人教版数学九上《二次函数》期末专项训练第05讲 二次函数的实际应用（2份，原卷版+解析版）

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利润最大化问题与二次函数模型
牢记两公式：①单位利润=售价-进价；
②总利润=单件利润×销量；
谨记两转化：①销量转化为售价的一次函数；
②总利润转化为售价的二次函数；
函数性质的应用：常利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值；
利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤
设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入
用含自变量的代数式表示销售商品成本
用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式
根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值
注意：
①与现实生活结合类问题，常需要自己先建立合适的平面直角坐标系，之后再根据信息做题；
②二次函数实际应用的问题，如果是分段函数，最后需要写成一个整体，后边分别写上对应的取值范围
【类题训练】
1．如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽AB＝30米，当水位上升5米时，则水面宽CD＝（ ）
A．20米B．15米C．10米D．8米
【分析】根据正常水位时水面宽AB＝30米，求出当x＝15时y＝﹣9，再根据水位上升5米时y＝﹣4，代入解析式求出x即可．
【解答】解：∵AB＝30米，
∴当x＝15时，y＝﹣×152＝﹣9，
当水位上升5米时，y＝﹣4，
把y＝﹣4代入得，﹣4＝﹣x2，
解得x＝±10，
此时水面宽CD＝20米，
故选：A．
2．如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m，水面宽6m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（ ）
A．B．C．y＝﹣3x2D．y＝3x2
【分析】设出抛物线方程y＝ax2（a≠0）代入坐标求得a．
【解答】解：设出抛物线方程y＝ax2（a≠0），
由图象可知该图象经过（﹣3，﹣3）点，
故﹣3＝9a，
a＝﹣，
故y＝﹣x2，
故选：A．
3．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m； ②足球飞行路线的对称轴是直线； ③足球被踢出8s时落地； ④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是，其中正确的结论是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
【分析】由题意，抛物线经过（0，0），（9，0），所以可以假设抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，可得h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断．
【解答】解：由题意，抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），
把（1，8）代入可得a＝﹣1，
∴h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，
∴抛物线的对称轴为直线t＝4.5，故②正确，
∵t＝9时，h＝0，
∴足球被踢出9s时落地，故③错误，
∵t＝1.5时，h＝11.25，故④正确．
∴正确的有②④，
故选：D．
4．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为8米/秒，经过t秒时球的高度为h米，h和t满足公式：h＝v0t﹣gt2（v0表示球弹起时的速度，g表示重力系数，取g＝10米/秒2），则球不低于3米的持续时间是（ ）
A．0.4秒B．0.6秒C．0.8秒D．1秒
【分析】将v0＝8，g＝10，h＝3代入h＝v0t﹣gt2求解．
【解答】解：∵v0＝8，g＝10，
∴h＝8t﹣5t2，
将h＝3代入h＝8t﹣5t2得3＝8t﹣5t2，
解得t1＝，t2＝1，
∴球不低于3米的持续时间是1﹣＝＝0.4（秒），
故选：A．
5．五一假期，小明去游乐园游玩，坐上了他向往已久的摩天轮．摩天轮上，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的部分函数关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．摩天轮旋转一周需要6分钟
B．小明出发后的第3分钟和第9分钟，离地面的高度相同
C．小明离地面的最大高度为42米
D．小明出发后经过6分钟，离地面的高度为3米
【分析】（1）由图象可知，用两个最高点对应的时间作差即可．
（2）根据图象看出第3分钟与第9分钟小明离地面的高度均为45米．
（3）观察图得出，抛物线的顶点对应的高度为45米，与42米不符．
（4）从图上看出，小明出发后经过6分钟恰好到达最低点，最低点为3米，即可当得到结论．
