2025年九年级中考数学二次函数压轴题专题练习13等腰直角三角形存在性问题（含解析）

这是一份2025年九年级中考数学二次函数压轴题专题练习13等腰直角三角形存在性问题（含解析），共26页。试卷主要包含了综合与探究等内容，欢迎下载使用。
（2024•咸丰县模拟）
1．综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．若点P在线段上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m．
(1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数解析式．
(2)在点P的运动过程中，是否存在m使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
（2024秋•集美区校级月考）
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于，A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方．
(1)求这个二次函数及直线的表达式．
(2)过点P作轴交直线于点D，求的最大值．
(3)点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点N，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
（2024秋•中山市校级月考）
3．九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程
（1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10米，隧道顶部最高处距地面6.25米，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式
（2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖起方向上的高度差至少为0.5米，为了确保安全，问该隧道能否让最宽3米，最高3.5米的两辆车居中并列行驶（不考虑两车之间的空隙）？
（3）探究：该课题学习小组为进一步探究抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：
①如图2，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上，设矩形ABCD的周长为为l，求l的最大值
②如图3，过原点作一条直线y=x，交抛物线于M，交抛物线的对称轴于N，P为直线OM上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，问在直线OM上是否存在点P，使以点P、N、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由
（2024•海南模拟）
4．如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．经过点A的直线与抛物线交于另一点D，与y轴交于点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)连接、，求的面积；
(3)如图1，点P是线段上一动点，过点P作轴，交该抛物线于点F，作轴，交该抛物线于另一点G
①若是等腰直角三角形，求的长；
②如图2，点P的横坐标为，点M是直线上方抛物线上的一个动点，点N是y轴负半轴上一动点．请问是否存在点M，使得以P、N、E为顶点的三角形与全等，且以同一条线段为对应边？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（2024•文昌校级模拟）
5．如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，当时，求的面积；
(3)当时，求点的坐标；
(4)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
（2024•东昌府区模拟）
6．如图，抛物线过x轴上点、点，过y轴上点，点是抛物线上的一个动点．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)求四边形面积的最大值；
(3)当点P的横坐标m满足时，过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，求使为等腰直角三角形的点P的坐标．
（2023•阜新模拟）
7．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线过点A和点C，与x轴交于点B．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)抛物线对称轴与直线交于点D，若P是直线上方抛物线上的一个动点（点P不与点A，C重合），求面积的最大值；
(3)点M是抛物线对称轴上的一动点，x轴上方的抛物线上是否存在点N，使得是以为直角边的等腰直角三角形；若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．(1)，，，
(2)存在，m的值为3或2
【分析】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质等知识：
（1）令，求出x的值，得点A，B的坐标，令，得y的值，可得点C坐标，再设直线的解析式为，把代入并求出k的值即可；
（2）分和两种情况利用勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：当时，，
解得或，
∴，，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
将点代入可得，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：存在m使得为等腰直角三角形，理由如下：
∵点P的横坐标为m，且，
∴点P的坐标为，
∴，，
∴，
，
；
∵，，
∴，
∴；
当时，则，
∴，
∴，即，
解得或（舍）或（舍）；
当时，，
∴，
∴，即，
解得或（舍）；
综上所述：m的值为3或2．
2．(1)二次函数解析式为；直线解析式为
(2)最大值为
(3)N点坐标为或
【分析】（1）把C、B两点坐标代入二次函数解析式中，解方程组即可；同理，把C、B两点坐标代入所设一次函数解析式中，解方程组即可；
（2）设，则，则得关于m的二次函数，即可求得最大值；
（3）分两种情况讨论：①当点M在x轴上方；②当点M在x轴下方，构造全等三角形即可求解．
【详解】（1）解：把C、B两点坐标代入二次函数中，
得，解得：，
∴二次函数解析式为；
设直线解析式为，
把C、B两点坐标代入一次函数中，得，
解得：，
∴直线解析式为；
（2）解：∵点P在抛物线上，
∴设；
∵轴，
∴，
∴，
∵，且二次项系数，
∴当时，有最大值；
（3）解：①当点M位于x轴上方时，
如图，过N点作垂直对称轴于点G，设抛物线对称轴交x轴于点F；
则，
∵为等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴；
设点M坐标为，此时，则，
∴；
∵N点在抛物线上，
∴，
解得：（舍去）；
∴N点坐标为；
当点M位于x轴下方时，此时；
同理得，
则有，
解得：（舍去）；
∴N点坐标为；
综上，N点坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求一次与二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最大值，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识；有一定的综合性，掌握这些知识并灵活运用是解题的关键，注意分类讨论．
3．（1）y=-0.25（x-5）2+6.25；（2）隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶；理由见解析；（3）（Ⅰ）；（Ⅱ）P点的坐标为： 或或（4，4）或（10，10）．
