人教版数学九上《二次函数》期末专项训练第12讲 二次函数中的交点个数问题专题训练（2份，原卷版+解析版）

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A．﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤B．﹣3＜n＜﹣1或1≤n≤
C．n≤﹣1或1＜n≤D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1
【分析】首先确定出二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．
【解答】解：如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．
所以当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3．
如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，
∴﹣n＝1，解得：n＝﹣1．
∴当﹣3＜n＜﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1），
∴n＝1．
如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（﹣，1），
∴+2﹣n＝1，解得：n＝．
∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤，
故选：B．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当﹣2＜x＜3时，求y的取值范围；
（3）抛物线与y轴交于点B，直线AB上有一动点P，将点P向下平移1.5个单位长度，得到点Q，若抛物线与线段PQ只有一个公共点，请直接写出点P的横坐标xp的取值范围．
【分析】（1）由已知可得﹣＝﹣1①，16a﹣4b﹣4＝0②，解出a，b的值即得抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；
（2）由y＝x2+x﹣4＝（x+1）2﹣，知当x＝﹣1时，y最小＝﹣，当x＝3时，y取，故当﹣2＜x＜3时，y的取值范围是﹣≤y＜；
（3）求出直线AB解析式为y＝﹣x﹣4，设P（m，﹣m﹣4），则Q（m，﹣m﹣5.5），当Q在抛物线y＝x2+x﹣4上时，﹣m﹣5.5＝m2+m﹣4，得m＝﹣1或m＝﹣3，再结合图象可得﹣1≤xp≤0或﹣4≤xp≤﹣3．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1①，
将点A（﹣4，0）代入y＝ax2+bx﹣4中，得16a﹣4b﹣4＝0②，
由①，②解得a＝，b＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；
（2）∵y＝x2+x﹣4＝（x+1）2﹣，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣），
∴当x＝﹣1时，y最小＝﹣，
∵（﹣1）﹣（﹣2）＜3﹣（﹣1），
当x＝3时，y取最大值，最大值为y＝×（3+1）2﹣＝，
∴当﹣2＜x＜3时，y的取值范围是﹣≤y＜；
（3）如图：
在y＝x2+x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，
∴B（0，﹣4），
由A（﹣4，0），B（0，﹣4）得直线AB解析式为y＝﹣x﹣4，
设P（m，﹣m﹣4），则Q（m，﹣m﹣5.5），
当Q在抛物线y＝x2+x﹣4上时，
﹣m﹣5.5＝m2+m﹣4，
解得m＝﹣1或m＝﹣3，
由图可知，当﹣1≤m≤0或﹣4≤m≤﹣3时，线段PQ与抛物线只有一个交点，
∴﹣1≤xp≤0或﹣4≤xp≤﹣3．
3．定义：函数l与l'的图象关于y轴对称，点P（t，0）是x轴上一点，将函数l'的图象位于直线x＝t左侧的部分，以x轴为对称轴翻折，得到新的函数w的图象，我们称函数w是函数l的对称折函数，函数w的图象记作F1，函数l的图象位于直线x＝t上以及右侧的部分记作F2，图象F1和F2合起来记作图象F．
