高教版（2021·十四五）拓展模块一（下册）第7章 数列7.3 等比数列优质教学设计

这是一份高教版（2021·十四五）拓展模块一（下册）第7章 数列7.3 等比数列优质教学设计，共6页。
7.3 等比数列
选用教材
高等教育出版社《数学》
（拓展模块一下册）
授课
时长
4 课时
授课类型
新授课
教学提示
本课通过我国古代数学著作《孙子算经》趣题引出等比数列的概念，介绍了等比数列的通项公式及其应用．根据具体实例给出等比中项的定义及等比中项公式，引导学生从“棋盘上的麦粒”的故事中抽象出等比数列模型，然后利用“错位相减法”推导出前 n 项和公式．其中等比数列的定义是推导通项公式、前 n 项和公式的基础．在等比数列的教学中，可采用类比的方法，在复习等差数列的有
关知识的同时，对等比数列的相应知识进行类比学习．
教学目标
了解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式；了解等比数列前 n 项和公式的推导过程；掌握等比数列的通项公式及前 n 项和公式；能够通过具体实例，发现并总结等比数列的概念及公比的概念；理解并掌握等比数列前 n 项和公式，并应用公式解决简单的问题；结合中国历史著作《孙子算经》趣题、棋盘麦粒故事等情境与问题，培养学生建模思想，体验历史文化，培养学生观 察、归纳、分析、综合推理的能力，渗透特殊到一般的思想；通过学习，逐步
提升数学运算、逻辑推理、数学抽象和数学建模等核心素养.
教学
重点
等比数列的概念，通项公式的应用，等比数列前 n 项和公式及应用．
教学
难点
等比数列概念的理解，等比数列前 n 项和公式的推导及知识的实际应用．
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
引入
等比数列是另一种有特殊规律的数列，其通项公式、求和公式的推导蕴含着与等差数列不同的重要的数学思想
方法.
介绍
体会
引出学习
情境导入
7.3.1 等比数列的概念
我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一个趣题： “今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色。问：各几何？”试依次把堤、木、枝、巢……的数量计算出来，这组数有
什么规律？
提出问题
引发思考
观察思考
讨论交流
古代趣题提升文化素养
不难看出,这组数构成一个数列：9，81，729，8561…,我们也可以将其表示成 9，92，93，94，….在这个数列中，从第二项起每项与它前一项的比都是 9.
类似的数列还有 32，16，8，4，….
不难看出, 从第二项开始，每一项与它前一项的比都
1
是 .
2
一般地，如果一个数列an从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个非零常数时，就称这个数列为等比数列，这个常数称为等比数列的公比，通常用字母 q 来表示．
如数列 9，81，729，6561，…为等比数列，其公比 q=9；
讲解
展示图形提示说明
说明
理解
观察特征交流讨论
领会
结合实例学习等比数列的定义，应强调 q
为 1的等比数
新知探索
1
数列 32，16，8，4，…是等比数列，公比 q=.
2
如果数列an是一个公比为 q 的等比数列，那么从第二项起，数列的每一项都等于它的前一项与公比的乘积，即
a2=a1q， a3=a2q=(a1q)q=a1q2 ， a4=a3q=(a1q2)q=a1q3 ，
……
因此，首项为 a1、公比为 q 的等比数列an的通项公式为
a  a qn1 (其中 a1 与 q 均不为 0)．
n1
探究与发现
当一个数列既是等差数列，又是等比数列时，这个数列具有什么特征？
强调
讲解分析
引发思考
要点
体会学习
分析讨论
列是常数列，但常数列不一定是等比数列
感受典型数列的关系
典型例题
例１在等比数列an 中， a1=2，q=4，求 an，a5．解 根据等比数列通项公式 an=a1 qn-1 可知
an=a1qn-1=2×4n-1=22n-1；
即an= 22n-1 ．
因此，a5 = 2251 =29=512．
例 2 将一张报纸反复对折,若不考虑其它因素,则报纸层数构成等比数列：2,4,8,…．
求这个数列的通项公式；
求第 5 次对折后报纸的层数；
问第几次对折之后报纸的层数是 128？
解 (1) 设这个数列为an,则 a1=2,q=4,故该等比数列的通项公式为
an=a1qn-1=2×2n-1=2n.
