高教版（2021·十四五）拓展模块一（下册）6.1 和角公式公开课教学设计

这是一份高教版（2021·十四五）拓展模块一（下册）6.1 和角公式公开课教学设计，共6页。
6.1 和角公式
选用教材
高等教育出版社《数学》
（拓展模块一下册）
授课
时长
4 课时
授课类型
新授课
教学提示
本课先复习了诱导公式，将和角公式看作是广义的诱导公式，从而利用特殊到一般的方法说明和角公式解决的问题是：已知任意两个角的三角函数，能够求得它们和角或者差角的三角函数．然后利用解析法研究了两角和与差的余弦公式，再借助两角和与差的余弦公式推导两角和与差的正弦公式以及启发学生推
导两角和与差的正切公式.
教学目标
掌握公式及其推导过程，理解公式成立的条件，会用公式求值、化简和证明；通过探索、发现并推导公式，逐步培养分析问题、解决问题、合作交流的能力；通过公式的运用，掌握求值和化简的各种方法；通过学习，逐步提升数学抽象、
逻辑推理和数学运算等核心素养．
教学
重点
利用和角公式求值、化简和证明三角函数式．
教学
难点
两角和与差的余弦公式的推导.
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
引入
在基础模块，我们学习了三角函数的诱导公式：
它们在三角计算和化简中具有重要作用.
观察这些公式可以发现，等式左边都是两个角的和 (或差)的三角函数.其中第一个角是特殊角，第二个角 α是任意角．如果这两个角都是任意角,那么它们的和(或差)的三角函数又是怎样的呢？
现实中,很多与三角函数有关的实际问题常常涉及两个任意角的和(或差)的三角函数.为此，我们进一步学习
两角和与差的三角函数公式.
提出问题
引发思考
思考分析回答
利用特殊到一般的方法说明和角公式解决的问题
情境导入
6.1.1 两角和与差的余弦公式
早在公元 2 世纪，人们就推导出了两角和与差的余弦公式.
随着时间的推移和研究的深入,现在数学中已很少使用公元 2 世纪的推导方法，而是首先推导两角差的余弦公式,再通过诱导公式得到两角和的余弦公式.那么现在是
怎样推导两角差的余弦公式的呢？
提出问题引发思考
观察思考讨论交流
结合数学史激发学生学习兴趣
如图所示，设单位圆与 x 轴的交点为 P1，角 α、β 和
β-α 的终边与单位圆的交点分别为 P2、P3 和 P4，则点 P1、P2、P3、P4 的坐标分别为(1,0)、(csα,sin α)、
讲解
理解
利用
解析法研
新知探索
(csβ,sinβ)、(cs (β-α),sin (β-α)).
当 P2、O、P3 不在同一条直线上时，
∠P2OP3=∠P4OP1=α-β，
且
|OP1|=|OP2|=|OP3|=|OP4|=1，
因此
ΔP2OP3≌ΔP1OP4，
所以| P2P3|=| P1P4|.
当 P2、O、P3 在同一条直线上时，容易看出也有
| P2P3|=| P1P4|.
根据两点之间的距离公式，可得
cs   cs  2  sin   sin  2
=cs     12  sin      02 ，整理可得，
cs(   )  cs   cs  sin   sin  .
由诱导公式 cs(-α)=csα，得
cs(   )  cs  cs   sin   sin  .
在上式中，以-β 代替 β，得到
cs[α- (-β)]=csαcs(-β)+sinαsinβ
即
cs(α+β)=csαcsβ-sinαsinβ.
于是，我们得到两角和与差的余弦公式：
cs(α+β)=csαcsβ-sinαsinβCα+β
cs(α-β)=csαcsβ+sinαsinβCα-β
展示图形提示说明
说明强调
观察特征交流讨论
领会要点
究两角和与差的余弦公式 ,解析法对近代数学的机械化证明提供了有力的工 具．后续正 弦、余弦定理以及三角形面积公式的证明都采用了这种方法
典型例题
例 1求 cs15°的值.
解 cs15  cs(45  30)
 cs 45cs 30+sin 45sin 30
2  3 + 2  1
2222
 6+ 2
4
例 2已知设sin   3，cs   5 ，并且 和  都是第一象
513
提问引导
讲解强调
思考分析
解决交流
例 1表明如果一个角可以化成两个特殊角
限角，求 cs(α+β)的值．
解 因为sin   3，cs   5 ，并且 和  都是第一象限
513
角，所以
cs  1  sin2   4 ， sin   1  cs2   12 .
513
因此
cs(α+β)=csαcsβ-sinαsinβ
= 4  5  3  12   16 .
5 135 1365
例 3 证明： cs π   =sin .
 2

证明 因为 cs π   = cs π  cs  sin π  sin 
 222

 0  cs  1sin  sin ，
所以cs π     sin ．
 2

探究与发现
化简.
指导学习
提问引导
讲解强调
主动求解
思考分析
解决交流
的和
（或差），就可以直接应用和角公式
例 2强调要注意角的取值范围 例 3与本节开篇复习的诱导公式呼应
巩固练习
练习 6.1.1
1.求下列各式的值.
(1) cs105°；(2) cs75°；
(3) cs55°cs10°+sin55°sin10°；
(4) cs²22.5°-sin²22.5°.
已知sin   3 ，且 α∈    ，求 cs   +  、
5 2 3

cs     的值.
 3

证明：cs   +  =-sinα.
 2

提问
巡视
指导
思考
动手求解
交流
及时掌握学生情况查漏补缺
情境导入
6.1.2 两角和与差的正弦公式
上一节学习了 α±β 的余弦，即 cs(α±β)可以用 α、β 的正弦、余弦来表示.那么，α±β 的正弦，即 sin(α±β)是否也
可以用 α、β 的正弦、余弦来表示呢？
引发思考
讨论交流
引导学生发现
问题
新知探索
由三角函数的诱导公式可知，sinx=cs    x  .因此，
 2