例如：如图，函数l的解析式为y＝x+1，当t＝1时，它的对称折函数w的解析式为y＝x﹣1（x＜1）．
（1）函数l的解析式为y＝2x﹣1，当t＝﹣2时，它的对称折函数w的解析式为 y＝2x+1（x＜﹣2） ；
（2）函数l的解析式为y＝x2﹣x﹣1，当﹣4≤x≤2且t＝0时，求图象F上点的纵坐标的最大值和最小值；
（3）函数l的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）．
①若a＝1，直线y＝t﹣1与图象F有两个公共点，求t的取值范围；
②当﹣5≤x≤3，且t＝2时，图象F上有4个点到x轴的距离等于2，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）先由函数l与l'的图象关于y轴对称，写出函数l'的解析式，再根据对称折函数的定义写出对称折函数w的解析式即可；
（2）由题意得F的解析式，由自变量的取值范围﹣4≤x≤2，结合二次函数的性质分段可得出图象F上点的纵坐标的最大值和最小值；
（3）①先写出当a＝1时，图象F的解析式，分两种情况计算：ⅰ：当t﹣1＝﹣4时，t＝﹣3，ⅱ：当点（t，t﹣1）落在y＝x2﹣2x﹣3（x≥t）上时，t﹣1＝t2﹣2t﹣3，即可求得t的取值范围；②写出图象F的解析式，再分两种情况分别求解：当a＞0时，当a＜0时，当x＝2时、当x＝﹣1时、当x＝﹣5时，根据图象F上有4个点到x轴的距离等于2，分别得出关于a的不等式，求解即可．
【解答】解：（1）∵函数l的解析式为y＝2x﹣1，函数l与l'的图象关于y轴对称，
∴函数l'的解析式为y＝﹣2x﹣1，
∴t＝﹣2时，它的对称折函数w的解析式为y＝2x+1（x＜﹣2）．
故答案为：y＝2x+1（x＜﹣2）；
（2）由题意得F的解析式为：
y＝，
∴当x＝﹣4时，y＝﹣3；
当x＝﹣1时，；
当x＝1时，；
当x＝2时，y＝1，
∴图象F上的点的纵坐标的最大值为，最小值为y＝﹣3；
（3）①当a＝1时，图象F的解析式为：y＝．
ⅰ：当t﹣1＝﹣4时，t＝﹣3，
∴当t＝﹣3时，直线y＝t﹣1与图象F有两个公共点；
ⅱ：当点（t，t﹣1）落在y＝x2﹣2x﹣3（x≥t）上时，t﹣1＝t2﹣2t﹣3，解得，，
当点（t，t﹣1）落在y＝﹣x2﹣2x+3（x＜t）上时，t﹣1＝﹣t2﹣2t+3，
解得t3＝﹣4（舍），t4＝1，
∵t﹣1＝4，
∴t＝5；
∴当或时，直线y＝t﹣1与图象F有两个公共点；
综上所述：当t＝﹣3，或时，直线y＝t﹣1与图象F有两个公共点；
②图象F的解析式为：y＝，
∵当x＝3时，y＝0，y＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为x＝1，
∴y＝﹣ax2﹣2ax+3a的对称轴为x＝﹣1，
当a＞0时，
当x＝2时，y＝﹣3a＞﹣2，解得a＜；
当x＝﹣1时，y＝4a＞2，解得a＞；
当x＝﹣5时，y＝﹣12a＜﹣2，解得a＞；
∴＜a＜；
当a＜0时，
当x＝2时，y＝﹣3a＜2，解得a＞﹣；
当x＝﹣1时，y＝4a＜﹣2，解得a＜﹣；
当x＝﹣5时，y＝﹣12a＞2，解得a＜﹣；
∴﹣＜a＜﹣；
综上所述或．
4．定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．
（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（2）点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；
（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．
【分析】（1）求出（1，2）的“k级变换点”的坐标，即可求解；
（2）求出点A、B所在的直线表达式，即可求解；
（3）先求出点A、B所在的直线为y＝x﹣5，当n＞0时，画出抛物线和直线AB的大致图象，求出点A的横坐标为x，得到x+5＝，即可求解；当n＜0时，当x≥0时，直线AB不可能和抛物线在x≥0时有两个交点，即可求解．
【解答】（1）解：存在，理由：
由题意得，（1，2）的“k级变换点”为：（k，﹣2k），
将（k，﹣2k）代入反比例函数表达式得：﹣4＝k（﹣2k），
解得：k＝±；
