人教版数学九上《二次函数》期末专项训练第04讲 二次函数与一元二次方程、不等式的关系（2份，原卷版+解析版）

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【知识点睛】
求两函数图象的交点
对于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+n、水平直线y＝m:
①当求抛物线与x轴的交点横坐标时→则令抛物线的y=0，即：ax2+bx+c=0；
②当求抛物线与直线y＝kx+n的交点坐标时→则联立两个函数解析式，得，先求x，[即]，再代入直线解析式求y，(x,y)的对应值即为所求交点的坐标；
③当求抛物线与水平直线y＝m的交点是→则联立两个解析式，得
，先求x，[即ax2+bx+c=m];再代入抛物线解析式求y，(x,y)的对应值即为所求交点的坐标；
判断抛物线与直线的交点个数
对于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+n、水平直线y＝m:
①求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点个数→ax2+bx+c=0
△=b2-4ac，
∴有：△＞0，抛物线与x轴有2个交点；
△＝0，抛物线与x轴有1个交点；
△＜0，抛物线与x轴无交点；
②求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+n交点个数→
整理得：，
∴有：△＞0，抛物线与直线y＝kx+n有2个交点；
△＝0，抛物线与直线y＝kx+n有1个交点；
△＜0，抛物线与直线y＝kx+n无交点；
③求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与水平直线y＝m交点个数→
整理得：，后续求交点个数方法同上。
一元二次方程ax2+bx+c=n的解的几何意义
将“=”左边的部分看作抛物线y＝ax2+bx+c，“=”右边的部分看作水平直线y＝n，则方程ax2+bx+c=n即在两函数图象的交点横坐标，所以交点横坐标的值就是方程的解。
【类题训练】
1．方程2x2﹣3x﹣4＝0的解，可看成以下两个函数图象交点的横坐标，其中正确的个数是（ ）
①②③④
A．4B．3C．2D．1​
【分析】由两函数图象交点坐标为两函数的解析式组成的方程组的解，由此判断即可．
【解答】解：①、把y＝3x代入到y＝2x2﹣4得，3x＝2x2﹣4，整理得：2x2﹣3x﹣4＝0，∴方程2x2﹣3x﹣4＝0的解可看成这两个函数图象交点的横坐标，∴①符合题意；
②、把y＝4代入到y＝2x2﹣3x得，4＝2x2﹣3x，整理得：2x2﹣3x﹣4＝0，∴方程2x2﹣3x﹣4＝0的解可看成这两个函数图象交点的横坐标，∴②符合题意；
③、把y＝3x+4代入到y＝2x2得，3x+4＝2x2，整理得：2x2﹣3x﹣4＝0，∴方程2x2﹣3x﹣4＝0的解可看成这两个函数图象交点的横坐标，∴③符合题意；
④、把代入到y＝2x﹣3得，，整理得：2x2﹣3x﹣4＝0，∴方程2x2﹣3x﹣4＝0的解可看成这两个函数图象交点的横坐标，∴④符合题意；
故选：A．
2．若抛物线y＝﹣x2+4x﹣2向上平移m（m＞0）个单位后，在﹣1＜x＜4范围内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是（ ）
A．m≥2B．0＜m≤2C．0＜m≤7D．2≤m＜7
【分析】先求出平移后的函数解析式，分别求出抛物线经过（﹣1，0），（4，0）时m的值，进而求解即可．
【解答】解：将抛物线y＝﹣x2+4x﹣2向上平移m（m＞0）个单位后得到y＝﹣x2+4x﹣2+m，
∵y＝﹣x2+4x﹣2+m在﹣1＜x＜4范围内与x轴只有一个交点，
∴当（﹣1，0）在抛物线上时，
0＝﹣1﹣4﹣2+m，
解得m＝7；
当（4，0）在抛物线上时，
0＝﹣16+16﹣2+m，
解得m＝2；
∴2≤m＜7．
故选：D．
3．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小王同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2+2x﹣3|的图象（如图所示），下列结论错误的是（ ）
A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝﹣1
B．当x＝﹣1时，函数有最大值是4
C．当x＝﹣3或x＝1时，函数有最小值是0
D．当﹣1＜x＜1或x＜﹣3时，函数值随值的增大而减小
【分析】观察图象，分别计算出对称轴、函数图象与x轴的交点坐标，结合图象逐个选项分析判断即可．
【解答】解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线，
故A正确，不符合题意；
令丨x2+2x﹣3丨＝0，可得x2+2x﹣3＝0，
∴（x﹣1）（x+3）＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣3，
∴（1，0）和（﹣3，0）是函数图象与x轴的交点坐标，
由图象可知，当x＜﹣3时，函数值随x的减小而增大，
当x＞1时，函数值随x的增大而增大，
由图象可知（﹣1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，
则当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0，
故C正确，不符合题意；
综合来看：y＝丨x2+2x﹣3丨≥0，
所以当x＝﹣1时的函数值为4并非最大值，
故B错误，符合题意；
∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴当﹣1≤x≤1或x＜﹣3时，函数值y随x值的增大而减小，
故D正确，不符合题意；
综上，只有B错误；
故选：B．
4．抛物线交x轴于O（0，0），A两点，将C1绕点A旋转180°得到抛物线C2，交x轴于另一点A1；将C2绕点A1旋转180°得到抛物线C3，交x轴于另一点A2；…，如此进行下去，形成如图所示的图象，则下列各点在图象上的是（ ）
A．（2022，1）B．（2022，﹣1）C．（2023，1）D．（2023，﹣1）
