人教版数学九上同步单元讲练测第23单元01讲（2份，原卷版+解析版）

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第二十三单元 旋转考点1 旋转的概念把一个图形绕 转动一个 的图形变换叫做旋转．这点叫做 ，转动的角叫做 ，如果图形上的点P经过旋转变为点P＇，那么这两个点叫做这个旋转的 ．考点2 旋转的性质（1）对应点到旋转中心的距离 ．（旋转中心就是各对应点所连线段的垂直平分线的交点．）（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ．（3）旋转前、后的图形是 形， 对应边 ，对应角 ．考点3旋转作图1．在画旋转图形时，首先确定 ，其次确定图形的 ，再将这些关键点沿指定的方向旋转 ，然后连接 ，形成 ．2．作图的步骤：（1）连接图形中的每一个 ；（2）把连线按要求（ ）绕旋转中心旋转一定的角度（ ）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的 ；考点4 中心对称1．中心对称的定义把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点 ，这个点叫做 ，这两个图形中的对应点叫做 ．2．中心对称的性质（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被 ．（2）关于中心对称的两个图形是 ．3．作中心对称的一般步骤 ．考点5 中心对称图形 1． 把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形 ，那么这个图形叫做 ，这个点就是它的 ．2．中心对称图形的识别： ．3．两个图形成中心对称和中心对称图形的区别与联系区别： ；联系： ．考点6 关于原点对称的点的坐标1．关于原点对称的点的坐标特征：点关于原点的对称点为 ．2．作关于原点成中心对称的图形的步骤： ．生活中的旋转现象（1）旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． （2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．（3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点．　【例题】1. 有下列现象：①高层公寓电梯的上升：②传送带的移动；③方向盘的转动；④风车的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个2. 北京冬奥会于2022年2月4日在北京和张家口联合举行．下图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，的位置经过怎样的运动和重合（ ）A. 沿翻折 B. 平移C. 绕点M旋转90° D. 绕点M旋转180°【练经典】4. 下列运动属于旋转的是（ ）A. 钟表上时针的运动 B. 行驶中的自行车的运动C. 进行赛跑的运动员的运动 D. 羽毛在空中的运动5. 如图所示，图①经过（　　）变换得到图②．A. 平移 B. 旋转或轴对称C. 轴对称 D. 旋转6. 北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．在下面右侧的四个图中，能由图经过旋转得到的是（　　）A. B. C. D. 旋转的性质（1）对应点的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心形成的角等于旋转角；（2）对应角的性质：对应角相等；（3）对应边的性质：对应边相等；（4）图形的性质：旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置；（5）平移、轴对称、旋转之间的比较平移、轴对称、旋转之间的对比【例题】7. 如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好落在边上，则点与点B之间的距离为（ ） A. B. C. 4 D. 28. 如图，将旋转得到，经过点C，若，，则度数为（　　）A. B. C. D. 9. 如图，在中，点D，E分别为，中点，将线段绕点B旋转到边上，点D的对应点为点 F．若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形中，为上一点，绕点顺时针旋转得到，点恰好落在延长线上． （1）___________．（2）若，求的度数．【练经典】11. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点和点是对应点，若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 12. 如图，P是等边内的一点，连接．若将绕点B旋转到，则的度数是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，矩形中，，，点F为边上一点，连接，若线段绕点F顺时针旋转后，点D恰好落在边上的点E处，则的长度为（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 1.514. 如图，将绕着点A逆时针旋转一定角度得到，使，分别落在线段和的延长线上，且满足，求旋转角的度数． 15. 如图，绕点按逆时针方向旋转后到达的位置，设与、分别交于点、． （1）若的周长为，，，求的长；（2）若，，求的大小．旋转对称图形（1）旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．【例题】16. 如图，该图形围绕其的旋转中心，按下列角度旋转后，能与自身重合的是（　　） A. B. C. D. 17. 下列图形是旋转对称图形的是（　　）A. B. C. D. 【练经典】18. 下列图形中，是旋转对称图形的有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个19. 下列四个图形中，是旋转对称图形的是（ ）A. B. C. D. 20. 规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转或后，能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；A.矩形；B.正五边形；C.菱形；D.正六边形（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：___________（填序号）；（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．