（2）证明：由题意得，点B的坐标为：（kt，﹣kt+2k），
由点A的坐标知，点A在直线y＝x﹣2上，同理可得，点B在直线y＝﹣x+2k，
则y1＝m2﹣2，y2＝﹣m2+2k，
则y1﹣y2＝m2﹣2+﹣m2﹣2k＝m2﹣2k﹣2，
∵k≤﹣2，则﹣2k﹣2+m2≥2，
即y1﹣y2≥2；
（3）解：设在二次函数上的点为点A、B，
设点A（s，t），则其“1级变换点”坐标为：（s，﹣t），
将（s，﹣t）代入y＝﹣x+5得：﹣t＝﹣s+5，
则t＝s﹣5，
即点A在直线y＝x﹣5上，
同理可得，点B在直线y＝x﹣5上，
即点A、B所在的直线为y＝x﹣5；
由抛物线的表达式知，其和x轴的交点为：（﹣1，0）、（5，0），其对称轴为x＝2，
当n＞0时，
抛物线和直线AB的大致图象如下：
直线和抛物线均过点（5，0），则点A、B必然有一个点为（5，0），设该点为点B，另外一个点为点A，如上图，
联立直线AB和抛物线的表达式得：y＝nx2﹣4nx﹣5n＝x﹣5，
设点A的横坐标为x，则x+5＝，
∵x≥0，
则﹣5≥0，
解得：n≤1，
此外，直线AB和抛物线在x≥0时有两个交点，故Δ＝（﹣4n﹣1）2﹣4n（5﹣5n）＝（6n﹣1）2＞0，
故n≠，
即0＜n≤1且n≠；
当n＜0时，
当x≥0时，直线AB不可能和抛物线在x≥0时有两个交点，
故该情况不存在，
综上，0＜n≤1且n≠1/6．
5．已知二次函数y＝x2+bx+k的图象的对称轴为直线x＝2，将二次函数y＝x2+bx+k的图象中y轴左侧部分（x＜0）沿x轴翻折，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的图象记为G．
（1）求b的值．
（2）当k＝﹣1时：
①直接写出图象G对应的函数解析式；
②过点（0，﹣2）作直线l平行于x轴，求出直线l与图象G的交点的横坐标．
（3）已知两点A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），当线段AB与图象G恰有两个公共点时，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴x＝﹣，即可求得b的值；
（2）①根据抛物线沿x轴翻折可得y＝﹣x2+4x+1（x＜0），即可求得y＝；
②当y＝﹣2，x＜0时，﹣x2+4x+1＝﹣2，可得x＝2﹣；当y＝﹣2，x≥0时，x2﹣4x﹣1＝﹣2，可得x＝2±；
（3）通过画函数的图象，分类讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+k的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4；
（2）当k＝﹣1时，y＝x2﹣4x﹣1，
①将二次函数y＝x2+bx+k的图象中y轴左侧部分（x＜0）沿x轴翻折，所得抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+1（x＜0），
∴图象G对应的函数解析式为y＝；
②当y＝﹣2时，﹣x2+4x+1＝﹣2，
解得：x＝2±，
∵x＜0，
∴x＝2﹣；
当y＝﹣2时，x2﹣4x﹣1＝﹣2，
解得：x＝2±，
∵x≥0，
∴x＝2±；
综上所述，直线l与图象G的交点的横坐标为2﹣或2±．
（3）y＝x2﹣4x+k关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣k（x＜0），
如图1，当y＝﹣x2+4x﹣k（x＜0）经过点A时，﹣1﹣4﹣k＝﹣1，
解得：k＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x﹣4（x≥0），当x＝5时，y＝1，
∴y＝x2﹣4x﹣4（x≥0）与线段AB有一个交点，
∴k＝﹣4时，当线段AB与图象C恰有两个公共点；
如图2，当y＝x2﹣4x+k（x≥0）经过点（0，﹣1）时，k＝﹣1，
此时图象C与线段AB有三个公共点，
∴﹣4≤k＜﹣1时，线段AB与图象C恰有两个公共点；
如图3，当y＝﹣x2+4x﹣k（x＜0）经过点（0，﹣1）时，k＝1，
此时图象C与线段AB有两个公共点，
当y＝x2﹣4x+k（x≥0）的顶点在线段AB上时，k﹣4＝﹣1，
解得m＝3，
