人教A版（2019）高中数学必修第二册 第十章概率专题训练（教师版+学生版）

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第十章 概率一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列现象是随机现象的是（    ）A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起【详解】对于A，买一张福利彩票，中奖是随机的，A是；对于B，在标准大气压下水加热到，沸腾是必然事件，B不是；对于C，异性电荷，相互吸引，因此“异性电荷，相互排斥”是不可能事件，C不是；对于D，实心铁块丢入纯净水中，铁块下沉，因此“实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起”是不可能事件，D不是.故选：A2．下列结论正确的是（　　）A．互斥事件一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件B．做次随机试验，事件发生次，则事件发生的概率为C．，，则（均不相等）D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值【详解】对于A，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，对立事件是在一次试验中，有且仅有一个发生的两个事件，互斥事件未必是对立事件，对立事件一定是互斥事件，A错误；对于B，做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率为，频率不等同于概率，B错误；对于C，由交集定义知：，C错误；对于D，频率与概率之间关系为：频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，D正确.故选：D.3．有一种质地均匀的“新型”骰子，其六面中有三面点数为1，两面点数为2，一面点数为3，现连续掷两次该骰子，则这两次掷出点数之和为奇数的概率为（    ）A． B． C． D．【详解】记第一次掷出的点数为奇数为事件，掷出的点数为偶数为事件，则，记第二次掷出的点数为奇数为事件，掷出的点数为偶数为事件，则，则两次掷出点数之和为奇数为事件，所以.故选：A.4．如图，圆O内接一个圆心角为60°的扇形，在圆O内任取一点，则该点落在扇形ABC内的概率为（    ）A． B． C． D．【详解】连接OA，OC，则，，取中点，连接，则⊥，其中，所以，所以扇形的面积为，又因为圆的面积为，所以在圆O内任取一点，该点落在扇形ABC内的概率为．故选：C5．装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（    ）A．① B．①② C．②③ D．①②③【详解】解：设事件=｛装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球｝，则所以包含的基本事件为：{(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}，事件=｛两球都不是白球｝={(红，红)，(红，黑)，(黑，黑) }；事件｛两球恰有一个白球｝=｛(红，白)，(白，黑)}，事件｛两球至少有一个白球｝={(红，白)，(白，白)，(白，黑)}，事件｛两球都为白球｝=｛(白，白)｝，由互斥事件及对立事的定义可知事件、事件与均是互斥而非对立的事件.故选：B6．不透明盒子中装有除颜色外完全相同的2个红球、2个白球，现从盒子里随机取2个球．记事件：至少一个红球，事件：一个红球一个白球，则下列说法正确的是（   ）A． B．C．与互斥 D．与独立【详解】解：现从盒子里随机取2个球．记事件：至少一个红球，则存在两种情况，有一个红球和一个白球，有两个红球；A．，故选项错误，不符合题意；B．，故选项正确，符合题意；C．，故与不互斥，故选项错误，不符合题意；D．，即发生，一定发生，发生，不一定发生，故与不独立，故选项错误，不符合题意；故选：B．7．某人每天早上在任一时刻随机出门上班，他的报纸每天在任一时刻随机送到，则该人在出门时能拿到报纸的概率为（    ）A． B． C． D．【详解】设某人离开家时间距离为分钟，送报时间距离为分钟，则，某人能拿到报纸，则.画出区域，为下图矩形，中对应区域如下图所示，设矩形面积为，则该人在出门时能拿到报纸的概率为.故选：A  8．平面内有个点等分圆周，从个点中任取3个，可构成直角三角形的概率为，连接这个点可构成正多边形，则此正多边形的边数为（    ）A．6 B．8 C．12 D．16【详解】解：从个点中任取3个点，共有种，三个点要构成直角三角形，则有两个点为直径的端点，共有条直径，还剩个点，从个点中取一个点即可，则可构成直角三角形有，所以可构成直角三角形的概率为，解得，所以共有个等分点，所以正多边形的边数为12.故选：C.二 多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9．掷一枚骰子，记事件为掷出的数大于4 ，事件为掷出偶数点，则下列说法正确的是（     ）A．B．C．事件与事件为相互独立事件D．事件与事件对立【详解】解：由题可知，事件的概率为，事件的概率为，故B项正确；因为，故A项错误；因为事件表示“掷出的数大于4”且“掷出偶数点”，即“掷出6”，所以，又，故事件与事件为相互独立事件，故C项正确；因为，故事件与事件不是对立事件，故D项错误.故选：BC.10．下列说法正确的是（    ）A．若，则事件A，B互斥且对立B．若函数的定义域是，则函数的定义域是C．若幂函数的图象过点，则它的递增区间是D．对立事件不一定是互斥事件，互斥事件一定是对立事件【详解】解：对于A：在区间上取一个实数，事件A表示取到的实数在上，事件B表示取到的实数在上，所以有，但A和B是互斥事件，而不是对立事件，故A不正确；对于B：若函数的定义域是，则，解得，所以函数的定义域是，故B正确；对于C：设幂函数为，因为其图象过点，所以，则，所以此幂函数为，所以它的递增区间是，故C正确；对于D：对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，故D不正确，故选：BC.11．