
由（1）得，
CE＝3AD=43a，
作BR⊥CA，交CA的延长线于R，作AQ⊥BD于Q，
同理可得，
AR＝a，BR＝3a，
∴BD=3a2+5a2=27a，
∴AQ3a=4a27a，
∴AQ=237a，
∴AN=237a·23=47a，
∴ANCE=47a43a=2121，
综上所述：ANCE的值为5719或2121．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类和较强的计算能力．
30．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．
(1)∠EDC的度数为 ；
(2)连接PG，求△APG 的面积的最大值；
(3)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
(4)求CHCE的最大值．
【答案】(1)45°
(2)9
(3)PE=DG，理由见解析
(4)2+12
【分析】（1）先说明∠B=45°，再说明DE是△CBP的中位线可得DE∥BP，然后由平行线的性质即可解答；
（2）先说明△EDF和△GFC是等腰直角三角形可得DF=EF=22DE 、GF=CF=22CG ；设AP=x，则BP=12-x，BP=12-x=2DE，然后通过三角形中位线、勾股定理、线段的和差用x表示出AG，再根据三角形的面积公式列出表达式，最后运用二次函数求最值即可；
（3）先证明△GFD≌△CFE，可得DG=CE，进而可得PE=DG；由△GFD≌△CFE可得∠ECF=∠DGF，进而得到∠GHE=∠CFE=90°，即可说明DG、PE的位置关系；
（4）先说明△CEF∽△CDH得到CECD=CFCH，进而得到CHCE=CF⋅CDCE2，然后将已经求得的量代入可得CHCE= =12x+12+288x+12−24，然后根据a+1a=a+1a2−2≥2求最值即可．
【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12
∴∠B=∠ACB=45°
∵，D、E分别为BC、PC的中点
∴DE∥BP，DE=12BP
∴∠EDC=∠B=45°．
（2）解：如图：连接PG
∵∠EDC=∠ACB=45°，GF⊥DC
∴△EDF和△GFC是等腰直角三角形
∴DF=EF=22DE ，GF=CF=22CG ，
设AP=x，则BP=12-x，BP=12-x=2DE
∴DE=12−x2，EF=12−x22
∵Rt△APC，
∴PC=AP2+AC2=x2+144
∴CE=12x2+144
∵Rt△EFC
∴FC=FG=CE2−EF2=12x2+1442−12−x222=x+1282=12+x22
∴CG=2CF=12+x2
∴AG=12-CG=12-12+x2=12−x2
∴S△APG=12AP⋅AG=12x⋅12−x2=12x−x24=−x−62+364
所以当x=6时，S△APG有最大值9．
（3）解：DG=PE，DG⊥PE，理由如下：
∵DF=EF，∠CFE=∠GFD，GF=CF
∴△GFD≌△CFE(SAS)
∴DG=CE
∵E是PC的中点
∴PE=CE
∴PE=DG；
∵△GFD≌△CFE
∴∠ECF=∠DGF
∵∠CEF=∠PEG
∴∠GHE=∠EFC=90°，即DG⊥PE．
（4）解：∵△GFD≌△CFE
∴∠CEF=∠CDH
又∵∠ECF=∠DCH
∴△CEF∽△CDH
∴CECD=CFCH，即CE⋅CH=CF⋅CF
∴CHCE=CF⋅CDCE2
∵FC=12+x22 ，CE=12x2+144，CD=12BC=122+122=62
∴CHCE=12+x22⋅6212x2+1442 =12×x+12x2+144=12x+12+288x+12−24
≤122288−24=12242−24=122−2=22+24=2+12
∴CHCE的最大值为2+12．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线、平行线的性质、二次函数求最值、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
【考点7 网格中的相似三角形】
31．（2022·湖北恩施·统考模拟预测）如图，在边长相等的正方形网格中，A、B、C 为小正方形的顶点，则∠ABC=_______．
【答案】135°．
【分析】由题意，在网格中取格点D、E，连接BD、BE、DE，求出各边的边长，然后利用全等三角形的判定和性质，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，在网格中取格点D、E，连接BD、BE、DE，如图：
由勾股定理，则
BE=2，DE=5，BD=1，AB=5，BC=10，AC=5，
∴ABBD=51=5，BCBE=102=5，ACDE=55=5，
∴ABBD=BCBE=ACDE，
∴△ABC∽△DBE，
∴∠ABC=∠DBE=90°+45°=135°．
故答案为：135°．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理与网格问题，解题的关键是正确的确定格点，利用全等三角形的性质进行解题．
32．（2022·山东济宁·模拟预测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则C1C2的值等于_____．