此时图象C与线段AB有一个公共点，
∴1≤k＜3时，线段AB与图象C恰有两个公共点；
综上所述：﹣4≤k＜﹣1或1≤k＜3时，线段AB与图象C恰有两个公共点．
6．【定义】在平面直角坐标系中，有一条直线x＝m，对于任意一个函数图象，把该图象在直线x＝m上的点以及直线x＝m右边的部分向上平移n个单位长度（n＞0），再把直线x＝m左边的部分向下平移n个单位长度，得到一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x＝m的“n分移函数”，例如：函数y＝x关于直线x＝0的“1分移函数”为y＝．
【概念理解】（1）①已知点P1（3，3）、P2（3，4）、P3（0，﹣4），其中在函数y＝x﹣2关于直线x＝2的“2分移函数”图象上的点有 P1，P3 ；
②已知点M（3，4）在函数y＝（k≠0）关于直线x＝2的“1分移函数”图象上，求k的值；
【拓展探究】（2）若二次函数y＝﹣x2+2x+6关于直线x＝3的“n分移函数”与x轴有三个公共点，是否存在n，使得这三个公共点的横坐标之和为3+2，若存在请求出n的值，若不存在，请说明理由；
【深度思考】（3）已知A（，0），B（0，2），C（4，0），D（0，﹣2），若函数y＝x2﹣bx（b＞0）关于直线x＝0的“3分移函数”图象与四边形ABCD的边恰好有4个公共点，请直接写出b的取值范围．
【分析】（1）①先求出函数y＝x﹣2关于直线x＝2的“2分移函数”，代入点P1（3，3）、P2（3，4）、P3（0，﹣4）分别验证；
②因为3＞2，所以把点M（3，4）代入y＝+1；
（2）设函数图象与x轴的三个公共点的横坐标分别为x1、x2、x3且x1＜x2＜3≤x3，（x1，0）与（x2，0）关于直线为x＝1对称，可以得到x1+x2＝2，求出x3，把（x3，0）代入y＝﹣x2+2x+6+n得n；
（3）左侧图象与四边形ABCD的边只有一个交点时，b＝，由此分三类分别讨论．
【解答】解：（1）①函数y＝x﹣2关于直线x＝2的“2分移函数”为y＝，代入点P1（3，3）、P2（3，4）、P3（0，﹣4）分别验证，得到在图象上的点有P1，P3．
故答案为：P1，P3；
②x≥2时“1分移函数”的表达式为y＝+1，把点M（3，4）代入得4＝+1，即k＝9；
（2）二次函数y＝﹣x2+2x+6关于直线x＝3的“n分移函数”为y＝，当x＝1时，y＝7﹣n；把x＝3代入y＝﹣x2+2x+6﹣n得y＝3﹣n，图象与x轴有三个公共点，必须满足，
∴3＜n＜7，
设函数图象与x轴的三个公共点的横坐标分别为x1、x2、x3且x1＜x2＜3≤x3，
∵y＝﹣x2+2x+6﹣n的对称轴直线为x＝1，
∴（x1，0）与（x2，0）关于直线为x＝1对称，
∴x1+x2＝2，
∵三个公共点的横坐标之和为3+2，
∴x3＝1+2，
把（1+2，0）代入y＝﹣x2+2x+6+n得n＝5；
（3）函数y＝x2﹣bx（b＞0）关于直线x＝0的“3分移函数”为y＝，
∵y＝x2﹣bx+3＝（x﹣）2﹣+3，
∴顶点为（，﹣+3），
把x＝4代入y＝x2﹣bx+3＝19﹣4b，把A（，0）代入y＝x2﹣bx﹣3得b＝，
①当b＝时，﹣+3＝﹣＜﹣2，且19﹣4b＝﹣3＜0，此时共三个交点，不满足题意；
②当b＞时，﹣+3＜﹣＜﹣2，且19﹣4b＜﹣3＜0，此时共四个交点，满足题意；
③当0＜b＜时，b越大顶点的纵坐标﹣+3越小，
设直线CD的表达式为y＝kx﹣2，代入C（4，0）得k＝，
∴y＝x﹣2，
y＝x﹣2与y＝x2﹣bx+3联立得，
∴x﹣2＝x2﹣bx+3，
∴x2﹣（b+）x+5＝0，
∴Δ＝（b+）2﹣20＝0，
∴b＝2﹣或b＝﹣2﹣（舍），
图象与四边形ABCD的边恰好有4个公共点，应满足：
，
∴2﹣＜b＜，
综上，b的取值范围为b＞或2﹣＜b＜．
7．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+6与轴交于点A（2，0）和点B，与y轴交于点C，∠ABC＝45°．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，点E为第二象限抛物线上一动点，EF⊥x轴与BC交于F，求EF的最大值，并说明此时△BCE的面积是否最大．
