中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（下册）7.2 等差数列公开课教学设计

这是一份中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（下册）7.2 等差数列公开课教学设计，共6页。
7.2 等差数列
选用教材
高等教育出版社《数学》
（拓展模块一下册）
授课
时长
4 课时
授课类型
新授课
教学提示
本课通过中国古建筑天坛实例引出等差数列的概念，然后介绍等差数列的通项公式及其应用，旨在提升学生文化素养，培养学生的观察分析、归纳猜想以及应用能力；然后教材通过国庆布置展台实例给出一个特殊的等差数列求和问题，引导学生借助几何图形为倒序相加法提供了一个直观模型．接着从特殊
到一般，推导一般的等差数列的求和公式．
教学目标
了解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，了解等差数列前 n 项和公式的推导过程，掌握等差数列的通项公式及前 n 项和公式；能够通过具体实例，发现总结等差数列的概念及公差的概念；理解并掌握等差数列前 n 项和公式，并应用公式解决简单的问题；结合古建筑天坛、国庆展台等情境与问题，培养学生建模思想，体验中国历史文化，培养学生观察、归纳、分析、综合推理的能力，渗透特殊到一般的思想；通过学习，逐步提升数学运算、逻辑推
理、数学抽象和数学建模等核心素养.
教学
重点
等差数列的概念，通项公式的应用，等差数列前 n 项和公式及应用．
教学
难点
等差数列概念的理解，等差数列前n项和公式的推导及知识的实际应用．
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
引入
等差数列是一种有特殊规律的数列，其通项公式的
前 n 项和公式的推导蕴含着重要的数学思想方法.
介绍
体会
引出
学习
7.2.1 等差数列的概念
天坛集明清两代建筑技艺之大成，是古建筑珍品.它以深刻的文化内涵、宏伟的建筑风格，成为中华民族古老文明的写照.圜丘坛是举行冬至祭天大典的场所.圜丘为圆形，三层坛制，每层四面出台阶各 9 级.上层中心为一块圆
石,外铺扇形石块 9 圈，内圈 9 块，以 9 的倍数依次向外延
展，栏板、望柱的数量也都是 9 或 9 的倍数.
石板以上层中心圆石为起点，第一圈为 9 块，第二圈
为 18 块，周围各圈直至底层，共 9 圈，均以 9 的倍数递
增，如图所示．你能算出第 9 圈共有多少块石板吗？
提出
观察
提升
问题
思考
文化
引发
讨论
素
思考
交流
养，
培养
情境导入
观察
分 析、
归纳
猜想
以及
应用
能力
可以看出，第一圈石板数为 9，第二圈石板数为 18，第三圈石板数为 27，… ，第 9 圈石板数为 81.因此，从内到外，石板数构成数列：9，18，27，… ，81.在这个数列中，从第二项开始，每项与前一项的差都是 9.
用同样的方式观察数列
讲解
理解
强调
定义
的重
展示
观察
要性
图形
特征
并自
新知探索
20，15，10，5，… ；
1，3，5，7，….
我们发现这些数列都具有一个共同特点：从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数.
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数时，就称这个数列为等差数列，这个常数称为等差数列的公差，通常用字母 d 来表示．
如数列 5，10，15，20，…是等差数列，公差 d=5；
1，3，5，7，…是等差数列，公差 d=2；１，2，3，…，
99，100 是等差数列，公差 d=1．
如果数列an是一个公差为 d 的等差数列，那么该数列从第二项起每一项都等于它的前一项与公差的和，即
a2=a1+d， a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d， a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d， a5=a4+d=(a1+3d)+d=a1+4d，
……
因此，首项为 a1、公差为 d 的等差数列an的通项公式为
an=a1+(n−1) d.
探究与发现
已知一个等差数列中的某一项和这个数列的公差，如何表示出其他的项？
提示说明
说明强调
讲解分析
引发思考
交流讨论
领会要点
体会学习
分析讨论
始至终紧扣这个定义，推导等差数列通项公式时，让学生亲身经历 “不完全归纳法”这一研究过程
典型例题
例１ 已知等差数列 2，5，8，11，… (1)求这个数列的通项公式；
求出这个数列的第 6 项；
这个数列的第几项是 35？
解 (1)设这个等差数列通项公式为{an}，则 an=a1+(n-1)d，则 a1=2，a2=5，可得
d =5-2=3.
由 an=a1+(n-1)d 得，该数列通项公式为
an=2+( n-1)×3=3n-1.
即an=3n-1．
由 an=3n-1，可知 a6=3×6-1=17．
设 35 是这个数列的第 n 项，即 an＝35，则由通项公式an=3n-1
可得
35=3n-1，
解得n=12．
所以，35 是这个数列的第 12 项．
例 2 在等差数列 an 中，a2=25， a7=10，求 a1，d，a10.
解 由等差数列的通项公式 an=a1+(n−1) d ，可得
提问引导
讲解强调
指导学习
思考分析
解决交流
主动求解
例 1
和例
2 让学生灵活运用通项公式和方程思想求等差数列的首项、公 差、项 数、指定的项
 28  a1 +d , .
10  a +6d.
1
解方程组，得
a1  28
 d  3

于是，该等差数列的通项公式为
an=28+(n-1)×(-3)=-3n+31.
由此可得，a10= (-3)×10+31=1.
所以，a1=28，d=-3，a10=1.
例 3 小明、小明的爸爸和小明的爷爷的年龄恰好构成等差数列，他们三个人的年龄之和为 99，爷爷的年龄是小明的年龄的 10 倍，求他们祖孙三人的年龄.
分析 对于构成等差数列的三个数，可以将它们设为 a1， a1+d，a1+2d，也可以将它们设为 a-d，a，a+d，其中 d 为公差.若已知这三个数的和，则将它们设为 a-d ，a，a+d更有利于计算．
解 设小明、小明的爸爸和小明的爷爷的年龄分别为 a-d ，
a，a+d ，则
解方程组得
a  33,
d  27.

