2025年九年级中考数学二次函数压轴题专题练习08矩形存在性问题（含解析）

这是一份2025年九年级中考数学二次函数压轴题专题练习08矩形存在性问题（含解析），共40页。试卷主要包含了综合与探究等内容，欢迎下载使用。
（2024•济宁二模）
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，且．

(1)试求抛物线的解析式；
(2)直线与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线交于点M，记，试求m的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，m取最大值时，是否存在x轴上的点Q及坐标平面内的点N，使得P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点和N点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，已知二次函数的顶点为，点、的坐标分别是，，以为对角线作．
(1)点在某个函数的图象上运动，求这个函数的表达式；
(2)若点也在二次函数的图象上，求的值；
(3)是否存在矩形，使顶点、都在二次函数的图象上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
（2023•东源县三模）
3．如图，二次函数与x轴交于、两点，且与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式．
(2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作于点M，交x轴于点N，过点P作轴交BC于点Q，求的最大值及此时P点坐标．
(3)将抛物线沿射线平移个单位，平移后得到新抛物线．D是新抛物线对称轴上一动点，在平面内确定一点E，使得以B、C、D、E四点为顶点的四边形是矩形．直接写出点E的坐标．
（2023•罗定市三模）
4．如图1，抛物线过两点，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为t秒．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，过点M作轴于点D，交抛物线于点E，当时，求四边形的面积；
(3)如图2，动点N同时从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，将绕点M逆时针旋转得到．
①当点N运动到多少秒时，四边形是菱形；
②当四边形是矩形时，将矩形沿x轴方向平移使得点F落在抛物线上时，直接写出此时点F的坐标．
（2023秋•铁东区校级月考）
5．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于，B两点．
(1)求a，k的值及点B的坐标；
(2)在抛物线上求点P，使△PAB的面积是△AOB面积的一半；（写出详细解题过程）
(3)点M在抛物线上，点N在坐标平面内，是否存在以A，B，M，N为顶点的四边形是矩形，若存在直接写出M的坐标，若不存在说明理由．
（2023•歙县校级模拟）
6．如图，若二次函数的图象与x轴交于点、，与轴交于点，连接．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
（2024•淮阴区校级模拟）
7．如图1，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．点B坐标为，点C坐标为0,3，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴，垂足为D，交直线于点E，设点P的横坐标为m．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)如图2，过点P作，垂足为F，当m为何值时，最大？最大值是多少？
(3)如图3，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线的对称点恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．
（2024•张店区二模）
8．如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接，．
(1)求该抛物线及直线的函数表达式；
(2)如图2，在上方的抛物线上有一动点P（不与B，C重合），过点P作，交于点D，过点P作轴，交于点E．在点P运动的过程中，请求出周长的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图3，若点P是该抛物线上一动点，问在点P运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q使以B，C，P，Q为顶点为对角线的四边形是矩形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（2024•娄底二模）
9．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是抛物线上一个动点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点的坐标为时，求四边形的面积；
(3)当动点在直线上方时，在平面直角坐标系内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2024•榆次区三模）
10．综合与探究
如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线是直线下方抛物线上一动点．

(1)求两点的坐标，并直接写出直线的函数表达式．
(2)过点作轴，交直线于点，交直线于点．当为线段的中点时，求此时点的坐标．
(3)在（2）的条件下，若是直线上一动点，试判断在平面内是否存在点，使以为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．(1)
(2)当时，m取得最大值，此时点P的坐标为
(3)存在，或
【分析】（1）先求出点，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）过点P作轴交直线于E，连接，先求出直线的解析式为，设，则，，由得出，因此，最后根据二次函数的性质即可求出m最大值及此时点P的坐标；
（3）分两类进行讨论：①当是矩形的边时，有两种情形，当四边形为矩形时，如图2，连接，过点作轴于M，证明，，求出，，，从而得出满足条件的Q点和N点的坐标；当四边形是矩形时，如图2，过点作轴交的延长线于，过点作轴于T，证明，，求出，，，从而得出满足条件的Q点和N点的坐标；②当是对角线时，设，由Q是直角顶点，根据勾股定理得出方程，此方程无解，此种情形不存在．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵抛物线经过点，，，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）如图1，过点P作轴交直线于E，连接，