（3）已知点D（﹣3，10），E（2，10），连接DE．若抛物线y＝ax2+bx+6向上平移k（k＞0）个单位长度时，与线段DE只有一个公共点，请求出k的取值范围．
【分析】（1）由∠ABC＝45°得OB＝OC＝6，求出点B（ 1﹣6，0），用待定系数法即可求解；
（2）可得直线BC的解析式为y＝x+6．设F（m，m+6），则E（m，﹣m2﹣2m+6），EF＝（−m2−2m+6）−（m+6）＝−m2−3m＝−（m+3）2+，根据二次函数的性质得EF的最大值是，由S△BCE＝EF•OB＝3EF，可得此时△BCE的面积是最大；
（3）抛物线向上平移过程中抛物线顶点落在DE上满足题意，分别求出抛物线经过点D，E时k的值，可得抛物线顶点在DE上时k的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6与y轴交于C，
∴C（0，6），
∵∠ABC＝45°，
∴OB＝OC＝6，
∴点B（﹣6，0），
将A（2，0），B（﹣6，0）代入抛物线得，
，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+6；
（2）∵C（0，6），B（﹣6，0），
∴直线BC的解析式为y＝x+6．
设F（m，m+6），
则E（m，﹣m2﹣2m+6），
∴EF＝（−m2−2m+6）−（m+6）＝−m2−3m＝−（m+3）2+，
当m＝−3时，EF的最大值是，
则S△BCE＝EF•OB＝3EF，
∴此时△BCE的面积是最大．
（3）抛物线y＝﹣x2﹣2x+6＝﹣（x+2）2+8向上平移k个单位后解析式为y＝﹣（x+2）2+8+k，
∴抛物线顶点坐标为（﹣2，8+k），
①当抛物线顶点落在DE上时，8+k＝10，
解得k＝2，
②当抛物线经过点D（﹣3，10）时，10＝﹣（﹣3+2）2+8+k，
解得k＝，
当抛物线经过E（2，10）时，10＝﹣（2+2）2+8+k，
解得k＝10，
∴＜k≤10时，满足题意．
综上所述，k＝2或＜k≤10．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的图象与x轴交于点A，B两点，点A坐标为（3，0），点B坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若将直线AC绕点A顺时针旋转，交抛物线于一点P，交y轴于点D，使∠BAP＝∠BAC，求直线AP函数解析式；
（3）在（2）条件下若将线段AC平移（点A，C的对应点M，N），若点M落在抛物线上且点N落在直线AP上，求点M的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由∠BAP＝∠BAC，则点C、D关于x轴对称，得到点D（0，2），进而求解；
（3）由题意知，M、N、A、C组成的几何图形为平行四边形，则点C向右平移3个单位向上平移2个单位得到点A，同样M（N）向右平移3个单位向上平移2个单位得到N（M），即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a＝﹣，
解得：a＝，
则抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；
（2）由抛物线的解析式知，点C（0，﹣2），
∵∠BAP＝∠BAC，则点C、D关于x轴对称，
∴点D（0，2），
设直线PA的解析式为：y＝kx+2，
将点A的坐标代入上式得：0＝3k+2，
解得：k＝﹣，
∴直线AP的解析式为：y＝﹣x+2；
（3）设点M（m，m2﹣m﹣2），点N（n，﹣n+2），
由题意知，M、N、A、C组成的几何图形为平行四边形，
则点C向右平移3个单位向上平移2个单位得到点A，同样M（N）向右平移3个单位向上平移2个单位得到N（M），
则，
解得：m＝4或﹣3或1（舍去），
即点M的坐标为（4，）或（﹣3，8）．
9．在平面直角坐标系中，坐标原点为点O，抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）的对称轴为直线x＝1，且经过点A（﹣2，5），点P在该抛物线上，其横坐标为m．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）当点P与点A关于抛物线的对称轴对称时，求△AOP的面积；
