初中数学12.1 全等三角形练习题

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全等三角形判定二（ASA，AAS）练习
一、单选题
1．如图，某同学把一块三角形的玻璃块打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）
A．带①去B．带②去C．带③去D．带①②去
【答案】C
【解析】【解答】解：第一块只保留了原三角形的一个角和部分边，第二块只保留了三角形的部分边，根据三角形全等的判定定理，这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃，故应带③去.
故答案为：C.
【分析】观察图形可知利用ASA，可得答案.
2．如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAA
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意得：用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是ASA.
故答案为：C.
【分析】由图形可知：三角形已知一个锐角和一个直角，以及两角的夹边，根据ASA证明三角形全等.
3．如图，点B，C，E在同一直线上，且 ， ， ，下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠B=90°，
∴∠1+∠A=90°，
∴∠A=∠2，
同理∠1=∠E，
∵∠D=90°，
∴∠E+∠2=∠A+∠E=90°，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴ ，
∴选项A、选项B，选项C都正确；
根据已知条件推出∠A=∠2，∠E=∠1，但是∠1=∠2不能推出，而∠BCD=90°+∠1，∠ACE=90°+∠2，所以 不一定成立故D错误；
故答案为：D.
【分析】利用垂直的定义可证得∠ACD=90°，再利用余角的性质可证得∠A=∠2，可对A作出判断，同理可证∠1=∠E，可推出∠A+∠E=90°，可对B作出判断；再利用AAS证△ABC≌△CDE，利用全等三角形的对应边相等，可得BC=DE，可对C作出判断；不能推出∠1=∠2，由此不能证∠BCD=∠ACE，可对D作出判断.
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，AD是经过A点的一条直线，且B、C在AD的两侧，BD⊥AD于D，CE⊥AD于E，交AB于点F，CE=10，BD＝4，则DE的长为（ ）
A．6B．5C．4D．8
【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∵CE⊥AD于E，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠ACE，
在△ABD与△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AE＝BD＝4，AD＝CE＝10，
∴DE＝AD﹣AE＝6．
故答案为：A．
【分析】先求出∠BAD＝∠ACE，再利用AAS证明△ABD≌△CAE，最后求出DE的值。
5．如图，点O在AD上，∠A＝∠C，∠AOC＝∠BOD，AB＝CD，AD＝8，OB＝3，则OC的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC+∠COB=∠BOD+∠COB，即∠AOB=∠COD，
∵∠A=∠C，CD=AB，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴OA=OC，OB=OD，
∵AD=8，OB＝3，
∴OC=AO=AD-OD=AD-OB=5．
故答案为：C．
【分析】先利用“AAS”证明△AOB≌△COD，再利用全等三角形的性质可得OA=OC，OB=OD，最后利用线段的和差可得OC=AO=AD-OD=AD-OB=5．
6．已知，，，的相关数据如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，
，
在与中，
，
∴≅，
∴，
A、B、C三个选项均不能证明，
故答案为：D．
【分析】利用三角形内角和先求出∠C=∠F=70°，再由AB=EF=12，∠B=∠E=30°，根据AAS证明≅，可得，据此判断即可.
7．如图，在四边形ABCD中，ABDC，E为BC的中点，连接DE、AE，AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝5，CD＝3，则AD的长为（ ）
A．2B．5C．8D．11
【答案】C
【解析】【解答】解：∵E为BC的中点，
∴BE＝EC，
∵AB∥CD，
在△BEF与△CED中，
，
∴△BEF≌△CED（AAS）
∴EF＝DE，BF＝CD＝3，
∴AF＝AB+BF＝8，
∵AE⊥DE，EF＝DE，
∴AF＝AD＝8，
故答案为：C．
【分析】先利用“AAS”证明△BEF≌△CED，再利用全等的性质可得EF＝DE，BF＝CD＝3，再利用线段的和差可得AF＝AB+BF＝8，最后根据AF＝AD可得答案。
8．如图，竖直放置一等腰直角三角板，直角顶点C紧靠在桌面， ．垂足分别为D，E．下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，
∵△ACB是等腰直角三角形，直角顶点为C，
∴AC=CB，∠ACB=90°，
∴∠DCA+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
∴△DAC≌△ECB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=DC+CE=AD+CD=CE+BE=AD+BE，
故答案为：A．
【分析】先利用“AAS”证明△DAC≌△ECB，再利用全等三角形的性质逐项判断即可。
二、填空题
9．如图，已知CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE、BC相交于点F，若AB＝BC＝8，CF＝2，连结DF，则图中阴影部分面积为 ．
【答案】6
【解析】【解答】解： ， ，
，
又∵ ，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
．
故答案为：6．
【分析】利用垂直的定义可证得∠ABF=∠CEF，再等角的余角相等可证得∠A=∠C；再利用ASA证明△ABF≌△CBD，利用全等三角形的性质可证得BD=BF，由此可求出BD，BF的长；然后根据阴影部分的面积=△ABD的面积-△BDF的面积，可求出结果.
