中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）第4章 立体几何4.1 平面4.1.1 平面的特征和表示优质课教案

这是一份中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）第4章 立体几何4.1 平面4.1.1 平面的特征和表示优质课教案，共7页。
4.1 平面
选用教材
高等教育出版社《数学》
（拓展模块一上册）
授课
时长
2 课时
授课类型
新授课
教学提示
本章是初中平面几何和基础模块中简单几何体的延伸和拓展, 是进一步学习复杂几何知识的基础．
本课由茶卡盐湖和青海湖，引出平面的基本特征，进而帮助学生建立平面基本概念，培养学生抽象思维能力．用茶卡盐湖和青海湖引入，可以增强学生爱国情怀．在后续教学中还需逐步渗透平面的如“没有厚度”等特征，以进一步提
升学生抽象思维能力．
教学目标
经历平面的概念、基本性质的抽象过程，能通过实物模型感知平面概念，描述平面的基本性质；知道点、线、面的符号及图形表示方法，学会使用自然语言、符号语言或图形语言描述空间点、线、面间的位置关系；通过实验观察，能分析得出平面的三个基本性质和三个推论；体会直线是构成平面图形的基本要素，平面是构成空间几何体的基本要素，初步实现由二维平面向三维空间的认知转变；感悟数学源于生活，增强学习兴趣；逐步培养和提升数学抽象、直观想象
和逻辑推理等核心素养.
教学
重点
平面概念及平面的符号与图形表示，平面基本性质．
教学
难点
对性质 3 的理解．
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
我们知道，构成空间的基本要素是点、线、面，在平面几何中，我 们学习的重点是点与直线，下面我们先重点学习平面.
4.1 平面的特征和表示
茶卡盐湖被称为“中国的天空之镇”，当其湖面平静之时就像一面镜子，给人很“平”的印象.面对浩瀚的大海时，我们会感慨大海“一望无际”.茶卡盐湖湖面和海面都可以用“平面”来描述.类似地，课桌桌面、书本封面也可以用
“平面”来描述.这些平面有什么共同特征呢？
提出
思考
创设
问题
情境
分析
帮助
情境导入
引发思考
回答
学生
直观感受
平面
的特
征
新知探索
这些面都是平的，可以向各个方向无限延展.数学中的平面具有平和无限延展的特征.
怎样画出具有无限延展性的平面呢？
数学中，因直线具有无限延伸性，所以人们作直线时实际只画出直线的一部分来表示整条直线.
类似地，我们用平面的一部分来表示平面.通常我们用平行四边形三角形、圆等平面图形来表示平面.
观察右图粉笔盒的正面、顶面、侧面所在平面可以分别画成下图所示的三个图形.
讲解
说明
理解
思考
引导学生领悟平面是无限延展的
展示实物引发思考
观察发现思考问题
联系生活认识
问题
为叙述方便，常常把几何对象用字母表示.例如，点可以用大写英文字母 A、B、⋯表示.直线可以用小写英文字母 l、m 、⋯表示，也可以用直线上两点的字母 AB、CD、…表示.
类似地，可以用小写希腊字母 α、β、⋯表示平面，如平面 α、平面 β；也可以用多边形的顶点字母表示平面，对于平行四边形，可选用其中一组对角线的顶点字母表示平面.
平面可表示为平面 ABCD 或平面 AC. 如图所示， ΔABC 所在的平面可表示为面 ABC，⏥ABCD 所在的平面可表示为平面 ABCD 或平面 AC.
考虑到直线和平面均可看作由无数个点组成的点集，当点 P 在直线 l 或平面 α 内时,可分别表示为 P∈l，P∈α.当点 P 不在直线 l 或不在平面 α 内时，可分别表为 P∉l， P∉α.
说明
自然
语
言、
说明
领会
符号
语
言、
图形
语言
三者
之间
的关
系
展示
观察
图形
图形
说明
思考
问题
问题
例 1 用符号语言表示以下点与直线，平面的位置关系，并画出满足条件的一个图形.
(1)点 A 在直线 l 上，且在平面 α 内.
(2)点 C 不在平面 β 内，直线 m 经过点 C 且与平面 β
有一个公共点 B.
解 (1)A∈l 且 A∈α，如图所示.
画法：
提问引导
讲解强调
指导
思考分析
解决交流
主动
例 1帮助学生了解空间中点
与
典型例题
①画平行四边形表示平面 α；
②将点 A 画在平行四边形的内部；
③经过点 A 画直线 l.
求解
线、和面
关系
的符号表示，
初步
(2) C ∉ β，C∈m，B∈m，B∈β， 如图所示.