【分析】根据抛物线的旋转，找到图象的循环特征，由循环特性分别找到当x＝2022、x＝2023时，对应的函数值，进行判定即可．
【解答】解：由已知y＝x2﹣2x＝x2﹣2x+1﹣1＝（x﹣1）2﹣1，
则抛物线C1的顶点为（1，﹣1），
由旋转可知，抛物线C2的顶点为（3，1），
则抛物线C2解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+1，
由题意可知，题干中的复合图象，每4个单位循环一次，
由2022＝505×4+2可知，
x＝2022的函数值等于x＝2时的函数值，
∴x＝2时，y＝22﹣2×2＝0，
由2023＝505×4+3可知，
x＝2023的函数值等于x＝3时的函数值，
∴x＝3时，y＝﹣（3﹣3）2+1＝1，
故可知，点（2023，1）在图象上．
故选：C．
5．抛物线y＝﹣x2+bx+3的部分图象如图所示，则一元二次方程﹣x2+bx+3＝0的根为（ ）
A．x1＝x2＝1B．x1＝1，x2＝﹣1C．x1＝1，x2＝﹣2D．x1＝1，x2＝﹣3
【分析】解法一：观察图象可得抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（1，0），再根据抛物线的对称性即可求解．
解法二：直接利用跟与系数的关系即可求解．
解法三：将（1，0）代入抛物线解析式中，求出b，再令y＝0，求解即可．
【解答】解：解法一：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（1，0），
∴抛物线的另外一个交点为（﹣3，0），
∴一元二次方程﹣x2+bx+3＝0的根为x1＝1，x2＝﹣3．
故选：D．
解法二：由图象可设一元二次方程﹣x2+bx+3＝0的根为x1＝1，x2，
则x1x2＝﹣3，
解得：x2＝﹣3，
∴一元二次方程﹣x2+bx+3＝0的根为x1＝1，x2＝﹣3．
故选：D．
解法三：将（1，0）代入抛物线解析式中得﹣1+b+3＝0，
∴b＝﹣2，
∴y＝﹣x2﹣2x+3，
令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴一元二次方程﹣x2+bx+3＝0的根为x1＝1，x2＝﹣3．
故选：D．
6．抛物线y＝x2+2x+a﹣2与坐标轴有且仅有两个交点，则a的值为（ ）
A．3B．2C．2或﹣3D．2或3
【分析】抛物线必定与y轴有一交点，另一交点为x轴，根据二次函数与一元二次方程之间的关系求解．
【解答】解：抛物线y＝x2+2x+a﹣2与坐标轴有且仅有两个交点，
即与x轴有一个交点，与y轴一个交点．
令y＝0得x2+2x+a﹣2＝0，
∵与x轴一个交点时，
∴Δ＝4﹣4（a﹣2）＝0，
解得a＝3，
当与x轴有两个交点，且其中一个交点与y轴交点相重合时，
此时a﹣2＝0，
∴a＝2，
故选：D．
7．关于x的方程x2+bx﹣c＝0的两根分别是x1＝﹣1，x2＝3，若点A是二次函数y＝x2+bx﹣c的图象与y轴的交点，过A作AB⊥y轴交抛物线于另一交点B，则AB的长为（ ）
A．B．C．2D．3
【分析】根据根与系数的关系求出b、c的值，从而求出二次函数的解析式，令x＝0，得y＝﹣3，根据AB⊥y轴，得AB∥y轴，得B点的纵坐标为﹣3，从而求出B点的坐标，进而求出AB的长．
【解答】解：∵x1＝﹣1，x2＝3，
∴x1+x2＝﹣b＝2，x1x2＝﹣c＝﹣3，
∴y＝x2+2x﹣3，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴A（0，﹣3），
∵AB⊥y轴，
∴B点的纵坐标为﹣3，
将y＝﹣3代入y＝x2+2x﹣3得：﹣3＝x2+2x﹣3，
解得：x1＝0，x2＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣3），
∴AB＝2．
故选：C．
8．如表中列出的是二次函数y＝ax2+bx+c中x与y的几组对应值：
下列说法错误的是（ ）
A．图象开口向下
B．顶点坐标为（1，2）
C．当x＞1时，y的值随x值的增大而减小
D．这个函数的图象与x轴无交点
【分析】先根据函数上的点画出函数的图象，再根据图象判断求解．
【解答】解：根据点的坐标画出函数的图象为：
由图象得：A、B、C都是正确的，
故选：D．
9．二次函数y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的图象与x轴的交点情况是（ ）
A．有1个交点B．有2个交点C．无交点D．无法确定
【分析】根据判别式Δ＞0，得出结论．
【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣c）＝9+8c，
∵c＞0，
∴9+8c＞0，
∴Δ＞0，
∴二次函数y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的图象与x轴有两个交点，
故选：B．
10．某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：
由于粗心，他算错了其中的一个y值，那么这个错误的数值是（ ）
A．﹣3B．﹣4C．0D．﹣1
【分析】假设三点（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）在函数图象上，利用待定系数法求得解析式，然后判断其他两点可得答案．
【解答】解：假设三点（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）在函数图象上，
把（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）代入函数解析式得：
，
解得，
函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当x＝﹣1时，y＝0，
当x＝﹣2时，y＝5，
故选：D．
方法二：
解：假设函数经过（0，﹣3），（2，﹣3），则对称轴为直线x＝1，
此时y＝﹣4，函数值最小，
∴函数开口向上，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
而表格中，x＝﹣2时，y＝﹣1，由题意不符，