【解答】解：由图可知小明第一次到达最高点时间节点为3分钟，第二次到达最高点时间节点为9分钟.9﹣3＝6．
∴A选项正确．
由图可知，第3分钟与第9分钟小明离地面的高度均为45米，高度相同．
∴B选项正确．
抛物线的顶点对应的高度为45米．
∴C选项错误，符合题意．
摩天轮旋转一周需要6分钟，摩天轮的最低点为3米，旋转一圈回到最低点．
∴D选项正确．
故选：C．
6．物理课上我们学习了物体的竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动的时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②h与t之间的函数关系式为；
③小球的运动时间为6s；
④小球的高度h＝20m时，t＝1.5s．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据二次函数图象和性质求解．
【解答】解：由图象知小球在空中经过的路程是40×2＝80m．故①是错误的；
设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，
由题意得：a（0﹣3）2+40＝0，
解得：a＝﹣，
∴h＝﹣（t﹣3）2+40．故②是错误的；
当t＝6时，高度为0，则运动时间是6s，或由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故③是正确的；
当h＝20时，﹣（t﹣3）2+40＝20，
解得h＝或．故④是错误的；
故选：A．
7．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝16t﹣4t2，当遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车要滑行 16 m才能停下．
【分析】由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即s的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答．
【解答】解：s＝16t﹣4t2＝﹣4（t﹣2）2+16，
∵﹣4＜0，
∴当t＝2时，s最大，
∴当t＝2时，汽车停下来，滑行了16m．
故答案为：16．
8．某游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，使喷水刚好落在水池边缘，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心4m处达到最高，高度为6m．以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系如图，若要在喷水池中心的正上方设计挡板（AB，AC），使各方向喷出的水柱擦挡板后，汇合于喷水池中心装饰物M处，挡板AB所在直线的表达式为，则抛物线l的表达式为 y＝﹣（x﹣4）2+6（0≤x≤10） ，n的值为 ．
【分析】由题意可写出当x＞0时，抛物线的顶点式解析式，用待定系数法求得其解析式，令x＝0，求得y值，则可得这个装饰物的高度；根据直线AB与抛物线相切，得到判别式Δ＝0，解方程求出n．
【解答】解：由题意可得，当x＞0时，抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+6（0≤x≤10），
把（10，0）代入得：0＝a（10﹣4）2+6，
解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+6（0≤x≤10）；
根据题意知，直线AB与抛物线相切，
∴x+n＝﹣（x﹣4）2+6，
整理得：x2﹣5x﹣20+6n＝0，
∴Δ＝52﹣4×（﹣20+6n）＝0，
解得：n＝，
故答案为：y＝﹣（x﹣4）2+6（0≤x≤10）；．
9．某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元．经市场调查表明，当售价在10元到14元之间（含10元，14元）浮动时，日均销售量y（瓶）与每瓶销售价x（元）之间满足函数关系式y＝1360﹣80x．当销售价格定为每瓶 13 元时，所得日均毛利润最大（每瓶毛利润＝每瓶售价﹣每瓶进价）．
【分析】设日均毛利润为w元，根据每日的毛利润＝每瓶的毛利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
【解答】解：设日均毛利润为w元，
根据题意得：w＝（x﹣9）y＝（x﹣9）（1360﹣80x）＝﹣80x2+2080x﹣12240＝﹣80（x﹣13）2+1280，
∵﹣80＜0，10≤x≤14，
∴当x＝13时，w有最大值，最大值为1280，
∴当销售价格定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，
故答案为：13．
10．某型号无人机着陆后的滑行距离y（米）与滑行时间t（秒）的函数关系式满足y＝﹣t2+60t，则无人机着陆后滑行的最大距离是 1200 米．
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出y的最大值即可得．