【答案】22
【分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可．
【详解】解：∵DEAB=212+12=2，
EFBC=22+222=2，
DFAC=42+2232+12=2，
∴DEAB=EFBC=DFAC=2，
∴△ABC∽△DEF，
∴C1C2=ABDE=22，
故答案为：22．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相似．
33．（2022·浙江宁波·统考一模）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，△ABC是格点三角形（顶点在方格顶点处）．
(1)在图1中画出一个格点△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC相似，周长之比为2：1；
(2)在图2中画出一个格点△A2B2C2，使得△A2B2C2与△ABC相似，面积之比为2：1．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据相似三角形的性质，把△ABC的边长扩大2倍即可．
（2）根据相似三角形的性质，把△ABC的边长扩大2倍即可．
【详解】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作．
【点睛】本题考查作图﹣相似变换，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
34．（2022·吉林长春·统考一模）图①、图②、图③分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，画线段AB的中点F．
(2)在图②中，画△CDE的中位线GH，点G、H分别在线段CD、CE上，并直接写出△CGH与四边形DEHG的面积比．
(3)在图③中，画△PQR，点R在格点上，且△PQR被线段MN分成的两部分图形的面积比为1：3．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，面积比为1：3
(3)见解析
【分析】（1）根据网格的特点，找到A,B之间单元网格的对角线，交AB于点F，则点F即为所求；
（2）根据（1）的方法找到CD,CE的中点G,H，连接GH，根据相似三角形的性质即可求出△CGH与四边形DEHG的面积比；
（3）根据（2）的结论，可知，只要MN经过△PQR的中位线，根据R在网格上，找到符合题意的点R即可求解．
【详解】（1）如图①：
（2）如图②：
∵GH∥DE，GH=12DE
∴S△CGHS△CDE=122=14
∴ △CGH与四边形DEHG的面积比为1：3．
（3）如图③，画出一种即可．
【点睛】本题考查了网格与相似三角形，相似三角形的性质，三角形中位线的性质，根据网格的特点找到线段的中点是解题的关键．
35．（2022·湖北武汉·统考一模）如图是由边长为1的小正方形构成的6×9网格，各个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，边BC上的点D也是一个格点．仅用无刻度的直尺在定网格中画图．画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
(1)在图1中，先画出AC的平行线DE交AB边于点E，可在BC边上画点F，使△ACF∽△BCA；
(2)在图2中，先在边AB找点M，使△MDC与△MAC的面积相等，再在AC上画点N，使△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据格点特点画出AC的平行线即可；根据格点特点作MA⊥AC，连接MC，则△AMC为等腰直角三角形，连接MC、NB，MC与NB交于点O，根据矩形性质可知，O为MC的中点，连接AO，则AO平分∠MAC，即∠OAC=45°，因此延长AO，与BC交于一点，即为点F；
（2）连接AD，则AD正好过格点O，连接CO，并延长与AB交于一点M，连接MD，此时△MDC与△MAC的面积相等；连接PQ，交BC于点G，连接GH，交AC于点N，连接DN，则△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一．
(1)
解：根据格点特点连接GD，则GD∥AC，GD与AB的交点即为E点；根据格点特点作MA⊥AC，连接MC，则△AMC为等腰直角三角形，连接MC、NB，MC与NB交于点O，根据矩形性质可知：O为MC的中点，连接AO，
∵AM=AC，
∴AO平分∠MAC，
∴∠OAC=12∠MAC=45°，
∴延长AO，与BC交于一点，即为点F，
∵∠ABC=∠FAC=45°，∠ACB=∠ACF，
∴△ACF∽△BCA．
(2)
连接AD，则AD正好过格点O，连接CO，并延长与AB交于一点M，连接MD，此时△MDC与△MAC的面积相等；
∵AC=DC，O为AD的中点，
∴CM平分∠ACD，
∴点M到AC，CD的距离相等，
∴△MDC与△MAC的面积相等；
连接PQ，交BC于点G，连接GH，交AC于点N，连接DN，则△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一；