10．如图，，，要使还需添加一个条件是 ．（只需写出一种情况）
【答案】∠A＝∠D
【解析】【解答】解：添加条件为∠A＝∠D，理由是：
∵，
∴∠ABC=∠DBE，
在△ABC和△DBE中，
，
∴（AAS），
故答案为：∠A＝∠D．
【分析】先求出∠ABC=∠DBE，再利用AAS证明即可作答。
11．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC＝BC，∠ACB＝90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 cm.
【答案】20
【解析】【解答】解：
由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中， ，
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20(cm)，
答：两堵木墙之间的距离为20cm.
故答案是：20.
【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得出结论。
三、解答题
12．如图，已知点E、C在线段BF上， ， ， .求证： .
【答案】证明：
，即 .
∴在 和 中，
.
【解析】【分析】利用平行线的性质可证得∠B=∠DEF，由BE=CF可推出BC=EF，再利用ASA证△ABC≌△DEF.
13．如图：AD=AE，∠DAB=∠EAC，AM=AN.求证：AB=AC.
【答案】证明：在△ADM和△AEN中，
∴△ADM和△AEN（SAS），
∴∠D=∠E，
∵∠DAB=∠EAC，
∴∠CAB+∠DAB=∠EAC+∠CAB，
即∠CAD=∠BAE，
在△CAD和△BAE中，
，
∴△CAD≌△BAE（ASA），
∴AC=AB，即AB=AC.
【解析】【分析】易证△ADM≌△AEN，得到∠D=∠E，由∠DAB=∠EAC可推出∠CAD=∠BAE，然后证明△CAD≌△BAE，据此可得结论.
14．如图，已知BD⊥DE，CE⊥DE，垂足分别是D、E，AB＝AC，∠BAC＝90°，试探索DE、BD、CE长度之间的关系，并说明你的结论的正确性．
【答案】解：结论：DE＝BD+CE．
证明：如右图，∵∠BAC＝90°，∴∠EAC+∠DAB＝90°，
∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∠D＝∠E＝90°，
∴∠EAC＝∠DBA，
在△ABD和△CAE中，
∵ ，
∴△ABD≌△CAE，
∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝CE+BD．
【解析】【分析】根据余角的性质求出 ∠EAC＝∠DBA， 然后根据AAS证明 △ABD≌△CAE， 得出 AD＝CE，BD＝AE， 则可根据线段的和差关系，即可解答.
15．如图，在 中， ， ， 为 边上一点，以 为顶点作 ， 的一边交 于点 ，使 ．请猜想 与 之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】解： ，理由如下：
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
又 ，
．
【解析】【分析】先证出，再证出 ，得出 ，即可得出结论。全等三角形判定——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
注意：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.

题型1：用ASA判定三角形全等
1.已知：如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．
求证：AE＝CF．
【答案与解析】
证明：∵AD∥CB
∴∠A＝∠C
在△ADF与△CBE中

∴△ADF≌△CBE （ASA）
∴AF ＝CE ，AF＋EF＝CE＋EF
故得：AE＝CF
【总结】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．
【变式1-1】如图，已知AB=AC，∠B=∠C，求证：△ABE≌△ACD．
【答案】证明：在△ABE和△ACD中，
∵ ，
∴△ABE≌△ACD（ASA）．
【解析】【分析】利用ASA证明△ABE和△ACD全等即可．
【变式1-2】如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠AED．求证： ．
【答案】证明：
在 与 中，
【解析】【分析】由 证明 再结合：AB=AE，∠B=∠AED，利用角边角公理可得结论．
全等三角形判定——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
注意：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
题型2：用AAS判定三角形全等
2.已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．
求证：AD＝AC．
【思路点拨】要证AC＝AD，就是证含有这两个线段的三角形△BAC≌△EAD.
