全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 11等腰三角形存在性问题（不含答案版）

这是一份全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 11等腰三角形存在性问题（不含答案版），共14页。
如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．
【几何法】“两圆一线”得坐标
（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；
（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；
（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．
注意：若有三点共线的情况，则需排除．
【代数法】表示线段构相等
（1）表示点：设点坐标为（m，0），又A点坐标（1,1）、B点坐标（4,3），
（2）表示线段：，
（3）分类讨论，列出方程：根据，可得：，
（4）求解得答案：解得：，故坐标为．
【小结】
几何法：（1）“两圆一线”作出点；
（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．
代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C；
（2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；
（3）根据题意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC；
（4）列出方程求解．
1．（2024秋•红塔区期中）综合与探究
如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），且OA＝OC，E是线段OA上的一个动点，过点E作直线EF垂直于x轴交直线AC和抛物线分别于点D、F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点E的横坐标为m，当m为何值时，线段DF有最大值，并写出最大值为多少；
（3）点P是直线AC上的一个动点，若使三角形PBC是等腰三角形，求出点P的坐标．
2．（2024秋•武威月考）如图，点C为二次函数y＝（x+1）2的顶点，直线y＝﹣x+m与该二次函数图象交于A（﹣3，4）、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D．
（1）求m的值及点C坐标；
（2）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2024秋•宝坻区校级月考）已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）过P点作y轴的平行线交直线BC于点E，求线段PE的最大值．
（3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，直接写出Q点．
4．（2024•雅安）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图①，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段PQ的长度最大时，求点Q的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且∠CQD＝2∠OCQ．在y轴上是否存在点E，使得△BDE为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2024•仁布县一模）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△DBC的面积；
（3）在抛物线对称轴上，是否存在一点P，使P，B，C为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2024•清镇市校级模拟）人生有低谷，那可是触地反弹前的转折点！如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于A（1，0）和点B，与y轴相交于C（0，3）．
（1）求二次函数的表达式．
（2）求线段BC的长．
（3）在y轴上是否存在一点P，使得△PBC为等腰三角形？如不存在，请说明理由；若存在，请直接写出P的坐标．
7．（2024•滨湖区校级二模）二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象与x轴相交于点A（﹣4，0）和点B（2，0），与y轴相交于点C，顶点为点D．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若抛物线的对称轴l交x轴于点E，点P是线段DE上的一个动点（不与点E重合），连接PC，作PQ⊥PC交x轴于点Q（k，0），求k的取值范围；
（3）连接AD、BD，点M、N分别在线段AB、AD上（均含端点），且∠DMN＝∠DBA，若△DMN是等腰三角形，求点M的坐标．
8．（2024•城关区校级一模）如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3）．
（1）求二次函数的表达式．
（2）求线段BC的长．
（3）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？直接写出点P的坐标．
9．（2024春•渠县校级月考）如图，一次函数与x轴、y轴分别交于A、C两点，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线
（1）求该二次函数表达式；
（2）在对称轴上是否存在点P，使△PAC为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2024•兴庆区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B点，与y轴交于点C（0，3），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值．
（3）除原点外，在x轴上是否存在一点Q，使得△BCQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2024•梅州模拟）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（5，0），B（﹣1，0），C（0，﹣5）．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；
（2）直线x＝t（0＜t＜5）交二次函数y＝ax2+bx+c的图象于点P，交直线AC于点Q，是否存在实数t，使△CPQ为等腰三角形，若存在，请求出这样的t值；若不存在，请说明理由．
12．（2024春•锡山区期中）如图1，二次函数y＝ax2+2ax+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OA＝OC．点P为抛物线第二象限上一动点．
（1）直接写出该二次函数的表达式为 ；
（2）连接PA、PC、BC，求四边形ABCP面积的最大值；
（3）如图2，连结BP交AC于点H，过点P作y轴的平行线交AC于点Q．当△PQH为等腰三角形时，求出点P的坐标．