∵在△PBG和△QCG中{∠PBG=∠QCG=90°∠PGB=∠QGCPB=CQ，
∴△PBG≌△QCG，
∴BG=CG，
∴CG=12BC=72，
∵AH∥GC，
∴∠HAN=∠GCN,∠AHN=∠CGN，
∴△GCN∽△HAN，
设△GCN边CG上的高为h1，△HAN边AH上的高为h2，则ℎ1ℎ2=CGAH=724=78，
∵ℎ1+ℎ2=4，
∴ℎ1=77+8×4=2815，
∴S△DCN=12×5×2815=143，
∵S△ABC=12×7×4=14，
∴S△DCN=13S△ABC．
【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计，熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，角平分线的性质，是解题的关键．
【考点8 相似三角形中的动点问题】
36．（2022·浙江金华·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=10,sinB=35，点E从点B出发沿折线B−C−D向终点D运动．过点E作点E所在的边（BC或CD）的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH．
(1)如图1，点G在AC上．求证：FA=FG．
(2)若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长．
(3)已知FG=8，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似（包括全等）？
【答案】(1)见解析
(2)AG=7或5
(3)s=1或s=3225或s=327或10≤s≤12
【分析】（1）证明△AFG是等腰三角形即可得到答案；
（2）记AC中点为点O．分点E在BC上和点E在CD上两种情况进行求解即可；
（3）过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD于点N．分点E在线段BM上时，点E在线段MC上时，点E在线段CN上，点E在线段ND上，共四钟情况分别求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA．
∵FG∥BC，
∴∠FGA=∠BCA，
∴∠BAC=∠FGA，
∴△AFG是等腰三角形，
∴FA=FG．
（2）解：记AC中点为点O．
①当点E在BC上时，如图2，过点A作AM⊥BC于点M，
∵在Rt△ABM中，AM=35AB=6，
∴BM=AB2−AM2=102−62=8．
∴FG=EF=AM=6,CM=BC−BM=2，
∵OA=OC,OE∥AM，
∴CE=ME=12CM=12×2=1，
∴AF=ME=1，
∴AG=AF+FG=1+6=7．
②当点E在CD上时，如图3，
过点A作AN⊥CD于点N．
同理，FG=EF=AN=6,CN=2，
AF=NE=12CN=1，
∴AG=FG−AF=6−1=5．
∴AG=7或5．
（3）解：过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD于点N．
①当点E在线段BM上时，0ⅰ）若点H在点C的左侧，s+8≤10，即0CH=BC−BH=10−(4x+8)=2−4x．
∵△GHC∽△FEB，
∴GHEF=CHBE，
∴GHCH=EFBE，
∴3x2−4x=34，
解得x=14，
经检验，x=14是方程的根，
∴s=4x=1．
∵△GHC∽△BEF，
∴GHBE=CHEF，
∴GHCH=BEEF，
∴3x2−4x=43，
解得x=825，
经检验，x=825是方程的根，
∴s=4x=3225．
ⅱ）若点H在点C的右侧，s+8>10，即2CH=BH−BC=(4x+8)−10=4x−2．
∵△GHC∽△FEB，
∴GHEF=CHBE，
∴GHCH=EFBE，
∴3x4x−2=34，
此方程无解．
∵△GHC∽△BEF，
∴GHBE=CHEF，
∴GHCH=BEEF，
∴3x4x−2=43，
解得x=87，
经检验，x=87是方程的根，
∴s=4x=327．
②当点E在线段MC上时，8∴BH=BE+EH=s+8,CH=BH−BC=s−2．
∵△GHC∽△FEB，
∴GHEF=CHBE，
∴GHCH=EFBE，
∴6s−2=6s，
此方程无解．
∵△GHC∽△BEF，
∴GHBE=CHEF，
∴GHCH=BEEF，
∴6s−2=s6，
解得s=1±37，
经检验，s=1±37是方程的根，
∵8∴s=1±37不合题意，舍去；
③当点E在线段CN上时，10≤s≤12，如图7，过点C作CJ⊥AB于点J，
在Rt△BJC中，BC=10,CJ=6,BJ=8．
EH=BJ=8,JF=CE，
∴BJ+JF=EH+CE，
∴CH=BF，
∵GH=EF,∠GHC=∠EFB=90°，
∴△GHC≌△EFB，符合题意，
此时，10≤s≤12．
④当点E在线段ND上时，12∵∠EFB>90°，
∴△GHC与△BEF不相似．