【答案与解析】
证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，
∴∠CAD＝∠BAE＝90°
∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB ，即∠BAC＝∠EAD
在△BAC和△EAD中

∴△BAC≌△EAD（AAS）
∴AC ＝AD
【总结】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．
【变式2-1】如图，在ABC和CDE中，点B、D、C在同一直线上，已知∠ACB=∠E，AC=CE，ABDE，求证：ABC≌CDE．
【答案】证明：∵，
∴，
在和△CDE中，
，
∴．
【解析】【分析】利用“AAS”证明即可。
【变式2-2】已知：如图，AD，BE相交于点O，AB⊥BE，DE⊥AD，垂足分别为B，D，OA=OE．求证：△ABO≌△EDO．
【答案】证明：∵AB⊥BE，DE⊥AD，
∴∠B=∠D=90°．
在△ABO和△EDO中
，
∴△ABO≌△EDO．
【解析】【分析】先求出 ∠B=∠D=90°，再利用AAS证明求解即可。
【变式2-3】如图，已知OA=OC，∠B=∠D，∠AOC=∠BOD．求证：△AOB≌△COD．
【答案】证明：∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC-∠AOD=∠BOD-∠AOD，即∠DOC=∠BOA，
又∵OA=OC，∠B=∠D，
∴△AOB≌△COD．
【解析】【分析】利用∠AOC=∠BOD，可证得∠DOC=∠BOA；再利用AAS可证得结论.
题型3：添加条件判定三角形全等
3.如图，在 和 中，已知 ，还需添加两个条件才能使 ，添加的一组条件不正确的是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【解析】【解答】解：A、若添加BC=CD，∠A=∠D，AB=DE，利用SSA不能证明△ABC≌△DEC，故A符合题意；
B、在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC（SSS），故B不符合题意；
C、∵∠BCE=∠ACD，
∴∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC（AAS），故C不符合题意；
D、在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC（SAS），故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据SSA不能证明两三角形全等，可对A作出判断；利用SSS，可对B作出判断；利用∠BCE=∠ACD，可得到∠ACB=∠DCE；再利用AAS证明△ABC≌△DEC，可对C作出判断；然后根据SAS证明△ABC≌△DEC，可对D作出判断.
【变式3-1】如图，在 中， ，点 、 在 上，连接 、 ，如果只添加一个条件使 ，则添加的条件不能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠B=∠C，∴AB=AC，
A、添加BD=CE，可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项不符合题意；
B、添加AD=AE，根据等边对等角可得∠ADE=∠AED，然后利用三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB=∠EAC，故本选项不符合题意；
C、添加DA=DE无法求出∠DAB=∠EAC，故本选项符合题意；
D、添加BE=CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的判定与性质，等腰三角形等边对等角的性质及三角形外角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.
【变式3-2】如图， ， ，要使 ，需添加一个条件，下列所给的条件及相应的判定定理不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠A=∠D=90°，
∴△ABC和△DFE都是直角三角形，
A、添加条件AB=DF能用(SAS)判定△ABC≌△DFE，正确，不符合题意；
B、添加条件∠B=∠F能用(AAS)判定△ABC≌△DFE，正确，不符合题意；
C、添加条件BC=FE能用(HL)判定△ABC≌△DFE，故原题说法错误，符合题意；
D、添加条件∠ACB=∠DEF能用(ASA)判定△ABC≌△DFE，正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】直接根据全等三角形的判定定理进行判断.
题型4：ASA，AAS判定三角形全等求度数
4.如图，在△ABC中，边BC，AB上的高AD，CE相交于点F，且∠ACE＝45°，连接BF，求∠BFE的度数．
【答案】解：∵AD，CE是边BC，AB上的高，
∴∠AEF＝∠BEC＝∠CDF＝90°，
∵∠ACF＝45°，
∴∠EAC＝∠ACF＝45°，
∴AE＝CE，
∵∠DFC＝∠EFA，
∴∠EAF＝∠BCE，
在△EAF和△ECB中，
∠AEF＝∠CEB，AE＝CE，∠EAF＝∠BCE，
∴△EAF≌△ECB（ASA），
∴EF＝BE，
∵∠BEF＝90°，
∴∠BFE＝45°．
【解析】【分析】先求出 ∠AEF＝90°， 再利用ASA证明 △EAF≌△ECB ，最后求解即可。
【变式4-1】如图， ， ，点D在AC边上， ，AE和BD相交于点O.若 ，求 的度数.
