2025年中考数学二次函数压轴题专题练习11等腰三角形存在性问题（含解析）

这是一份2025年中考数学二次函数压轴题专题练习11等腰三角形存在性问题（含解析），共33页。
【问题描述】
如图，点A坐标为（1，1），点B坐标为（4，3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．
【几何法】“两圆一线”得坐标
（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；
（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；
（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．
注意：若有三点共线的情况，则需排除．
【代数法】表示线段构相等
（1）表示点：设点坐标为（m，0），又A点坐标（1，1）、B点坐标（4，3），
（2）表示线段：，
（3）分类讨论，列出方程：根据，可得：，
（4）求解得答案：解得：，故坐标为．
【小结】
几何法：（1）“两圆一线”作出点；
（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．
代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C；
（2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；
（3）根据题意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC；
（4）列出方程求解．
（2024秋•红塔区期中）
1．综合与探究
如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，E是线段上的一个动点，过点E作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点E的横坐标为m，当m为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；
(3)点P是直线上的一个动点，若使三角形是等腰三角形，求出点P的坐标．
（2024秋•武威月考）
2．如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D．
(1)求m的值及点C坐标；
(2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2024秋•宝坻区校级月考）
3．已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)过P点作y轴的平行线交直线于点E，求线段的最大值．
(3)在直线找一点Q，使得为等腰三角形，直接写出Q点．
（2024•雅安）
4．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标；
(3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（2024•仁布县一模）
5．如图，二次函数 的图象与 x 轴交于、两点，与 y 轴交于点 C，D 为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求 的面积；
(3)在抛物线对称轴上，是否存在一点P，使 P，B，C为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（2024•清镇市校级模拟）
6．如图，关于的二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点．

(1)求二次函数的表达式．
(2)求线段的长．
(3)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？直接写出点的坐标．
（2024•滨湖区校级二模）
7．二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C，顶点为点D．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若抛物线的对称轴l交x轴于点E，点P是线段DE上的一个动点（不与点E重合），连接，作交x轴于点，求k的取值范围；
(3)连接AD、BD，点M、N分别在线段AB、AD上（均含端点），且，若是等腰三角形，求点M的坐标．
（2024•城关区校级一模）
8．如图，关于的二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点．

