中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（下册）第8章 排列组合8.1 计数原理优秀教学设计

这是一份中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（下册）第8章 排列组合8.1 计数原理优秀教学设计，共5页。
8.1 计数原理
选用教材
高等教育出版社《数学》
（拓展模块一下册）
授课
时长
2 课时
授课类型
新授课
教学提示
计数原理是加法运算、乘法运算的延伸与推广，是生活中分类、分步背后所蕴含的数量关系的数学刻画，是后续学习排列、组合和二项式定理的理论依据，是本章的基础性知识. 本课首先通过“推选学生参加技能大赛”创设情境与问题，引导学生分析比较各自的问题特征及解决问题的基本环节，然后从特殊到一般，抽象概括出两个基本原理，然后以典型例题和练习题以及不同的情境与问题
强化学生对原理的理解，引导学生进一步辨析与深层理解两个计数原理.
教学目标
经历两个计数原理的形成过程，理解分类计数原理和分步计数原理，会用两个计数原理计算完成一件事情的方法总数；通过实例感知两个计数原理的区别,能根据具体问题的特征选择恰当的原理解决一些简单的实际问题，培养数学运算、逻辑推理等核心素养；通过观察、分析、概括、比较，体会数学来源于生活服务于生活，感悟从具体到抽象、从特殊到一般的思想方法，形成科学严谨的态度，养成周密思考、细心分析的良好习惯，增强数学应用意识；通过学习，逐步
提升数学运算、逻辑推理和数据分析等核心素养．
教学
重点
分类计数原理和分步计数原理的联系与区别，能应用两个计数原理解决简
单的实际问题.
教学
难点
理解“完成一件事情”的含义；准确区分“分类”或“分步”.
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
引入
计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类计数原理、分步计数原理也称为基本计数原理，是解决计数问题的基本方法，它们为解决很多实际问题提供了思想
和工具.
引发思考
感受体会
引出课题
8.1.1 分类计数原理
某校拟从 3 名男生、6 名女生中，推选 1 名参加全国
职业院校技能大赛某一赛项的市级选拔赛，问共有多少种不同的选法？
创设
情境
提出
讨论
情境
导入
问题
交流
引发
思考
推选工作可以分两类进行.第 1 类是从男生中选，有 3
种选法；第 2 类是从女生中选，有 6 种选法. 并且，每一种选法都能够完成推选工作.因此，不同的选法共有
3+6=9（种）.
一般地，如果完成一件事有 n 类方式. 第 1 类方式有 k1 种方法， 第 2 类方式有 k2 种方法，… ，第 n 类方式有 kn 种方法，那么完成这件事的方法共有
N= k1+k2+… +kn(种).
上面的计数原理称为分类计数原理.分类计数原理又称加法原理.
讲解
理解
从特
殊到
—
般，
新知
概括
探索
加法
计数
说明
强调
领会
要点
原理
典型例题
例 1 张老师要从某市去上海出差,出发前查询到,当天抵
达的高 铁有 46 班次,客运汽车有62 班次,轮船有4 班次．张老师当天要从某市到上海,共有多少种不同的选择？
分析 在高铁、客运汽车、轮船三类公共交通工具中任选一类,都 可以完成这件事(当天从某市到上海),符合分类计数原理.
第 1 类：乘坐高铁,从 46 个班次中任意选择一个,有 k1
=46 种选择；
第 2 类：乘坐汽车,从 62 个班次中任意选择一个,有
k2=62 种选择；
第 3 类：乘坐轮船,从 4 个班次中任意选择一个，有
k3=4 种选择.
解根据分类计数原理，不同的选择共有
N=46+62+4=112(种).
提问引导
讲解强调
指导学习
思考分析
解决交流
主动求解
引导学生概括有三类选择都可 以，每一类方法又有若干种
选择
巩固练习
练习 8.1.1
书架上有 9 本数学书 、6 本语文书、4 本英语书. 从书架上任取一本，共有多少种不同的取法？
某地区山川秀美，3A 级景区有 7 个，4A 级景区有 5个. 某旅行团计划从中任选一处景区游玩，有多少种不同的选法？
用一个大写的英文字母或 0~9 中的一个数字给新植的树苗进行编号，一共能编出多少个不同的号码？
提问
巡视
指导
思考
动手求解
交流
及时掌握学生情况查漏补缺
情境导入
8.1.2 分步计数原理
某校拟从 3 名男生、6 名女生中，各推选 1 名参加全
国职业院校技能大赛某一赛项的市级选拔赛，问共有多少种不同的选法？
引发思考
讨论交流
创设情境发现
问题
新知探索
要推选男生、女生各 1 名，可以分两个步骤进行. 第一步选男生，第二步选女生.若选出“男生 1”后再选女生，可列出6 种不同的选法.类似地，我们可以列出第一步选“男
生 2 ”时所有可能的选法和第一步选“男生 3” 时所有可能的选法．因此，不同的选法共有
6+6+6=3×6=18(种).
一般地，如果完成一件事有 n 个步骤. 完成第一个步
骤有 k1 种方法，完成第 2 个步骤有 k2 种方法，… ，完成第 n 个步骤有 kn 种方法，并且只有这 n 个步骤都完成后，
讲解
展示图形提示说明
说明强调
理解
观察特征交流讨论
领会要点
为帮助学生理解，采用学生熟悉的 “树状 图”帮助解决
这件事才能完成，那么完成这件事的方法共有
N= k1k2 … kn(种).
上面的计数原理称为分步计数原理.分类计数原理又称乘法原理.