【答案】解：∵∠1＝∠2，
∴∠AEC＝∠BED.
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）.
∴EC＝ED，∠C＝∠BDE.
在△EDC中，
∵EC＝ED，∠1＝40°，
∴∠C＝∠EDC＝70°，
∴∠BDE＝∠C＝70°.
【解析】【分析】根据∠1＝∠2可推出∠AEC＝∠BED，然后证明△AEC≌△BED，得到EC＝ED，∠C＝∠BDE，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠C＝∠EDC＝70°，据此解答.
【变式4-2】如图，已知∠A＝∠E，AB＝EB，点D在AC边上，且∠ABE＝∠CBD．
（1）求证：△EBD≌△ABC．
（2）如果O为CD中点，∠BDE＝65°，求∠OBC的度数．
【答案】（1）证明：∵∠ABE＝∠CBD，
∴∠ABE+∠ABD＝∠CBD+∠ABD，
即∠EBD＝∠ABC．
在△EBD和△ABC中，
，
∴△EBD≌△ABC（ASA）；
（2）解：∵△EBD≌△ABC，
∴BD＝BC，△BDC为等腰三角形，
∴∠BDE＝∠C，
∵∠BDE＝65°，
∴∠BDC＝∠BDE＝∠C＝65°，
∴∠CBD＝50°，
∵O点为CD中点，
∴∠OBC＝ ∠CBD＝25°．
【解析】【分析】（1）先求出 ∠EBD＝∠ABC． 再利用ASA证明求解即可；
（2）先求出 ∠BDE＝∠C， 再求出 ∠CBD＝50°， 最后计算求解即可。
题型5：ASA，AAS判定三角形全等求长度
5.如图，已知 与 相交于点E， ，点E为 的中点，点D是 上一点，如果 ， ．求 的长．
【答案】解：∵AB∥CF，
∴∠B=∠F，
∵点E为AC的中点，
∴AE=CE，又∠AEB=∠CEF，
∴△ABE≌△CFE（AAS），
∴AB=CF，
∵CF=6，AD=4，
∴BD=AB﹣AD=CF﹣AD=6﹣4=2，
【解析】【分析】利用全等三角形的判定定理和性质定理即可得出答案。
【变式5-1】如图，ABCF，E为DF的中点，AB=20，CF=15，求BD的长度.
【答案】解：∵
∴，，
又∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴.
【解析】【分析】由平行线的性质可得，，由线段的中点可得DE=EF，根据AAS证明，可得，利用BD=AB-AD即可求解.
【变式5-2】如图，点D在 的BC边上， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求CD的长，
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠ACB=∠DBE，然后利用全等三角形的判定定理ASA进行证明；
（2）由全等三角形的对应边相等可得AC=DB=4，然后根据CD=BC-BD进行计算.
【变式5-3】如图，已知点B、E、C、F在一条直线上，AC∥DE，AC＝DE，∠A＝∠D.
（1）求证：AB＝DE；
（2）若BC＝9，EC＝5，求BF的长.
【答案】（1）证明：∵AC//DE，
∴∠ACB=∠DEF，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（ASA），
∴AB=DF；
（2）解：∵△ABC≌△DFE，
∴BC=FE，
∴BC-EC=FE-EC，
∴EB=CF=BC-EC=9-5=4，
∴BF=BC+CF=9+4=13.
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠ACB=∠DEF，根据ASA证明△ABC≌△DFE，可得AB=DF；
（2）由△ABC≌△DFE可得BC=FE， 根据等式的性质可得 EB=CF=BC-EC=4，根据BF=BC+CF 即可求解.