（3）已知点M（x1，y1），点N（x2，y2）是抛物线上的点，若对于2m＜x1＜2m+1，2m+2＜x2＜2m+3，都有y1≠y2，直接写出m的取值范围；
（4）设抛物线上点P与点A之间的部分（含端点）为图象G，当直线y＝1﹣4m与图象G只有一个公共点时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据对称轴公式可求出b，再将点A（2，﹣5）代入抛物线解析式，解之可得c的值，由此可得出结论；
（2）由抛物线的对称性可得出点P的坐标，及AP∥x轴，再根据三角形的面积公式可得出结论；
（3）由题意可知，这两个范围段内不存在关于对称轴对称的点，依据图形可深刻理解；
（4）需要分类讨论，分点P在点A的左上方、在点A与顶点之间、在顶点与点A关于对称轴的对称点之间、点A关于对称轴的对称点的右上方四种情况，结合横纵坐标的情况，列出不等式组，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2，
把A（﹣2，5）代入y＝x2﹣2x+c中得：5＝4+4+c，
解得：c＝﹣3，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵点P与点A（﹣2，5）关于抛物线的对称轴对称，
∴P（4，5），
∴AP∥x轴，AP＝4﹣（﹣2）＝6，
∴S△AOP＝AP•|yP|＝×6×5＝15；
（3）设点B的横坐标为2m，点C的横坐标为2m+3，
点B关于对称轴直线x＝1的对称点为B′，则其横坐标为2﹣2m；如图（3）﹣1，
此时2m+2≥2﹣2m，
解得m≥0；
点C关于对称轴直线x＝1的对称点为C′，则其横坐标为﹣1﹣2m，如图（3）﹣2，
此时2m+1≤﹣1﹣2m，
解得m≤﹣；
综上，符合题意的m的取值范围为m≤﹣或m≥0；
（4）当点P在点A的左上方时，
∵抛物线上点P与点A之间的部分（含端点）为图象G，直线y＝1﹣4m与图象G只有一个公共点，A（﹣2，5），P（m，m2﹣2m﹣3），
∴，
解得m≤﹣1﹣；
当点P在点A与顶点之间（含顶点）时，
∵抛物线上点P与点A之间的部分（含端点）为图象G，直线y＝1﹣4m与图象G只有一个公共点，A（﹣2，5），P（m，m2﹣2m﹣3），
∴，
解得﹣1＜m≤1；
当点P在顶点与点A关于对称轴的对称点之间时，
∵抛物线上点P与点A之间的部分（含端点）为图象G，直线y＝1﹣4m与图象G只有一个公共点，顶点坐标为（1，﹣4），点A关于对称轴的坐标为（4，5），P（m，m2﹣2m﹣3），
∴或1﹣4m＝﹣4，
解得1＜m＜﹣1或m＝；
当点P在点A关于对称轴的对称点右上方（含对称点）时，
∵抛物线上点P与点A之间的部分（含端点）为图象G，直线y＝1﹣4m与图象G只有一个公共点，顶点坐标为（1，﹣4），点A关于对称轴的坐标为（4，5），P（m，m2﹣2m﹣3），
∴或1﹣4m＝﹣4，
解得无解或m＝；
综上，m的取值范围为：m≤﹣1﹣或﹣1≤m＜﹣1或m＝．
10．【阅读理解】：
关于x的函数y＝mx﹣2m﹣3（m为常数，且m≠0），经过某个定点，请求出定点的坐标．
方法一：先将等式化为（x﹣2）m＝y+3的形式，再根据0m＝0时有m无数多个解，求得定点的坐标为（2，﹣3）；
方法二：当m＝1时，y＝x﹣5；当m＝2时，y＝2x﹣7；
解方程组解得，
∴求得定点的坐标为（2，﹣3）
【模仿练习】
关于x的二次函数 y＝mx2+（2m+1）x+1（ 为常数，且m≠0），是否经过定点，如果是，请选择一种方法求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．
【尝试应用】某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）计算x与y的几组对应值，其中m＝ ﹣4 ；
列表如下：
​
（2）如图，在直角坐标系中用描点法画出了函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）这个图象；
（3）若直线y＝tx﹣2t+2与函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）（2＜x≤4）的图象只有一个交点，请结合函数图象，求出t的取值范围．