【解答】解：∵y＝﹣t2+60t＝﹣（t﹣40）2+1200，
∴当t＝40时，y有最大值，最大值为1200，
∴无人机着陆后滑行1200m才能停下来，
故答案为：1200．
11．对于竖直向上抛出的物体，在不考虑空气阻力的情况下，有如下的关系式：，其中h是物体上升的高度，v是抛出时的速度，g是重力加速度（g≈10m/s2），t是抛出后的时间．如果一物体以25m/s的初速度从地面竖直向上抛出，经过 1或4 秒钟后它在离地面20m高的地方．
【分析】把v＝25，g＝10，h＝20代入所给关系式求t的值即可．
【解答】解：由题意得：20＝25t﹣×10t2．
t2﹣5t+4＝0，
解得t1＝1，t2＝4．
∴1秒或4秒后，物体处在离抛出点20m高的地方．
故答案为：1或4．
12．如图1，为世界最大跨度铁路拱桥——贵州北盘江特大桥．如图2，已知拱桥曲线呈抛物线，主桥底部跨度OA＝400m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点E为抛物线最高点，立柱AB，CD，EF，GH都与x轴垂直，BN∥OA，HF＝40m，BC＝120m，若F，G，O与B，D，O均三点共线．则立柱比═ ，以及＝ ．
【分析】根据已知条件抛物线过原点及A（400，0）利用交点式写出抛物线的解析式y＝ax（x﹣400），
易得顶点E（200，﹣40000a），由于BN∥x轴且H、F、C、B皆在BN上，故他们纵坐标相同；
根据BC＝120m，HF＝40m，且FE为对称轴，AB⊥x轴，得B横坐标为400，
进而推出H、F、C点横坐标分别为160、200、280，
因为HG∥EF∥DC∥AB∥y且GD在抛物线上，可得G（160，﹣38400a）、D（280，﹣33600a），
再根据直线OG过原点，求得OG解析式为y＝﹣240ax，由于F在OG上，可求得F纵坐标﹣48000a，
则H、C、B纵坐标均为﹣48000a，表示出HG、EF、CD、AB的长度，进而求比值即可．
【解答】解：根据题意，可知二次函数图象过A（400，0）．O（0，0），
故设抛物线为y＝ax（x﹣400）（a＜0），
∵E为抛物线顶点；
∴E（200，﹣40000a），
∵AB⊥x轴，
∴B点横坐标为400，
∵BN∥x轴，
∴H、F、C、B纵坐标相同，设为n，
∵FE∥HG∥CD∥AB∥y轴，BC＝120m，HF＝40m，
∴H（160，n）、F（200，n）、C（280，n）；
∵HG∥y轴，故H、G横坐标相同，
∴G在抛物线上，
∴G（160，﹣38400a），
同理可得D（280，﹣33600a），
设直线OG：y＝kx，
则﹣38400a＝k×160，
解得：k＝﹣240a
yOG＝﹣240ax，
∵F，G，O三点共线，且F横坐标为200，
∴yF＝﹣48000a，即n＝﹣48000a，
∴H（160，﹣48000a）、C（280，﹣48000a）、B（400，﹣48000a），
∴HG＝﹣48000a﹣（﹣38400a）＝﹣9600a，
CD＝﹣4800a﹣（﹣33600a）＝﹣14400a，
AB＝﹣48000a；
∵E（200，﹣40000a），F（200，﹣48000a ），
∴EF＝﹣48000a﹣（﹣40000a）＝﹣8000a，
∴，
．
13．某品牌水果冻的高为3cm，底面圆的直径为4cm，两个水果冻倒装在一个长方体盒子内，如图为横断示意图，水果冻的截面可以近似地看成两条抛物线．以左侧抛物线的顶点O为原点，建立如图所示的直角坐标系．
​（1）以O为顶点的抛物线的函数表达式是 y＝x2 ；
（2）制作该长方体盒子所需纸张面积最小值是 （80+28） cm2（不计重叠部分）
【分析】（1）根据题意，用待定系数法求函数解析式；
（2）果冻礼盒是一长方体，分别计算底面矩形A′B′C′D′，侧面矩形ABCD以及另外两个侧面矩形的面积即可．
【解答】解：（1）根据题意知，A（﹣2，3），E（2，3），
设以O为顶点的抛物线的函数表达式是y＝ax2，
把A（﹣2，3）代入解析式得：4a＝3，
解得a＝，
∴以O为顶点的抛物线的函数表达式是y＝x2，
故答案为：y＝x2；
（2）设两条抛物线的切点为K，过切点K作KH⊥OD于点H，
过抛物线FGC的顶点G作x轴的垂线交x轴于M，
如图所示：
依题意知 K（x，），
当＝x2，
解得 x＝或x＝﹣（舍去），
∴OH＝HM＝，
∴BC＝BO+OH+HM+MC＝2+2+2＝4+2，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝3×（4+2）＝（12+6）cm2；
底面矩形如图所示：
∴S矩形A′B′C′D′＝AB•BC＝4×（4+2 ）＝（16+8 ）cm2；
所以，2S矩形ABCD+2S矩形A′B′C′D′+2×3×4＝（28 +80）cm2．
∴一个包装盒至少需要纸张（80+28）cm2．
故答案为：（80+28）．
14．某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情滞销该店采取了降价措施，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若该商品经过两次降价后，每件可以获得的利润是32.4元，求这两次降价的平均降价率是多少？
（2）经调查，按照（1）的降价方式，无法达到商家盈利的预期．若该商店每天预期销售利润为1232元，则每件商品应降价多少元？