综上所述，s满足的条件为：s=1或s=3225或s=327或10≤s≤12．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质、菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、矩形的性质、锐角三角函数等知识，分类讨论方法是解题的关键．
37．（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6cm，AC=12cm.动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F.设点P的运动时间为t(单位：s)，正方形和梯形重合部分的面积为Scm2．
(1)当t= ______ s时，点P与点Q重合；
(2)当t= ______ s时，点D在QF上；
(3)当点P在Q，B两点之间(不包括Q，B两点)时，求S与t之间的函数关系式；
(4)是否存在某一时刻，使得正方形APDE的面积被直线QF平分？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3
(2)125
(3)S=94t2−6t,(3(4)存在，t=337
【分析】（1）当点P与点Q重合时，此时AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=6，由此列一元一次方程求出t的值；
（2）当点D在QF上时，如图1所示，此时AP=BQ=t．由相似三角形比例线段关系可得PQ=12t，从而由关系式AP+PQ+BQ=AB=6，列一元一次方程求出t的值；
（3）当点P在Q，B两点之间运动(不包括Q，B两点)， 3（4）由题意知，当1【详解】（1）当点P与点Q重合时，AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=6，
∴t+t=6，解得t=3，
故答案为：3；
（2）当点D在QF上时，如答图1所示，此时AP=BQ=t．
∵QF∥BC，
∴∠PQD=∠CBA
∵四边形APDE为正方形，
∴∠DPQ=∠DPA=∠A=90°
∴△PQD∽△ABC，
∴DP：PQ=AC：AB=2，
则PQ=12DP=12AP=12．
由AP+PQ+BQ=AB=6，得t+12t+t=6，
解得：t=125；
（3）当P、Q重合时，由（1）知，此时t=3；
当D点在BC上时，如答图2所示，
∵四边形APDE是正方形，
∴DP∥AC，
∴ΔBDP~ΔBCA，
∴PBAB=DPCA，
∴PBDP=ABCA=612=12，
∴PB=12DP=12t，
∵AP+PB=AB，
即t+12t=6，
解得：t=4；此时E,F两点重合；
因此当P点在Q，B两点之间(不包括Q，B两点)时，其运动过程如下：
①当3此时AP=BQ=t，
∴AQ=6−t，PQ=AP−AQ=2t−6；
∵QF∥BC
∴△ABC∽△AQF，
∴AF=2AQ，EF=2EG．
∴EF=AF−AE=26−t−t=12−3t，EG=12EF=6−32t，
∴DG=DE−EG=t−(6−32t)=52t−6，
S=S梯形PDGQ==12(2t−6+52t−6)t=94t2−6t；
②当4此时AP=BQ=t，
∴AQ=PB=6−t，
∵△ABC∽△AQF，
∴AF=2AQ=12−2t，
∴SΔFAQ=12AQ⋅AF=12(6−t)(12−2t)=(6−t)2
∵ND∥PB
∴△PBM∽△DNM，
可得，PM=2PB，DM=2DN，
∴AF=12−2t，PM=12−2t，
又DM=DP−PM=t−12−2t=3t−12，
∴DN=123t−4．
∴SΔDMN=12DM⋅DN
=12×12×(3t−12)×(3t−12)
=14(3t−12)2
S=S正方形APDE−S△AQF−S△DMN
=t2−14(3t−12)2−(6−t)2
=−94t2+30t−72
综上所述，当点P在Q，B两点之间(不包括Q，B两点)时，S与t之间的函数关系式为：
S=94t2−6t,(3（4）由（3）知，当4∴94t2−6t=12t2，
解得：t=337，
∴当t=337时，正方形APDE的面积被直线QF平分．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，动点问题，一元二次方程的应用，分类讨论是解题的关键．
38．（2022·山东青岛·校考二模）已知，如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P以每秒1个单位从点C向点B运动，同时点Q沿着AC以每秒2个单位从A向C运动，在点Q运动的同时，作QF⊥AC交AD于F，当点F移动到D时，点P和点Q停止运动．以QF和PQ为边作平行四边形PQFE，设运动时间为t秒．
(1)几秒时，△AQF ∽ △CPQ？
(2)设平行四边形PQFE的面积是S，用t表示S；
(3)当PF⊥AD时，CP=PQ吗？说明理由．
(4)存不存在某个时刻，使得QE∥BC？若存在，求出t；若不存在，说明理由．
【答案】(1)当运动时间是2013秒时，△AQF∽△CPQ
(2)S=−215t2+152t
(3)CP≠PQ，理由见解析
(4)t=54
【分析】（1）可推出△CPQ ∽ △CBA，进而得出CPBC=CQAC，进一步得出结果；
（2）设PE交AC于H，根据△AQF∽△CBA表示出QF，根据△CPH ∽ △CAB表示出CH，从而表示出FQ上的高QH，进一步得出结果；
