2025年九年级中考数学二次函数压轴题专题练习10正方形存在性问题（含解析）

这是一份2025年九年级中考数学二次函数压轴题专题练习10正方形存在性问题（含解析），共27页。试卷主要包含了已知二次函数的图象经过点和点，【实践探究】，综合与探究等内容，欢迎下载使用。
（2024•无锡）
1．已知二次函数的图象经过点和点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2024•绥化三模）
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，顶点坐标为．
(1)求二次函数的解析式；
(2)直线与相交于点，当为抛物线上第四象限内一点且时，求点D的坐标；
(3)为平面内一点，试判断坐标轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2023秋•斗门区期末）
3．【实践探究】
数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程：
(1)实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面时，水面宽，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式；
(2)应用：按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为．一场大雨，让水面上升了，为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为、高度为的货船通过?请通过计算进行说明（货船看作长方体）；
(3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答：
①如图2，B为直线上方抛物线上一动点，过B作垂直于x轴，交x轴于A，交直线于C，过点B作垂直于直线，交直线于，求的最大值．
②如图3，G为直线上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形?若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2024•滨州模拟）
4．综合与探究
如图，某一次函数与二次函数的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；
(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；
(4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
（2024•甘肃模拟）
5．如图，二次函数的图象交x轴于点A，，交y轴于点，点M是直线上方的二次函数图象上的一个动点，过点M作轴，垂足为点D，交于点E．
(1)求二次函数的解析式和点A的坐标；
(2)连接，交y轴于点F．
①当时，求点M的坐标；
②连接，四边形有可能是正方形吗？如果有可能，此时的正切值是多少？如果没可能，请说明理由．
（2024•香洲区三模）
6．在平面直角坐标系中，已知点A在y轴负半轴上.
(1)如图1，已知点O0,0，，在抛物线上，则________；_______；
(2)在（1）的条件下，若点D在抛物线上，且轴，是否存在四边形为菱形？请说明理由；
(3)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点D在点B的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，请求出m，n满足的数量关系.
（2024春•天河区校级月考）
7．在平面直角坐标系中，已知抛物线，点A在抛物线G的对称轴上，且在x轴上方．
(1)求抛物线G与x轴交点的坐标（用含a的式子表示）；
(2)已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在抛物线对称轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值，如果是，求出这个值：如果不是，请说明理由；
(3)在抛物线G上存在两点B、D，且B、D在对称轴右侧，点B在点D的左侧，使得四边形是正方形，求动点的纵坐标y，在的最大值．
参考答案：
1．(1)
(2)存在，点的坐标为或或或或或．
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式；
（2）求出直线的函数解析式为，然后进行分类讨论：当为正方形的边时；当为正方对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）解：设直线的函数解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为，
当为正方形的边时，
①∵，
∴，
过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作的垂线，垂足为点H，
∵轴，
∴，
∴，则，
设，则，
∴，
∴点N的纵坐标为，
即，
∵以，，，为顶点的四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
把代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
②如图：构造，
和①同理可得：，，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
③如图：构造，
和①同理可得：，，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
④如图：构造，
和①同理可得：，，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
当为正方形对角线时，
⑤如图：构造矩形，过点P作于点K，
易得，
∴，
设，则，
和①同理可得：，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，则，
∴，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
⑥如图：构造，
同理可得：，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
综上：点的坐标为或或或或或．
【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答．
2．(1)
(2)或
(3)存在，或或．
【分析】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数求解析式，相似和正方形存在性，图形结合和分类讨论是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点作轴，垂足为，交于点，设，表示出点坐标，再利用列式求解；
（3）利用先探究是等腰直角三角形，再确定点的方法，分三种：①过点作交坐标轴于点；②过点作交坐标轴于点；③作的垂直平分线交坐标轴于点．本题利用此方法，再结合是等腰直角三角形即可确定．
【详解】（1）解：把，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）如图，过点作轴，垂足为，交于点，
当时，
解得，
∴，
当时，得，
∴，
设直线解析式为，
代入，，
得，
解得，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴或；
（3）∵，，
∴，
∵，
∴，
根据题意分三种情况：
①如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点，
此时四边形是矩形，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴；
②如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点，