故选：D．
11．二次函数y＝x2﹣4x+n与x轴只有一个交点．若关于x的方程x2﹣4x+n＝t（t为实数），在0＜x＜5范围内有解．则t的取值范围是（ ）
A．0≤t＜4B．0≤t＜9C．4＜t＜9D．t≥0
【分析】根据二次函数y＝x2﹣4x+n与x轴只有一个交点．可以求得n的值，再根据关于x的方程x2﹣4x+n＝t（t为实数），在0＜x＜5范围内有解和二次函数的性质，即可得到t的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+n与x轴只有一个交点．
∴（﹣4）2﹣4×1×n＝0，
解得n＝4，
∴二次函数y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，
∴该函数的对称轴为直线x＝2，图象开口向上，顶点坐标为（2，0），
∴当x＝5时，y＝9，当x＝0时，y＝4，
∵关于x的方程x2﹣4x+n＝t（t为实数），在0＜x＜5范围内有解．
∴0≤t＜9，
故选：B．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c，y与x的部分对应值为：
关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，函数图象从左到右上升
B．抛物线开口向上
C．方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间
D．当x＝2时，y＝1
【分析】根据表格数据求出顶点坐标，对称轴，开口方向，根据二次函数的性质即可判断A，B，；x＝﹣2时，y＝﹣1；x＝﹣1时，y＝2即可判断C，D．
【解答】解：∵x＝﹣1和x＝1时的函数值相同，都是2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝0，
∴抛物线的顶点为（0，3），
∴y＝3是函数的最大值，
∴抛物线的开口向下，当x＞0时，y随x的增大而减小，即当x＞0时，函数图象从左到右下降，
所以A错误，B错误；
∵x＝﹣2时，y＝﹣1；x＝﹣1时，y＝2，
∴方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间，
所以C正确，D错误．
综上所述：其中正确的结论有C．
故选：C．
13．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列结论：
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4；
⑥若点P（a，b）在该图象上，则当b＝3时，可以找到4个不同的点P．
其中正确结论的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】由函数解析式分别令y＝0及x＝0，可求得曲线与x轴及y轴的交点坐标，从而可对①作出判定；根据y＝x2﹣2x﹣3或y＝﹣（x2﹣2x﹣3）知，它们的对称轴为直线x＝1，再由图象可分别对②③④⑤作出判断；根据函数解析式求得当b＝3时的自变量的值，从而可对⑥作出判断．
【解答】解：令y＝|x2﹣2x﹣3|＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，即图象与x轴有两个交点（﹣1，0），（3，0），
令x＝0，得y＝3，即图象与y轴的交点为（0，3），
即图象与坐标轴的交点（﹣1，0），（3，0）和（0，3），故①正确；
由y＝x2﹣2x﹣3或y＝﹣（x2﹣2x﹣3）知，它们的对称轴为直线x＝1，故②正确；
根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，故③正确；
函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，故④正确；
从图象上看，当x＝1时，函数值要大于4，因此⑤不正确；
当y＝|x2﹣2x﹣3|＝3时，即x2﹣2x﹣3＝±3当x2﹣2x﹣3＝3时，即x2﹣2x﹣6＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣2，
当x2﹣2x﹣3＝﹣3时，即x2﹣2x﹣＝0，解得：x3＝0，x4＝2，
即当b＝3时，可以得到四个不同的a的值，从而可以找到4个不同的点P，故⑥正确；
从而错误的为⑤．
故选：C．
14．已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（ ）
A．x3＜x1＜x2＜x4B．x1＜x3＜x4＜x2
C．x1＜x2＜x3＜x4D．x3＜x4＜x1＜x2
【分析】画出抛物线y＝x2+2x﹣3，直线y＝m，直线y＝n，根据一元二次方程与二次函数的关系，观察图象可得答案．
【解答】解：关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝m的交点的横坐标，
关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝n的交点的横坐标，
如图：
由图可知，x1＜x3＜x4＜x2，
故选：B．
15．抛物线y＝﹣（x+2）2+6与y轴的交点坐标是 （0，2） ．
【分析】令x＝0，求出y的值，即可求出抛物线与y轴的交点坐标．
【解答】解：在抛物线y＝﹣（x+2）2+6中，令x＝0，
即y＝﹣4+6＝2，
则抛物线y＝﹣（x+2）2+6与y轴的交点坐标是（0，2），
故答案为：（0，2）．
16．二次函数y＝x2﹣3x﹣2与x轴交点坐标分别为（m，0），（n，0），则m2+3n﹣mn的值是 13 ．
【分析】根据题意可得m，n是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，利用两根之和与两根之积与系数的关系即可求解．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣3x﹣2与x轴交点坐标分别为（m，0），（n，0），
∴m，n是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，
∴mn＝﹣2，m+n＝3，m2﹣3m﹣2＝0，
∴m2＝3m+2，