（3）该商店应该在每件盈利40元的基础上降价多少元才可以获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）设这两次降价的平均降价率是a，根据题意可得：40（1﹣a）2＝32.4，求解即可；
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1232，求解后再根据每件盈利不少于24元确定结果；
（3）设每件商品降价m元，商店可获得利润为w元，根据题意得：w＝（40﹣m）（20+2m）＝﹣2m2+60m+800＝﹣2（m﹣15）2+1250，根据二次函数的性质可得结果．
【解答】解：（1）设这两次降价的平均降价率是a，根据题意可得：
40（1﹣a）2＝32.4，
解得：a1＝0.1，a2＝1.9（舍去），
答：这两次降价的平均降价率是10%；
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，根据题意得：
（40﹣x）（20+2x）＝1232，
x1＝12，x2＝18，
∵40﹣18＝22＜24，
∴x＝12，
答：若该商店每天销售利润为1232元，每件商品可降价12元；
（3）设每件商品降价m元，商店可获得利润为w元，根据题意得：w＝（40﹣m）（20+2m）＝﹣2m2+60m+800＝﹣2（m﹣15）2+1250，
∵﹣2＜0，
∴当m＝15时，w有最大值，
∴当每件商品降价15元时，商店可获得最大利润，最大利润为1250元．
15．汽车刹车后，车速慢慢变小至停止，这个速度变化的快慢称为加速度a（加速度是指在某段时间内速度的变化与这段时间的比值：）．已知汽车刹车后向前滑行的距离y与时间t的函数关系如下：（v表示刹车开始时的速度，a表示加速度）．现有一辆汽车沿平直公路行驶，速度v为20m/s，刹车后加速度a为4m/s2.问：
（1）刹车后2秒时，该汽车的速度为多少？
（2）从开始刹车至停止，该汽车滑行了多少时间？滑行的距离是多少？
【分析】（1）根据得出v2＝v1﹣at，把数据代入即可解答；
（2）汽车刹车后前行到最大距离时停下来，根据y＝vt﹣at2，由函数性质求函数最值．
【解答】解：（1）∵，
∴v2＝v1﹣at＝20﹣4×2＝12，
答：刹车后2秒时，该汽车的速度为12m/s；
（2）∵y＝vt﹣at2＝20t﹣×4t2＝﹣2t2+20t＝﹣2（t﹣5）2+50，
∵﹣2＜0，
当t＝5时，y有最大值，最大值为50，
答：从开始刹车至停止，该汽车滑行了5s，滑行的距离是50m．
16．荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元．
（1）降价后平均每天可以销售荔枝 （40+10x） 千克．（用含x的代数式表示）
（2）设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式．
（3）该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？
【分析】（1）根据“当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克”可直接得出结论；
（2）利用利润＝（售价﹣成本）×销售量可得出结论；
（3）令y＝480，求出x的值，再根据题意对x的值进行取舍即可．
【解答】解：（1）根据题意可知降后平均每天可以销售荔枝：（40+10x）千克，
故答案为：（40+10x）．
（2）根据题意可知，y＝（40+10x）（28﹣18﹣x），
整理得y＝﹣10x2+60x+400．
（3）令y＝480，代入函数得﹣10x2+60x+400＝480，
解方程，得x1＝4，x2＝2，
∵要尽可能地清空库存，
∴x＝4，
此时荔枝定价为28﹣4＝24（元/千克）．
答：应将价格定为24元/千克．
17．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为15米处有一棵高度为1.2米的小树AB，AB垂直水平地面且A点到水平地面的距离为3米．
（1）计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地．
（2）记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求y1﹣y2的最大值．
（3）如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点B，那么喷射架应向后平移多少米？
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣10）2+6，用待定系数法求得解析式；
（2）先求出直线OA的解析式，再根据两个纵坐标的差求出最大值即可；
（3）设喷射架向后平移了m米，则平移后的抛物线可表示为，将点B的坐标代入可得答案．
【解答】解：（1）由题可知：抛物线的顶点为（10，6），
设水流形成的抛物线为y＝a（x﹣10）2+6，
将点（0，1）代入可得a＝，
∴抛物线为，
当x＝15时，y＝﹣×25+6＝4.75＞4.2，
答：能浇灌到小树后面的草坪；
（2）由题可知A点坐标为（15，3），
则直线OA为，
∴，
答：y1﹣y2的最大值为；
（3）设喷射架向后平移了m米，
则平移后的抛物线可表示为，