画法：
体会自然
①画平行四边形表示平面 β；
语
②将点 C 画在平行四边形的外部；
③将点 B 画在平行四边形内；
④连接点 C 与点 B 并向两个方向延长,将直线 CB 标注为直线 m,并将直线被平面遮挡部分擦除或画为虚线.
言、符号语
言、
图形语言三者之间的联系．
温馨提示
画直线与平面相交时,直线被平面遮挡的部分画出虚
线或不画.
练习 4.1.1
1. 判断下列说法是否正确.
(1)平整的课桌面是一个平面的一部分； (2)不同平面的大小是不同的：
光滑的玻璃球的表面是一个平面；
长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，四边形 ABB1A1，所在平面可表示为平面 AB1；
把一块长为 3m、宽为 1.5m 的黑板看作一个平面，这个平面的面积是 4.5 m.
已知 ABCD-A1B1C1D1，如图
所示.试用符号“∈”或“∉”填空.
A直线 AD，A 直线 A1B1 ， A平面 BD ， A平面 BC1.
请画出符合下列条件的一个图形.
(1) A ∉ l, A∈α;(2) B ∉ l, B ∉ β.
观察自己身边有哪些事物可以看作平面的一部分.
提问
思考
及时
掌握
学生
巡视
动手
掌握
求解
情况
查漏
巩固
补缺
练习
指导
交流
4.1.2 平面的基本性质
提出
思考
纸板实验操作性 强，方便学习公理
1
如图所示，分别尝试用一个指尖、两个指尖、三个指
问题
尖顶起一块硬纸板，看看哪种方式能比较稳地将硬纸板顶
引发
分析
情境导入
起来？
思考
回答
你有什么发现？
探索新知
尝试后发现，当三个指尖不在同一条直线上时，能将硬纸板平稳地顶起来.
这个现象蕴含着平面的如下重要性质.
公理 1经过不在同一条直线上的三点，有且只有一
讲解
说明
理解
思考
学习公理
个平面.
这个公理也可以说成“不共线的三点确定一个平面”.
如图所示，点 A、B、C 不共线．由公理 1 可知，存在唯一的平面 α，使得 A∈α，B∈α，C∈α.
容易看出，经过一个点、两个点或共线的三个点有无数个平面，也可以说成“一个点，两个点或共线的三
个点不能确定一个平面”.
用图
展示
观察
形再
图像
图像
次强
引发
分析
调三
思考
问题
点不
能共
线
分析
理解
讲解
体会
将一根细线拉直,然后把它的两个端点固定在桌面上,如图所示,观察细线上其他的点与桌面的关系.如果抓住细线中的一点并拉离桌面,细线还是直线吗？
提出
思考
绳子
问题
实验
引发
分析
方便
情境
思考
回答
学生
导入
学习
公理
2
容易看出，当把拉直的细线的两个端点放在桌面上
讲解
理解
总结
时，细线上的所有点都在桌面上.
如果将细线抽象为直线，桌面抽象成平面，可以得出
和抽
象，
平面的如下性质.
公理 2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.有且只有一个平
学习
公理内容
面.
说明
思考
当一条直线上的所有点都在平面内时,称直线在平面
学习
内，或者说平面经过直线.
数学
探索新知
因为直线和平面都是由点组成的集合，所以直线 m在平面 α 内可表示为 m⊆α .当直线 m 不在平面 α 内时，表示为 m⊈α，此时直线与平面有一个公共点或没有公共点.
如图所示，由 A∈α，B∈α，可知 AB⊆α .
展示图像帮助思考
观察图像理解要点
语言的表达
学习图形语言的表达
温馨提示
表示直线在平面内时，要把直线画在表示平面的图形
的内部.
由公理 1、2 得到以下结论.
推论 1经过一条直线和该直线外的一点有且只有一
个平面.
如图所示，A∈l，存在唯一的平面 α，使得 A∈α，l⊆α.
学生
利用
公理
进行讨论
推论 2经过两条相交直线有且只有一个平面.
如图所示，直线 m 与直线 n 相较于点 A，存在唯一的平面 α，使得 m⊆α，n⊆α.
分析比较
并完成对推论的证明，
提升
推论 3经过两条平行直线有且只有一个平面.
如图所示，m∥n，存在唯一的平面 α，使得 m⊆α，n⊆α.