∴m2+3n﹣mn＝3m+2+3n﹣mn＝3（m+n）﹣mn+2＝3×3﹣（﹣2）+2＝13．
故答案为13．
17．已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上，那么x1+x2＝ 3 ．
【分析】根据抛物线的对称性以及对称轴公式即可得到＝﹣，解得x1+x2＝3．
【解答】解：∵P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上，
∴P、Q关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣，
∴x1+x2＝3，
故答案为：3．
18．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（5，0）和（1，﹣8），请回答下列问题：
（1）求抛物线的解析式，并直接写出顶点的坐标；
（2）若抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC，求△ABC的面积；
（3）在抛物线y＝x2+bx+c上是否存在一点P（点P不与点C重合）使S△ABP＝S△ABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）待定系数法求抛物线解析式，配方法求顶点坐标；
（2）求出A、B、C三点坐标，利用S△ABC＝AB•OC求面积；
（3）△ABP与△ABC同底等高，所以|yP|＝5．
【解答】解：（1）把（5，0）和（1，﹣8）分别代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x﹣5，
∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
∴顶点坐标为（2，﹣9）；
（2）当y＝0时，即x2﹣4x﹣5＝0，
∴x1＝5，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
∴AB＝6，
当x＝0时y＝﹣5，
∴C（0，﹣5），
∴OC＝5，
∴S△ABC＝AB•OC＝×6×5＝15；
（3）存在点P，点P的坐标为（4，﹣5）或（2+，5）或（2﹣，5），理由如下：
∵S△ABP＝S△ABC，
∴AB•OC＝AB•|yP|，
∴|yP|＝5，
∴yP＝±5，
∴x2﹣4x﹣5＝±5，
∴x1＝0，x2＝4，x3＝2+，x4＝2﹣，
∵点P不与点C重合，
∴点P的坐标为（4，﹣5）或（2+，5）或（2﹣，5）．
19．如图所示，抛物线 y＝ax2﹣4ax+5 与x轴交于点A（﹣1，0）、B两点，交y轴于点C，点P为抛物线顶点．
​（1）求二次函数解析式；
（2）当直线y＝﹣x+b与AP这段函数图象有交点时，求b的取值范围；
（3）点M（t﹣1，m）、N（t+1，n）在抛物线上，若﹣1＜t＜2，求m﹣n的取值范围．
【分析】（1）把点A坐标代入y＝ax2﹣4ax﹣5即可得函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得P点坐标；
（2）根据函数图象以及直线y＝x+b过点A和点P时b的值，可以确定b的取值范围；
（3）把M，N坐标代入解析式，然后相减，再根据t的取值范围求出m﹣n的取值范围．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0）是抛物线 y＝ax2﹣4ax+5 上的点，
∴a+4a+5＝0，解得a＝﹣1．
∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2+4x+5，
（2）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴P点的坐标为（2，9）．
当直线y＝﹣x+b过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得 b＝﹣1，
当直线y＝﹣x+b过点P（2，9）时，﹣2+b＝9，解得b＝11，
∴b的取值范围是﹣1≤b≤11．
（3）∵点M（t﹣1，m）、N（t+1，n）在抛物线上，
∴m＝﹣（t﹣1﹣2）2+9＝﹣t2+6t，n＝﹣（t+1﹣2）2+9＝﹣t2+2t+8，
∴m﹣n＝4t﹣8，
∵﹣1＜t＜2，
∴﹣12＜4t﹣8＜0．
∴m﹣n的取值范围为：﹣12＜m﹣n＜0．
20．定义：若一个函数图象存在横坐标与纵坐标互为相反数的点，则称该点为函数图象的“和零点”．例如，求函数y＝x﹣2图象的“和零点”．
解：∵“和零点”的横坐标与纵坐标互为相反数，∴“和零点”在函数y＝﹣x的图象上，
∴，解得．
∴函数y＝x﹣2图象的“和零点”是（1，﹣1）．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）求函数图象的“和零点”；
（2）若函数y＝x2﹣3x+k图象存在唯一的一个“和零点”，求k的值；
（3）如图，点A，B是函数y＝﹣x2+4x+6图象的“和零点”，点C是函数图象的“和零点”，过点C作CD⊥x轴，垂足为D．连接AB，AD，BD，求△ABD的面积．
【分析】（1）根据定义列出方程，解方程即可得出结论；
（2）根据定义列出方程，由题意可知x2﹣3x+k+x＝0有两个相等的实数根，利用Δ＝0求得k的值即可；
（3）解方程﹣x2+5x+6＝0求得A、B的坐标，由（1）可知C（，﹣），利用S△ABC＝S△ACD+S△BCD求得即可．
【解答】解：（1）由题意得：x﹣2+x＝0，
解得：x＝，
∴x﹣2＝﹣．
∴函数图象的“和零点”为（，﹣）；
（2）∵函数y＝x2﹣3x+k图象存在唯一的一个“和零点”，
∴x2﹣3x+k+x＝0有两个相等的实数根，
方程整理得x2﹣2x+k＝0，则Δ＝（﹣2）2﹣4k＝0，
解得k＝1，
故函数y＝x2﹣3x+k图象存在唯一的一个“和零点”，k的值为1；
（3）由题意得﹣x2+4x+6+x＝0，即﹣x2+5x+6＝0，
解得x1＝6，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，1），B（6，﹣6），
由（1）可知C（，﹣），
∴S△ABC＝S△ACD+S△BCD＝＝．