（3）先表示出AF，根据△AQF ∽ △CBA求得t的值，进而表示出CQ和CH，根据CQ和2CH的数量关系确定CP和PQ的数量关系；
（4）连接PF交QE于O，延长FQ交BC于G，当QE∥BC可推出点Q是FG的中点，进而推出Q点为AC的中点，进一步求得结果．
【详解】（1）解：∵QF⊥AC，
∴∠AQF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°， AD∥BC，
∴∠FAQ=∠ACB，∠AQF=∠ABC，
∴△AQF ∽ △CBA，
∵△AQF ∽ △CPQ，
∴△CPQ ∽ △CBA，
∴CPBC=CQAC，
∴t4=5−2t5，
∴t=2013；
∴当运动时间是2013秒时，△AQF∽△CPQ；
（2）设PE交AC于H，
∵△AQF ∽ △CBA，
∴FQAB=AQBC，
∴FQ3=2t4，
∴FQ=32t，
∵四边形FQPE是平行四边形，
∴PE∥FQ，
∴∠PHC=∠AHE=∠AQF=90°，
∴∠CHP=∠ABC，
∵∠PCH=∠ACB，
∴△CPH ∽ △CAB，
∴CHBC=CPAC，
∴CH4=t5，
∴CH=45t，
∴QH=AC−AQ−CH=5−2t−45t=5−145t，
∴S平行四边形PQFE=FQ⋅QH=32t⋅5−145t，
∴S=−215t2+152t；
（3）CP≠PQ，理由如下：
当PF⊥AD时，四边形CPFD是矩形，
∴DF=CP=t，
∴AF=AD−DF=4−t，
由△AQF ∽ △CBA得，
AQBC=AFAC，
∴2t4=4−t5，
∴t=87，
∴CQ=AC−AQ=5−2×87=197，
CH=45t=3235，
∴CQ≠2CH，
∴CP≠PQ；
（4）如图，

连接PF交QE于O，延长FQ交BC于G，
∵四边形EQPE是平行四边形，
∴OF=OP，
∵QE∥BC，
∴FQQG=OFOP=1，
∴QF=QG，
同理可得AQ=CQ，
∴AQ=12AC=52，
即：2t=52，
∴t=54．
【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定等知识，解决问题的关键是转化条件，灵活运用相关知识．
39．（2022·浙江绍兴·一模）如图1，平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（5，0），D（3，0），点P从点A出发，沿y轴负方向在y轴上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，过点P作PE∥x轴交直线AD于点E．
(1)设点P的运动时间为t（s），DE的单位长度为y，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
(2)当t为何值时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切？并求此时⊙E的半径；
(3)在点P的运动过程中，当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求此时t的值；
(4)如图2，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，连结B′O，如果∠AOE=∠BOB′，求t值．（直接写出答案，不要求解答过程）．
【答案】(1)y关于t的函数关系式为y=5−54t(0≤t≤4)，或y=54t−5(t>4)
(2)当t为167或16时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切，⊙E的半径为127或12
(3)当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，t的值为52或8或1007或10
(4)t=256125
【分析】（1）由勾股定理求出AD，分两种情况，由平行线得出比例式求出AE，得出DE即可；
（2）作EM⊥OD于M，则EM=4-t，由平行线得出比例式PEOD=APOA=AEAD，得出PE=34t，AE=54t，当以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切时，PE=EM，分两种情况：①当0＜t＜4时；②当t＞4时；得出方程，解方程即可；
（3）当0≤t≤4时，由PE=DE，得出方程，解方程即可；当t＞4时，分三种情况：①当DP=DE=54t−5时，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当PE=PD时，由勾股定理得出方程，解方程即可；③当PE=DE时，得出方程，解方程即可；即可得出结果；
（4）设直线AD交BB′于F，连接BB′，则AF⊥BB′，证明△AOD∽△BFD，得出比例式求出BF=85，得出BB′=165，证明△AOE∼△BOB′，得出比例式求出AE=6425，即可得出t的值．
（1）
解：∵A（0，4），B（5，0），D（3，0），
∴OA=4，OD=3，
由勾股定理得：AD=32+42=5，
①当0≤t≤4时，
∵PE∥x轴，
∴APOA=AEAD，
∴t4=AE5，
∴AE=54t，
∴DE=5−54t，
即y=5−54t(0≤t≤4)；
②当t＞4时，y=54t−5(t>4)；