逻辑推理
核心
素养
将一块薄的硬纸板平放到桌面上，可视作硬纸板和桌面所在的平面重合，如图所示.抬起硬纸板的一端，让另一端紧贴桌面，则硬纸板和桌面所在台面有一条公共直线.继续抬起硬纸板，将纸板的一角支在桌面上，则支点就是硬纸板和桌面所在平面的一个公共点.这时，它们所在的平面就只有这一个公共点么？
提出
思考
折纸
问题
实验
引发
分析
方便
思考
回答
学生
情境
学习
导入
公理
3
考虑到平面具有无限延展性，我们把硬纸板向下延展.容易看出，硬纸板所在的平面与桌面所在的平面有一条公共直线由此，得到平面的性质：
公理 3 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过该点的公共直线.
此时，称两个平面相交，并把公共直线称为两个平面的交线.当平面 α 与平面 β 相交于直线 l 时，记作 α⋂β=l.
如图所示，A∈α，A∈β，存在唯一的直线 l，使得
A∈l, α⋂β=l.
温馨提示
画两个平面相交时，一定要画出它们的交线，平面被遮挡部分用虚线表示或者不画.
典型例题
例 2 试用符号语言表示下列语句,并画出相应的图形.
(1)点 A、B 在直线 l 上，直线 l 在平面 α 内；
(2)平面 α 和平面 β 相交于直线 l.
解 (1) A、B ∈l， l ⊆α，如图所示.
画法：
①画平行四边形表示平面 α；
②在平行四边形内画点 A、B ；
③连接 A、B 并延长，在直线 AB 上标出直线 l.
(2) α⋂β=l，如左图所示.
画法：
①画线段 AB 表示交线 l，如右图所示；
②过点 A 画与 l 不同的两条相交线段 CD、EF，再过点 B 画 C'D'与 E'F'，使 C'D'∥CD、E'F'∥EF，C'D'=CD， E'F'=EF；
③连接 CC' 、DD'、EE'、FF'，分别将平面 CD'和平面 EF'标注为平面 α 和平面 β，再将被遮挡部分改为虚线或不画，最后擦去字母 A、B、C、D、A'、B'、C'、D'.
例 3 判断下列说法是否正确.
经过三个点有且只有一个平面；
如果直线 l 与平面 α 有三个公共点，那么 l ⊆α；
用三角板的一个顶点与桌面接触，只有一个公共点，故两 个平面可以只有一个公共点.
解 (1)错误.经过不共线的三点有且只有一个平面.当三点共线时，经过这三个点有无数个平面；
正确.当一条直线有两个点在平面内时，这条直线就在平面内；
错误.当两个平面有一个公共点时，这两个平面就有一条经过该点的公共直线，因此它们一定有无数个公共点.
例 4 在正方体 ABCD-A1B1C1D1[图(1)]中，找出符合下列条件的平面.
经过点 A1、B、D 的平面；
经过直线 BC 和点 D1 的平面；
经过直线 BD 和 DD1 的平面；
经过直线 AB 和 C1D1 的平面.
提问引导
讲解强调
指导
思考分析
解决交流
主动求解
例 2帮助学生进一步熟练使用自然语言、符号语 言、图形语言表达数学对 象，培养学生的作图能力
例 3帮助学生进一步理解平面的三个性质
（公理）
例 4帮助学生领悟确定
平面
解 (1)经过点 A1、B、D 的平面是平面 A1BD，如图(2)所示；
经过直线 BC 和点 D1 平面是平面 BCD1，如图(3)所示；
经过直线 BD 和 DD1 的平面是平面 BDD1，如图(4)
所示；
经过直线 AB 和 C1D1 的平面是平面 ABC1D1，如图
所示；
的四种基本方法，明白作辅助面是解决立体几何问题的重要办法之一
巩固练习
练习 4.1.2
1.判断下列说法是否正确.
经过直线 m 和点 A 的平面有且只有一个；
两条相交直线可以确定一个平面；
同时经过两条平行直线的平面不止一个；
两个平面可以只有一条公共线段.
根据平面的基本性质和推论证明平行四边形是平面图形(填空).
已知：四边形 ABCD 是一个平行四边形.求证：AB、BC、CD、DA 四条边共面.
证明：因为 AB∥CD，所以 AB 和 CD 确定平面 α，如图所示.
因为 A∈AB，B∈AB，C∈CD，D∈CD,
所以 A、B、C、D 均在平面 α 内.
从而，有 AD⊆，BC⊆， AB⊆， CD⊆.
所以，AB、BC、CD、DA 四条边共面.
试用 12 根长短相等的小木棍(或铁丝等)制作正方体模型 ABCD-A1B1C1D1，并指出由顶点 A 和棱 CC1 所确定的
平面.
提问
巡视
指导
思考
动手求解
交流
及时掌握学生掌握情况查漏补缺
归纳总结
引导提问
回忆反思
培养学生总结学习过程能力
布置作业
书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；
查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;
拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
说明
记录
继续探究延伸
学习