将点B（15，4.2）代入得：m＝1或m＝﹣11（舍去），
答：喷射架应向后移动1米．
18．
[任务一]
①利用材料二判断最适合描述y1、y2分别与x的函数关系的是 B ；
A．y1＝ax、y2＝bx
B．y1＝ax、y2＝bx2
C．y1＝ax2、y2＝bx2
②请你利用当x＝10m/s，x＝20m/s时的两组数据，计算y1、y2分别与x的函数关系式．
[任务二]在某条限速为60km/h的道路上，一辆轿车为避险采取急刹车，通过交警判断该车此次急刹车过程的制动距离为34m，请你利用任务一中的函数关系式，判断该车是否超速？
[任务三]某条新建道路要求所有类型的汽车在急刹车时的停车距离至少15m，试问汽车在该条道路的行驶速度应该限速多少m/s？（精确到1m/s）
【分析】（1）①根据材料二分析可选B；
②y1＝ax，将x1＝10，y1＝8代入可求y1，y2＝bx2，将x1＝10，y2＝8代入可求y2；
（2）60km/h＝m/s，代入y2与34作比即可；
（3）如果想所有类型的车停车距离均小于15m，则制动距离应取相同速度下的最高值，故刹车系数取k＝1.5，列式得0.75x+1.5×0.08x2＝15，计算即可．
【解答】解：（1）①根据材料二发现，随着速度的增大，y1有减少趋势，y2越来越大，且非线性变化，B选项合适；
②设y1＝ax，将x1＝10，y1＝7.5代入得：7.5＝10a，
解得：a＝0.75，
∴y1＝0.75x，
设y2＝bx2，将x1＝10，y2＝8代入得8＝100b，
解得：b＝0.08，
故y2＝0.08x2；
（2）超速，理由：
60km/h＝m/s，
当x＝时，
y2＝0.08×（）2≈22.2（m）＜34m，
∴超速；
（3）要求所有类型汽车急刹车停车距离至少15m，取最大刹车系数为k＝1.5，
∴y＝y1+y2≤15，
列式得0.75x+1.5×0.08x2＝15，
解得x＝8，
故应限速8m/s．
19．根据我市体育中考排球垫球考试要求，女生受试者需在3米×3米的正方形区域内原地将球垫起，球在运动中的最高点离地面至少为2米．某女生在测试区域中心离地面1米的P处第一次将球垫偏，之后又先后在A，B两处将球救起，球沿抛物线C1→C2→C3运动（假设抛物线在C1，C2，C3在同一平面内），最终球正好回到P处垫起．如图所示，已知点A，B均位于边界正上方，且离地面高度分别为米、米，现以图示地面所在直线为x轴且P的坐标为（0，1）建立平面直角坐标系．
（1）请直接写出A，B的坐标．
（2）排球第一次被垫起后，在区域内侧离边界水平距离0.5米处达到最高，则该女生此次垫球是否达标？请说明理由．
（3）第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度恰好达标，求抛物线C3的解析式．
【分析】（1）先建立平面直角坐标系，再根据题意写出A，B坐标；
（2）先用待定系数法求出函数解析式，再把x＝1代入解析式求出y的值与2比较即可；
（3）用待定系数法求函数解析式即可．
【解答】解：（1）地面所在直线为x轴且P的坐标为（0，1）建立平面直角坐标系，
根据题意知，A（，），B（﹣，）；
（2）设C1的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵排球第一次被垫起后，在区域内侧离边界水平距离0.5米处达到最高，
∴抛物线C1的对称轴为直线x＝1，
∵P，A在抛物线上，
∴，
解得，
∴抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+x+1，
当x＝1时，y＝﹣×1+1+1＝＜2，
∴该女生此次垫球不达标；
（3）设抛物线C3的解析式为y＝mx2+nx+e，
则，
解得（舍去）或，
∴抛物线C3的解析式为y＝﹣x2﹣2x+1．
20．小王计划建造一个150平方米的矩形大棚种植各类水果，整个过程中有以下几个需要解决的重要问题
（1）【种植计划】小王在调查某类水果时发现：当每平方米种植4株时，平均产量为2kg；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减小0.25kg．那么，每平方米计划种植多少株时，能获得最大的产量？大棚最大产量是多少？请自行设函数变量，解决问题．
（2）【场地规划】小王挑选了房屋侧面的空地作为大棚场地．用来侧面加固的材料一共可以围40米，为了节约材料，小王打算让大棚其中一面靠房屋外墙，如图1所示．已知外墙长为12米，如果节约材料，则与墙垂直一面的长度为多少？
（3）【顶棚设计】在确定矩形场地规划的情况下，如图2是大棚顶部建好后的侧面图，相关数据如图，顶棚曲线满足抛物线形状，小王需要给内部两侧距离中心线2米的点A，点B处安装日照灯，试建立合适的坐标系，计算日照灯的安装高度．
​
【分析】（1）设每平方米种植增加a株，则产量每株减少0.25akg，据此列方程解答即可；
（2）根据矩形的面积即可求出垂直墙面一边的长度；据此列式解答；
（3）设二次函数的解析式为 y＝ax2+k，先根据图2得数据求出解析式，再将x＝2代入即可求得答案．
【解答】解：（1）设每平方米种植增加x株，则产量每株减少0.25xkg；产量为wkg，则
w＝（4+a）（2﹣0.25a）＝﹣（a﹣2）2+9，
∴当a＝2时，即每平方米种植4+2＝6（株），产量w最大，最大值为9kg；
∴大棚最大产量为：150×9＝1350（kg），