【详解】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，6.25），且图象过（10，0）点，
代入顶点式得： y=a（x-5）2+6.25，
∴0=a（10-5）2+6.25， 解得：a=-0.25，
∴y=-0.25（x-5）2+6.25；
（2）当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时，
∴10-3×2=4， 4÷2=2，
∴x=2代入解析式得： y=-0.25（2-5）2+6.25； y=4， 4-3.5=0.5，
∴隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶；
（3）I．假设AO=x，可得AB=10-2x， ∴AD=-0.25（x-5）2+6.25；
∴矩形ABCD的周长为l为：

∴l的最大值为： ．
II当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，
∵P在y=x的图象上，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．
∴∠POA=∠OPA=45°，
∴Q点的纵坐标为5，
∴5= −m2+10m 4 ，
解得：，
所以P或
当∠P3NQ3=90°时，过点Q3作Q3K1⊥对称轴，
当△NQ3K1为等腰直角三角形时，△NP3Q3为等腰直角三角形，
Q点在OM的上方时，
P3Q3=2Q3K1，P3Q3=， Q3K1=5-x，
Q点在OM的下方时，
P4Q4=2Q4K2，P4Q4=， Q4K2=x-5，
∴ ， 解得：x1=4，x2=10，
P3（4，4），P4（10，10）
∴使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为：
或或（4，4）或（10，10）．
4．(1)
(2)
(3)① ； ②存在；或或
【分析】（1）设抛物线的解析式为交点式，代入点坐标，进而得出结果；
（2）作轴于，设，，根据得出，从而求得的值，进一步得出结果；
（3）①设，，从而表示出和，根据得出，求得的值，进一步得出结果；②分两种情形：当时，当时，分别求解即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
，
，
；
（2）解：如图1，
作轴于，
设，
，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：①设直线的解析式为
把，人攻，得
，解得：，
直线的解析式为，
设，，
，
轴，轴，是等腰直角三角形，
点和关于抛物线的对称轴对称，，，
，
，
，（舍去），
；
②当时，如图2，
∵，
∴，
，即轴，
，
，
，
当时，，过点A作于，过点W作轴于点，作交延长线于K，如图3，
∵，，
，，
，
∵
∴
∴，
，
，
，
，，，
，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，，
∴，
，
，
设，则，，
，
由得，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
把，代入，得
，解得：，
直线的解析式为：，
由得，
，，
或，
综上所述：或或．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
5．(1)
(2)3
(3)或
(4)的值是或
【分析】（1）把，点代入二次函数中列方程组可解答；
（2）先计算点的坐标，利用待定系数法可得的解析式，最后利用面积和可得的面积；
（3）分两种情况：当点P位于直线下方时，先计算，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可得：，则，从而根据直线和抛物线的交点坐标可解答，当点P位于直线上方时，作轴于E，于F，求出即可；
（4）作辅助线构建全等三角形，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，证明，得，列方程可解答．
【详解】（1）解：把，点代入二次函数中得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：∵点是抛物线上的动点，，
∴，
∴，
设的解析式为：，与轴交于点，
把和代入得：，
∴，
∴的解析式为：，
当时，，解得：，
∴，
∴的面积；
（3）解：如图1，当点位于直线下方时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可求得的解析式为：，
∴，
解得：（舍），，
∴；
当点位于直线上方时，作轴于，于，
则，四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
解得：或（不符合题意，舍去），
此时，即．
综上，或．
（4）解：如图2，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，
由题意得：，
∵，
∴抛物线对称轴是直线，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（如图3），；
如图4，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，
同理可得：，
∴，
∴，
解得：，，
综上，的值是或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
6．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的表达式为；
（2）求出直线的表达式为，过点P作轴，交BC于点E，交x轴于点Q，可知，故，根据二次函数性质可得答案；
（3）求出抛物线对称轴为直线，故当点P的横坐标m满足时，点P在对称轴右侧，可得，即可得，解方程并检验可得答案．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴．
将，代入，
得，解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）设直线的表达式为，将，代入，
可得，解得，
∴直线的表达式为．
如图，过点P作轴，交BC于点E，交x轴于点Q．
∵，则，
∴点E的横坐标也为m，则纵坐标为，
∴．
四边形的面积
．
∵，
∴当时，四边形的面积最大，为；
（3）当点P的横坐标m满足时，此时点P在对称轴右侧，如图，
，
∴抛物线对称轴为直线，
当点P的横坐标m满足时，点P在对称轴右侧，
∴，
同（2）知，
当时，为等腰直角三角形，即．
整理，得，解得或（不符合题意，舍去），
此时，，即点．
所以当点P的坐标为时，为等腰直角三角形．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是用含m的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
7．(1)
(2)面积的最大值是
(3)点N坐标为或或或．
【分析】（1）先求得点A，C的坐标，再用待定系数法可得；
（2）过作轴交于，求出的对称轴直线，，设，则，利用三角形面积公式可得关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（3）设，分，和，，两种情况列方程可解得答案．
【详解】（1）解：对于直线，令，则；令，则；∴，，把，代入得：
，
解得，
；
（2）解：过作轴交于，如图：
在中，对称轴为直线，
当时，，
，
设，则，
，
∴
，
，
当时，取最大值为5；
∴面积的最大值为5；
（3）解：∵，对称轴为直线，
设，
当，，过点N作轴的平行线交对称轴于点，过点A作轴的平行线交于点，如图，
∴，
∴，
∴，，
∴，
整理得，
解得，
∴点N坐标为或；
当，，过点N作轴的垂线交轴于点，对称轴直线交轴于点，如图，
同理，则，即，
整理得，
解得，
∴点N坐标为或；
综上，点N坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形性质及应用等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．