中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）2.1 向量的概念精品教学设计及反思

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2.1 向量的概念
选用教材
高等教育出版社《数学》
（拓展模块一上册）
授课
时长
2 课时
授课类型
新授课
教学提示
本课通过实际例引入向量的概念，进而介绍相关一些基本概念，为后续学习做好准备.本课概念较多，应结合具体例子引导学生在熟悉的环境中，分析、提炼向量的两个要素，了解向量概念；帮助学生用位移、力、速度等物理量理解相
关知识，并数形结合进行说明.
教学目标
通过学习，以位移、力等物理背景，了解平面向量、有向线段及有关爱心；了解单位向量、零向量、相等向量、相反向量和共线向量的含义；能体会向量及有关概念的抽象过程，知道有向线段可以表示向量；能区分并举例说明相等向
量、相反向量、共线向量；逐步提升直观想象、数学运算和数学抽象等核心素养.
教学
重点
向量及相关概念，向量的表示，共线向量的概念及判断．
教学
难点
向量的两个要素及向量的表示，共线向量的概念．
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
随着我国综合国力的不断增强,我国海军装备事业发展迅速,一批新型舰艇陆续下水试航. 如图所示,为测试某型号舰艇的性能,S 舰从 A 点沿东北方向航行 100 n mile 到达 B 点. 如果S 舰沿其他方向航行 100 n mile,能不能到达 B 点呢？
提出
思考
创设
问题
情境
设置
问题
引发
分析
引导
思考
回答
学生
情境导入
发现
并抽象出
向量
相关
知识
透
课程
思政
探索新知
可以看出，S 舰从 A 点出发沿其他方向航行 100 n mile
不能到达 B 点．
事实上,图中带箭头的线段AB 包含两个要素：航程100 n mile；航向东北方向．
物理学中，把“S 舰沿东北方向航行 100 n mile”称为 S 舰的位移.
生活和学习中常会遇到一些量，如长度、质量、时间、
讲解
说明
理解
思考
结合实际生活说明向量与数
量的
温度、面积、年龄，它们在给定了单位后，用一个实数就
区
可以表示出来，这样的量称为数量．
别，
在数学中，把既有大小又有方向的量，称为向量. 向
量常用小写黑体英文字母 a、b、c 等来表示，手写体为在
展示
领会
介绍
了向
字母上方加箭头，如a .
向量 a 的大小也称为该向量 a 的模，记为|a|.模为 1 的向量称为单位向量．
量的
符号表示
规定:模为零的向量为零向量，记作 0 或0 .零向量的方向是任意的.
一般地，把具有确定方向的线段称为有向线段．
引领
分析
以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作 AB .
习惯上，在有向线段的终点处加一个指向终点的箭头表示方向，如图所示．
强调
领会
“情境与问题”中，有向线段直观地表示了 S 舰的位移，其长度表示 S 舰位移的大小，其箭头指向表示 S 舰位移的方向.
一般地,人们常用有向线段来表示向量,有向线段的长
度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. 这也是向量的几何表示.
例 1 如图(1)所示，用点 A、B、C 表示三地的位置.分别用有向线段表示出 A 地至 B、C 两地的位移，并通过测量和计算指出它们的大小和方向（精确到 1km）.
解 如图(2)所示，用有向线段 AB 表示 A 地到 B 地的位移.
测量可得 AB≈2.5cm.因此位移 AB 的大小| AB |≈25km，方向是正北.
同理，用有向线段 AC 表示 A 地到 C 地的位移.位移的大小| AB |≈22km，方向是正东.
例 2 如图所示，在坐标纸(正方形小方格的边长为 1)上，求各向量的模和方向，并指出其中的单位向量.
解 向量 a：|a|= 22 +22 =2 2 ，东北方向；
提问
思考
例 1
巩固
向量
引导
分析
的概
念及
要素
强化
讲解
解决
向量
的直
强调
交流
观表
达，
典型
通过
例题
提问引导
思考分析
作图等方
式体
讲解
解决
会向
量的
强调
交流
几何
特征
例 2
强化
了向
量的
向量 b：|b|= 22 +22 =2 2 ，东北方向；
向量 c：|c|= 12 +12 = 2 ，西南方向；
向量 d：|d|= 12 +12 = 2 ，东北方向；向量 m：|m|=2，正北方向；
向量 i：|i|=1，正东方向；向量 j：|j|=1，正北方向；
其中的单位向量有：i、j.