【分析】【模仿练习】将二次函数整理为：y﹣x﹣1＝m（x2+2x），即可求解；
【尝试应用】（1）当x＝﹣1时，y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）＝﹣4＝m，故答案为：﹣4；
（2）根据表格数据描点、连线、绘制函数图象即可；
（3）当直线在l和q之间及在p位置时，两个函数只有一个交点，进而求解．
【解答】解：【模仿练习】
过定点，理由：
将二次函数整理为：y﹣x﹣1＝m（x2+2x），
则当x＝0或﹣2时，y＝1或﹣1，
即过定点（0，1）、（﹣2，﹣1）；
【尝试应用】
（1）当x＝﹣1时，y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）＝﹣4＝m，
故答案为：﹣4；
（2）根据表格数据描点、连线、绘制函数图象如下：
（3）当2＜x≤4时，函数表达式为：y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）＝﹣x2+4x﹣3，如下图，
由直线y＝tx﹣2t+2得：y＝t（x﹣2）+2，
则该直线过点（2，2），如下图，
设直线p和该抛物线有一个交点，直线l为：x＝2，直线q过点（2，2）和（4，﹣3），
故当直线在l和q之间及在p位置时，两个函数只有一个交点，
①由（2，2）和（4，﹣3）得，直线q的表达式为：y＝﹣（x﹣2）+2，即t＝﹣；
②直线p和抛物线只有一个交点，
则联立y＝﹣x2+4x﹣3和y＝t（x﹣2）+2并整理得：
x2+（t﹣4）x﹣2t+5＝0，
则Δ＝（t﹣4）2﹣4（5﹣2t）＝0，
解得：t＝﹣2（不合题意的值已舍去）；
综上，﹣＜t＜0和t＝﹣2．
11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．抛物线的对称轴交抛物线于点D，交直线BC于点E．
（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）P（n，0）是x轴上一动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点F，交抛物线于点G．
①是否存在点P，使以D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求n的值，若不存在，请说明理由；
②如图2，点M在直线PQ上（点M在x轴上方），且PM＝3.5个单位长度，若线段PM与直线BC和抛物线都有交点，请直接写出n的取值范围．
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，令y＝0，求出x的值即可；
（2）①求出D点坐标，E点坐标，进而得到当D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形时，DE∥GF且DE＝GF，分点G在点F的上方和点G在点F的下方，两种情况进行求解即可；
②求出当y＝3.5时，对应的直线BC的自变量的值以及抛物线对应的点的横坐标，利用数形结合的思想，进行求解即可．
【解答】解：（1）依题意：点C的坐标为（0，3），即OC＝3，
∵OB＝OC，
∴OB＝3，即点B的坐标为（3，0），
将点B（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+mx+3中，
∴﹣32+3m+3＝0，
解得m＝2，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
令﹣x2+2x+3＝0，
解得：x＝﹣1或x＝3，
∴点A的坐标为（﹣1，0）；
（2）①存在点P，使以D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形，n的值为2或n＝，理由如下：
设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
∵B（3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
∴E（1，2），DE＝2，