21．如图，抛物线y＝﹣x2+mx﹣5与x轴交于A，B两点，对称轴为x＝﹣3，直线l的解析式为y＝﹣2x+b．
（1）当直线l与抛物线有且只有一个交点时，求b的值；
（2）若直线l经过抛物线的顶点C时，l与y轴交于点D，把抛物线沿线段CD方向向右下平移，使抛物线的顶点移动到点D处，在平移过程中，设抛物线上A，C两点之间这一段曲线扫过的面积为S，求S的值．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式求得m的值，从而得出抛物线的解析式，进而联立抛物线解析式与直线l的解析式的方程组，消去得x的一元二次方程，根据一元二次方程的根的判别式列出b的方程便可求得b的值；
（2）由二次函数的顶点式求得C点坐标，再将C点坐标代入直线l的解析式中求得直线的解析式，进而求得直线l与y轴的交点D的坐标，求得△ACD的面积，进而求得设点A平移后的对应点为点E，连接AC、DE、AE、AD，求出平行四边形ACDE的面积便可是抛物线上A，C两点之间这一段曲线扫过的面积．
【解答】解：（1）由抛物线对称轴为x＝﹣＝﹣3，可得m＝﹣6，
所以抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣5联立抛物线与直线l的解析式，
得x2+8x+（b+5）＝0，
因直线l与抛物线有且只有一个交点，
所以该方程根的判别式为0，即Δ＝42﹣4（b+5）＝0，
解得b＝﹣1；
（2）∵抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5＝﹣（x+3）2+4，
∴顶点坐标为C（﹣3，4），
当y＝0时，有﹣x2﹣6x﹣5＝0，
解得，x1＝﹣5，x2＝﹣1，
∴A（﹣5，0），B（﹣1，0）
把C（﹣3，4）代入直线l：y＝﹣2x+b．得b＝﹣2，
∴直线l：y＝﹣2x﹣2，
∴D（0，2），
设点A平移后的对应点为点E，连接AC、DE、AE、AD，
由平移性质可知四边形ACDE为平行四边形，
，
所以S▱ACDE＝2S△ACD＝24，
∴抛物线上A，C两点之间这一段曲线扫过的面积为S＝S▱ACDE＝24．
考点二：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一元一次不等式间的关系
【知识点睛】
利用函数图象的交点横坐标和上下关系，直接确定不等式的解集
常见关系如下：
①ax2+bx+c＞0的解表示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴上方，则交点横坐标的一侧符合题意；
②ax2+bx+c＜0的解表示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴下方，则交点横坐标的一侧符合题意；
③ax2+bx+c＞kx+m的解表示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象在直线y=kx+m上方，则交点横坐标的一侧符合题意；
④ax2+bx+c＜kx+m的解表示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象在直线y=kx+m下方，则交点横坐标的一侧符合题意；
【类题训练】
1．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜5B．x＞5C．x＜﹣1D．x＜﹣1或x＞5
【分析】根据二次函数的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，对称轴为直线x＝2，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
又∵抛物线开口向下，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5．
故选：A．
2．如图，抛物线y＝x2+1与双曲线y＝的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式x2+1＜的解集是（ ）
A．x＞1B．x＜0C．0＜x＜1D．﹣1＜x＜0
【分析】根据函数图象，写出抛物线在双曲线下方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，0＜x＜1时，x2+1＜．
故选：C．
3．已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a，b是常数a≠0，b＜0），其对称轴是，下列结论：
①抛物线开口向下；
②抛物线y＝ax2+bx+2必过两定点；
③不等式ax2+bx＞2的解集是x＜0；
④设方程ax2+bx﹣2b＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+2x1•x2+x2＝1．
则其中正确的结论有（ ）个
A．0B．1C．2D．3
【分析】①由抛物线的对称轴是直线x＝，且b＜0，可判断出a的正负，进而得出抛物线的开口方向．
②由函数表达式的特征，发现它过定点（0，2），再根据对称轴可得出另一个定点．
③利用数形结合的思想，ax2+bx＞2即图象上y＞0的部分．
④由对称轴可得出a，b之间的关系式，用b表示a，可将原方程转化为一元二次方程，进而解决问题．
【解答】解：①由抛物线的对称轴是直线x＝得，＝，则a＝﹣b，又b＜0，则a＞0，抛物线开口向上．故①错误．
②当x＝0时，y＝2，故抛物线过定点（0，2）．又根据抛物线的对称性可知（1，2）也在函数图象上．故②正确．
③不等式ax2+bx＞2即为抛物线y＝ax2+bx﹣2在x轴上方的部分，又抛物线开口向上，且过定点（0，2），（1，2），则不等式ax2+bx＞2的解集显然不是x＜0．故③错误．
④由①知a＝﹣b，所以原方程可转化为﹣bx2+bx﹣2b＝0，即x2﹣x+2＝0，又它的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝1，x1x2＝2，所以x1+2x1x2+x2＝5．故④错误．
故选：B．
4．已知二次函数和y2＝（x﹣a）（x﹣b）且ab≠0，（ ）
A．若﹣1＜x＜1，a＞，则y1＞y2
B．若x＜1，a＞，则y1＞y2
C．若﹣1＜x＜1，，则y1＜y2