典型例题
例 2 书架的第一层有 6 本不同的数学书，第二层有 7 本不同的语文书，第三层有 5 本不同的英语书. 若从这些书中取 1 本数学书、1 本语文书和 1 本英语书，共有多少种不同的取法？
分析 解决这个问题可以分成 3 个步骤：第 1 步取 1 本数
学书，第 2 步取 1 本语文书，第 3 步取 1 本英语书.符合分步计数原理.
第 1 步：从 6 本不同的数学书中取 1 本，有 k1=6 种取法；
第 2 步：从 7 本不同的语文书中取 1 本，有 k2=7 种取法；
第 3 步：从 5 本不同的英语书中取 1 本，有 k3=5 种取法．
解根据分步计数原理，不同的取法共有
N=6×7×5 = 210 (种).
提问引导
讲解强调
指导
思考分析
解决交流
主动求解
巩固对分步计数原理的理 解，引导学生分析完成这件事的步骤
巩固练习
练习 8.1.2
小明到黄山游览，他计划先从某市乘坐火车到合肥，第二天再从合肥乘坐汽车到黄山.一天中从该市到合肥适合乘坐的火车有 10 个班次，从合肥到黄山适合乘坐的汽车有 10 个班次，那么小明从该市到黄山有多少种不同的乘车方案？
某班甲、乙、丙、丁 4 名同学报名参加学校的兵乓球、羽毛球、网球三项不同的 比赛，每人只能报名参加一项比赛，且每项比赛只允许 1 人报名参加，问共有多少种
不同的参赛方案？
提问
巡视
指导
思考
动手求解
交流
及时掌握学生情况查漏补缺
情境导入
8.1.3 计数原理的应用
一个口袋内装有 3 个小球，另一个口袋内装有 4 个小球，所有这些小球的颜色各不相同.
(1)从两个口袋内任取 1 个小球，有多少种不同的取法？
(2)从两个口袋内各取 1 个小球，有多少种不同的取
法？
提出问题
引发思考
思考
分析回答
与前面情境相同问题不同
典型例题
分析 (1)从两个口袋内任取 1 个小球，有两类方式：第一类是从第一个口袋内任取 1 个小球，有 k1=3 种取法；第二类是从第二个口袋内任取 1 个小球，有 k2=4 种取法；
(2)从两个口袋内各取 1 个小球，分为两个步骤来完成：第一步是从第一个口袋内取 1 个小球，有 k1=3 种取法；第二步是从第二个口袋内取 1 个小球，有么 k2=4 种取法.
解 (1)根据分类计数原理，不同的取法共有 3+4=7 (种) ；
提问引导
讲解强调
指导
思考分析
解决交流
求解
帮助学生辨析两个计数原理的区
别
(2)根据分步计数原理，不同的取法共有 3×4= 12 (种).
情境导入
学校开展“我和我的祖国”书面展，要从 8 幅学生作品
中选出 4 幅分别挂在 1—4 号四个不同的展位上，一共有多少种不同的挂法？
提出问题
分析回答
创设情境
典型例题
分析 解决这个问题需要四个步骤：第一步，从 8 幅作品中选择 1 幅作品挂在 1 号展位，有 k1=8 种不同的选择；第二步，从剩下的 7 幅作品中选择一幅挂在 2 号展位上，有 k2=7 种不同的选择，以此类推，我们可以用下图来表示.
解 根据分步计数原理，不同的挂法共有
8×7×6×5=1680 (种).
提问引导
讲解强调
指导
思考分析
解决交流
求解
单独运用分步计数原理
情境导入
甲厂生产的汽车型号有 3 种，每种有 4 个颜色；乙厂
生产的汽车型号有 4 种，每种有 5 个颜色；丙厂生产的汽
车型号有 5 种，每种有 3 个颜色. 刘某要从中选购一款，他共有多少种不同的选择？
提出问题
分析回答
典型例题
分析 解决这个问题要分别对甲、乙、丙三个汽车厂讨论，并考虑每个汽车厂生产的汽车有多少种不同的款式．需要综合运用分类计数原理和分步计数原理.
第 1 类：从甲厂生产的汽车中选择，分两步：第 1 步
选择汽车型号，有 3 种；第 2 步选择汽车颜色，有 4 个．共
k1=3×4=12 种款式；
第 2 类：从乙厂生产的汽车中选择，分两步：第 1 步
选择汽车型号，有 4 种；第 2 步选择汽车颜色，有 5 个．共有 k2=4×5=20 种款式；
第 3 类：从丙厂生产的汽车中选择，分两步：第 1 步
选择汽车型号，有 5 种；第 2 步选择汽车颜色，有 3 个．共有 k3=5×3=15 种款式.
解 根据分类计数原理和分步计数原理，刘某的选择共有
3×4+4×5+5×3=47(种).
提问引导
讲解强调
指导
思考分析
解决交流
求解
综合运用两个计数原 理，先分类再对每一类分步计算
巩固练习
练习 8.1.3
某电路包含开关组A 和开关组B.
如左图所示，若只闭合 1 只开关接通电路，使电灯发光，有多少种不同的方法(开关组 A 与开关组 B 是并联关系)？
如右图所示，若闭合 A、B 中各 1 只开关接通电路，使电灯发光，有多少种不同的方法(开关组A 与开关组 B是串联关系)？
提问
巡视
指导
思考
求解
交流
及时掌握学生情况查漏补缺
从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选择两名同学参加学校羽毛球、跳绳两个活动，每人最多只能参加一项，一共有多少种选择？
有 9 个互不相同的小球，其中 4 个红球、3 个绿球和 2 个黄球. 现从中取两个颜色相同的球，分别放入两个
不同的杯子，一共有多少种放法？
归纳总结
引导提问
回忆反思
培养学生总结学习过程
能力
布置作业
书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；
查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;
拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
说明
记录
继续探究延伸
学习