初中数学北师大版（2024）七年级下册第四章 三角形1 认识三角形课时训练

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【知识点1 三角形的概念】
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
【知识点2 三角形的分类】
按边分类：三角形
按角分类：三角形
【题型1 三角形的分类】
【例1】（2020秋•无棣县期末）三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
【分析】根据三角形的分类可直接得到答案．
【解答】解：三角形根据边分类 ，
∴图中小椭圆圈里的A表示等边三角形．
故选：D．
【变式1-1】（2020秋•交城县期中）给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．0
【分析】根据三角形的分类、三角形的三边关系进行判断．
【解答】解：（1）等边三角形是一特殊的等腰三角形，正确；
（2）三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误；
（3）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确．
综上所述，正确的结论2个．
故选：B．
【变式1-2】（2020春•淮阳区期末）下列说法：
（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；
（2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形；
（3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形；
（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形．
其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据三角形的分类判断即可．
【解答】解：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形，原命题是真命题；
（2）一个钝角三角形不一定不是等腰三角形，原命题是假命题；
（3）一个等腰三角形不一定不是锐角三角形，原命题是假命题；
（4）一个直角三角形不一定不是等腰三角形，原命题是假命题；
故选：A．
【变式1-3】（2020春•长春期末）将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（ ）
A．都是锐角三角形
B．都是直角三角形
C．都是钝角三角形
D．是一个锐角三角形和一个钝角三角形
【分析】分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形．
【解答】解：如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形．
如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．
如图，锐角三角形沿虚线剪开即可得到一个锐角三角形和一个钝角三角形．
因为剪开的边上的两个角是邻补角，不可能都是锐角，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．
综上所述，将一个三角形剪成两三角形，这两个三角形不可能都是锐角三角形．
故选：A．
【题型2 三角形的计数问题】
【例2】（2020秋•恩施市期中）图中锐角三角形的个数有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【分析】先找出以A为顶点的锐角三角形的个数，再找出以E为顶点的锐角三角形的个数，然后将两种锐角三角形相加即可．
【解答】解：①以A为顶点的锐角三角形△ABC、△ADC共2个；
②以E为顶点的锐角三角形：△EDC，共1个；
所以图中锐角三角形的个数有2+1＝3（个）；
故选：B．
【变式2-1】（2020秋•齐河县期末）如图，共有 个三角形．
【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出三角形的个数．
【解答】解：图中有：△OAB，△OAC，△OAD，△OBC，△OCD，△OBD，共6个．
故答案为：6．
【变式2-2】（2020春•江都区期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形共有 个．
【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，
而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，
∴以AD为高的三角形有6个．
故答案为：6
【变式2-3】（2020秋•潮阳区期末）如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形 个．
【分析】根据前边的具体数据，再结合图形，不难发现：后边的总比前边多4，即第n个图形中，三角形的个数是1+4（n﹣1）＝4n﹣3．
所以当n＝6时，原式＝21．注意规律：后面的图形比前面的多4个．
【解答】解：第n个图形中，三角形的个数是1+4（n﹣1）＝4n﹣3．所以当n＝6时，原式＝21，
故答案为：21．
【知识点3 三角形的内角及内角和定理】
三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且
小于180°．三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
【题型3 三角形的内角和定理】
【例3】（2021春•玄武区校级月考）在△ABC中，
（1）若∠A：∠B：∠C＝4：5：6，则∠C＝ 度．
（2）若∠A∠B∠C，则∠B＝ 度．
【分析】（1）设∠A＝4x°，则∠B＝5x°，∠C＝6x°，利用三角形内角和定理，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入∠C＝6x°中即可求出∠C的度数；