有sin(   )= cs  π     
 2
讲解
展示图形
理解
观察特征
借助两角和的
余弦
= cs  π      
 2

=cs π     cs   sin  π     sin 
 2 2

=sin  cs   cs  sin  .
即
sin(   ) = sin  cs   cs  sin  .在上式中，用-β 代替 β，可得
sin      sin  cs   cs  sin  
即
sin      sin  cs   cs  sin  .于是，我们得到两角和与差的正弦公式：
sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβSα+β
sin(α-β)=sinαcsβ- csαsinβSα-β
提示说明
说明强调
交流讨论
领会要点
公式对角两角和的正弦公 式，强调知识间的的联系
典型例题
例 4 求 sin15°的值.
解sin15  sin(60  45)
= sin 60cs 45  cs 60sin 45
= 3  2  1  2
2222
= 6  2 .
4
例 5 已知sin  5 ，cs    4 并且 和  都是第二象限
135
角，求 sin(α+β)的值．
解 因为sin  5 ，cs    4 并且 和  都是第一象限
135
角，所以
cs   1  sin2    12 ， sin   1  cs2   3 .
135
因此
sin(α+β)= sinαcsβ+csαsinβ
= 5    4     12   3   56 .
13  5   13  565
 
例 6 求下列各式的值.
sin 80cs10  cs80sin10 ；
3 sin15 + 1 cs15 .
22
解 (1) sin 80cs10  cs80sin10 =sin(80°+10°)
=sin90°=1；
(2)3 sin15 + 1 cs15 =sin15°cs30°+cs15°sin30°
22
提问引导
讲解强调
指导
思考分析
解决交流
主动求解
例 4直接应用公式解决问 题，也可以用 45°
与
30°
的差
例 5设计已知一个正弦或余弦值求余弦或正弦值 例 6逆向使用公式
=sin(15°+30°)=sin45°= 2 .
2
巩固练习
练习 6.1.2
求 sin105°的值.
求下列各式的值.
sin5°cs25°+cs5°sin25°；
sin70°cs10°-cs70°sin10°；
2 sin  2 cs  ；
212212
1 sin15  3 cs15 .
22
3.已知sin =  2 ，cs  =  3 ，且 α、β 都是第三象限
34
的角，求 sin(α+β)和 sin(α-β)的值.
提问
巡视
指导
思考
动手求解
交流
及时掌握学生情况查漏补缺
情境导入
6.1.3 两角和与差的正切公式
我们知道，α±β 的正弦、余弦都可以用 α、β 的正弦与余弦表示，那么 α±β 的正切，即tan(α±β)，能否用 α、β 的
正切来表示呢？
提出问题引发
思考
思考
分析回答
创设问题情境
探索新知
由公式 Cα+β、Sα+β 和tan  = sin ，可得
cs
sin(   )sin  cs   cs  sin 
tan(   ) .
cs(   )cs  cs   sin  sin 
当 csαcsβ≠0 时，得到
tan   tan 
tan(   ) .
1  tan   tan 
将公式中的 β 替换成-β，可得
tan(   )  tan   tan  .
1  tan   tan 
于是，我们得到两角和与差的正切公式：
tan   tan 
tan(   ) Tα+β
1  tan   tan 
tan   tan 
tan(   ) Tα-β
1  tan   tan 
公式中 α、β 的取值应使分式有意义.
讲解
说明
展示图像引发思考
理解
领会
观察图像分析问题
两角和的正切公式应启发学生如何用两个角的正切来表示两角和的正切
典型例题
例 7 求 tan15°的值.
解 tan15  tan(45  30 )  tan 45  tan 30
1  tan 45 tan 30
1  3
3 3  3  2  3 .
1  1 33  3
3
提问引导
讲解强调
指导
思考分析
解决交流
求解
例 7是直接应用公式解决问题
例 8 求下列各式的值.
tan 25  tan 35 ；(2) 1  tan15 ．
1  tan 25 tan 351  tan15
解 (1) tan 25  tan 35 ＝tan(25  35 ) ＝tan 60 ＝ 3 ；
1  tan 25 tan 35
1  tan15 ＝ tan 45  tan15 ＝tan(45  15 )
1  tan151  tan 45 tan15
＝tan 60 ＝ 3 ．
例 9 已知 tanα= 2 ，求 tan   +  的值.
5 4

 tan  +tan1+ 2
解 tan +  =4= 5 = 7 .
 4 1  tan  tan1 1 23
45
Sα±β、Cα±β、Tα±β 三组公式统称和角公式.应用和角公式可以计算三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒
等式.
提问引导
讲解强调
指导
说明
思考分析
解决交流
求解
领会
例 8是逆向使用公式和公式应用的特殊形式
例 9与例 8(2)
相呼应
巩固练习
练习 6.1.3
1.求下列各式的值.
(1) tan75°；(2) tan105°；
(3)tan15 +tan30； (4)3  tan15 .
1  tan15 tan 301+ 3 tan15
已知 tanx=2，tany=3，求 tan(x+y)和 tan(x-y)的值.
证明： 1+tan = tan   +  .
1  tan 4

提问
巡视
指导
思考
求解
交流
及时掌握学生情况查漏补缺
归纳总结
引导提问
回忆反思
培养学生总结学习过程能力
布置作业
书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；
查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;
拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
说明
记录
继续探究延伸
学习