两个要素及单位向量等概念
情境导入
探究与发现
提出问题
思考讨论
引出新概念
例 2 中的下列四组向量,每组的两个向量之间有什么关系？
(1)i 与 j； (2)a 与 d；(3)a 与 b；(4)c 与 d.
探索新知
向量 i 与 j 的模相等，但是方向不同，它们是不同的向量.
向量 a 与 d 的模不相等，但是方向相同，它们也是不同的向量.
向量 a 与 b 不仅模相等，而且方向相同.考虑到向量是由大小和方向所确定的，我们把 a 与 b 看作一样的向量.
向量 c 与 d 的模相等，方向相反，它们的关系类似于相反数的关系.
一般地，模相等且方向相同的两个向量称为相等向量.向量 a 与 b 相等时，记 a=b.
与非零向量 a 的模相等、方向相反的向量称为 a 的相反向量，记作−a.
规定：零向量的相反向量仍是零向量.
进一步观察还可以发现，向量 a 与 d 的方向相同，向量 c 与 d 的方向相反，但这两组向量有一个共性，即两个向量所在的直线平行.
一般地，方向相同或相反的两个向量称为平行向量.当向量 a 与 b 平行时，记 a∥b.
规定：零向量与任何一个向量平行，即对于任意向量
a,都有 0∥a.
温馨提示
对于坐图中的平行向量 a、c、d，我们可以在平面内作一条与向量 a 所在直线平行的直线 l. 然后，在 l 上任取一点 O，并在 l 上分别作出OA  a 、OC  c 、OD  d
如右图所示. 这说明，任意一组平行向量都可以平移到同
一直线上.因此，平行向量也称共线向量.
讲解
说明
展示
讲解
理解
思考
领会
理解
在原有问题基础上进行分析
通过平移向量直观形象地显示平行向量也就是共线向量
典型例题
例 3 如图所示,点 O 为⏥ABCD 对角线的交点.
写出向量似 AD 的平行向量；
写出与向量 AB 相等的向量；
写出向量 AO 的相反向量．
解 由平行四边形的性质可知，平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分.
因为平行向量是方向相同或相反的两个非零向量，
所以 AD 的平行向量有 DA 、 BC 、CB ；
因为相等向量是模相等且方向相同的两个向量，所以与向量 AB 相等的向量只有 DC ；
因为非零向量的相反向量是与该向量模相等、方向
相反的向量，所以 AO 的相反向量有OA 、CO .
提问引导
讲解强调
思考分析
解决交流
及时归纳总结三者之间的区别与联 系，提醒学生分析平行向量是思考要全面
巩固练习
练习 1.1
某中等职业学校旅游服务与管理专业毕业生小王带团到北京旅游，行程的第一项就是登天安门城楼，然后步行参观人民英雄纪念碑，路线大致如图所示，请在图中用有向线段表示该旅游团的位移.
试判断下列说法是否正确.
两个单位向量一定是相等向量；
向量 AB 与向量 BA 相等；
方向分别为竖直向下和竖直向上的两个力是共线向量；
零向量与任一向量共线；
一人向左走 5m 的位移和向右走 5m 的位移是一对相反向量.
3.在图中所示方格纸上用有向线段表示力(1 个单位长度表示 10N).
方向正北、大小为 20N 的力，用向量 AB 表示；
方向正东、大小为 50N 的力，用向量CD 表示.
4.按图中的比例尺,分别求出由 A 地到 B、C 两地的位移(长度精确到 1km) .
提问
巡视
指导
思考
动手求解
交流
及时掌握学生掌握情况查漏补缺
(第 3 题)(第 4 题)
5.如图所示，D、E、F 分别是ΔABC 各边的中点，连接 DE、DF、EF. 试写出下列向量.
向量 AD 的共线向量；
与向量 DF 相等的向量；
向量 EF 的相反向量.
归纳总结
引导提问
回忆反思
培养学生总结学习过程能力
布置作业
书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；
查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;
拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
说明
记录
继续探究延伸
学习