答：平方米计划种植6株时，能获得最大的产量；大棚最大产量是1350kg；
（2）设与墙垂直一面的长度为多少m米，
根据题意得12×m＝150平方米，
解方程得m＝12.5米，
∵12.5×2+12＝37＜40
∴与墙垂直一面的长度为12.5米；
（3）直角坐标系建立如下图所示，
设二次函数的图象解析式为：y＝ax2+k，
由题意可得，抛物线过点（0，4），
∵外墙长为12米，
∴抛物线过点（6，1.8），
解得：，
∴，
当x＝2米时，y＝﹣×4+4≈3.76（株），
答：灯安装的高度约为3.76米．
21．根据以下素材，探索完成任务．
【分析】任务1：过点B作BF⊥CD交CD的延长线于点F，交y轴于M，利用矩形的性质和解直角三角形可得OE＝30米，DE＝11米，进而可得点D的坐标，设下垂电缆的抛物线表达式为y＝ax（x+60），代入C（30，9）即可求解；
任务2：由（1）可知：y＝x2+x，B（﹣60，﹣20），D（30，﹣11），利用待定系数法求得斜坡BD解析式为y＝x﹣14，可得电缆与坡面的铅直高度h＝（x+15）2+，易知当x＝﹣15时，h有最小值h最小＝＝13.25＜13.5，即可求解；
任务3：以B为坐标原点，BA方向为y轴正方向建立直角坐标系，则A（0，20），过点D作DT⊥x轴，可得电缆抛物线为y′＝x2+bx+20，设D（s，t），则DT＝t，BT＝s，由斜坡BD坡比为1：8，可知点B，D的坐标，进而可得BD的解析式，可得电缆与坡面的铅直高度h′，由电缆下垂恰好符合安全高度要求可求得b，将点C的坐标代入y′中，求得s即可求解．
【解答】解：任务1：过点B作BF⊥CD交CD的延长线于点F，交y轴于M，则四边形ABFE，四边形ABMO，四边形OMFE都是矩形，
∴AB＝EF＝20米，AO＝BM＝60米，BF＝AE＝90米，
则OE＝MF＝BF﹣BM＝30米，
∵斜坡BD的坡比为1：10，
∴DF：BF＝1：10，则DF＝9米，DE＝EF﹣DE＝11米，
∴点D的坐标为（30，﹣11）；
∵AB＝CD＝20米，
∴CE＝CD﹣DE＝9米，
∴A（﹣60，0），O（0，0），C（30，9），
设下垂电缆的抛物线表达式为y＝ax（x+60），
将C（30，9）代入y＝ax（x+60），可得：30×（30+60）a＝9，
解得：a＝，
∴y＝x（x+60）＝x2+x；
任务2：这种电缆的架设不符合安全要求，理由如下：
由（1）可知：y＝x2+x，B（﹣60，﹣20），D（30，﹣11），
设斜坡BD解析式为y＝kx+b′，代入B（﹣60，﹣20），D（30，﹣11），
可得：，
解得：，
∴斜坡BD解析式为y＝x﹣14，
则电缆与坡面的铅直高度h＝x2+x﹣（x﹣14）＝x2+x+14＝（x+15）2+，
∵＞0，
∴当x＝﹣15时，h有最小值h最小＝＝13.25＜13.5，
∴这种电缆的架设不符合安全要求；
任务3：如图，以B为坐标原点，BA方向为y轴正方向建立直角坐标系，则A（0，20），过点D作DT⊥x轴，
∵电缆抛物线的形状与任务1相同，
∴电缆抛物线为y′＝x2+bx+20，
设D（s，t），则DT＝t，BT＝s，
∵斜坡BD坡比为1：8，
∴t：s＝1：8，则：D（s，s），C（s，s+20），
则斜坡BD的解析式为：y＝x，
则电缆与坡面的铅直高度h′＝x2+bx+20﹣x＝x2+（b﹣）x++20，
∵电缆下垂恰好符合安全高度要求，
∴h′最小＝13.5，即：＝13.5，
解得：b＝﹣+（b＝+舍去），
y′＝x2+（﹣+）x+20，
∴将C（s，s+20）代入y′＝x2+（﹣+）x+20中，
可得：s2+（﹣+）s+20＝s+20，
解得s＝10（s＝0舍去），
即：BT＝10，
∴两个塔柱的水平距离应为10米．
22．如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为（﹣，﹣10）．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为（1，），正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；
（3）在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM＝，EN＝，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）根据题意，利用待定系数法求出抛物线解析式，令y＝﹣10得出点B的坐标为（4，﹣10）；
（2）当距点E水平距离为5时，对应的横坐标为5﹣＝，将．x＝代入解析式得y＝﹣，根据﹣﹣（﹣10）＝＜5，确定该运动员此次跳水失误了；
（3）根据题意得到点E（﹣，﹣10 ），M（9，﹣10），N （12，﹣10），当抛物线过点M时，y＝a（x﹣）2﹣14，分情况求出α值，进而根据点D在MN之间得出≤a≤．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a0（x﹣1）2+，
把（0，0）代入解析式得：a0＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+；
令y＝﹣10，则﹣10＝﹣（x﹣1）2+，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝4，
