人教版数学九上《二次函数》期末专项训练第06讲 应用二次函数求解几何最值问题（2份，原卷版+解析版）

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如图，在第一象限内抛物线上有一动点P.过点P作PD⊥x轴交AB于点D，当PD（或PH）最大时，求点P的坐标；
方法：
依抛物线解析式设点P坐标，因为PD∥y轴表示点D坐标，PD=yP-yD，得PD表达式为一新二次函数，根据顶点式求其最大值。（求PH最大值则可由△PHD∽△AOB，将PH的长转化为PD长，再参照上法求解PH最大值）
【类题训练】
1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；
（3）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值；
2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x＝2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y＝x2从点O沿OA方向平移，与直线x＝2交于点P，顶点M到A点时停止移动．
（1）求线段OA所在直线的函数解析式；
（2）设抛物线顶点M的横坐标为m．
①用含m的代数式表示点P的坐标；
②当m为何值时，线段PB最短；
（3）当线段PB最短时，平移后的抛物线上是否存在点Q，使S△QMA＝2S△PMA，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B．
（1）求k的值及抛物线的解析式．
（2）如图①，若点D为直线AC上方抛物线上一动点，当∠ACD＝2∠BAC时，求D点的坐标；
（3）如图②，若F是线段OA的上一个动点，过点F作直线EF垂直于x轴交直线AC和抛物线分别于点G、E，连接CE．设点F的横坐标为m．
①当m为何值时，线段EG有最大值，并写出最大值为多少；
②是否存在以C，G，E为顶点的三角形与△AFG相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
4．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）与y轴交于点C．
（1）如图1，当点A（﹣1，0）时，抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）与x轴交于A，B两点．
①直接写出抛物线的函数关系式和直线BC的解析式，及点A，点B的坐标；
②点P为抛物线在第一象限内的任意一点，点P的横坐标为n，过点P作PF⊥x轴交直线BC于点F．是否存在点P，使线段PF的长度最大，若存在，求出点P的坐标和PF的最大值；若不存在，请说明理由；
③若PF的长度满足，请直接写出点P横坐标n的取值范围．
5．如图，已知二次函数y＝x2﹣3x﹣4的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点A为抛物线的顶点，连接CD．
（1）求S△COD；
（2）如图1，点P在直线CD下方抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥CD交于点Q，过点P作PE∥x轴交CD于点E，求PE+PQ的最大值及此时点P的坐标；
​
考点二 求周长的最值
【知识点睛】
如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，定点C、D在抛物线上，当矩形ABCD周长最大时，求点A的坐标；
方法：
①设点A坐标，表示点B、C、D坐标；
②表示AB、CD的长；
③将C矩形ABCD表示为一新二次函数，利用顶点式求其最大值。
如图，顶点A，B，C在抛物线上，在对称轴上找点P，使△PBC周长最小时，点P的坐标；
方法：将军饮马→对称连接
【类题训练】
6．如图，已知抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（ ）
A．（0，2）B．（﹣，0）
C．（0，2）或（﹣，0）D．以上都不正确
7．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，点P是AC上方抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴有一点Q，使△QBC的周长最小，求Q的坐标；
（3）过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值；
（4）点G是y轴上一点，点T是线段AC上一点，且CG＝2AT，求AG+2OT的最小值．
8．已知抛物线y＝﹣x2﹣bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P为抛物线的对称轴上一动点，当△PBC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在第二象限的抛物线上，是否存在一点Q，使得△ABQ的面积最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（﹣4，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
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考点三 求三角形面积的最值
【知识点睛】
如图，在第一象限内，抛物线上有一动点P.当S△ABP最大时，求点P的坐标；
方法：
①设动点P的坐标;
②过点P作y轴平行线交对边AB与一点，并表示出该交点坐标；
③利用水平宽×铅垂高÷2，将S△ABP表示为一新二次函数，利用顶点式求其最大值。
【类题训练】
10．已知二次函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数且m≥1），该函数恒过定点A，且与直线y＝x﹣m交于点B、C．
（1）定点A的坐标为 ；
（2）△ABC面积的最小值为 ．
11．综合与实践
如图，抛物线y＝2x2﹣4x﹣6与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一动点．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）如图2，当点D在第四象限时，连接BD，CD和BC，得到△BCD，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；
12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点M（﹣2，）和N（2，﹣）两点，且抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）若点M是抛物线y＝ax2+bx+c的顶点，求抛物线解析式及A、B、C坐标；
（2）在（1）的条件下，若点P是A、C之间抛物线上一点，求四边形APCN面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）若B（m，0），且1≤m≤3，求a的取值范围．
13．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．
①求S关于t的函数表达式；
②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
【总结反思 二次函数中斜三角形面积最大值求法】
如图，利用（a为水平宽，h为铅垂高）列出函数关系式，根据函数的性质求出最大值.
如图2，可将三角形的面积转化为求在第一象限内抛物线上的点到直线 AB距离的最大值.根据直线与抛物线只有一个交点，通过根的判别式来求出最大值。