假设存在点P（n，0），使以D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则DE∥GF且DE＝GF，
∴DE＝GF＝2，
若点G在点F的上方，
﹣n2+2n+3﹣（﹣n+3）＝2，即n2﹣3n+2＝0，
得n＝1（舍）或n＝2，
若点G在点F的下方，
（﹣n+3）﹣（﹣n2+2n+3）＝2，即n2﹣3n﹣2＝0，
得n＝，
综上，存在三个满足条件的点P，n＝2或n＝；
②∵直线BC：y＝﹣x+3，
当y＝3.5时：3.5＝﹣x+3，
解得：x＝﹣0.5，
∵抛物线：y＝﹣x2+2x+3，
当y＝3.5时：3.5＝﹣x+2x+3，
解得：x＝1±；
如图：线段PM与直线BC和抛物线都有交点时，
n的取值范围为：﹣0.5≤n≤1﹣或1+≤n≤3．
12．如图，已知抛物线C1：y＝x2+bx+c的顶点为P，与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），∠BAC＝45°．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）判断△ACP是否为直角三角形，并说明理由；
（3）将抛物线C1经过适当平移后得到抛物线C2：y＝x2﹣2tx+p，点（1，m），（3，n），（x0，m）（x0≠1）都在抛物线C2上．若m＜n＜p，求t的取值范围及x0的取值范围；
（4）在（3）的条件下，作直线AC的平行线l1和l2．直线l1经过原点，与抛物线C2交于点E，F，直线l2与抛物线C2有唯一公共点G．若S△GEF＝2，求l2的解析式．
【分析】（1）先求A点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）求出P点坐标，再由勾股定理逆定理进行判断即可；
（3）由对称性可知t＝（1+x0），再将点（1，m），（3，n）代入函数解析式可得，由m＜n＜p，得到，即可求＜t＜2，再由＜（1+x0）＜2，求出2＜x0＜3；
（4）先求直线AC的解析式，再求直线l1的解析式为y＝﹣x，当﹣x＝x2﹣2tx+p时，由韦达定理可得xE+xF＝2t﹣1，xE•xF＝p，则|xE﹣xF|＝，设直线l2的解析式为y＝﹣x+s，由题意可知﹣x+s＝x2﹣2tx+p的方程有两个相等的实数根时，即Δ＝（1﹣2t）2﹣4p+4s＝0①，求出直线l1和l2间的距离为|s|，则S△GEF＝×EF×|s|＝•|s|＝2，将①代入，可求s＝﹣2，则直线l2的解析式为y＝﹣x﹣2．
【解答】解：（1）∵C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∵∠BAC＝45°，
∴OA＝3，
∴A（﹣3，0），
将C（0，﹣3），A（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）△ACP是直角三角形，理由如下：
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴P（﹣1，﹣4），
∴AC＝3，AP＝2，CP＝，
∴AP2＝AC2+CP2，
∴△ACP是直角三角形；
（3）∵点（1，m），（x0，m）在抛物线C2上，
∴t＝（1+x0），
∵点（1，m），（3，n）在抛物线C2上，
∴，
∵m＜n＜p，
∴，
∴，
∴＜t＜2，
∴＜（1+x0）＜2，
解得2＜x0＜3；
（4）设直线AC的解析式为y＝kx﹣3，
∴﹣3k﹣3＝0，
解得k＝﹣1，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
∴直线l1的解析式为y＝﹣x，
当﹣x＝x2﹣2tx+p时，xE+xF＝2t﹣1，xE•xF＝p，
∴|xE﹣xF|＝，
设直线l2的解析式为y＝﹣x+s，
当﹣x+s＝x2﹣2tx+p的方程有两个相等的实数根时，直线l2与抛物线C2有唯一公共点G，
∴Δ＝（1﹣2t）2﹣4p+4s＝0①，
∵直线l1和l2间的距离为|s|，
∴S△GEF＝×EF×|s|＝×|xE﹣xF|×|s|＝•|s|＝2，
将①代入，可得•（﹣s）＝2，
解得s＝﹣2，
∴直线l2的解析式为y＝﹣x﹣2．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
5
0
﹣3
m
﹣3
0
1
0
﹣3
…