∴入水处B点的坐标为（4，﹣10）；
（2）当距点E水平距离为5时，对应的横坐标为5﹣＝，
将．x＝代入解析式得y＝﹣×（﹣1）2+＝﹣，
∵﹣﹣（﹣10）＝＜5，
∴该运动员此次跳水失误了；
（3）∵EM＝，EN＝，点E的坐标为（﹣，﹣10），
∴点M，N的坐标分别为（9，﹣10），（12，﹣10），
∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
∴当抛物线过点M时，y＝a（x﹣）2﹣14，
把M（9，﹣10）代入，得a＝，
同理，当抛物线过点N（12，﹣10）时，a＝，
由点D在MN之间得a的取值范围为≤a≤．
23．根据以下素材，探索完成任务．
【分析】（1）如图，已知抛物线关于y轴对称，设解析式为y＝ax2+k（a≠0），待定系数法求解得；
（2）抛物线与横轴交点F（﹣10，0），相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m，且关于y轴成轴对称，由（10﹣2）÷4＝2，得桥面可挂6个．
（3）如图，当水位达到最高时，水位线为y＝﹣4，当x＝﹣10时，E（﹣10，1），EN＝5，MN＝10，在Rt△EMN中，由勾股定理求得 （m）．
【解答】解：（1）如图，已知抛物线关于y轴对称，设解析式为y＝ax2+k（a≠0），抛物线经过（10，0），（0，5），得：
，
解得，
∴；
（2）抛物线y＝﹣x2+5，令y＝0，，
解得：x＝﹣10（不合题意，舍去）或10，
∴点 F（﹣10，0），
如图，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m，且关于y轴成轴对称，
∴（10﹣2）÷4＝2，
∴左侧可挂3个，桥面可挂6个．
最右侧位于点G上方1m处，即点（10，1）；
（3）如图，
当水位达到最高时，水位线为y＝﹣（10﹣5﹣1）＝﹣4，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m，
当 x＝﹣10时，E（﹣10，1），EN＝5，MN＝20，
在Rt△EMN中， （m），
故至少需约21m．
24．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知OB＝28m，AB＝8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离＝水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如表：
（1）根据表中数据预测足球落地时，s＝ 30 m；
（2）求h关于s的函数解析式；
（3）守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员面对足球后退过程中速度为2.5m/s，最大防守高度为2.5m；背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m．
①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明；
②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴可直接得出结论；
（2）根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入（12，4.8）可求出参数，由此可解答；
（3）①根据路程先算出当足球在守门员正上方时的时间，进而求出对应的s，再代入求出h，比较即可；
②根据路程先算出当足球在守门员正上方时的时间，进而求出对应的s，再代入求出h，比较即可．
【解答】解：（1）由表格可知，s＝9时和s＝21时，h相等，s＝12时，s＝18时，h相等，
抛物线关于s＝15对称，
∵当s＝0时，h＝0，
∴s＝30时，h＝0，
故答案为：30．
（2）由（1）知，抛物线关于s＝15对称，设h＝a（s﹣15）2+5，
把（12，4.8）代入上述解析式，
∴a（12﹣15）2+5＝4.8，解得a＝﹣，
∴h＝﹣（s﹣15）2+5＝﹣s2+s．
（3）①不成功，理由如下：
若守门员选择面对足球后退，设ts时，足球位于守门员正上方，
则球的水平距离为15t＝28﹣（8﹣2.5t），
解得t＝1.6，
∴s＝15×1.6＝24m，
∴h＝﹣（24﹣15）2+5＝3.2m，
∵3.2＞2.5，
∴若守门员选择面对足球后退，则守门不成功；
②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，设守门员的速度为vm/s，且ts时，足球位于守门员正上方，
则有15t＝28﹣（8﹣vt），解得t＝s，
∴s＝15•＝m，
代入上述解析式可得，h＝﹣•（）2+•＝1.8，
解得v＝或v＝85．
∴此过程守门员的最小速度为m/s．
25．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y＝a（x﹣20）2+k的一部分，山坡OA上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD，墙宽BC＝2米，BC与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米、垂直距离为6米．