甲、乙两人准备进行一场乒乓球比赛，规定每球交换发球权，通过抛硬币决定谁先发球．已知两人在自己发球时得分的概率均为，则（    ）A．第二次由乙发球的概率为 B．甲先得一分的概率为C．前两次发球都由乙得分的概率为 D．前两次发球甲、乙各得1分的概率为【详解】A，若第一次由甲发球，则第二次由乙发球，故第二次由乙发球的概率为，故A错误；B，甲先得一分的概率为，故B正确；C，前两次发球都由乙得分的概率为，故C错误；D，前两次发球都由甲得分的概率为，则前两次发球甲、乙各得一分的概率为，故D正确．故选：BD三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．甲、乙两人各射击一次，命中的概率分别为0.8和0.6，两人同时命中的概率为0.5，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为 ．【详解】设甲射击命中的事件为，乙射击命中的事件为，则.故答案为：13．设为坐标原点，在区域内随机取一点，则的概率为 ．【详解】区域表示以原点为圆心的圆环，且圆环的面积为．满足的区域为表示的圆环，面积为．故所求概率为．故答案为：. 14．饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现锅中煮有白菜馅饺子4个，韭菜馅饺子3个，这两种饺子的外形完全相同.从中任意舀取3个饺子，则每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为 .【详解】由条件可知，舀到的有1个白菜，2个韭菜，或是2个白菜，1个韭菜，所以概率.故答案为：四 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（本小题13分）袋子中有个大小和质地完全相同的球，其中个白球，个黑球，从中同时摸出个球.(1)写出试验的样本空间；(2)求下列事件的概率：（i）“摸出来的个球都是白球”；（ii）“摸出来的个球颜色不同”.【详解】（1）记个白球为，记个黑球为，所以试验的样本空间.（2）（i）由（1）知，试验的样本空间含有个样本点，事件，共有个样本点，所以.（ii）事件，共个样本点，所以.16.（本小题15分）某市为传播中华文化，举办中华文化知识选拔大赛. 决赛阶段进行线上答题. 题型分为选择题和填空题两种，每次答题相互独立. 选择题答对得5分，否则得0分；填空题答对得4分，否则得0分，将得分逐题累加.(1)若小明直接做3道选择题，他做对这3道选择题的概率依次为45，，23. 求他得分不低于10分的概率；(2)规定每人最多答3题，若得分高于7分，则通过决赛，立即停止答题，否则继续答题，直到答完3题为止. 已知小红做对每道选择题的概率均为，做对每道填空题的概率均为. 小红依次做一道选择题两道填空题，求小红通过考试的概率.【详解】（1）记“他得分不低于10分”为事件，则，即得分不低于10分的概率；（2）记“小红通过考试”为事件， 则，即小红通过考试的概率为.17．（本小题15分）某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试．已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中a的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；(2)现学校准备利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团．①求应从和学生中分别抽取的学生人数；②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件“至少有1人测试成绩位于区间”，求事件A的概率．【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得；所以估算这40名学生测试成绩的平均数为；（2）①由图可得和这两组的频率之比为，故应从学生中抽取的学生人数为（人），应从学生中抽取的学生人数为（人）；②设从中抽取的5人为，从学生中抽取的2人为1，2，则这个试验的样本空间，则；又，则，故.18．（本小题17分）为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一､高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人.(1)学校高中三个年级一共有多少个学生？(2)若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中是正整数）求该样本的第40百分位数.(3)从这100名学生的样本中随机抽取三个学生的日均睡眠时间，求其中至少有1个数据来自高三学生的概率.【详解】（1）设学校高中三个年级一共有个学生,因为采用分层抽样法抽取一个容量为100的样本，在高一年级抽取了35人，高二年级抽取了33人，所以高三抽取的人数为：人，又因为高三年级一共512人，所以有：，解得.所以学校高中三个年级一共有1600个学生.（2）因为抽取100名学生的样本极差为2，所以又因为，所以样本的第40百分位数为：19．（本小题17分）某场知识答题活动的参赛规则如下：在规定时间内每位参赛选手对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立，每位选手作答的题均不相同.已知甲答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为；乙答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为.甲、乙每次作答正确与否相互独立.(1)设.①求甲答对一道题的概率；②求甲、乙一共答对三道题的概率.(2)求甲、乙一共答对三道题的概率的最小值.【详解】（1）①设“甲答对一道题”为事件，则，则甲答对一道题的概率为；②设“甲答对两道题”为事件，“乙答对一道题”为事件，“乙答对两道题”为事件，“甲、乙一共答对三道题”为事件，则，，，，故甲、乙一共答对三道题的概率为；（2）由题知，，设“甲、乙一共答对三道题”为事件，则，当时，甲、乙一共答对三道题的概率最小，且最小值为.日均睡眠时间（小时）8.599.510学生数量3213114