2025年中考数学二次函数压轴题专题练习12直角三角形存在性问题（含解析）

这是一份2025年中考数学二次函数压轴题专题练习12直角三角形存在性问题（含解析），共27页。
【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，1），点B坐标为（5，3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标．
一、几何法：两线一圆得坐标
（1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；
（2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；
（3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）
二、构造三垂直：
构造三垂直步骤：
①过直角顶点作一条水平或竖直的直线；
②过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．
三、代数法：表示线段构勾股
（1）表示点：设坐标为（m，0），又A（1，1）、B（5，3）；
（2）表示线段：，，；
（3）分类讨论：当为直角时，；
（4）代入得方程：，解得：．
小结：
几何法：（1）“两线一圆”作出点；
（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数．
代数法：（1）表示点A、B、C坐标；
（2）表示线段AB、AC、BC；
（3）分类讨论①AB²+AC²=BC²、②AB²+BC²=AC²、③AC²+BC²=AB²；
（4）代入列方程，求解．
如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等．
例．（2024•酒泉二模）
1．如图，平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为直线上的一动点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图2，是否存在点D，使得以A，C，D为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
对应练习：
（2024春•兰山区校级月考）
2．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点．

(1)求A，B 两点的坐标；
(2)对称轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
（2024•富顺县二模）
3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的一个动点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使三角形是以为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（2024•秭归县模拟）
4．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P．
(1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式；
(2)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．
（2024•遂宁）
5．二次函数的图象与轴分别交于点，，与轴交于点，P、Q为抛物线上的两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)当P、C两点关于抛物线对称轴对称，是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标；
（2024•锦江区校级模拟）
6．如图，二次函数的图象经过，，，连接线段和线段．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若动点E从A点出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动；同时，动点F从点B出发以每秒个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点停止运动，设动点运动时间为t秒，求当t为何值时，为直角三角形．
（2024春•威远县校级期中）
7．已知：二次函数的顶点在直线上，并且图象经过点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)D是线段上的一个动点，过点作轴于点，点的坐标为．在上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
（2023秋•新会区校级月考）
8．如图，二次函数的图象交轴于，，交轴于．
(1)求二次函数的解析式；
(2)二次函数的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？如果存在，请直接写出答案，如果不存在，请说明理由．
（2024•凉州区二模）
9．如图，已知：关于y的二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
(1)求二次函数的表达式．
(2)在y轴上是否存在一点P，使为直角三角形．若存在，请求出点P的坐标．
（2023秋•伊通县校级月考）
10．如图①，二次函数与x轴交于点A、C，且点A在点C的右侧，与y轴交于点B，连接．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)求直线的解析式；
(3)如图②，点P是x轴下方、抛物线对称轴右侧图象上的一动点，连接，过点P作，与抛物线的另一个交点为Q，M、N为上的两点，且轴，轴．
①当为直角三角形时，求点P的坐标；
（2024•娄底模拟）
11．如图，抛物线C：与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D．
(1)求a的值及顶点D的坐标；