其中真命题的个数有______个；坐标与图形变换——旋转（1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）（2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．【例题】21. 平面直角坐标系内一点关于原点对称点的坐标是( )A. B. C. D. 22. 已知点与点关于原点对称，则（ ）A 4 B. C. 3 D. 623. 如图，的各顶点都在正方形网格的格点上，其中点A的坐标为，将绕点逆时针旋转后，得到，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 24. 平面直角坐标系内一点关于轴对称的点是，点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度到点，点关于原点的对称点是点，则点的坐标是_____．【练经典】25. 已知A点坐标为，则点A关于原点对称的点的坐标为（　　）A. B. C. D. 26. 已知点与点关于原点对称，则的值为（ ）A. 6 B. 5 C. 4 D. 327. 如图，点A的坐标为，点B是y轴的正半轴上的一点，将线段绕点B按逆时针方向旋转，每次旋转，第一次旋转结束时，点A与点C重合．若点C的坐标为，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（　　） A. B. C. D. 28. 把点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，得到点N，若点N关于原点的对称点M的坐标为，则_________．29. 平面直角坐标系内一点，点绕着原点逆时针旋转后坐标是_____；中心对称与中心对称图形1．中心对称与中心对称图形的区别：（1）中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的图形；（2）成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上．2．中心对称与中心对称图形的联系：（1）若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体也就是中心对称图形；（2）它们的性质相同，应用方法相同；【例题】30. 2023年2月24日，“逐梦寰宇问苍穹——中国载人航天工程三十年成就展”在中国国家博物馆展出，下列航天图标中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 31. 2023年第31届世界大学生运动会在成都举行，吉祥物“蓉宝”深受网民喜爱，结合你所学知识，在下列四个选项中，能够和“蓉宝”（如图）的图片成中心对称的是（ ） A. B. C. D. 32. 下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形（ ）A. B. C. D. 【练经典】33. “我爱祖国”的汉语拼音为“wǒ ài zǔ guó”，其首字母（大写）是中心对称图形的是（　　）A. W B. A C. Z D. G34. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 35. 下列关于数字变换的图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）A. B. C. D. 36. 下列三个的网格图均由相同的小菱形组成，每个网格图中有3个小菱形已涂上阴影，请在余下的空白小菱形中，分别按要求选取一个涂上阴影： （1）使得4个阴影小菱形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．（2）使得4个阴影小菱形组成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形．（3）使得4个阴影小菱形组成的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．（请将三个小题依次作答在图1，图2，图3中，均只需画出符合条件的一种情形即可．）旋转作图、中心对称作图与图案设计（1）旋转作图就是作图形中关键点对应点，按照“一连二旋三相等”的步骤作对应点；（2）中心对称作图就是作图形关键点的对应点，按照“一连二延三相等”的步骤作对应点；（3）由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．【例题】37. 如图，在正方形网格中，图中阴影部分的两个图形是一个经过旋转变换得到另一个的，其旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点 C. 点 D. 点38. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，建立平面直角坐标系，的三个顶点坐标分别为，，． （1）将向左平移5个单位，再向上平移1个单位，画出平移后的；（2）画出将绕原点按顺时针方向旋转后的，并写出点的对应点的坐标．39. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格长度为1，已知点，，． （1）请画出，并判断的形状__________直角三角形．（填“是”或“不是”）（2）请画出关于轴对称的．（3）请画出关于原点对称的．【练经典】40. 在俄罗斯方块游戏中，屏幕上方图形向下运动，若某行被小方格填满，则该行中的所有小方格会自动消失．如图，假如屏幕上方图形“L”可直接经过一次旋转转到图中左下方的阴影位置，则旋转中心为图中的点 _____． 41. 如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，I，J是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A. 点G B. 点H C. 点I D. 点J42. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）以原点O为旋转中心，将绕点O顺时针方向旋转后得到，画出，并写出的坐标．（2）计算的面积．43. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示每个小方格都是边长个单位长度的正方形． （1）将向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，画出平移后得到的，如果把这个过程看成是经过一次平移，则平移距离为______ 个单位长度；（2）将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的；（3）画出关于点的中心对称图形．常见的旋转模型【例题】44. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF．下列结论：①△AED≌△AEF；②∠FAD＝90°，③BE+DC＝DE；④∠ADC+∠AFE＝180°．其中结论正确的序号为（ ）A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④45. 如图，是边长为1的等边的中心，将AB、BC、CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转，得到、、，连接、、、、．当的周长取得最大值时，此时旋转角的度数为（ ）A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°46. 如图，正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、DC（或它们的延长线）于点M、N．（1）如图1，求证：；（2）当，时，求的面积；（3）当绕点A旋转到如图2位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．【练经典】47. 如图，P是等边三角形ABC内一点，将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，则四边形APBQ的面积为（ ）A. B. C. D. 48. 如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点，若BH＝7，BC＝13，则DH＝_____．49. 阅读下面材料：小岩遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝1，，PC＝2，求∠APB度数；小岩是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．（1）请你回答：图1中∠APB的度数等于____；（直接写答案）参考小岩同学思考问题的方法，解决下列问题：（2）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且，，．求∠APB的度数；（3）如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，若∠APB＝，直接写出PA，PB和PF的数量关系．新考法【新定义小练】50. 定义共弦、共弦角如下：共弦：将正多边形绕某顶点顺时针旋转得到的新正多边形与原正多边形相交于一点，连接旋转中心与交点，把这条线段叫做正多边形的共弦；图以正四边形为例，图以正五边形为例，线段即为正四（五）边形的共弦．共弦角：共弦与离原正多边形最近的边组成的角叫做共弦角；如图1，是共弦角，因此 （1）如图1，四边形是正方形．求证：，并求出的值；（2）依照（1）的方法，有人求出了以下正多边形的共弦角：正五边形：正六边形：正七边形：请你根据以上结论，猜想任意正边形的共弦角的度数（用含的代数式表示）？并写出这样猜想的理由．（3）请审视以上数学问题、问题解决以及猜想过程，提出至少两个与之有关的、你认为需要进一步探究的的数学问题．【阅读材料类小练】51. 阅读理解并解决问题：一般地，如果把一个图形绕着一个定点旋转一定角度α（α小于360°）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，α叫做这个旋转对称图形的一个旋转角．请依据上述定义解答下列问题：（1）请写出一个旋转对称图形，这个图形有一个旋转角是90°，这个图形可以是______；（2）为了美化环境，某中学需要在一块正六边形空地上分别种植六种不同的花草，现将这块空地按下列要求分成六块：①分割后的整个图形必须既是轴对称图形又是旋转对称图形；②六块图形的面积相同；请你按上述两个要求，分别在图中的两个正六边形中画出两种不同的分割方法（只要求画图正确，不写作法）．52. 课题学习：三角形旋转问题中的“转化思想”【阅读理解】由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，是三角形旋转中的一个重要的“基本图形”，这个模型称为“手拉手模型”．当发现题目的图形“不完整”时，要通过适当的辅助线将其补完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”．【方法应用】 （1）如图1，在等腰中，，，点D在内部，连接，将绕点A顺时针旋转90°得到，连接，，．请直接写出和的数量关系：__________，位置关系：__________；（2）如图2，在等腰中，，，，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接 ，，，取中点M，连接．①当点D在内部，猜想并证明与数量关系和位置关系；②当B，M，E三点共线时，请直接写出的长度．【规律类小练】53. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依次方式，绕点连续旋转2023次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标是（ ） A. B. C. D. 　平移轴对称旋转相同点都是 （合同变换），即变换前后的图形全等．不同点定义把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换．把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换．把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换．图形要素平移 平移 对称轴 性质连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．任意一对对应点所连线段被对称轴 ．对应点到 的距离相等；对应点与 都等于旋转角．对应线段 且相等．任意一对 所连线段被对称轴垂直平分．*对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角， 即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等．策略模型旋，造等边旋，造直角旋半角，双全等旋对补，造等腰