D．若x＜﹣1，，则y1＜y2
【分析】由于y1＝ab（x﹣）（x﹣）＝abx2﹣（a+b）x+1，y2＝（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab（ab≠0），则y1﹣y2＝（ab﹣1）x2+1﹣ab＝（ab﹣1）（x2﹣1）＝（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）．对于A选项，由﹣1＜x＜1，可得（x+1）（x﹣1）＜0，由a＞＞0，可得ab＞1，即可得（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＜0，即可判断A选项；对于B选项，由x＜1，可知（x+1）（x﹣1）不确定正负，则y1与y2的大小无法确定，即可判断B选项；对于C选项，由﹣1＜x＜1，可得（x+1）（x﹣1）＜0，由＜a＜0，可得0＜ab＜1，即可得（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＞0，即可判断C选项；对于D选项，由x＜﹣1，可得（x+1）（x﹣1）＞0，由＜a＜0，可得0＜ab＜1，即可得（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＜0，即可判断D选项．
【解答】解：＝（ax﹣1）（bx﹣1）＝abx2﹣（a+b）x+1，
y2＝（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab（ab≠0），
∴y1﹣y2＝（ab﹣1）x2+1﹣ab＝（ab﹣1）（x2﹣1）＝（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）．
对于A选项，
∵﹣1＜x＜1，
∴（x+1）（x﹣1）＜0，
∵a＞＞0，
∴ab＞1，
∴（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＜0，
即y1＜y2，
故A选项错误；
对于B选项，
∵x＜1，
∴（x+1）（x﹣1）不确定正负，
∴y1与y2的大小无法确定，
故B选项错误；
对于C选项，
∵﹣1＜x＜1，
∴（x+1）（x﹣1）＜0，
∵＜a＜0，
∴0＜ab＜1，
∴ab﹣1＜0，
∴（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＞0，
即y1＞y2，
故C选项错误；
对于D选项，
∵x＜﹣1，
∴（x+1）（x﹣1）＞0，
∵＜a＜0，
∴0＜ab＜1，
∴ab﹣1＜0，
∴（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＜0，
即y1＜y2，
故D选项正确．
故选：D．
5．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间（包含端点）．下列结论中正确的是（ ）
①不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3；
②9a2﹣b2＜0；
③一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根分别为，x2＝﹣1；
④6≤3n﹣2≤10．
​
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【分析】由已知求出b＝﹣2a，c＝﹣3a，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个的交点为（3，0），则不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3；再将b＝﹣2a，c＝﹣3a，代入9a2﹣b2，即可判断②；将一元二次方程cx2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣ax+a＝0，即可求方程的根；由已知可得2≤c≤3，再由抛物线的顶点坐标可求n＝﹣4a，从而进一步可求n的范围为≤n≤4，即可求出6≤3n﹣2≤10．
【解答】解：∵顶点坐标为（1，n），
∴b＝﹣2a，
∵与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∵对称轴为直线x＝1，经过点（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个的交点为（3，0），
∵抛物线开口向下，
∴不等式ax2++bx+c＜0的解集为x＜﹣1或x＞3，
即不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3，
故①正确；
∵9a2﹣b2＝9a2﹣（﹣2a）2＝5a2＞0，
故②不正确；
∵一元二次方程cx2+bx+a＝0可化为﹣3ax2﹣ax+a＝0，
即3x2+2x﹣1＝0，
∴方程的根为x1＝，x2＝﹣1，
故③正确；
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间，
∴2≤c≤3，
∵顶点坐标为（1，n），
∴n＝﹣4a，
∵c＝﹣3a，
∴n＝c，
∴≤n≤4，
∴6≤3n﹣2≤10；
故④正确；
故选：D．
6．已知抛物线y＝﹣3x2+bx+c经过点A（0，2）、B（4，2），则不等式﹣3x2+bx+c＜2的解集是 x＞4或x＜0 ．
【分析】直接利用二次函数图象利用A，B点坐标得出不等式﹣3x2+bx+c＜2的解集．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣3x2+bx+c的图象经过点A（0，2），B（4，2），如图所示：
∴不等式﹣3x2+bx+c＜2的解集为：x＞4或x＜0，
故答案为：x＞4或x＜0．
7．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是 x＜﹣1或x＞3 ．
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到不等式ax2﹣mx+c＞n的解集，本题得以解决．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴ax2+c＞mx+n的解集是x＜﹣1或x＞3，