（2）设∠A＝y°，则∠B＝2y°，∠C＝3y°，利用三角形内角和定理，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，再将其代入∠B＝2y°中即可求出∠B的度数．
【解答】解：（1）设∠A＝4x°，则∠B＝5x°，∠C＝6x°，
依题意得：4x+5x+6x＝180，
解得：x＝12，
∴∠C＝6x°＝72°．
故答案为：72．
（2）设∠A＝y°，则∠B＝2y°，∠C＝3y°，
依题意得：y+2y+3y＝180，
解得：y＝30，
∴∠B＝2y°＝60°．
故答案为：60．
【变式3-1】（2020秋•下城区期末）在△ABC中，∠A是钝角，∠B＝30°，设∠C的度数是α，则α的取值范围是 ．
【分析】根据三角形内角和定理表示出∠A，列出不等式，求解即可．
【解答】解：设∠C的度数是α，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝30°，
∴∠A＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α，
∵∠A是钝角，
∴90°＜150°﹣α＜180°，
∴﹣30°＜α＜60°，
∵α＞0°，
∴0°＜α＜60°．
【变式3-2】（2021春•靖江市月考）如图，线段AD和BC相交于点O，若∠A＝70°，∠C＝85°，则∠B﹣∠D＝ ．
【分析】利用三角形内角和定理可得出∠D＝180°﹣∠C﹣∠COD，∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB，结合对顶角相等可得出∠B﹣∠D＝∠C﹣∠A＝15°，此题得解．
【解答】解：∵∠C+∠D+∠COD＝180°，∠A+∠B+∠AOB＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠C﹣∠COD，∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB．
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠B﹣∠D＝（180°﹣∠A﹣∠AOB）﹣（180°﹣∠C﹣∠COD）＝∠C﹣∠A＝85°﹣70°＝15°．
故答案为：15°．
【变式3-3】（2020秋•洪山区期中）如图所示的折线图形中，α+β＝ ．
【分析】如图，连接BC．利用三角形内角和定理以及四边形内角和定理求解即可．
【解答】解：如图，连接BC．
在△EBC中，∠1+∠2＝180°﹣∠E＝140°，
在四边形ABCD中，∠A+∠ABC+∠BCD+∠D＝360°，
∴70°+α+∠1+∠2+β+65°＝360°，
∴α+β＝360°﹣70°﹣65°﹣140°＝85°，
故答案为85°．
【题型4 直角三角形的性质】
【知识点4 直角三角形的性质】
直角三角形的性质：直角三角形两个内角互余．
【例4】（2021春•九龙坡区校级期中）如图，在△ABC中，AB⊥AC，过点A作AD⊥BC交BC于点D，若∠B＝36°，则∠DAC的度数为（ ）
A．36°B．46°C．54°D．64°
【分析】根据垂直的定义和三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣36°＝54°，
∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，
故选：A．
【变式4-1】（2021春•青羊区校级期中）如图，将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当∠DEB＝m°，则∠AOC＝（ ）
A．30°B．（m﹣15）°C．（m+15）°D．m°
【分析】根据直角三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠DEB＝m°，
∴∠AEC＝∠DEB＝m°，
∵∠A+∠AEC＝∠C+∠AOC，∠C＝45°，∠A＝30°，
∴30°+m°＝45°+∠AOC，
∴∠AOC＝（m﹣15）°，
故选：B．
【变式4-2】（2020秋•德城区校级月考）如图，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝152°，求∠EDF．
【分析】根据平角的定义，求得∠DFC＝28°，由于，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，根据直角三角形的性质求得∠EDB＝∠DFC＝28°，即可求得∠EDF．
【解答】解：∵∠AFD＝152°，
∴∠DFC＝28°，
∴∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠EDB＝∠DFC＝28°，
∴∠EDF＝180°﹣∠EDB﹣∠FDC＝180°﹣90°﹣28°＝62°．
【变式4-3】（2020春•沭阳县期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AE是△ABC内部的一条线段，AE交CD于点F，交CB于点E，且∠CFE＝∠CEF．
求证：AE平分∠CAB．
【分析】在△ADF中，利用三角形内角和定理结合对顶角相等可得出∠DAF＝90°﹣∠AFD＝90°﹣∠CFE，在△AEC中，利用三角形内角和定理可得出∠CAE＝90°﹣∠CEF，再结合∠CFE＝∠CEF可得出∠DAF＝∠CAE，即AE平分∠CAB．
【解答】证明：∵CD⊥AB，
∴在△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠AFD＝90°﹣∠CFE．
∵∠ACE＝90°，
∴在△AEC中，∠CAE＝90°﹣∠CEF．
∵∠CFE＝∠CEF，
∴∠DAF＝∠CAE，
即AE平分∠CAB．
【题型5 三角形的内角和定理的应用（含三角板）】
【例5】（2020春•江都区期末）将一副三角板如图放置，则图中的∠1＝ °．
【分析】先用三角形内角和定理求出角4的度数，即可得出结论．
【解答】解：由题意得：∠2＝60°，∠3＝45°，
根据三角形的内角和得，
∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝75°，
∴∠1＝∠4＝75°，
故答案为：75．
【变式5-1】（2020秋•光明区期末）将两块分别含有30°和45°角的直角三角板按如图所示叠放，若∠1＝∠2，则∠3＝ °．
【分析】根据等角的余角相等得到∠3＝∠4，再根据三角形内角和定理和∠5的度数即可得到结论．
【解答】解：如图，∵∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°，∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∵∠5＝45°，
∴∠3＝∠4（180°﹣45°）＝67.5°，
故答案为：67.5．
【变式5-2】（2020秋•涪城区校级期末）一副三角板如图方式摆放，BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，则∠BMD的度数为（ ）
A．102°B．107.5°C．112.5°D．115°
【分析】根据三角形内角和和角平分线的定义解答即可．
【解答】解：∵BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，
∴∠MBD，∠BDM，
∴∠BMD＝180°﹣∠MBD﹣∠BDM＝180°﹣30°﹣37.5°＝112.5°，
故选：C．
【变式5-3】（2020春•盐都区期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角三角形ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠A＝45°，则∠ABD+∠ACD的值为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝135°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数．
【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝45°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣45°＝135°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝135°﹣90°＝45°，
故选：B．
【题型6 三角形的内角和定理的应用（新定义）】
【例6】（2020秋•海淀区校级月考）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的一个内角为30°，那么这个“特征角”α的度数为 ．
【分析】可分三种情况：当“特征角”为30°时；当β＝30°时；当第三个角为30°时，根据“特征角”的定义，结合三角形的内角和定理分别计算即可求解．
【解答】解：当“特征角”为30°时，即特征角”α＝30°；
当β＝30°时，“特征角”α＝2×30°＝60°；
当第三个角为30°时，“特征角”α+α+30°＝180°，解得α＝100，
综上，这个“特征角”α的度数为30°或60°或100°．
故答案为30°或60°或100°．
【变式6-1】（2020春•成都期末）三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的3倍，我们把这个三角形叫做“三倍角三角形”．在一个“三倍角三角形”中有一个内角为60°，则另外两个角分别为 ．
【分析】分三种情形讨论求解即可解决问题．
【解答】解：在△ABC中，不妨设∠A＝60°．
①若∠A＝3∠C，则∠C＝20°，∠B＝100°．
②若∠C＝3∠A，则∠A＝180°（不合题意）．
③若∠B＝3∠C，则∠B＝90°，∠C＝30°，
综上所述，另外两个角的度数为100°，20°或90°，30°．
故答案为：100°，20°或90°，30°．
【变式6-2】（2021春•邗江区月考）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．当△ABC为“灵动三角形”时，则∠OAC的度数为 ．
【分析】分点C在线段OB和线段OB的延长线上两种情况，根据“灵动三角形”的定义计算．
【解答】解：设∠OAC＝x则∠BAC＝90°﹣x，∠ACB＝60°+x，∠ABC＝30°
∵△ABC为“灵动三角形”，
Ⅰ、当∠ABC＝3∠BAC时，
∴30°＝3（90°﹣x），
∴x＝80°；
Ⅱ、当∠ABC＝3∠ACB时，
∴30°＝3（60°+x）∴x＝﹣50° （舍去）
∴此种情况不存在；
Ⅲ、当∠BCA＝3∠BAC时，
∴60°+x＝3（90°﹣x），
∴x＝52.5°，
Ⅳ、当∠BCA＝3∠ABC时，
∴60°+x＝90°，
∴x＝30°；
Ⅴ、当∠BAC＝3∠ABC时，
∴90°﹣x＝90°，
∴x＝0°（舍去）；
Ⅵ、当∠BAC＝3∠ACB时，
∴90°﹣x＝3（60°+x），
∴x＝﹣22.5°（舍去），
∴此种情况不存在，
∴综上所述：∠OAC＝80°或52.5°或30°．
故答案为：80°或52.5°或30°．
【变式6-3】（2020秋•南海区校级期末）阅读理解：如果三角形满足一个角α是另一个角β的3倍时，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．其中α称为“智慧角”．解答问题：
（1）一个角为60°的直角三角形 （填“是”或“不是”）“智慧三角形”，若是，“智慧角”是 ．
（2）已知一个“智慧三角形”的“智慧角”为108°，求这个“智慧三角形”各个角的度数．
【分析】（1）根据“智慧三角形”，“智慧角”的定义判断即可．
（2）根据一个“智慧三角形”的“智慧角”的定义，求出三角形的另一个内角，可得结论．
【解答】解：（1）在直角三角形，一个内角为60°，则另一个内角为30°，
∵90°＝3×30°，
∴这个直角三角形是“智慧三角形”．其中90°称为“智慧角”．
故答案为：是，90°．
（2）∵一个“智慧三角形”的“智慧角”为108°，
∴这个三角形的另一个内角为36°，
∴这个三角形的三个内角分别为36°，36°，108°．