人教A必修第二册第十章 知识梳理

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第十章 知识梳理一.随机事件的概率1.频数、频率和概率(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq \a\vs4\al(\f(nA,n))为事件A出现的频率.(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率.2.事件的关系与运算3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率：P(E)＝1.(3)不可能事件的概率：P(F)＝0.(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B).注意 1.频数是一个整数，其取值范围为0≤nA≤n，nA∈N，因此随机事件A发生的频率fn(A)＝eq \f(nA,n)的可能取值介于0与1之间，即0≤fn(A)≤1.2.频率在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小.但是，频率不是一个完全确定的数，随着试验次数的不同，产生的频率也可能不同.3.并(和)事件包含三种情况：①事件A发生，事件B不发生；②事件A不发生，事件B发生；③事件A，B都发生.即事件A，B至少有一个发生.4.互斥事件具体包括三种不同的情形：①事件A发生且事件B不发生；②事件A不发生且事件B发生；③事件A与事件B都不发生.5.“事件A与事件B是对立事件”是“其概率满足P(A)＋P(B)＝1”的充分不必要条件，这里一定不要认为是充要条件.事实上，若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1；反之不一定成立.重要结论探究概率加法公式的推广(1)当一个事件包含多个结果时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).(2)P(eq \x\to(A1∪A2∪…∪An))＝1－P(A1∪A2∪…∪An)＝1－P(A1)－P(A2)－…－P(An).注意涉及的各事件要彼此互斥.二.古典概型1.①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；,②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的.一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性. 2.古典概型的概率计算的基本步骤：①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m；③利用古典概型的概率公式P(A)＝eq \f(m,n)，求出事件A的概率.3.频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同三.n次独立重复试验及二项分布1.条件概率及其性质(1)条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)(P(A)＞0).(2)条件概率的性质①非负性：0≤P(B|A)≤1；②可加性：如果B和C是两个互斥事件，　则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A).（3）条件概率的3种求法2.相互独立事件(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件.(2)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立.(3)若A与B相互独立，则A与eq \x\to(B)，eq \x\to(A)与B，eq \x\to(A)与eq \x\to(B)也都相互独立.(4)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B).(5)一般地，如果事件A1，A2，…，An(n＞2，n∈N*)相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)·…·P(An).3.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. (2)二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：,1是否为n次独立重复试验；,2随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数.4.互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点(1)相同点：二者都是描述两个事件间的关系；(2)不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.名称条件结论符号表示包含关系A发生⇒B发生事件B包含事件A(事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B事件A与事件B相等A＝B并(和)事件A发生或B发生事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交(积)事件A发生且B发生事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件A∩B为不可能事件事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅，P(A∪B)＝1名称不同点相同点频率计算公式频率计算中的m，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值都计算了一个比值eq \f(m,n)古典概型的概率计算公式eq \f(m,n)是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n都不会变化定义法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)缩样法缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简