同①可得四边形是正方形，，
∴；
③如图，∵是等腰直角三角形，
∴点与点重合，
∴作点关于直线的对称点，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
综上，存在，或或．
3．(1)
(2)该货船不能通过，理由见解析
(3)①；②或
【分析】（1）设抛物线的解析式为，将代入，即可求解；
（2）根据题意将代入解析式，得出，而轮船安全通过需要米，即可求解；
（3）①依题意，得出，是等腰直角三角形，则，进而设点，则，表示出，根据二次函数的性质，即可求解；
②由①可得，当以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形时，是等腰直角三角形，将代入，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
测得当拱顶高离水面时，水面宽，则抛物线经过，
当时， ，
即，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：依题意，当宽度为、高度为的货船通过，
∴，
将代入解析式得：，
，
∴该货船不能通过；
（3）解：①∵，
抛物线的对称轴为直线，
∵交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，
∴，
∴，
∵，则是等腰直角三角形，
∴，
∴，
设点，则，
∴∴当时，取得最大值为,
则的最大值为．
②由①可得，当以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形时，是等腰直角三角形，
∴，且，
∵，
∴的纵坐标为，
将代入
解得：或
∴的横坐标为，或，
又∵G为直线上一动点，
∴或．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，线段周长问题，正方形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．(1)
(2)（1，2）
(3)
(4)
【分析】（1）将A（-1，0），B（4，5）代入得到关于m，n的二元一次方程组求解即可；
（2）抛物线的对称轴为，求出直线AB与对称轴的交点即可求解；
（3）设，则，则，根据二次函数的性质求解即可；
（4）根据题意画出图形，分情况求解即可．
【详解】（1）解：将A（-1，0），B（4，5）代入得， ，
解这个方程组得，
抛物线的解析式为：；
（2）解：如图，设直线AB的解析式为：，
把点 A（-1，0），B（4，5）代入，
得，
解得 ，
直线AB的解析式为： ，
由（1）知抛物线的对称轴为，
点C为抛物线对称轴上一动点，，
当点C在AB上时，最小，
把x=1代入，得y=2，
点C的坐标为（1，2）；
（3）解：如图，由（2）知 直线AB的解析式为y=x+1
设，则，
则，
当时，DE有最大值为，
（4）解：如图，直线AB的解析式为：y=x+1，
直线与y轴的交点为D（0，1），
，
，
若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论：
①过点C作轴于点，则为等腰直角三角形，过点C作 ，则四边形 为正方形，
依题意，知D与F重合，点 的坐标为（1，1）；
②以为中心分别作点F，点C点的对称点 ，连接，则四边形是正方形，则点的坐标为（-1，2）；
③延长到使，作于点，则四边形是正方形，则的坐标为（1，4）；
④取的中点，的中点，则为正方形，则的坐标为，
综上所述，点N的坐标为：
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的性质，正方形的判定，根据题意正确画图是解本题的关键．
5．(1)二次函数的解析式为，；
(2)①点M的坐标为1,4；②有可能，．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①求得直线的解析式，点M的坐标为，则点E的坐标为，由，求得，，根据，代入数据即可求解；
②证明四边形是矩形，当时，四边形是正方形，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为，
令，则，
解得，，
∴；
（2）解：①∵，，
设直线的解析式为，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
设点M的坐标为，则点E的坐标为，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去）或，
∴点M的坐标为1,4；
②由①得，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
当时，四边形是正方形，
∴，
解得，
∴，，
∴．
【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查的知识点有二次函数的图象及其性质，一次函数的图象与性质，相似三角形的判断和性质，解直角三角形．解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
6．(1)－1；－1
(2)不存在，理由见解析
(3)，满足的等量关系为或
【分析】（1）利用待定系数法将点的坐标代入函数解析式即可求出a、m的值；
（2） 假设存在，由，，可知，因为四边形为菱形，所以，可求出，因此可求得点的坐标，根据轴，亦可求出点的坐标，又已知点在抛物线上，而，因此假设不成立，即不存在四边形为菱形；
（3）过点B作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，则，，然后分情况讨论：①当点B，均在轴左侧时，②当点在轴左侧，点B在轴右侧时，③当点B，均在轴右侧时，证明，因此利用，，即可得出结论．
【详解】（1）解：，在抛物线上，
将代入，得，
，
将代入，得，
（2）不存在．
理由如下：
假设存在，由（1）得，，
，
设与轴交于点，
，
四边形为菱形，
，
．
点的坐标为，
轴，
点的坐标为，
又点在抛物线上，而，
假设不成立，
不存在四边形为菱形；
（3）过点B作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，则，，
①当点B，均在轴左侧时，如图1，
，，，，
，，
，
又，
，
，，
，
化简得，
，
；
②当点在轴左侧，点B在轴右侧时，如图2，
，，，，
同理可得，
，，
，
化简得，
或；
③当点B，均在轴右侧时，如图3，
，，，，
同理可得，
，，
，
化简得，
，
，
综上所述，，满足的等量关系为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图像和性质，正方形和菱形的性质，全等三角形的判定和性质，本题的关键是熟练运用二次函数的性质解题．
7．(1)或
(2)是定值，且值为；
(3)
【分析】（1）令，解方程即可求解；
（2）连接、交点为，过作轴于，过作于，证明，，，，则， ，
设，则，，，，进而因式分解得出，即可求解；
（3）根据（2）可得又，则，
，分别得出的关系式，根据动点的纵坐标，进而根据确定的范围，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：当，则，即
解得：
∴抛物线与轴交点的坐标或
（2）解：由（1）可得对称轴为直线，
当在对称轴的右侧时，如图：连接、交点为，过作轴于，过作于，

由正方形的性质可知，为、的中点，，，
，
，
，，，
，
，，
由题意知 ，，，则， ，
设，则，，
，，，，
，，
∴，
即
∴
∴
∴
点、在对称轴的同侧，对称轴为直线，且点在点的左侧，
，
，
是定值，且值为；
根据对称性可得当在对称轴的左侧时，同理可得是定值，且值为；
（3）解：由（2）可得又，则，
，
∴
∴
当时取得最大值，
又∵
而
∴
∴
当时，随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，此时．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．