于是，a-d=6，a+d=60.
即小明、小明的爸爸和小明的爷爷的年龄分别是 6 岁、33
岁和 60 岁．
因此，他们祖孙三人的年龄分布为 60 岁、33 岁和 6
岁.
提问引导
讲解强调
提问引导
讲解强调
思考分析
解决交流
思考交流
解决问题
例 3主要阐明如果三个数成等差数 列，且已知三个数的 和，利用对称性设这三个数
新知探索
一般地，当三个数 a，A，b 成等差数列时，A 称为 a
和 b 的等差中项.
若 A 是 a 与 b 的等差中项，则由等差数列的定义可知，
A-a=b-A，
因此
例如，若 2，b，6 三个数成等差数列，则 b 是 2 和 6
的等差中项，且 b= 2+6  4.
2
讲解说明
领会要点
借助实例说明
巩固练习
练习 7.2.1
1.判断下列数列是否为等差数列(是打“√”，否打 “×”).若是，指出其公差.
(1) 1，3，5，7，9，2，4，6，8 ；()
(2) 1， 1 ，1， 1 ，1， 1 ，…；()
222
3,3,3,3,… ；()
1,1,2,3,4,5,… ；()
4,1,-2,5,… ；()
根据已知条件填空.
(1) 38 是等差数列 3，8，13，18，…的第项； (2)在等差数列an中，a1=10，a8=3，则 d =； (3)在等差数列an中，d=−2，a20=−18，则 a1=．
在等差数列an中，a5=11，a14=38，求 a1，d，a20．
已知三个数成等差数列，它们的和等于 12，它们平方和等于 56，求这三个数．
5 .求下列各组数的等差中项：
(1) 12 与 4； (2) −10 与 6．
提问
巡视
指导
思考
动手求解
交流
及时掌握学生情况查漏补缺
情境导入
7.2.2 等差数列前 n 项和公式
某街道举办国庆 70 周年成就展,在展厅前用鲜花摆放
了一个等腰梯形花坛.花坛由前到后共有 12 排，最前一排
摆放了 10 盆鲜花，往后每排依次增加 2 盆.
写出由前到后每排摆放的鲜花盆数构成的数列，并计算这个花坛一共用了多少盆鲜花.
引发思考
讨论交流
借助几何图形为倒序相加法提供了一个直观模型
新知探索
容易算出,第 2 排的花盆数为 12，第 3 排的花盆数为 14,…,第 12 排的花盆数为 32．因此,由前到后每排的花盆数构成的数列为
10,12,14,⋯,32.
要计算一共用了多少盆鲜花， 就是要计算等差列 10,12,14,⋯,32 各项的和.设想将等腰梯形倒过来，与原来的等腰梯形合并在一起，如图所示，可以发现每一排的花盆数都是 42，即
10+32=12+30=14+28=…=32+10.
讲解
展示图形
理解
观察特征
按照从特殊到一般的过程推导等差数列通项公式
因为一共有 12 排花盆，所以这个花坛的花盆总数为
一般地，数列{an}的前 n 项和记为 Sn ，于是有
Sn=a1 + a2 + a3 + …+an-1+an，(1) (1)式也可以写为
Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1．(2)
将(1)式与(2)式相加，可得
2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+ (a3+an-2)+… +(an+a1)
因为在等差数列{an}中
a1+an=a1+an
a2+an-1=(a1+d )+(an−d )=a1+an，
a3+an-2=(a1+2d )+(an−2d )=a1+an，
……
an+a1=a1+an
所以
2Sn=n (a1+an) .
由此得到等差数列的前 n 项和公式
S n(a1＋an)
n=2.
因为 an=a1+(n-1)d，所以上面的公式又可写成
S ＝nan(n－1) d.
n1＋2
探究与发现
当一个等差数列的公差为正数的时候，它的前 n 项和一定随着项数的增加而增加么？反之，当公差为负数时，
它的前 n 项和一定随着项数的增加而减少么？
提示说明
说明强调
交流讨论
领会要点
用倒序相加法推导等差数列求和公式
典型例题
例 4 在等差数列{an}中，a1=5，a9=85，求 S9．解根据等差数列的前 n 项和公式
得
例 5 等差数列-6，- 4，-2，0，…的前多少项的和等于 30？解 设该数列的前 n 项和等于 30
由于 a1=-6，d=a2-a1=(-4)-(-6) =2，故由等差数列前
n 项和公式，得
即n2-7n-30=0.
解得n=10 或 n=-3(舍去).
因此，该数列的前 10 项和是 30．
提问引导
讲解强调
指导
思考分析
解决交流
主动求解
例 4
和例
5 是巩固性练习，目的是学习根据条件灵活选择公式解题
巩固练习
练习 7. 2
1．填空：
若已知等差数列{an}中的 a1 和 a100，则 S100 的表是；
若已知等差数列{an}中的 a1 和公差 d，S100 的表达是；
等差数列3，3，3，3，…前10项的和是． 2．在等差数列{an}中，a1=3，a20=100，求 S20 ．
1
在等差数列{an}中，a1=1，d=2，求 S10 ．
在等差数列{an}中，an=n+1，求 S20
提问
巡视
指导
思考
动手求解
交流
及时掌握学生情况查漏补缺
归纳总结
引导提问
回忆反思
培养学生总结学习过程
能力
布置作业
书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；
查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;
拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
说明
记录
继续探究延伸
学习