（1）若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，
①求抛物线的解析式；
②试通过计算说明石块能否飞越防御墙；
（2）若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括端点B、C），求a的取值范围．
【分析】（1）设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，用待定系数法求得a的值即可求得答案；
（2）把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，与6作比较即可；
（3）把（0，0），B（28，6）和（0，0），C（30，0）分别代入y＝a（x﹣20）2+k求出a即可．
【解答】解：（1）①设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，
把（0，0）代入解析式得：400a+10＝0，
解得：a＝﹣，
∴解析式为：y＝﹣（x﹣20）2+10，即y＝﹣x2+x（0≤x≤40）；
②石块能飞越防御墙AB，理由如下：
把x＝30代入y＝﹣x2+x得：
y＝﹣×900+30＝7.5，
∵7.5＞6，
∴石块能飞越防御墙AB；
（3）由题可知B（28，6），抛物线y＝a（x﹣20）2+k，
∴把（0，0），（28，6）代入得：，
解得a＝﹣；
把C（30，6），（0，0）代入解析式，
解得a＝﹣，
∴a的取值范围为﹣≤a≤﹣．t
0
1
2
3
4
5
6
7
……
h
0
8
14
18
20
20
18
14
……
“道路千万条，安全第一条”
刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车距离的影响因素
材料一
反应距离：驾驶员从开始意识危险到踩下刹车的这段时间内，机动车所行驶的距离．
制动距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止的这段时间内，机动车所行驶的距离．
材料二
汽车急刹车的停车距y（m）为反应距离y1（m）与制动距离y2（m）之和，即y＝y1+y2，而反应距离、制动距离均与汽车行驶的速度x （m/s） 有关，如图是学习小组利用电脑软件模拟出的相关实验数据．
速度x（m/s）
反应距离y1（m）
制动距离y2（m）
10
7.5
8
15
10.5
16.2
20
15
32
25
17.5
52
30
22.9
78.1
35
27.1
108.5
40
29.2
123
…
材料三
经学习小组信息收集得知，汽车的急刹车距离还与汽车本身刹车系数k有关，且满足y＝y1+k•y2，其中y、y1、y2意义同材料二，并且不同类型汽车的刹车系数k满足0.8≤k≤1.5．
运用二次函数研究电缆架设问题
素材1
电缆在空中架设时．两端挂起的电缆下垂都可以近似的看成抛物线的形状．如图，在一个斜坡BD上按水平距离间隔90米架设两个塔柱．每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为20米（AB＝CD＝20米），按如图建立坐标系（x轴在水平方向上）．点A、O、E在同一水平线上，经测量，AO＝60米，斜坡BD的坡比为1：10．
素材2
若电缆下垂的安全高度是13.5米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5米时，符合安全要求，否则存在安全隐患．
（说明：直线GH⊥x轴分别交直线BD和抛物线于点H、G．点G距离坡面的铅直高度为GH的长）
任务1
确定电缆形状
求点D的坐标及下垂电缆的抛物线表达式．
任务2
判断电缆安全
上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由．
任务3
探究安装方法
工程队想在坡比为1：8的斜坡上架设电缆，两个塔柱的高度仍为20米，电缆抛物线的形状与任务1相同，若电缆下垂恰好符合安全高度要求，则两个塔柱的水平距离应为多少米？
如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案？
素材1
图1是一座抛物线形拱桥，以抛物线两个水平最低点连线为x轴，过抛物线离地面的最高点的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图2所示．
某时测得水面宽20m，拱顶离水面最大距离为10m，抛物线拱形最高点与x轴的距离为5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1m达到最高．
素材2
为方便救助溺水者，拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）
问题解决
任务1
确定桥拱形状
根据图2，求抛物线的函数表达式．
任务2
拟定设计方案
求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．
任务3
探究救生绳长度
当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数．）
s/m
…
9
12
15
18
21
…
h/m
…
4.2
4.8
5
4.8
4.2
…