综上所述，y关于t的函数关系式为y=5−54t(0≤t≤4)，或y=54t−5(t>4)；
（2）
解：如图1所示：作EM⊥OD于M，则EM=4-t，
∵PE∥OD，
∴PEOD=APOA=AEAD，
即PE3=t4=AE5，
解得：PE=34t,AE=54t，
当以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切时，PE=EM，分两种情况：
①当0＜t＜4时，34t=4−t，
解得：t=167，此时PE=127；
②当t＞4时，34t=t−4，
解得：t=16，此时12；
综上所述，当t为167或16时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切，⊙E的半径为127或12；
（3）
解：当0≤t≤4时，由PE=DE，
∴34t=5−54t，
解得：t=52；
当t＞4时，分三种情况：如图2所示：
①当DP=DE=54t−5时，
由勾股定理得：OP2+OD2=DP2，
即(t−4)2+32=54t−52，
解得：t=8；
②当PE=PD时，
由勾股定理得：(t−4)2+32=34t2，
解得：t=1007，或t=4（舍去）；
∴t=1007；
③当PE=DE时，34t=54t−5
解得：t=10；
综上所述：当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，t的值为52或8或1007或10；
（4）
解：设AD交BB′于F，连接BB′，如图3所示：
则AF⊥BB′，
∴∠AOD=∠BFD=90°，
又∵∠ADO=∠FDB，
∴∠OAD=∠FBD，△AOD∽△BFD，
∴BFAO=BDAD，即BF4=25，
∴BF=85，
∴BB′=2BF=165，
∵∠AOE=∠BOB′，∠OAD=∠FBD，
∴△AOE∼△BOB′，
∴AEBB′=AOBO，即AE165=45，
∴AE=6425=54t，
∴t=256125．
【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、平行线分线段成比例定理、切线的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）和（4）中，需要进行分类讨论和作辅助线证明三角形相似才能得出结果．
40．（2022·辽宁大连·统考三模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，AD平分∠BAC交BC于点D，动点P从点A出发以2cm/s的速度沿边AB运动，当点P与点B重合时，停止运动．过点P作AB的垂线，交射线BC于点F．设点P的运动时间为t（s），△BPF与△ABD重合部分图形面积为s（cm2）．
(1)请直接写出AB的长；
(2)求∠DAB的正切值；
(3)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【答案】(1)AB＝5
(2)tan∠DAB=12
(3)当0≤t≤32时，S=154−t2；当32【分析】对于（1），直接根据勾股定理求出答案即可；
对于（2），作DE⊥AB，根据“AAS”证明△ACD≌△AED，得AC＝3，CD＝DE，再说明△BDE∽△BAC，根据相似三角形的对应边成比例得CD，最后根据tan∠DAB=DEAE得出答案；
对于（3），当0≤t≤32时，表示AP，PG，可得SΔAPG，SΔABD，然后根据S=S△ABD−S△APG得出关系式；当32（1）
AB＝5．
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=32+42=5；
（2）
过点D作DE⊥AB于点E，
则DEA＝DEB＝C＝90°，
∵AD平分BAC，
∴CAD＝BAD．
∵AD＝AD，
∴△ACD≌△AED，
∴AC＝AE＝3，CD＝DE．
∵B＝B，
∴△BDE∽△BAC，
∴BDAB=DEAC=BEBC，
∴4−CD5=CD3，
∴CD=32，
∴DE=32，
∴tan∠DAB=DEAE=323=12；
（3）
当0≤t≤32时，如图1所示，AP＝2t，PG＝t，
∴SΔAPG=12×2t⋅t=t2，SΔABD=12×3×52=154，
∴S=154−t2；
当32在Rt△BPF中，tan∠B=PFBP=ACBC=34，
∴FP=345−2t，
∴S=385−2t2=32t2−152t+758．
图1 图2
【点睛】这是一道关于动点的综合问题，考查了勾股定理，锐角三角函数，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等．
【考点9 相似三角形的应用】
41．（2022·广西贺州·统考中考真题）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6cm；圆柱体底面半径是3cm，液体高是7cm．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
【答案】B