(2)点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为E，抛物线与x轴的交点为G，G（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1），求抛物线的表达式；
(3)如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标．
参考答案：
1．(1)
(2)或
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理等知识点，注意分类讨论；
（1）设抛物线解析式为交点式，把点C坐标代入即可求解；
（2）求出直线的解析式，设点，由勾股定理分别求出，再分两种情况，利用勾股定理建立方程求出x即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
抛物线过点C，则，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）存在，理由如下：
设直线的解析式为，
把B、C两点坐标分别代入得：，
解得：，
所以直线的解析式；
设点，
由点A、C、D的坐标得，，
当为斜边时，，
则，
解得：（舍去）；
当或为斜边时，
同理可得：或，
解得：或1或0（舍去），
则或2；
即点或．
2．(1)，
(2)存在；点N的坐标为或或或．
【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、直角三角形的判定和性质，二次函数与坐标轴交点，勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题．
（1）当时，代入即可求解；
（2）设，可得：，，，分三种情况列出方程求解即可．
【详解】（1）解：，当时，
，
解得：，，
∴，；
（2）解：，，设，
则：，
，
，
当边为斜边时：，
，
解得：，，
∴，；
当边为斜边时：，
，
解得：，
∴；
当边为斜边时：，
，
解得：，
∴；
综上所述：存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形，点N的坐标为或或或．
3．(1)
(2)，
【分析】（1）由题意得：结合二次函数的两点式，即，进行求解；
（2）当以点为直角顶点时，结合，得出，则，代入求出，再求出线的解析式为；根据当以点为直角顶点时，设直线与抛物线交于点，因为，
设直线的解析式为．把代入，求出直线的解析式为，即可作答．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于，两点，
∴，
整理得
则抛物线的表达式为：；
（2）解：存在，理由如下：
的图象交轴于点，
，
，
，
当以点A为直角顶点时，设直线与抛物线交于点，过点作轴
则，
∵
∴，
即，
∴，
即，
设
则，
即点，
把代入，
解得，
解得或（舍去），
∴，
则，
设直线的解析式为，
，，
∴，
解得，
直线的解析式为．
当以点C为直角顶点时，设直线与抛物线交于点，
则，
∵，
∴，
设直线的解析式为．
把代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：（舍去）或3，
把代入，解得，
即点．
综上所述，，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，一次函数和二次函数的解析式的求法，解直角三角形的性质，平行线的性质．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
4．(1)
(2)或．
【分析】（1）根据抛物线求出点A，B的坐标，由抛物线与是“共根抛物线”，可设出抛物线的解析式，最后把点代入即可求解；
（2）设点P的坐标为，求得，，，分点P在x轴上方和点P在x轴下方，利用勾股定理列式，求得点P的坐标，据此即可求解．
【详解】（1）解：在抛物线中，
令，
则，
解得或，
即点，点，
根据题意，设抛物线的函数关系式为：，
将点代入得：，
解得：，
∴抛物线的函数关系式为：；
（2）解：假设存在，设点P的坐标为，
，，
，，，
当点P在x轴上方时，
由题意得，即，
解得，
即点P的坐标为，
将点代入得：，
解得：，
∴抛物线的函数关系式为：；
当点P在x轴下方时，
由题意得，
即，
解得，
即点P的坐标为，
将点代入得：，
解得：，
∴抛物线的函数关系式为：；
综上，抛物线L2的函数关系式为：
或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，关键是根据待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及勾股定理解答．
5．(1)
(2)
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）是以点为直角顶点的直角三角形时，则点、关于抛物线对称轴对称，设，运用勾股定理代入可列式子，解出即可求解
【详解】（1）解：由题意可设：，把代入得：
，
∴，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：是以点为直角顶点的直角三角形时，
抛物线的对称轴为直线，
则点、关于抛物线对称轴对称，
则点，
设，
，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
，
∴
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到直角三角形的性质等，数据处理是解题的难点．
6．(1)
(2)或；
【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）当为直角时，则点、的横坐标相同，即可求解；当为直角时，则，即可求解
【详解】（1）解：由题意可设，把代入得：
，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：，，
，，，
，则，
当为直角时，
则点、的横坐标相同，
即，即，
解得：；
当为直角时，
则，
解得：，
综上，当或时，为直角三角形．
7．(1)
