人教版（2024）九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系练习

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根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
【典例剖析】
【例1】（2022•丰台区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根互为相反数，求m的值．
【变式】（2021秋•攸县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0．
（1）若方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若方程有两个实数根为x1和x2，且x12﹣x1x2＝0，求k的值．
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2022•碑林区校级模拟）若关于x的方程x2﹣5x+a＝0有一个根是2，则另一个根是（ ）
A．6B．3C．﹣3D．﹣7
2．（2022春•眉山期中）下列一元二次方程中，有两个实数根的和为2是（ ）
A．x2﹣2x+2＝0B．x2﹣2x+2022＝0
C．x2﹣2x﹣2022＝0D．x2+2x﹣2＝0
3．（2020•潮阳区一模）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个根，则x1•x2等于（ ）
A．4B．1C．﹣1D．﹣4
4．（2021•潮南区校级一模）设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．0B．1C．2021D．2020
5．（2022春•西湖区校级期中）已知m，n是一元二次方程2x2+4x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式2m2+5m+n的值等于（ ）
A．2019B．2018C．2021D．2020
6．（2022•叙永县模拟）设a，b是方程x2﹣x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+b的值为（ ）
A．2022B．2021C．2020D．2019
7．（2022•金平区一模）若p、q是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，则p2+3p﹣q的值是（ ）
A．6B．9C．12D．13
8．（2022•姑苏区一模）如图，已知四边形ABCD是菱形，菱形的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，则m的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
9．（2022春•东阳市校级月考）若关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．
C．k＜﹣且k≠﹣1D．k≤﹣且k≠﹣1
10．（2021•泸县模拟）已知一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0（a≠0，x1≠x2）与一元一次方程dx+e＝0有一个公共解x＝x1，若一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0有两个相等的实数根，则（ ）
A．a（x1﹣x2）＝dB．a（x2﹣x1）＝d
C．a（x1﹣x2）2＝dD．a（x2﹣x1）2＝d
二．填空题（共6小题）
11．（2022•景德镇模拟）设m、n分别为一元二次方程x2+2x﹣13＝0的两个实数根，则m+n的值为 ．
12．（2022•秦淮区二模）写出一个一元二次方程，使它的两根之和是4，并且两根之积是2： ．
13．（2022•南京二模）设x1、x2是方程x2﹣mx＝0的两个根，且x1+x2＝﹣3，则m的值是 ．
14．（2022•赣州模拟）已知x1、x2是方程x2﹣mx+2＝0的两个根x1＝2，则2m﹣5x1•x2＝ ．
15．（2021•娄底模拟）若x1，x2方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于 ．
16．（2021•通州区模拟）若x1，x2是方程x2＝2x+2021的两个实数根，则代数式x1（x12﹣2x1）+2021x2的值为 ．
三．解答题（共4小题）
17．（2022春•大观区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+2x1x2＝3，求m的值．
18．（2022春•开福区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若两实数根分别为x1和x2，且，求m的值．
19．（2021秋•麦积区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足（x1﹣x2）2+m2＝13，求m的值．
20．（2021秋•宜宾期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1+x2＝6﹣x1x2，求m的值．