题型6：ASA，AAS三角形全等与实际应用
6.如图，小明站在乙楼BE前方的点C处，恰好看到甲、乙两楼楼顶上的点A和E重合为一点，若B、C相距30米，C、D相距60米，乙楼高BE为20米，小明身高忽略不计，则甲楼的高AD是多少米？
【答案】解：∵EF∥DC，AD⊥DC，EB⊥BC，
∴∠AEF=∠C，∠AFE=∠EBC=90°，
∵B、C相距30米，C、D相距60米，
∴EF=DB=BC=30米，
∴△AEF≌△ECB（ASA），
∴AF=BE，
∵DF=BE，
∴AD=2BE=2×20=40（米）．
答：甲楼的高AD是40米．
【解析】【分析】利用已知易证∠AEF=∠C，∠AFE=∠EBC，EF=DB=BC，利用ASA证明△AEF≌△ECB，再利用全等三角形的对应边相等，可证得AF=BE，然后求出AD的长。
【变式6-1】公路上，A，B两站相距 千米，C、D为两所学校， 于点A， 于点B，如图，已知 千米，现在要在公路 上建一报亭H，使得C、D两所学校到H的距离相等，且 ，问：H应建在距离A站多远处？学校C到公路的距离是多少千米？
【答案】解：由题意得： ， 千米，
，
，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
千米， 千米，
千米，
千米，
答：H应建在距离A站10千米处，学校C到公路的距离是10千米．
【解析】【分析】先根据垂直的定义可得 ，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得 ，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得 千米，最后根据线段的和差可得．
【变式6-2】如图，海岸上有A，B两个观测点，点B在点A的正东方向，海岛C在观测点A的正北方向，海岛D在观测点B的正北方向，如果从观测点A看海岛C，D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么海岛C到观测点A与海岛D到观测点B所在海岸的距离相等，为什么？
【答案】解：理由如下：
依题意，得∠CAD=∠CBD，∠CAB=∠DBA=90 ，
∴∠ABC=∠BAD，
在△CBA和△DAB中，
∴△CBA≌△DAB（ASA），
∴CA=DB，
∴海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等.
【解析】【分析】依题意可得∠CAD=∠CBD，∠CAB=∠DBA=90°，推出∠ABC=∠BAD，证明△CBA≌△DAB，则CA=DB，据此解答.
题型7：ASA，AAS判定全等三角形与证明
7.如图， 、 相交于点O， ， .E、F分别为 、 的中点.求证 .
【答案】证明：在△AOB和△DOC中
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴OB=OC，
∵点E，F分别是OB，OC的中点，
∴OE=OB，OF=OC，
∴OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE.
【解析】【分析】图形中隐含了对顶角相等，利用AAS可证得△ABO≌△DCO，利用全等三角形的对应边相等可证得OB=OC，再利用线段中点的定义去证明OE=OF；然后根据等边对等角可证得结论.
【变式7-1】如图， △ABC中， AB=AC ，D、E分别是AB、AC上的点，且 ∠ABE=∠ACD ，BE、CD交于点O，求证： △OBC是等腰三角形.
【答案】证明：方法一：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABE=∠ACD，
∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD，即∠EBC=∠DCB，
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形；
方法二：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AD=AE，
∵AB=AC，
∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE，
在△OBD和△OCE中，
，
∴OBD≌△OCE（AAS），
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形.
【解析】【分析】 方法一 ：由等边对等角可得∠ABC=∠ACB， 由等量减等量差相等得∠EBC=∠DCB，根据等腰三角形的判定定理即证；
方法二 ：利用ASA证明△ABE≌△ACD，可得AD=AE，再永AAS证明OBD≌△OCE，可得OB=OC，根据等腰三角形的判定定理即证.
【变式7-2】如图，已知△ABC，∠C＝∠B＝∠EDF＝50°，DE＝DF，求证：BC＝BE＋CF.
【答案】证明：∵∠C＝∠B＝∠EDF＝50°， ，
∴ ，
∴在 和 中，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴BC＝BE＋CF.
【解析】【分析】由外角的性质及角的构成得∠B+∠BED=∠EDF+∠CDF，结合已知条件推出∠BED=∠CDF，然后用AAS证S△BDE≌△CFD，得到BE=DC，BD=FC，然后根据线段的和差关系进行证明.
如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求证：AD＝CD+AB.