(2)点D的坐标为或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键；
（1）设抛物线顶点坐标为，则抛物线解析式为，把代入求解即可；
（2）根据题意求出，两点坐标，利用勾股定理进而求出点坐标即可；
【详解】（1）解：设抛物线顶点坐标为，则抛物线解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：在中，当时，，
；
在中，顶点，
当时，，
解得：，或，
故点，
直线解析式为，
将，代入，
可得：，
解得：，；
故解析式为；
，点的坐标为，
，
，，，
当时，则，
，
解得或（舍去），
∴点的坐标为；
当时，则，
，，
解得或（舍去），
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或；
8．(1)
(2)或或或
【分析】（1）运用待定系数法解二次函数解析式即可求解；
（2）由抛物线解析式可求得其对称轴，则可设出点的坐标，则可表示出、和，分、和三种情况，分别根据勾股定理得到关于点坐标的方程，可求得点的坐标．
【详解】（1）解：二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，代入得：
，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）解：二次函数的对称轴上存在点，使是直角三角形；理由如下：
，
对称轴为，
可设点坐标为，
，，
，
为直角三角形，
有、和三种情况，
①当时，则有，
即，
解得或，
此时点坐标为或；
②当时，则有，
即，
解得，
此时点坐标为；
③当时，则有，
即，
解得，
此时点坐标为；
综上可知，二次函数的对称轴上存在点，使是直角三角形；点的坐标为或或或．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识，本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
9．(1)
(2)或
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质，面积的计算，分类求解是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）分，两种情况，列出等式，即可求解；
【详解】（1）解：由的坐标知，，
即抛物线的表达式为：，
将点A的坐标代入上式得：，
解得：，
则二次函数的表达式为：；
（2）解：令，则，
解得：或，
，抛物线对称轴是直线，
，
设P点坐标为，
则，，
当时，
则，即，
解得：，
则P点坐标为；
当时，
则，即，
解得：或6（舍去），
则P点坐标为；
综上所述，点P的坐标为：或．
10．(1)直线
(2)
(3)①或
【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线，代值即可求解；
（2）当时，当时，解方程即可求求出、的坐标，用待定系数法即可求
（3）①设点的横坐标为，则，，可求，（ⅰ）当时，，即可求解；（ⅱ）当时，，即可求解
【详解】（1）解：由题意得：
，
抛物线的对称轴为直线；
（2）解：当时，，
当时，
，
解得：，，
，；
设直线的解析式为，则：
，
解得，
直线的解析式为；
（3）解：①设点的横坐标为，
则，
，
；
（ⅰ）如图②，当时，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
；
（ⅱ）如图③，当时，
由（ⅰ）得：，
过作轴交于，
，
，
，
，（舍去），
，
，
综上所述：点的坐标为或
【点睛】本题考查了二次函数在特殊三角形中的应用，二次函数的性质，图象与坐标轴的交点问题，待定系数法，勾股定理等；掌握相关的性质，能根据直角顶点的不同进行分类讨论是解题的关键．
11．(1)，
(2)
(3)点P的坐标为或或
【分析】（1）把抛物线的解析式化为顶点式即可得出顶点坐标；将点代入，即可求出a的值；
（2）连接，作轴于，作轴于M，证明，可得，，故抛物线的顶点E的坐标为，即可得出抛物线的函数表达式；
（3）设点，作轴于，轴于M，于N，根据旋转可得，进而可得点的坐标为，点N的坐标为，再分类讨论即可得出答案．①当是直角三角形时，显然只能有；②当是直角三角形时，显然只能有；③当是直角三角形时，i）当时，ii）当时，根据勾股定理列方程求出m的值，即可求出P点的坐标．
【详解】（1）解：由，可得，
∴顶点的坐标为，
∵点在抛物线上，
∴可得，
解得；
（2）解：对于抛物线：，由（1）可知，，
令，可得，
整理可得，
解得，，
∵点A在点B的左侧，
∴，；
如下图，连接，作轴于，作轴于M，
∵，
∴，
根据题意，点，E关于点成中心对称，
∴过点B，且，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴抛物线的顶点E的坐标为，
∵抛物线由绕点P旋转后得到，
∴抛物线的函数表达式为；
（3）解：∵抛物线由绕x轴上的点P旋转后得到，
∴顶点，E关于点P成中心对称，由（2）知，点E的纵坐标为8，
设点，如下图，作轴于，轴于M，于N，
∵旋转中心P在x轴上，
∴，
∴点的坐标为，点N的坐标为，
根据勾股定理得，，
显然，、和不可能是直角三角形，
分情况讨论：
①当是直角三角形时，显然只能有，
根据勾股定理得，，
，
∴，解得，
∴，
∴点P的坐标为；
②当是直角三角形时，显然只能有，
根据勾股定理得：
，
，
∴，解得：，
∴，
∴点P的坐标为，
③当是直角三角形时，
，
，
i）当时，，
即，解得，
∴，
∴点P的坐标为；
ii）当时，，
即，
解得，
∴，
∴点P的坐标为；
iii）∵，
∴．
综上所述，当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时，
点P的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了图形的变换—中心对称变换、二次函数综合应用、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，根据旋转中心是对应点连线的中点确定点的坐标和分情况讨论是解答本题的关键．