【分析】由圆锥的圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根据园锥、圆柱体积公式可得液体的体积为63πcm3，圆锥的体积为72πcm3，设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：如图，作圆锥的高AC，在BC上取点E，过点E作DE⊥AC于点D，则AB=6cm，AC=6cm，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴CD=DE，
圆柱体内液体的体积为：π×32×7=63πcm3
圆锥的体积为13π×62×6=72πcm3，
设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，
∴13π⋅(6−x)2⋅(6−x)=72π−63π，
∴(6−x)3=27，
解得：x=3，
即此时“沙漏”中液体的高度3cm．
故选：B．
【点睛】本题考查圆柱体、圆锥体体积问题，解题的关键是掌握圆柱体、圆锥体体积公式，列出方程解决问题．
42．（2022·贵州铜仁·模拟预测）如图1，某温室屋顶结构外框为△ABC，立柱AD垂直平分横梁BC，∠B=30°，斜梁AC=4m，为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为△EBC(点E在BA的延长线上)，立柱EF⊥BC，如图2所示，若EF=3m，则斜梁增加部分AE的长为（ ）
A．0.5mB．1mC．1.5mD．2m
【答案】D
【分析】根据已知条件证明△ABD∽△EBF，得到ABEB=ADEF，即可得解．
【详解】解：∵EF⊥BC，AD⊥BC，
∴AD∥EF，
∴△ABD∽△EBF，
∴ABEB=ADEF，
∵AD垂直平分横梁BC，
∴AB=AC=4m，
∵∠B=30°，∠ADB=90°，
∴AD=12AB=2m
∴4EB=23，
解得EB=6m，
∴AE=EB−AB=6−4=2m，
故选D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，含30度角的直角三角形的性质，证明△ABD∽△EBF，得到ABEB=ADEF是解题的关键．
43．（2022·河北邯郸·校考三模）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：mm），则从闭合到打开B，D之间的距离减少了（ ）
A．25 mmB．20mmC．15 mmD．8mm
【答案】A
【分析】连接图2、图3中的BD，图2中证明△AEF∽△ABD，利用相似三角形的性质求得BD，在图3中证明四边形EFDB是矩形，求得BD，进而作差即可求解．
【详解】解：如图2，连接BD，
∵AE=CF=28，BE=DF=35 ，
∴AEAB=AFAD=2863=49，又∠EAF=∠BAD，
∴△AEF∽△ABD，
∴BDEF=ABAE，又EF=20，
∴BD20=94，解得：BD=45，
如图3，连接BD，
∵BE∥DF，BE=DF，
∴四边形EFDB是平行四边形，
∵∠BEF=90°，
∴四边形EFDB是矩形，则BD=EF=20，
∴从闭合到打开B，D之间的距离减少了45-20=25（mm），
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的应用、平行四边形的判定、矩形的判定与性质，理解题意，会利用相似三角形的判定与性质解决实际问题是解答的关键．
44．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O处，然后观测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A，此时测得观测者观看镜子的俯角α=60°，观测者眼睛与地面距离CD=1.7m，BD=11m，则旗杆AB的高度约为_________m．（结果取整数，3≈1.7）
【答案】17
【分析】如图容易知道CD⊥BD，AB⊥BD，即∠CDO=∠ABO=90°．由光的反射原理可知∠COD=∠AOB=60°，这样可以得到△COD∽△AOB，然后利用对应边成比例就可以求出AB．
【详解】解：由题意知∠COD=∠AOB=60°，∠CDE=∠ABE=90°，
∵CD=1.7m，
∴OD=CDtan60°=1.73≈1(m)，
∴OB=11-1=10(m)，
∴△COD∽△AOB．
∴CDAB=ODOB，即1.7AB=110，
∴AB=17(m)，
答：旗杆AB的高度约为17m．
故答案为：17．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质就可以求出结果．
45．（2022·浙江杭州·统考中考真题）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB=_________m．
【答案】9.88
【分析】根据平行投影得AC∥DE，可得∠ACB=∠DFE，证明Rt△ABC∽△Rt△DEF，然后利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．
∴AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
∵AB⊥BC，DE⊥EF，
∴∠ABC=∠DEF=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△DEF，