【答案】证明：如图：
过M作ME⊥AD于E，
∵∠B＝∠C＝90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，
∴∠C＝∠DEM＝90°，∠B＝∠AEM＝90°，∠CDM＝∠EDM，CM＝EM，∠EAM＝∠BAM，BM＝ME，
在△MCD和△MED中
∴△MCD≌△MED（AAS），
∴CD＝DE，
同理：AE＝AB，
∴AD＝AE+DE＝CD+AB.
【解析】【分析】过M作ME⊥AD于E，则∠C＝∠DEM＝90°，∠B＝∠AEM＝90°，∠CDM＝∠EDM，CM＝EM，∠EAM＝∠BAM，BM＝ME，证明△MCD≌△MED，得到CD＝DE，同理可得AE＝AB，据此证明.
题型8：ASA，AAS判定全等三角形与探究
8.探究与应用
（1）探究：如图①，在 中， ， ，直线l经过点C，且点A、B在直线 的同侧，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D、E.求证： .
（2）应用.如图②，在 中， ， ，直线l经过点C，且点A、B在直线l的异侧，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D、E.探索线段AD、BE、DE之间的数量关系，并证明.
【答案】（1）解：证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，
∠DCA+∠ECB=180°-90°=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD，
即DE=AD+BE.
（2）解：线段AD、BE、DE之间的数量关系为 ，理由如下：
证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴ .
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD=BE，AD=CE，
又∵ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）根据AAS可证△ADC≌△CEB，可得AD=CE，DC=BE，从而可得DE=DC+CE
=BE+AD；
（2）AD=BE-DE，理由如下: 根据AAS可证△ACD≌△CBE, 可得CD=BE，AD=CE，由CE=CD-DE，即得AD=BE-DE.
【变式8-1】探究和应用：
（1）探究：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，求证：△ABD≌△CAE．
（2）应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：DE＝BD+CE．
【答案】（1）解：证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
，
∴△ADB≌△CEA（AAS）；
（2）解：设∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE．
【解析】【分析】(1)根据BD⊥直线m,CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90 ,而∠BAC=90 ,根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD,然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA.则AE=BD,AD=CE,于是DE=AE+AD=BD+CE;(2)利用∠BDA=∠BAC=α,则∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α,得出∠CAE=∠ABD,进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案.
【变式8-2】综合探究
问题情境：
我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定.在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题.
（1）问题初探：
如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D为直线AB上的一个动点（D与A，B不重合），连接CD，以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，连接BE.当点D在线段AB上时，AD与BE的数量关系是 ；位置关系是 ；AB，BD，BE三条线段之间的关系是 .
（2）类比再探：
如图2，当点D运动到AB的延长线上时，AD与BE还存在(1)中的位置关系吗?若存在，请说明理由.同时探索AB，BD，BE三条线段之间的数量关系，并说明理由.
（3）能力提升：
如图3，当点D运动到BA的延长线上时，若AB=7，AD=2，则AE= .
【答案】（1）相等；垂直；AB=BD+BE
（2）解：成立，AB= BE－BD．理由如下： ∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∠A=∠ABC=45°，∠ACB=90°． ∵△DCE是等腰直角三角形，∴CD=CE，∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．
在△ADC和△BEC中，∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=EC，∴△ADC≌△BEC，∴AD=BE，∠A=∠CBE=45°，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=45°+45°=90°，∴AB⊥BE．
∵AD=BE，∴AB=AD－BD= BE－BD．
故答案为：垂直，AB= BE－BD．
（3）解：同理可证：△AEC≌△BDC，∴AE=BD，∴AE=AB+AD=7+2=9． 故答案为：9．
【解析】【解答】（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∠A=∠ABC=45°，∠ACB=90°．
∵△DCE是等腰直角三角形，∴CD=CE，∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．
在△ADC和△BEC中，∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=EC，∴△ADC≌△BEC，∴AD=BE，∠A=∠CBE=45°，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=45°+45°=90°，∴AB⊥BE．
∵AD=BE，∴AB=AD+BD=BD+BE．
故答案为：相等，垂直，AB=BD+BE．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=EC，即可证明△ADC≌△BEC，根据全等三角形的性质即可得出结论；（2）同理可得结论；（3）同理可证：△AEC≌△BDC，根据全等三角形的性质可得AE=BD=AB+AD，即可得到结论．