设直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵直线与y轴交于点D，
∴，
∴，
∵轴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当时，m取得最大值，此时点P的坐标为；
（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．
由（2）知：，
①当是矩形的边时，有两种情形，

当四边形为矩形时，如图2，连接，过点作轴于M，
则，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
当四边形是矩形时，如图2，过点作轴交的延长线于，过点作轴于T，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当是对角线时，设，则，，，
∵Q是直角顶点，
∴，
∴，
整理得，此方程无解，此种情形不存在；
综上所述， 或．
【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象与性质，待定系数法，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等知识，综合性较强，熟练掌握二次函数的图象与性质，根据题意正确作出图形，进行分类讨论是解题的关键．
2．(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）把二次函数的解析式化成顶点式，得出顶点的坐标，再根据坐标特点写出函数解析式即可；
（2）由平移的性质，用表示点的坐标，再将点坐标代入二次函数的解析式，得到的方程，解方程即可；
（3）根据平行四边形是矩形，得，由勾股定理列出方程求出的值，再根据顶点、都在二次函数的图象上，求得、的关系，进而求解．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴点在函数上，
∴所求函数的表达式为；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴AB∥DC，，
∴将AB沿方向平移可得，
∵，，，
∴，
把代入中，得
，
化简为：，
解得：；
（3）∵平行四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
化简得，，
解得：或，
∵点在二次函数的图象上，
∴，
∴，
当时，，此时，
当时，，此时．
故存在矩形，使顶点、都在二次函数的图象上，的值为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、平行四边形的性质、矩形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握上述性质及其应用是解题的关键．
3．(1)；
(2)，；
(3)，，，．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）延长交x轴于H点，则轴，根据三角函数的定义得到，即，，根据二次函数的性质求解即可；
（3）求得平移后的抛物线解析式，再分情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意得解得
该抛物线的解析式为；
（2）由可得，
延长交x轴于H点，则轴，

∵
∴
又∵
∴
设直线：
∵，，则
∴直线，，
∴
∵
∴
∴
设，
，
∵，开口向下，对称轴为直线，且
∴当时，有最大值，
此时
（3）由题意可得：抛物线沿射线平移个单位，即抛物线向右平移了4个单位，向下平移了2个单位，
此时抛物线为：
则抛物线的对称轴为
设，
当以、为对角线时，由矩形的性质可得：
，解得或
即，；
当以、为对角线时，由矩形的性质可得：
，解得
即
当以、为对角线时，由矩形的性质可得：
，解得
，
综上，，，，．
【点睛】此题为二次函数的综合题，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的平移，二次函数与矩形的综合，二次函数图象与性质，三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，能够灵活运用，学会分类讨论的方法求解问题．
4．(1)
(2)
(3)①当点N运动到秒时，四边形NBFG是菱形；②点F的坐标为或．
【分析】（1）利用待定系数法将B、C两点坐标代入抛物线求解即可；
（2）当时求得长度，并且利用平行线分线段成比例求得E点横坐标，代入抛物线解析式即可求得E点纵坐标，再根据求解即可；
（3）①根据题意可求出，．再根据旋转的性质易证四边形是平行四边形，则四边形是菱形，只需即可，又可求出，，则，解出t的值即可；②当四边形是矩形时，只需．由，得出，利用平行线分线段成比例，求得；将矩形沿x轴方向平移时，点F落在抛物线的图象上，即，再代入解析式即可求得点F的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线的图象过两点，
∴，解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图：

∵，
∴，，
∴．
当时，．
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
在中，令，得：，
∴；
∴；
（3）解：①如图：

根据题意得：，．
∵将绕点M逆时针旋转得到，
∴，
∴四边形是平行四边形，
若四边形是菱形，只需，即，
此时．
在中，，
∴，
解得：，
答：当点N运动到秒时，四边形是菱形；
②如图：