∴ABDE=BCEF，即AB2.47=，
解得AB=9.88，
∴旗杆的高度为9.88m．
故答案为：9.88．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．证明Rt△ABC∽△Rt△DEF是解题的关键．
【考点10 位似变换】
46．（2022·广西·中考真题）已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（ ）
A．1 ：3B．1：6C．1：9D．3：1
【答案】C
【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案．
【详解】∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，
故选：C．
【点睛】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键．
47．（2022·山东威海·统考中考真题）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为( )
A．（43）3B．（43）7C．（43）6D．（34）6
【答案】C
【分析】根据题意得出A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，确定与△AOB位似的三角形为△GOH，利用锐角三角函数找出相应规律得出OG=2336x，再由相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°
∴∠AOG＝180°，∠BOH＝180°，
∴A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，
∴与△AOB位似的三角形为△GOH，
设OA=x，
则OB=OAcs30°=23x3=x2331，
∴OC=OBcs30°=4x3=x2332，
∴OD=OCcs30°=83x9=x2333，
…
∴OG=x2336，
∴OGOA=2336，
∴S△GOHS△AOB=23312=436，
∵S△AOB=1，
∴S△GOH=436，
故选：C．
【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形，找规律问题，相似三角形的性质等，理解题意，找出相应边的比值规律是解题关键．
48．（2022·广西河池·统考三模）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，以下说法正确的有（ ）个
①S△ABC:S△A′B′C′=1:2
②AB:A′B′=1:2
③点A，O，A′三点在同一条直线上
④BC∥B′C′
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据位似图形的概念和相似三角形的性质判断即可．
【详解】解：以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
则△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：2，
∴S△ABC：S△A′B′C′=1：4，故①选项说法错误；
∴AB：A′B′=1：2，点A，O，A′三点在同一条直线上，BC∥B′C′，②③④说法正确；
故选C．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
49．（2022·河北保定·统考模拟预测）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点均在格点上，△ABC与△A′B′C′位似，点A为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点A的坐标为−3,2，则点C的对应点C′的坐标为（ ）
A．−5,2B．−1,2或−5,2C．−5,0D．−5,0或−1,4
【答案】D
【分析】根据位似变换的概念和性质、结合图形解答．
【详解】解：如图，
由图可知，点C的坐标为(-2，3)，
以点A为位似中心，在网格中画△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2，
则点C′的坐标为(-5，0)或(-1，4)，
故选：D．
【点睛】本题考查位似变换的应用，熟练掌握位似变换的概念和性质是解题关键．
50．（2022·广西河池·统考中考真题）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2:1，并写出点B2的坐标．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线得到△A1B1C1．
（2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可．
【详解】（1）如图，ΔA1B1C1为所作．
（2）如图，ΔA2B2C2为所作，点B2的坐标为（-4，-6）．
【点睛】本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴．