全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 09菱形存在性问题（含答案解析版）

这是一份全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 09菱形存在性问题（含答案解析版），共38页。试卷主要包含了，点P是抛物线上一个动点，，与y轴交于点C等内容，欢迎下载使用。
（1）求抛物线的解析式；
（2）写出线段CE的长（用含有m的代数式表示）；
（3）若PE＝5EF，求m的值；
（4）在y轴正半轴上是否存在点G，使C、E、P、G为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣5），即y＝﹣x2+4x+5；
（2）当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则C（0，3），
当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝4，则D（4，0），
所以CD＝＝5，
设P（m，﹣m2+4m+5），则E（m，﹣m+3），F（m，0），
∵EF∥OC，
∴CE：OF＝CD：OD，即CE：m＝5：4，
∴CE＝m（0＜m＜5）；
（3）存在．
PE＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m+2，EF＝|﹣m+3|，
∵PE＝5EF，
∴﹣m2+m+2＝5|﹣m+3|，
当﹣m2+m+2＝5（﹣m+3），解得m1＝6.5（舍去），m2＝2，
当﹣m2+m+2＝﹣5（﹣m+3），解得m1＝（舍去），m2＝，
综上所述，m的值为2或；
（4）当PC为对角线时，
作PG∥EC交y轴于G，如图，
则四边形PECG为平行四边形，
当CE＝PE时，四边形PECG为菱形，
即m＝﹣m2+m+2，解得m1＝﹣（舍去），m2＝4，
此时P点坐标为（4，5）．
2．（2024秋•吉林月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求点A的坐标；
（3）连接CP、BP，当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值；
（4）连接PO，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将C（0，3）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得：，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）令0＝﹣x2+2x+3，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A的坐标（﹣1，0）；
（3）当，即点时，S△BCP有最大值；理由如下：
设直线BC的解析式为：y＝kx+3，
将B（3，0）代入y＝kx+3得：0＝3k+3，
解得：k＝﹣1；
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
过点P作PD∥y轴，如图1所示：
设点P（m，﹣m2+2m+3），则D（m，﹣m+3）（0＜m＜3），
＝
＝，
∴当，即点时，S△BCP有最大值，且最大值为；
（4）存在点P，使四边形POP′C为菱形；理由如下：
设点P（x，﹣x2+2x+3），PP′交x轴于点E，如图2所示：
若四边形POP′C为菱形，则PC＝PO，PE⊥CO，
∴，
即：﹣x2+2x+3＝，
解得：（舍去），
∴点P的坐标为．
3．（2024•深圳三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点C（0，3），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点．
（1）求二次函数解析式；
（2）连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）存在．如图，设点P（x，﹣x2+2x+3），PP′交CO于点E，
若四边形POP′C是菱形，连接PP′，则PE⊥OC，，
∴，
解得，，
∴P（，）或．
4．（2024•吐鲁番市二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由点C的坐标得，抛物线的表达式为：y＝x2+bx﹣3，
将点B的坐标代入上式得：0＝9+3b﹣3，
解得：b＝﹣2，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在．理由如下：
作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，垂足为点E，如图2，
则PO＝PC．
∵△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，
∴OP′＝OP，CP′＝CP，
∴OP′＝OP＝CP′＝CP，
∴四边形POP′C为菱形．
∵点C的坐标为（0，﹣3），
∴点E的坐标为，
∴点P的纵坐标为，
把代入y＝x2﹣2x﹣3得，解得．
∵点P在直线BC下方的抛物线上，
∴，
∴满足条件的点P的坐标为．
5．（2024秋•牡丹江月考）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），且OA＝OC，E是线段OA上的一个动点，过点E作直线EF垂直于x轴交直线AC和抛物线分别于点D、F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点E的横坐标为m，当m为何值时，线段DF有最大值？并写出最大值为多少；
（3）若P是直线AC上的一动点，在坐标平面内是否存在Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出符合条件的菱形的个数并请直接写出其中2个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），且OA＝OC，
∴OA＝OC＝4，
∴OC＝4，
∴点C的坐标为（0，4），
把A（﹣4，0），C（0，4）代入二次函数解析式y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得：，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）由（1）可知，二次函数解析式为y＝﹣x2﹣3x+4，且A（﹣4，0），C（0，4），
∴设直线AC所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+4，
∵点E的横坐标为m，直线EF垂直于x轴交直线AC和抛物线分别于点D、F，
∴点D、F的横坐标为m，
∴D（m，m+4），F（m，﹣m2﹣3m+4），
∴DF＝﹣m2﹣3m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，
∴当m＝﹣2时，DF有最大值，且最大值为4；
（3）在坐标平面内存在Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形是菱形；理由如下：
∵二次函数y＝﹣x2﹣3x+4的图象与x轴交于A，B两点，且A（﹣4，0），
∴令y＝0时，x2+3x﹣4＝0，则x1＝﹣4，x2＝1，
∴B（1，0），且C（0，4）
在Rt△BOC中，OB＝1，OC＝4，
∴，
第一种情况：如图1，点Q在直线AC下方，
四边形PCBQ是菱形，
∴PC∥BQ，，
∵直线AC的解析式为y＝x+4，
∴设直线BQ所在直线的解析为y＝x+c，把点B（1，0）代入得：
0＝1+c，
解得：c＝﹣1，
∴直线BQ的解析式为y＝x﹣1，
设Q（q，q﹣1），过点Q作QH⊥x轴于点H，
∴BH＝1﹣q，QH＝q﹣1，
∴，
整理得：2q2﹣4q﹣15＝0，
∴，
∴当时，，即；
当时，，即；
第二种情况：如图2，点Q在直线AC上方，
∵四边形BCQP是菱形，
∴QP∥BC，，
∵B（1，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为y＝﹣4x+4，
设P（p，p+4），
∴，
整理得：p2+3p＝0，
解得：p1＝0（与点C重合，不符合题意，舍去），p2＝﹣3，即P（﹣3，1），
∴设PQ所在直线的解析式为y＝﹣4x+n，
把点P（﹣3，1）代入得：n＝﹣11，
∴直线PQ的解析式为y＝﹣4x﹣11，
根据题意，设Q（r，﹣4r﹣11），
∴，
整理得：17r2+102r+136＝0，
∴，即r1＝﹣2，r2＝﹣4，
∵﹣2＞﹣3，不合题意，
∴Q（﹣4，5）；
第三种情况，BC为菱形的对角线时，如图3：
作BC的垂直平分线PN，交AC于P，交BC于N，
在直线PN上截取CQ＝PC，连接PB、BQ得菱形BPCQ，
∵B（1，0），C（0，4），
∴，
∴，
∵∠BOC＝∠BNM＝90°，∠CBO＝∠MBN，
∴△BOC∽△BNM，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线PN为y＝mx+n，代入，，得：
，
解得，
∴，
与y＝x+4联立，得：
，
解得，
∴，
∴将点P向右平移个单位再向上平移个单位得到点C，
将点B（1，0）经过相同的平移得到点，即，
综上所述，存在点Q使得以点P、Q、B、C为顶点的四边形是菱形，共有4个，点Q的坐标为或或或（﹣4，5）．
6．（2024•明水县校级二模）如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值及此时点D坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，平面内是否存在一点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由：
（4）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴点B（4，0），点C（0，﹣2），
∵二次函数的图象经过B，C两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式；
（2）如图1所示：过点D作DF⊥x轴，交BC与点F．
设D，则F，
∴FD＝，
∴，
∵﹣1＜0，
∴a＝2时，S最大，最大值为4．
此时，点D坐标为（2，﹣3）；
（3）存在，理由如下：
∵，
∴抛物线的对称轴为直线：，
设，
以BC为对角线时，
∴PC＝PB，
∴，
解得：e＝0，即，
当BP为对角线时，
∴PC＝CB，
∴，
解得：，，点P坐标为或；
当CP为对角线时，
∴PB＝CB，
∴，
解得：，，点P坐标为或；
综上：P的坐标为：或或或或．
（4）如图2所示：过点D作DR⊥y垂足为R，DR交BC与点G，连接AC，
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），
∴，，AB＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形．
取AB的中点E，连接CE，则CE＝BE，
∴∠OEC＝2∠ABC．
∴．
当∠MCD＝2∠ABC时，则．
设，则DR＝x，．
∴，
解得：x＝0（舍去）或x＝2．
∴点D的横坐标为2．
当∠CDM＝2∠ABC时，设MD＝3k，CM＝4k，CD＝5k．
∵，
∴GM＝6k，，
∴GC＝MG﹣CM＝2k，
∴，．
∴．
∴，
解得：x＝0（舍去）或．
∴点D的横坐标为．
综上所述，当点D的横坐标为2或．
7．（2024•建华区二模）如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴交于另一点A，点P在线段BC上，不与B、C重合．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当时，求点P的横坐标；
（3）在平面内找到点Q，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出点P的坐标；
（4）点C关于x轴的对称点为点D，连接AP，取AP的中点G，连接DG，AP+2DG的最小值是 2 ．
【解答】解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，
则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，3），
则，解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）设点M（m，﹣m2+2m+3），则点P（m，﹣m+3），则点N（2﹣m，﹣m2+2m+3），
当时，即（﹣m2+2m+3+m﹣3）：（2﹣m﹣m）＝1：2，
解得：m＝2+（舍去）或2﹣，
即P的横坐标为：2﹣；
（3）设Q（s，t），则点P（m，﹣m+3），
由点A、C的坐标得，AC2＝10，
当AC为对角线时，
由中点坐标公式和AP＝AQ得：，
解得m＝2.5，即点P（2.5，0.5）；
当AQ、AP为对角线时，
由中点坐标公式和AP＝AC或AC＝AQ得：
或，
解得：m＝或2（不合题意的值已舍去），
即点P（，3﹣）或（2，1）；
综上，点P的坐标为：（，3﹣）或（2，1）或（2.5，0.5）；
（4）作PE∥DG交AD的延长线于点E，连接PE，
则DG为△APE的中位线，则PE＝2GD，
作点E关于直线BC的对称点E′，作EN∥x轴交BC于点N，连接NE′，
∵∠CNE＝45°，点E′、E关于直线BC对称，
则∠E′NC＝45°，即△E′EN为等腰直角三角形，
由点A、D（0，﹣3）的坐标和中点坐标公式得，点E（1，﹣6），
当y＝﹣6时，即﹣6＝﹣x+3，则x＝9，即点N（9，﹣6），
则EN＝9﹣1＝8＝E′N，
则点E′（9，2），
则AP+2DG＝AP+PE＝AP+PE′≤AE′，
当A、P、E′共线时，等式成立，
由点A、E′的坐标得，AE′＝＝2．
8．（2024•宜兴市二模）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C．
（1）直接写出a、b的值；
（2）如图1，连接BC，D在线段BC上，过D作DF⊥x轴于点F，交二次函数图象于点E，连接CE、OD，当△OCD的面积是△CDE的面积的时，求点D的坐标．
（3）如图2，点G的坐标（4，﹣3），作直线OG，点H在y轴的负半轴上，连接BH交直线OG于M，点N在该平面内运动，当以O、H、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点H的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（8，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：
，
解得，
∴a的值为，b的值为﹣；
（2）过C作CK⊥DE于K，过D作DT⊥y轴于T，如图：
由（1）知抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣4，
令x＝0得y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∴OC＝4，
∵DF⊥x轴，
∴DF∥y轴，
∴CK＝DT，
∵△OCD的面积是△CDE的面积的，
∴OC•DT＝DE•CK×，
∴DE＝OC＝×4＝3，
由B（8，0），C（0，﹣4）得直线BC解析式为y＝x﹣4，
设D（m，m﹣4），则E（m，m2﹣m﹣4），
∴m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）＝3，
解得m＝2或m＝6，
∴D的坐标为（2，﹣3）或（6，﹣1）；
（3）如图：
由G（4，﹣3）得直线OG解析式为y＝﹣x，
设M（t，﹣t），
由B（8，0），M（t，﹣t）可得直线BM解析式为y＝﹣x+，
令x＝0得y＝，
∴H（0，），
设N（p，q），
又O（0，0），
①若OH，MN为对角线，则OH，MN中点重合，且OM＝ON，
∴，
解得（舍去）或，
经检验，是原方程组的解，
∴H（0，﹣6）；
②若OM，HN为对角线，则OM，HN的中点重合，且MN＝ON，
∴，
解得（舍去）或，
经检验，是原方程组的解，
∴＝﹣，
∴H（0，﹣）；
③若ON，MH为对角线，则ON，MH中点重合，且OM＝MN，
∴，
解得（舍去）或（此时H不在y轴负半轴，舍去）或，
经检验，是原方程组的解，
∴＝﹣4，
∴H（0，﹣4）；
综上所述，H的坐标为（0，﹣6）或（0，﹣）或（0，﹣4）．
9．（2024•徐州二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴分别交于点A、C与y轴交于点B，顶点为D．
（1）点A坐标为 （﹣3，0） ，点D坐标为 （﹣1，4） ；
（2）P为AD之间抛物线上一点，直线BP交AD于E，交x轴于F，若S△DBE＝S△AEF，求P点坐标．
（3）M为抛物线对称轴上一动点，若平面内存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有 4 个．
【解答】解：（1）在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝0得0＝﹣x2﹣2x+3，
解得x＝1或x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线顶点D为（﹣1，4），
故答案为：（﹣3，0），（﹣1，4）；
（2）连接DO，如图：
由（1）知，A（﹣3，0），C（1，0），D（﹣1，4），
在y＝﹣x2﹣2x+3中，令x＝0得y＝3，
∴B（0，3），
∴S四边形AOBD＝S△AOD+S△BOD＝×3×4+×3×1＝，
∵S△DBE＝S△AEF，
∴S△DBE+S四边形EAOB＝S△AEF+S四边形EAOB，
即S四边形AOBD＝S△BOF，
∴S△BOF＝，
∴OF×3＝，
∴OF＝5，
∴F（﹣5，0），
由B（0，3），F（﹣5，0）得直线BF函数表达式为y＝x+3，
联立，
解得或，
∴P（﹣，）；
（3）①若以BC，BM为邻边，则以B为圆心，BC为半径作圆与对称轴直线x＝﹣1有交点M1，M2，如图：
可作菱形BM1N1C，而M2与BC共线，以B，C，M2，N为顶点不能作菱形；
②若以CB，CM为邻边，则以C为圆心，CB为半径作圆与对称轴直线x＝﹣1有交点M3，M4，如图：
可作菱形CM3N3B和菱形CM4N4B；
③若以MB，MC为邻边，则作BC的垂直平分线与对称轴直线x＝﹣1有交点M5，如图：
可作菱形CM5BN5；
综上所述，以B、C、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有4个；
故答案为：4．
10．（2024•姑苏区一模）如图，二次函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（其中m＞1）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点D为△ABC的外心．
（1）填空：点A的坐标为 （﹣1，0） ，∠ABC＝ 45 °；
（2）记△ACD的面积为S1，△ABD的面积为S2，试探究S1﹣S2是否为定值？如果是，求出这个定值；
（3）若在第一象限内的抛物线上存在一点E，使得以B、D、C、E为顶点的四边形是菱形，则m＝ ．
【解答】解：（1）∵0＝﹣x2+（m﹣1）x+m，
∴x1＝﹣1，x2＝m，
∴点A（﹣1，0），点B（m，0），
∴OB＝m，
当x＝0时，y＝m，
∴点C（0，m），
∴OB＝OC＝m，
∴∠ABC＝∠OCB＝45°，
故答案为（﹣1，0），45；
（2）S1﹣S2＝为定值，理由：
∵点D为△ABC的外心，∠ABC＝45°，则∠ADC＝90°，
则∠ACD＝90°，则AD＝CD＝BD，
过点D作y轴的平行线交过点C和x轴的平行线于点M，交x轴于点N，
设点D（x，y），
则CM＝x，DN＝y，AN＝x+1，DM＝m﹣y，
∵∠CDM+∠ADN＝90°，∠ADN+∠DAN＝90°，
∴∠ADM＝∠DAN，
∵∠AND＝∠DMC＝90°，DA＝DC，
∴△AND≌△DMC（AAS），
则AN＝DM，CM＝DN，
即x＝y且x+1＝m﹣y，
解得：x＝y＝（m﹣1），
则S2＝AB•DN＝（m+1）（m﹣1）＝（m2﹣1）；
∵△ACD为等腰直角三角形，
则S1＝AC2＝（m2+1），
则S1﹣S2＝为定值；
（3）由（2）知，点D（，），设点E（t，﹣t2+（m﹣1）t+m），
当BC为对角线时，
由中点坐标公式和BD＝CD得：
，解得：m＝2（不合题意的值已舍去）；
当BD或BE为对角线时，
同理可得：或，
解得：m＝（不合题意的值已舍去）；
综上，m＝，
故答案为：．
11．（2024•丰县一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，点P在线段OB上，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D，交直线BC于点E．
（1）a＝ 1 ，b＝ ﹣2 ；
（2）在点P运动过程中，若△CDE是直角三角形，求点P的坐标；
（3）在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2+bx﹣3，
则a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，
即a＝1，b＝﹣2，
故答案为：1，﹣2；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式知：y＝x﹣3，
当∠ECD＝90°，
由抛物线的表达式知，抛物线的顶点坐标为：（1，﹣4），
则直线CD的表达式为：y＝﹣x﹣3，
则直线CD⊥BC，
即当点D和抛物线的顶点重合时，△CDE是直角三角形，
即点P（1，0）；
当∠CDE＝90°时，
则点C、D关于抛物线的对称轴对称，
则点P（2，0）；
综上，P（1，0）或（2，0）；
（3）存在，理由：
设点P（x，0），则点E（x，x﹣3），点D（x，x2﹣2x﹣3），
则DE＝x﹣3﹣x2+2x+3＝﹣x2+3x，
①当CE＝ED＝CF，
则CE＝DE，
即﹣x2+3x＝x，
解得：x＝3﹣，
则CE＝x＝32＝CF，
则点F的坐标为：（0，3﹣5）（舍去）或（0，﹣3﹣1）．
②当FE＝ED＝CD＝CF，
此时∠CED＝∠BCO＝45，∠FEC＝∠CED＝45（菱形的对角线平分菱形的角），
∴∠FED＝90，
因此这个菱形正好是特殊的正方形．
∴当CD∥x轴（∠CDE＝90）时，即可满足．
此时E（2，﹣1），
∵FE∥CD，
∴F（0，﹣1），
综上，点F的坐标为：（0，﹣1）或（0，﹣3﹣1）．
12．（2024秋•阳信县月考）综合与探究
如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），且 OA＝OC，E是线段OA上的一个动点，过点E作直线EF垂直于x轴交直线AC和抛物线分别于点D、F．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设点E的横坐标为m．当m为何值时，线段DF有最大值，并写出最大值为多少；
（3）若点P是直线AC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以点P、Q、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣4，0），且 OA＝OC，
∴C（0，4），
∴，
∴，
∴y＝﹣x2﹣3x+4，
（2）设直线AC的解析式为：y＝kx+n，
∴，
∴，
∴y＝x+4，
∴D（m，m+4），
∵F（m，﹣m2﹣3m+4），
∴DF＝（﹣m2﹣3m+4）﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，
∴当m＝﹣2时，DF最大＝4；
（3）设P（t，t+4），
∵B（1，0），C（0，4），
∴PB2＝（t﹣1）2+（t+4）2＝2t2+6t+17，
PC2＝t2+t2＝2t2，
BC2＝17，
当PC2＝BC2时，
2t2＝17，
∴t＝±，
∴当t1＝时，y＝，
∴P1（，+4），
∴Q 1（+1，），
当t2＝﹣时，y＝﹣+4，
∴P2（﹣，﹣+4），
∴Q2（﹣+1，﹣），
当PB2＝PC2时，
6t+17＝0，
∴t3＝﹣，
当t＝﹣时，y＝﹣+4＝，
∴P3（﹣，），
∴Q3（，），
当PB2＝BC2时，
2t2+6t＝0，
∴t4＝0（舍去），t5＝﹣3，
当t＝﹣3时，点P4（﹣3，1），
∴Q4（﹣4，5），
综上所述：Q（+1，）或（﹣+1，﹣）或（，）或（﹣4，5）．
13．（2024•玉泉区三模）如图，一次函数的图象与坐标轴交于点A，B，二次函数的图象过A，B两点．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点且以BC为一边的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在 中，
令x＝0得 ，
令 y＝0 得 x＝3，
∴A（3，0），；
