中考数学一轮复习专题18 解直角三角形（10个高频考点）（举一反三）（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc356" 【考点1 锐角三角函数的定义】 PAGEREF _Tc356 \h 1
\l "_Tc8883" 【考点2 锐角三角函数的增减性】 PAGEREF _Tc8883 \h 5
\l "_Tc23539" 【考点3 同角三角函数的关系】 PAGEREF _Tc23539 \h 7
\l "_Tc23644" 【考点4 互余两角三角函数的关系】 PAGEREF _Tc23644 \h 9
\l "_Tc2966" 【考点5 特殊角的三角函数】 PAGEREF _Tc2966 \h 13
\l "_Tc3510" 【考点6 解直角三角形】 PAGEREF _Tc3510 \h 16
\l "_Tc13409" 【考点7 解直角三角形的应用之仰角俯角问题】 PAGEREF _Tc13409 \h 24
\l "_Tc25584" 【考点8 解直角三角形的应用之方位角问题】 PAGEREF _Tc25584 \h 29
\l "_Tc10885" 【考点9 解直角三角形的应用之坡度坡比问题】 PAGEREF _Tc10885 \h 35
\l "_Tc22318" 【考点10 解直角三角形应用之其他问题】 PAGEREF _Tc22318 \h 40
【要点1 锐角三角函数】
在中，，则的三角函数为
【考点1 锐角三角函数的定义】
【例1】（2022·湖北荆州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，，连接AC，过点O作交AC的延长线于P．若，则的值是（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】由可知，OP与x轴的夹角为45°，又因为，则为等腰直角形，设OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他线段进而求解．
【详解】∵P点坐标为（1，1），
则OP与x轴正方向的夹角为45°，
又∵，
则∠BAO=45°，为等腰直角形，
∴OA=OB，
设OC=x，则OB=2OC=2x，
则OB=OA=3x，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解，根据P点坐标推出特殊角是解题的关键．
【变式1-1】（2022·上海·上海市进才中学校考一模）在中，，，．下列四个选项，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出的长，根据锐角三角函数的定义判断即可．
【详解】解：如图，
在中，，，
∴根据勾股定理得：，
∴，，，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
【变式1-2】（2022·山东滨州·阳信县实验中学校考模拟预测）如图所示，已知 是 的外接圆， 是 的直径，连接 ，若，则 的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由直径所对圆周角为直角，得出：，再由勾股定理求得CD的长，由即可求得结果．
【详解】解：是的直径，
，
，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆中直径所对的圆周角是直角，勾股定理，灵活运用这些知识求锐角三角函数是关键．
【变式1-3】（2022·四川宜宾·统考中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，，，将沿BD折叠到位置，DE交AB于点F，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明，得出，，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=5，AB=BC=3，，
根据折叠可知，，，，
∴在△AFD和△EFB中，
∴（AAS），
∴，，
设，则，
在中，，
即，
解得：，则，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明，是解题的关键．
【考点2 锐角三角函数的增减性】
【例2】（2022·上海静安·统考一模）如果，那么与的差（ ）
A．大于0B．小于0C．等于0D．不能确定
【答案】B
【分析】，再根据正弦函数随着角的增大而增大进行分析即可．
【详解】∵，正弦函数随着角的增大而增大，
∴当时，，
，即，
故选B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，正弦函数值随着角的增大而增大．
【变式2-1】（2022·上海·校考模拟预测）如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据“正弦值随着角度的增大而增大”解答即可．
【详解】解：∵0°＜25°＜30°
∴
∴．
故选A．
【点睛】本题主要考查了锐角三角形的增减性，当角度在0°~90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
【变式2-2】（2022·甘肃张掖·统考模拟预测）若，则下列说法不正确的是（ ）
A．随的增大而增大B．cs随的减小而减小C．tan随的增大而增大D．0