(1)求二次函数的表达式．
(2)求线段的长．
(3)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？直接写出点的坐标．
（2024春•渠县校级月考）
9．如图，一次函数与x轴、y轴分别交于A、C两点，二次函数的图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线
(1)求该二次函数表达式；
(2)在对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2024•兴庆区校级二模）
10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方.
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出点的坐标和面积的最大值.
(3)除原点外，在轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
（2024•梅州模拟）
11．如图所示，已知二次函数的图像经过点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)直线交二次函数的图像于点，交直线于点，是否存在实数，使为等腰三角形，若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由．
（2024春•锡山区期中）
12．如图1，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且．点为抛物线第二象限上一动点．
(1)直接写出该二次函数的表达式为 ___________；
(2)连接，求四边形面积的最大值；
(3)如图2，连结交于点，过点作轴的平行线交于点．当为等腰三角形时，求出点的坐标．
参考答案：
1．(1)；
(2)当时，有最大值，且最大值为4．
(3)点P的坐标为或或或．
【分析】（1）根据，，运用待定系数法即可求解；
（2）根据，，求出直线的解析式，根据点的横坐标为，可用含的式子表示点的坐标，由此可得的长关于的二次函数，根据最值的计算方法即可求解；
（3）根据题意可求出的长，根据等腰三角形的性质，分类讨论：当、和时，分别列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，
∴，
∵，
∴，则，
把，代入二次函数解析式得，
，
解得，，
∴二次函数解析式为；
（2）解：由（1）可知，二次函数解析式为，且，，
∴设直线所在直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵点E的横坐标为m，直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F，
∴点D、F的横坐标为m，
∴，，
∴，
∴当时，有最大值，且最大值为4；
（3）解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，
∴令时，，则，，
∴，且，
在，，，，
设，分三种情况：
当时，即，
∴，
解得，
∴或；
当时，即，
∴，
解得(舍去)，，
∴，
当时，即，
∴，
解得，
，
综上，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，等腰三角形性质等知识是解题的关键．
2．(1)，
(2)存在，或或或．
【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值，利用待定系数法可求抛物线解析式；
（2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【详解】（1）解： 直线过点，
，
，
，
，
二次函数解析式为，
顶点坐标为；
（2）解：存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．
顶点坐标为，
对称轴为直线，
过点作于点，
在中，．
①当时，设，
在中，
解之得
；
②当时，根据等腰三角形三线合一得：，
，
；
③当时，，
，．
综上所述：点的坐标为或或或．
3．(1)
(2)
(3)Q点坐标为或或或
【分析】（1）直接利用待定系数法，将两点坐标代入解析式即可求得抛物线解析式；
（2）根据坐标求出所在直线解析式为，设，，进而求得，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）由于Q点在直线上，根据等腰三角形的性质，分四种情况进行讨论，即可求得Q点坐标．
【详解】（1）∵二次函数的图象经过点和点，
∴，
∴．
∴这个二次函数的表达式为．
（2）∵点P是直线下方的抛物线上一动点，
∴设，，
设直线的解析式为，
将点和点代入，
∴，
∴，
∴直线的解析式为．
∵过P点作y轴的平行线交直线于点E，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值为，
∴线段的最大值为．
（3）①∵，
∴，
∴，
∴当点Q与点B重合时，满足为等腰三角形，
∴；
②当时，过点Q作于点D，如图，
∵，
∴ ，
∴点Q的纵坐标为，
∵点Q在直线上，
∴，
∴．
∴Q；
③当时，过点Q作于点E，如图，
∵，
∴，．
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，过点Q作于点F，如图，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
综上，直线找一点Q，使得为等腰三角形，Q点坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合运用，解题的关键是采用数形结合主要思想，同时注意等腰三角形求解时需要进行多种情况讨论．
4．(1)
(2)
(3)存在，点或或或或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）先求出点，再分类求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
则，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，点，
由点B、C的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
∵，故有最大值，
此时，则，
即点；
（3）解：存在，理由：
设直线的表达式为，
由点的坐标得，，解得：，
∴直线的表达式为：，
令，，故，
过点作轴交轴于点，则，
，
则，
即直线和关于直线对称，故，
设直线的表达式为，
代入，，得，
解得：，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：(舍去)或5，
即点；
设点，由的坐标得，，
当时，则，
解得：，即点或；
当或时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或或；
综上，点或或或或．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
5．(1)
(2)3
(3)存在，符合条件的 P 点坐标为
【分析】本题主要考查了待定系数法、二次函数与面积的综合、二次函数与三角形的综合等知识点，掌握分类讨论和数形结合思想成为解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）先求得、，再运用待定系数法求得直线的解析式为；如图：过D作x轴的垂线交于E， 垂足为F．则,
则，最后根据三角形的面积公式即可解得；
（3）如图：设点， 连接,根据两点间的距离公式可得、、，然后再分、、三种情况分别解得即可．
【详解】（1）解∶ 由抛物线 经过、两点，
则，解得：，
所以抛物线的函数关系式是：．
（2）解：∵，
∴，
当时，，即，
由待定系数法可得直线的解析式为．
如图：过D作x轴的垂线交于E， 垂足为F．则,
∴,
∴．
（3）解：存在．
如图：设点， 连接,
,,；
①若，则，即，
解得．即 ．
②若，则即，
解得：，即 ；
③若，则，
解得：，即．
综上， 符合条件的 P 点坐标为 ，、．
6．(1)
(2)
(3)存在，或或或
【分析】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
（1）代入和，解方程组即可；
（2）令，求出点B的坐标，利用两点间距离公式求解即可；
（3）当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①；②；③．
【详解】（1）解：解：把和代入，
解得：，，
二次函数的表达式为：；
（2）解：令抛物线，则，
解得或，
根据题意：，
，
；
（3）解：，
点在轴上，当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图，

①当时，，
又∵，
，；
②当时，，
；
③当时，
此时与重合，
；
综上所述，点的坐标为：或或或．
7．(1)
(2)
(3)点M的坐标为或或
【分析】（）由待定系数法即可求解；
（）由,得 在 中,根据( 列方程即可得到根据a的取值范围即可求出的取值范围;
（3）证明，并求出的取值范围，分①若；②若 ；③若 ；三种情况讨论，结合等腰三角形的性质即可求出点的坐标.
【详解】（1）由题意得: 解得：，
则抛物线的表达式为：，
（2）由抛物线的表达式知，点的坐标为，
∵，
∴顶点坐标为，
由点在线段DE上，设点的坐标为，则，
，
，
，
，
在中, ，
，
整理得
，
∴当时, 取得最大值；
当 时，取得最小值；
；
（3）由抛物线对称性可得, ,
∵,
∴,
把代入；
解得
∴点的坐标为,
设点的坐标为,
∵点在线段AB上 (含端点) ,
∴,
①若, 则,
∵,
∴,
得点与点重合，则点与点重合，
∴点的坐标为；
②若, 则,
∵,
∴,
∴, 即
解得：，
∴点的坐标为；
③若, 则,
∵是的外角,
∴,
∵,
∴,
∵
∴,
∴,
，
解得：
∴点的坐标为 ；
综上所述，若是等腰三角形，则点的坐标为或或
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰三角形的额性质与判定，二次函数与等腰三角形的存在性问题，本题的关键是把握题目等腰三角形的条件，利用分类讨论思想解决问题.
8．(1)
(2)
(3)存在，或或或
【分析】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
（1）代入和，解方程组即可；
（2）令，求出点B的坐标，利用两点间距离公式求解即可；
（3）当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①；②；③．
【详解】（1）解：解：把和代入，
解得：，，
二次函数的表达式为：；
（2）解：令抛物线，则，
解得或，
根据题意：，
，
；
（3）解：，
点在轴上，当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图，