∴ax2﹣mx+c＞n的解集是x＜﹣1或x＞3，
故答案为：x＜﹣1或x＞3．
8．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足表：
（1）观察表格，n的值为 ﹣3 ．
（2）不等式ax2+bx+c＞﹣3的解集为 0＜x＜2 ．
【分析】（1）由抛物线经过（﹣1，﹣6），（3，﹣6）可得抛物线的对称轴，再由抛物线的对称性求解．
（2）根据抛物线开口方向及y＝﹣3时x的值求解．
【解答】解：（1）∵抛物线经过（﹣1，﹣6），（3，﹣6），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∴点（0，n），（2，﹣3）关于对称轴对称，
∴n＝﹣3，
故答案为：﹣3．
（2）由（1）得（1，2）为抛物线顶点，
由表格可得抛物线顶点为最高点，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线经过（0，﹣3），（2，﹣3），
∴0＜x＜2时，ax2+bx+c＞﹣3，
故答案为：0＜x＜2．
9．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是 x＜﹣1或x＞4 ．
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞4时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的上方，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜﹣1或x＞4．
故答案为：x＜﹣1或x＞4．
10．如图，直线y1＝﹣x+b与抛物线相交于A，B两点，点B在y轴上，当y1＞y2时，x的取值范围是 ﹣6＜x＜0 ．
【分析】求得A，B两点的横坐标，再根据图象得出取值范围即可．
【解答】解：因为直线y1＝﹣x+b与抛物线分别交于A，B两点，
令x＝0，则y2＝﹣3，
∴B点坐标为（0，﹣3），
则﹣3＝﹣0+b，解得b＝﹣3，
∴直线的解析式为y1＝﹣x﹣3，
解方程，
得x1＝0，x2＝﹣6，
∴A，B两点的横坐标分别为﹣6，0，
∴当y1＞y2时，﹣6＜x＜0，
故答案为：﹣6＜x＜0．
11．二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴有两个不同的交点，与y轴相交于正半轴，对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：
①abc＞0；
②若t为任意实数，则有a﹣at2＜bt+b；
③若点P（t﹣1，y1）Q（t，y2）在抛物线上，当时，y1＞y2；
④若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，则方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n（m＜n）满足m＜x1且n＞x2．
其中正确的是 ①④ （填写序号）．
【分析】①、由图象y轴相交于正半轴，对称轴为直线x＝﹣1，分别确定c、b的符号；
②、由a＞0可知y有最小值，进而建立不等式；
③、将t﹣1，t分别代入解析式，用t分别表示y1，y2，解不等式y1﹣y2＞0即可；
④、由x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，得y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），由方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n得m，n是函数值为1的两点的横坐标．
【解答】①、∵图象y轴相交于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴，
∴b＝2a＞0，
∴abc＞0，
∴①正确．
②、∵a＞0，
∴当x＝﹣1时y有最小值，
∴at2+bt+c≥a﹣b+c，a﹣at2≤bt+b，
∴②不正确．
③、将t﹣1，t分别代入解析式，得y1＝a（t﹣1）2+b（t﹣1）+c，y2＝at2+bt+c，要使y1＞y2，只需a（t﹣1）2+b（t﹣1）+c＞at2+bt+c，
∴，
∴③不正确．
④、∵x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，
∴y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），由方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0得a（x﹣x1）（x﹣x2）＝1，即y＝1，则m，n（m＜n）是函数值为1的两个点的横坐标，由图象可知m＜x1且n＞x2，
∴④正确．
故答案为：①④
12．如图，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数y＝﹣x+b的图象交于A，C两点．
（1）求b的值；
（2）求△ABC的面积；
（3）根据图象直接写出当x为何值时，一次函数的值大于二次函数的值．
【分析】（1）令y＝0，y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝3或﹣1，得点A坐标为（﹣1，0），B（3，0），将点A（﹣1，0）代入y＝﹣x+b，即可求解；
（2）方程组，解得：或，得点C坐标为（2，﹣3），根据面积公式即可求解；
（3）根据图象可知，﹣1＜x＜2时，一次函数值大于二次函数值．
【解答】解：（1）∵令y＝0，y＝x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x＝3或﹣1，
∴点A坐标为（﹣1，0），B（3，0），
将点A（﹣1，0）代入y＝﹣x+b，
1+b＝0，解得b＝﹣1；
（2）方程组，
解得：或，
∴点C坐标为（2，﹣3），
∴△ABC的面积＝×4×3＝6；
（3）根据图象可知，﹣1＜x＜2时，一次函数值大于二次函数值．