根据通项公式可知，a1=25=32，因此第 5 次对折之
后的报纸的层数为 32 层.
设第 n 次对折后报纸的层数是 128,即 an＝128,则由通项公式可知
2n=128，
2n =27，
解得n=7.
因此，第 7 次对折后报纸的层数是 128.
例 3 在等比数列{an}中，a4=36，a6=144，求首项 a1 和公比 q．
解 根据等比数列的通项公式 an=a1qn-1 可得
 a q3  36,①
 1
a q5  144.②
1
提问引导
讲解强调
指导学习
提问引导
讲解强调
思考分析
解决交流
主动求解
思考分析
解决交流
例 1
和例
2 是巩固性练习，目的是使学生会直接利用通项公式进行求解
例 3是理解性练 习，
②式除以①式，并整理得
q2  144  4
36
解得q=±2.
9
当 q=2 时，a1×23=36，解得 a1=；
2
9
当 q=-2 时，a1×(-2)3=36，解得 a1= .
2
99
所以, a1=，q=2 或 a1= , q=-2.
22
例 4 已知三个数成等比数列，其和为 28，其积为 512，求这三个数．
分析 对于构成等差数列的三个数，可以将它们设为 a1，
a1q，a1q2，也可以将它们设为 a ,a,aq，其中 q 为公比.若
q
a
已知这三数的积，则将它们设为 ,a,aq 更有利于计算.
q
a
解 设这三个数分别为 ,a,aq，则
q
 a  a  aq  28①
 q
 a
 a  aq  512②
 q
由②式得 a³=8³，解得 a=8 .
将 a=8 代入①式，化简得
2  2q  5③
q
③式两边同时乘 q，整理得
2q²-5q+2=0，
解得
当 q=2 时，所求的三个数分别为 4，8，16；
1
当 q=时，所求的上数分别为 16，8，4.
2
所以，这三个数为 4，8，16 或 16，8，4.
提问引导
讲解强调
思考交流
解决问题
结合方程组练习加深对通项公式的理解
例 4主要让学生了解，如果三个数成等比数 列，且已知三个数的乘积，可以设这三个数分别为
a ，
q
a ，
aq
新知探索
一般地，当 a，G，b 成等比数列时，G 称为 a 和 b
的等比中项.
当 G 是 a 与 b 的等比中项G b ，
时，有a=G
因此 G2=ab 或 G=± ab ．
例如，若 3，G，12 三个数构成等比数列，则
G2=3×12，从而 3 与 12 的等比中项 G＝±6．
讲解说明
领会要点
借助实例进行说明
巩固练习
练习 7.3.1
判断下列说法是否正确列(是打“√”，否打“×”).
在下列等比数列中填上所缺的项．
(1) 3，6，12，，48，…； (2)，4，-2，1，； (3)5，5，5，，5；
(4)1，-1，1，，1．
在等比数列{an}中，a1=3，q=-2，求 a3、a4．
求下列各组数的等比中项：
(1) 4 与 25；(2) -3 与-27．
在等比数列{an}中，a2=8，a3=4，求公比 q 和首项
a1．
在等比数列{an}中，a1=1，an=256，q=2，求 n．
已知三个数成等比数列，它们的和为 14，它们的积为 64，求这三个数．
在等比数列 1 , 1 ,1…中，8 是第几项？
42
一辆车现价为 10 万元，年折旧率为 10%(不考虑其他因素) ，问该车第 10 年后的车价是多少元(保留两位小
数)？
提问
巡视
指导
思考
动手求解
交流
及时掌握学生情况查漏补缺
情境导入
7.3.2 等差数列前 n 项和公式
相传古时候有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，并将其献给了国王，国王从此迷上了下棋.作为对这位大臣的奖勋，国王许诺满足大臣一个要求.大臣说“: 就在这个棋盘上放上一些麦粒吧，第一格放 1 粒,第二格放 2 粒,第三
格放 4 粒，然后依次是 8 粒，，16 粒，…，一直到第六十四格.”“就要这么一点儿麦粒？”国王哈哈大笑，慷慨地答应了.大臣:“就怕您的国库里没有这么多麦粒！”为什么大臣说国库里没有这么麦粒呢？
引发思考
讨论交流
借助经典数学故事增加知识趣味性
新知探索
可以看出，按照大臣的要求，在棋盘上六十四个格中所放的麦粒数构成等比数列 1，2，4，8，16，32，64，…， 263 .到底棋盘上需要放多少麦粒呢？要回答这一问题，就需要计算出等比数列 1，2，4，8，16，32，64，…，263 各项的和.