由①得四边形是平行四边形．
当四边形NBFG是矩形时，只需．
∴，
∴，
∴，即，
解得：．
∴当点N运动1秒时，四边形是矩形．
∴，
∴．
将矩形沿x轴方向平移时，点F落在抛物线的图象上，即．
当时，即，
解得：，，
∴点F的坐标为或．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查求函数解析式，勾股定理，平行线分线段成比例，特殊四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，属于中考压轴题．利用数形结合的思想是解题关键．
5．(1)，，B的坐标为
(2)，，，
(3)，，
【分析】（1）根据待定系数法即可求得a，k的值，解析式联立，解方程组即可求得B的坐标；
（2）设直线与y轴的交点为G，则，利用求得的面积．过点P作交直线于点C，设，分两种情况列方程求解即可；
（3）分为矩形的边和为矩形的对角线利用勾股定理列方程求解．
【详解】（1）解：∵过点，
∴，解得a=−1，
∵一次函数的图象相过点，
∴，解得；
解得或，
∴B的坐标为；
（2）解：设直线与y轴的交点为G，则，
∴．
过点P作交直线于点C，
设，则，
当点C在点P的右侧时，
，
∴，
解得，，
，，
当点C在点P的左侧时，
，
∴，
解得，，
，，
综上可知，，，，．
（3）解：设，
则，
，
．
当为矩形的边的边时，
由题意得
，
整理得，
解得，（与A重合，舍去）
∴．
当为矩形的对角线时，
由题意得
整理得，
解得，，（与B重合，舍去），（与A重合，舍去）
∴，，
综上可知：，，．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，二次函数的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
6．(1)
(2)存在，点的坐标为或
【分析】（1）将、代入，联立方程组，求出a、的值，即可得出该二次函数的解析式；
（2）设，当时，过点作轴交点，过作轴交点，证明，得到，则，所以；当时，设与x轴的交点为，与轴的交点为，过点作轴交点，过作轴交点，证明，则有，求得，则，可求，综合即可得出K点的坐标．
【详解】（1）解：把、代入，
可得：，
解得：，
∴该二次函数的表达式为．
（2）解：存在，理由如下：
设，
当时，如图1，
∵矩形是以为边，
∴，，，
过点作轴交点，过作轴交点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴；
当时，如图2，
∵矩形是以为边，
∴，，，
设与x轴的交点为，与轴的交点为，
过点作轴交点，过作轴交点，
∵，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴；
综上所述，K点的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用矩形和等腰直角三角形的性质是解本题的关键．
7．(1)
(2)当m为3时，最大，最大值是
(3)点Q的坐标为或或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式，根据题意设，则，从而可求出的长，根据勾股定理可求出．易证，得出，代入数据，结合二次函数的性质求解即可；
（3）设，抛物线的对称轴交x轴于点H，交于点G，则，，．分类讨论：①当点恰好落在该矩形对角线所在的直线上时，②当点恰好落在该矩形对角线上时和③当点恰好落在该矩形对角线的延长线上时，分别画出图形，利用轴对称的性质，锐角三角函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理分析求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B坐标为，点C坐标为0,3，
∴，解得：，
∴该二次函数的表达式为：；
（2）解：设的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：．
∵点P的横坐标为m，
∴，则，
∴．
∵，轴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在中，，，
∴，
∴，
∴当m为3时，最大，最大值是；
（3）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线．
∵点Q在抛物线的对称轴上，
故可设．
设抛物线的对称轴交x轴于点H，交于点G，则，，．
分类讨论：①当点恰好落在该矩形对角线所在的直线上时，如图，则垂直平分，即，
∴．
又∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴；
②当点恰好落在该矩形对角线上时，如图，连接交于点K，
∵点O与点关于直线对称，
∴垂直平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵C，P关于对称轴对称，即点G是的中点，
又∵，
∴点K是的中点，
∴，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴；
③当点恰好落在该矩形对角线的延长线上时，如图，过点作轴于点K，连接交直线于点M，
∵点O与点关于直线对称，
∴垂直平分，
∴，．
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴．
∵点M是的中点，
∴，
由，得直线的解析式为，
当时，，
∴．
综上所述，点Q的坐标为或或．
【点睛】本题为二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、二次函数的图象与性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、对称性质、锐角三角函数以及勾股定理等知识，解答的关键是掌握相关知识的联系与运用，运用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．
8．(1)，
(2)的周长最大值：，P的坐标为；
(3)点Q的坐标为或
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形勾股定理，分类讨论是解题的关键．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）证明，得求出直线的解析式，设点P的坐标，则点E的坐标，得；当时，取得最大值，即，当时，的周长取得最大值；
（3）设点P的坐标，设点Q的坐标，分所求情况讨论：当点P在y轴右边的抛物线上时，当时，，则，列方程求解m；当点P在y轴左边的抛物线上时，同理求解．
【详解】（1）解：（1）将点，代入，
得，，
解，得，
所以，该抛物线的函数表达式为，
设直线的函数表达式为，
将点，代入，
得，
解，得，
所以，直线的函数表达式为；
（2）如图，过点A作轴，交于点F，
因为，轴，
所以，，
所以，，
因为，，
所以，，
所以，，
在和中，
，
所以，
所以，，
由直线和点，
得点F坐标为，
所以，，
，，
所以，的周长，
所以，的周长．的周长，
设点P的坐标，则点E的坐标，
所以，
所以，当时，取得最大值，
即，当时，的周长取得最大值：
此时点P的坐标为；
（3）设点P的坐标，设点Q的坐标
①当点P在y轴右边的抛物线上时，存在即可存在点Q使以B，C，P，Q为顶点为对角线的四边形是矩形，过点P作轴，交y轴于点M，过点B且平行于y轴的直线于点N，如图（1），
所以，，，，，
因为，当时，，
所以，，
即，，
解，得，（舍）
所以，点P的坐标为，
由题意，易得线段的中点坐标为，
因为，点Q与点P关于线段的中点成中心对称，
所以，
所以，点Q的坐标为；
②当点P在y轴左边的抛物线上时，存在即可存在点Q使以B，C，P，为顶点为对角线的四边形是矩形，过点P作轴，交x轴于点N，交过点C且平行于x轴的直线于点M，如图（2），
同①得，，
即，，
解，得，
所以，点P的坐标为，
同理，因为点Q与点P关于线段的中点成中心对称，
所以，，
所以，点Q的坐标为
综上所述，点Q的坐标为或．
9．(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）把，代入中求解，得出抛物线的函数表达式即可；
（2）连接、、、，过点作于点，利用点的坐标得出出线段、、、、的长度，再根据，进行计算即可；
（3）当为矩形的边时，四边形为矩形，交轴于点，交轴于点，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，利用等腰直角三角形的判定与性质及矩形的判定与性质得到，利用待定系数法求得直线的解析式与抛物线的解析式联立方程组求得点的坐标，则，进而得到、的长度，即可得出点的坐标；当为对角线时，四边形为矩形，过点作轴于点，轴于点，证明，得出，设，，表示出，，，，，得出方程，整理、分解因式得，则或，求解并取舍，求出、，即可得出点的坐标．
【详解】（1）解：把，代入得：，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）解：如图，连接、、、，过点作于点，