（2）∵二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点，
∴，
解得，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣；
（3）存在，理由如下：
由二次函数y＝x2﹣x﹣可得其对称轴为直线x＝＝1，
设P（1，m），Q（n，n2﹣n﹣），而B（0，﹣），
∵C与B关于直线x＝1对称，
∴C（2，﹣），
①BP、CQ为对角线时，如图：
同理BP、CQ中点重合，可得，
解得，
∴当P（1，0），Q（﹣1，0）时，四边形BCPQ是平行四边形，
由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，
∴四边形BCPQ是菱形，
∴此时Q（﹣1，0）；
②以BQ、CP为对角线，如图：
BQ、CP中点重合，可得，
解得，
∴P（1，0），Q（3，0）时，四边形BCQP是平行四边形，
由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，
∴四边形BCQP是菱形，
∴此时Q（3，0）；
综上所述，Q的坐标为：（﹣1，0）或（3，0）．
14．（2024•凉州区校级模拟）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），
∴点A的坐标为（﹣3，0），
∴二次函数解析式为y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3；
（2）连接ON，如图：
设P（m，0），则N（m，m2+2m﹣3），
在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∴S四边形ABCN＝S△AON+S△BOC+S△CON
＝×3（﹣m2﹣2m+3）+×1×3+×3（﹣m）
＝﹣m2﹣m+6
＝﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣时，S四边形ABCN取最大值，
此时P（﹣，0）；
∴四边形ABCN面积的最大值是，此时点P的坐标为（﹣，0）；
（3）在y轴上存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：
由A（﹣3，0），C（0，﹣3）得直线AC解析式为y＝﹣x﹣3，
设Q（0，t），P（n，0），则M（n，﹣n﹣3），N（n，n2+2n﹣3），
∵MN∥CQ，
∴当M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形时，MN，CQ是一组对边；
①当MC，NQ为对角线时，MC，NQ的中点重合，且CN＝CQ，
∴，
解得（此时M，N与C重合，舍去）或；
∴Q（0，﹣1）；
②当MQ，CN为对角线时，MQ，CN的中点重合，且CQ＝CM，
∴，
解得（舍去）或或，
∴Q（0，﹣1﹣3）或（0，﹣1+3）；
综上所述，Q的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣1﹣3）或（0，﹣1+3）．
15．（2024•蓬江区校级模拟）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点 C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，得，
解得，
∴y＝x2+2x﹣3．
（2）①设直线AC的表达式为y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b′．得，
解得，
∴y＝﹣x﹣3，
∵点P（m，0）是x轴上的一动点，且PM⊥x轴．
∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3），
∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∵a＝﹣1＜0，
∴此函数有最大值．
又∵点P在线段OA上运动，且﹣3＜﹣＜0，
∴当m＝﹣时，MN有最大值．
②如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．
∵MN＝﹣m2﹣3m，MC＝﹣m，
∴﹣m2﹣3m＝﹣m，
解得m＝﹣3+或0（舍弃）
∴MN＝3﹣2，
∴CQ＝MN＝3﹣2，
∴OQ＝3+1，
∴Q（0，﹣3﹣1）．
如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ＝2，可得Q（0，﹣1）．
如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，
则有，m2+3m＝﹣m，
解得m＝﹣3﹣或0（舍弃），
∴MN＝CQ＝3+2，
∴OQ＝CQ﹣OC＝3﹣1，
∴Q（0，3﹣1）．
当点P在y轴的右侧时，显然MN＞CM，此时满足条件的菱形不存在．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，﹣3﹣1）或（0，﹣1）或（0，3﹣1）．