13．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）．
（1）请求出抛物线对称轴及A、B两点坐标；
（2）当y＞0时，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）由x＝﹣可得抛物线对称轴，将二次函数解析式化为交点式可得点A，B坐标；
（2）结合抛物线的开口方向确定函数的增减性即可求解．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵y＝ax2−2ax−3a＝a（x﹣3）（x+1），
∴抛物线与x轴交点为A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∴当y＞0时，﹣1＜x＜3．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2﹣2ax+3a，顶点坐标为 （x0，y0）．
（1）若函数图象关于直线x＝1对称，求函数的表达式；
（2）求y0的最大值；
（3）是否存在实数a，使得当1≤x≤4时，二次函数的最大值为最小值的3倍，若存在，求出a；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据对称轴为x＝1得到＝1，解得a＝1，代入得到函数的表达式为y＝x2﹣2x+3；
（2）整理y＝ax2﹣2ax+3a得y＝（x2﹣2ax+a2）﹣a2+3a，根据顶点坐标为顶点坐标为（x0，y0）得到y0＝﹣a2+3a，化为y＝﹣（a﹣）2+得到y0的最大值为；
（3）由1≤x≤4得到当x＝1时，y＝1+a，当x＝4时，y＝16﹣5a，再根据顶点（a，﹣a2+3a），对称轴为直线x＝a，二次函数的最大值为最小值的3倍，分情况讨论确定．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣2ax+3a图象关于直线＝1对称，
∴＝1，
∴a＝1，
∴函数的表达式为y＝x2﹣2x+3；
（2）整理y＝ax2﹣2ax+3a，
得y＝（x2﹣2ax+a2）﹣a2+3a
＝（x﹣a）2﹣a2+3a，
∵顶点坐标为（x0，y0），
∴y0＝﹣a2+3a＝﹣（a2﹣3a）＝﹣（a﹣）2+，
∴y0的最大值为；
（3）当x＝1时，y＝1+a，
当x＝4时，y＝16﹣5a，
顶点（a，﹣a2+3a），对称轴为直线x＝a，
当1＜4＜a时，1+a＝3（16﹣5a），解得a＝（舍去），
当a＜1＜4时，16﹣5a＝3（1+a），解得a＝（舍去），
当1＜a＜4时，1+a＝3（﹣a2+3a），解得a1＝，a2＝（舍去），
16﹣5a＝3（﹣a2+3a），解得a1＝2，a2＝，
综上所述，当1≤x≤4时，存在二次函数的最大值为最小值的3倍，a为或2或．
15．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、C两点，顶点为点B，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）求二次函数的解析式；
（3）设直线AB的解析式为y＝mx+n，请写mx+n≥ax2+bx+c的解集．
【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点的横坐标就是二次方程的两个实数根，可直接得结论；
（2）设出抛物线解析式的顶点式，再把A（1，0）代入解析式即可；
（3）根据函数图象即可得出结论．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于（3，0）、（1，0），
∴ax2+bx+c＝0的根为：x1＝3，x2＝1；
（2）∵顶点B（2，2），
∴设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2+2，
把A（1，0）代入解析式得a（1﹣2）2+2＝0，
解得a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣2）2+2＝﹣2x2+8x﹣6，
∴二次函数的解析式为y＝﹣2x2+8x﹣6；
（3）∵直线AB与抛物线y＝ax2+bx+c相较于A，B，
由图象得mx+n≥ax2+bx+c的解集为x≥2或x≤1．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b（m、b均为常数）交于点A（2，0）和点B．
（1）求m和b的值；
（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集；
（3）点M是直线AB上的一个动点，点N在点M正下方（即MN∥y轴），且MN＝2，若线段MN与抛物线只有一个公共点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）求出点B的坐标为（﹣1，3），再观察函数图象即可求解；
（3）根据题意确定出m2﹣2m≥﹣m且m2﹣2m≤﹣m+2，根据二次函数与不等式的关系求出m的取值范围即可．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4+2m，解得：m＝﹣2，
将点A的坐标代入直线表达式得：0＝﹣2+b，解得b＝2；
故m＝﹣2，b＝2；
（2）由（1）得，直线和抛物线的表达式为：y＝﹣x+2，y＝x2﹣2x，
联立上述两个函数表达式并解得，或（不符合题意，舍去），
即点B的坐标为（﹣1，3），
从图象看，不等式 x2+mx＞﹣x+b 的解集为x＜﹣1或x＞2；
（3）由题意设点M的坐标为（m，﹣m+2），则点N（m，﹣m），
∵线段MN与抛物线只有一个公共点，
∴，
解得：1≤m≤2或﹣1≤m≤0，
∴点M的横坐标xM的取值范围为1≤xM≤2或﹣1≤xM≤0．x
…
﹣1
0
1
2
…
y
﹣1
2
…
x
……
﹣2
﹣1
0
1
2
……
y
……
﹣1
0
﹣3
﹣4
﹣3
……
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣1
2
3
2
？
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣6
n
2
﹣3
﹣6
﹣11
…