∵点的坐标为，
∴，，
∵时，，
∴C0,−3，
∴，
∵，，
∴，，
∴
；
（3）解：存在，
如图，当为边时，四边形为矩形，交轴于点，交轴于点，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，

∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴和为等腰直角三角形，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴和为全等的等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立方程组得，
解得或，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当为对角线时，四边形为矩形，过点作轴于点，轴于点，

则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，，
∵C0,−3，，动点在直线上方，
∴，，或，
∴，
∴，，，，
∴，
整理得：，
，
分解因式得：，
∴或，
解得：（舍去），（舍去），，
∴，，
∴此时点的坐标为．
综上所述，在平面直角坐标系内存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形，点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、求函数解析式、一次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形和正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点、分类讨论、数形结合是解题的关键．
10．(1)直线的函数表达式为．直线的函数表达式为．
(2)
(3)存在，点的坐标为或．
【分析】（1）把先根据与轴的交点得到的坐标，将坐标点代入即可得表达式；
（2）设，根据轴，得出的代数式，再根据为线段的中点，即可求点的坐标；
（3）分情况讨论：①当，证明得，根据比例即可；②当，证明得，根据比例即可．
【详解】（1）当时，．解得．
点在点的左侧，
，
设直线的表达式为：
将代入得：
解得：
直线的函数表达式为
同理将代入，可得直线的函数表达式为．
（2）设
轴
，
，
，
为线段的中点，
，
．
解得（舍去），，
；
（3）存在，点的坐标为或
分以下三种情况讨论：
①当时，如图，过点作轴于点，
过点作，交的延长线于点．
设，则
．
．
又
．
解得

②当时，如图，过点作轴，过点作于点，
过点作交的延长线于点．
设，则
．
．
又
．
解得．

③当时，该情况不存在．
综上所述，点的坐标为或
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、函数图像上点的坐标特征、一元二次方程的解、相似三角形的判定与性质等，解题的关键在于正确画出辅助线