设{an}是一个公比为 q 的等比数列，记{an}的前 n 项和为
Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an.(1)
根据等比数列的定义可知，等比数列的每一项与公比的乘积等于与它相邻的后一项.我们将(1)式的两边同时乘公比 q,得到
qSn=a1q+a2q+a3q+…+aqn-1+anq，
即qSn=a2+a3+a4+…+an+an+1.(2)
比较(1) 、(2)两式可以看出, (1)式的右边从第 2 项至最后一项与(2)式右边的第 1 项至倒数第 2 项分别相同．将(1)式的两边分别减去(2)式的两边就可消去相同的项，得到
(1-q)Sn=a1-an+1
a (1  qn )
当 q≠1 时，Sn  1 .
1  q
由等比数列的通项公式可得 an+1=a1q n，将其代入上式即得等比数列前 n 项和公式
a (1  qn )
Sn  1( q≠1).
1  q
由等比数列的定义得 an+1=anq，带入前式得等比数列前 n 项和公式为
当 q=1 时，等比数列是一个常数列，其前 n 项和为
Sn=na1.
现在，我们回到本节“情境与问题”的等比数列{an}中， a1=1，q=2，n=64. 因此，棋盘上六十四个格中所放的麦粒总数为
1(1  264 )
S64 =264-1=18446744073709551615(粒).
1  2
根据实际测算可知，1kg 麦粒约有 52000 粒.因此，这
些麦粒的总质量约为 354745078340t，这大约相当于全世界一千年生产的小麦质量的几百倍.
讲解
展示图形
提示说明
说明强调
理解
观察特征
交流讨论
领会要点
引导学生从 “棋盘上的麦粒”的故事中抽象出等比数列模型，然后利用 “错位相减 法”推导出前 n 项和公式，观察归纳等比数列的特点，培养和提升归纳分析能力
典型例题
例 5 在等比差数列{an}中，a1=2，q=3，求该数列前 5 项的和．
解由等比数列的前 n 项和公式
提问引导
讲解强调
思考分析
解决交流
例 5
和例
6 是巩固性练习，
例 6 在等比数列{an}中，a1=2， q=3，an=162，求该数列前 n 项的和．
解 由等比数列前 n 项和公式
例 7 已知等比数列 1，2，4，8，…，求该数列第 5 项至第
10 项的和．
分析 第 5 项至第 10 项的和为 a5+a6+a7+a8+a9+a10，可表示为该数列前 10 项的和减去其前 4 项的和．
解 根据已知条件a1=1，q 2 2. 因此，
=1=
a (1  q4 ) 1(1  24 )
S4  1 ==15 ，
1  q1  2
a (1  q10 ) 1(1  210 )
S10  1 ==1023 .
1  q1  2
于是，该数列第 5 项至第 10 项的和为
S10-S4=1023-15=1008．
指导
主动求解
使学生掌握公式能直接利用公式求解例 7是理解性练 习，使学生加深对公式的理解
巩固练习
练习 7. 2
在等比数列{an}中，a1 1q=2，求该数列前 5 项
=2，
的和．
在等比数列{an}中，a1=8， q 1，an 1求该数列
=2=4，
前 n 项的和．
求等比数列 33，6，12，…前 6 项的和．
2，
求等比数列 33，6，12，…第 7 项至第 10 项的
2，
和．
提问
巡视
指导
思考
动手求解
交流
及时掌握学生情况查漏补缺
归纳总结
引导提问
回忆反思
培养学生总结学习过程
能力
布置作业
书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；
查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;
拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
说明
记录
继续探究延伸
学习