①当时，，
又∵，
，；
②当时，，
；
③当时，
此时与重合，
；
综上所述，点的坐标为：或或或．
9．(1)
(2)存在，点P的坐标为：或或或或
【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，两点之间距离公式，分类讨论是本题求解的关键．
（1）分别求出点，点的坐标，根据对称轴求出另一交点，再根据交点式得出答案；
（2）分、、三种情况，利用线段长度相等，列出等式求解即可．
【详解】（1）解：对于，当时，，即点，
令，则，即点.
∵抛物线的对称轴为直线，则点，
设二次函数表达式为：，
∵抛物线过点，
则，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）解：存在，理由：
根据题意对称轴，设点，
由点A、C、P的坐标得：，，，
当时，则，
解得：，
即点P的坐标为：或；
当时，则，
解得：，
即点；
当时，则，
解得：，
即点P的坐标为：或．
综上，点P的坐标为：或或或或．
10．(1)
(2)点的坐标为，的面积的最大值为．
(3)存在，，或，或，，
【分析】（1）利用待定系数法即可求解．
（2）设出点的坐标，作辅助线，表示出三角形和三角形的面积，即可求解．
（3）设出点的坐标，分三种情况解方程即可．
【详解】（1）将，代入，
得，
解得，
二次函数的解析式为．
（2）如图，过点作轴的平行线与交于点，
设，直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
则，
，
当时，的面积最大，
此时，点的坐标为，的面积的最大值为．
（3）存在．
设，
，，
为等腰三角形，
①，
，
，
（舍去），
②，
，
，
（舍或，
，
③，
，
或，
，或，，
存在点坐标为，或，或，，
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，还要牢记等腰三角形的定义，对于求三角形面积最大值的问题，一般是将三角形分割成两个三角形，即作轴的平行线或轴的平行线，然后再利用面积公式得出一个二次函数，求出顶点的纵坐标即是最大值．
11．(1)
(2)当或或4时，为等腰三角形
【分析】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质及两点距离公式是解题的关键；
（1）根据待定系数法可进行求解函数解析式；
（2）根据二次函数的图象与性质及等腰三角形的性质、两点距离公式可进行求解．
【详解】（1）解：将代入，
得，
解得：，
所以．
（2）解：设直线，因为，
∴，解得：，
所以直线，
∴，
∴，
根据题意设有，，，过点作，垂足为点，
∴轴，
∴，
∴；
∴
∴；；
∴；；
若为等腰三角形，分以下三种情况：
①当时，有，解得：或5或0，而又，因此．
②当时，有，即，解得：或0，而又，因此．
③当时，有，解得：或0，而又，因此．
综上所述，当或或4时，为等腰三角形．
12．(1)
(2)
(3)点的坐标为：或
【分析】（1）根据二次函数与y轴的交点可得，，则，将点的坐标代入抛物线表达式，运用待定系数法即可求解；
（2）根据点的坐标可得直线的解析式，由二次函数与坐标轴的交点的计算可得点的坐标，如图所示，过点作轴的垂线，交于点，可得，由此可得四边形面积，代入计算，再根据二次函数求最值的计算方法即可求解；
（3）设点，则点，可得直线的表达式为：，根据两直线的交点的计算可得点的坐标为：，根据等腰三角形的定义，分类讨论：当时，则点在的中垂线上；当时，即；由此即可求解．
【详解】（1）解：二次函数中，令时，，
∴，
∴，
∴点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：a=−1，
则抛物线的表达式为：，
故答案为：；
（2）解：，，
设直线的解析式为y=kx+bk≠0，
∴，
解得，k=1b=3，
∴直线的表达式为：，
在二次函数中，当时，，
解得，，
∴，则，
如图所示，过点作轴的垂线，交于点，
∵点为抛物线第二象限上一动点，
∴设点，则点，
∴，
∴四边形面积
，
∵，
故四边形面积存在最大值，
当时，四边形ABCP面积的最大值为；
（3）解：设点，则点，
设直线的解析式为：，，
∴，
解得，，
∴直线的表达式为：，
联立上式和直线的表达式得：，
解得：，则点的坐标为：，
由直线的表达式知，其和轴正半轴的夹角为，
如果，则，则，故不存在，
则，
而，
当时，
则点在的中垂线上，则，
∴，
解得：（舍去）或，
即点；
当时，即，
解得：（舍去）或，
即点，
综上，点P的坐标为：−2,3或．
【点睛】本题主要考查二次函数，一次函数图象的性质，二次函数与几何图形的综合，等腰三角形的定义及性质，掌握二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．