人教版数学九上《二次函数》期末专项训练第03讲 二次函数的增减性与最值问题（2份，原卷版+解析版）

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【知识点睛】
无区间范围的二次函数最值由a与定点纵坐标共同决定
对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）：
对称轴：直线；顶点坐标：；
开口向上 a＞0二次函数有最小值；
开口向下a＜0二次函数有最大值；
区间范围内的二次函数最值通常需要分类讨论
区间范围内由二次函数最值求参数字母值问题的解题步骤：
①找对称轴画抛物线简图（不需要画平面直角坐标系）；
②分类讨论：让对称轴分别在对应取值范围的左边、中间、右边；
结合抛物线的增减性找到最值时的等量关系列方程求解
③判断所求出的参数字母的值是否在对应分类讨论的取值范围内，不在则舍去。
【类题训练】
1．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2，有最小值﹣2.5
B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值1.5，有最小值﹣2.5
D．有最大值2，无最小值
2．已知函数y＝x2﹣6x+2，当﹣1＜x＜4时，则y的取值范围为 ．
3．设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（ ）
A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a
B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a
C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a
D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a
4．已知抛物线y＝（x﹣b）2+c经过A（1﹣n，y1），B（n，y2），C（n+3，y3）三点，y1＝y3．当1﹣n≤x≤n时，二次函数的最大值与最小值的差为16，则n的值为（ ）
A．﹣5B．3C．D．4
5．已知函数y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，则常数a的值是（ ）
A．1B．C．或﹣8D．1或﹣8
6．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，3），在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为﹣5，则a的取值范围是（ ）
A．a≥6B．3≤a≤6C．0≤a≤3D．a≤0
7．在平面直角坐标系中，过点P（0，p）的直线AB交抛物线y＝x2于A，B两点，已知A（a，b），B（c，a），且a＜c，则下列说法正确的是（ ）
A．当ac＞0且a+c＝1时，p有最小值
B．当ac＞0且a+c＝1时，p有最大值
C．当ac＜0且c﹣a＝1时，p有最小值
D．当ac＜0且c﹣a＝1时，p有最大值
8．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）
A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或3
9．如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）经过点A（1，0），点B（0，3），点P在该抛物线上，其横坐标为m，若该抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m．则m的值为（ ）
A．m＝3 B． C． D．m＝3或
10．已知点P（m，n）在二次函数y＝x2+4的图象上，则m﹣n的最大值等于 ．
11．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为4，则a的值为 ．
12．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．﹣B．或﹣C．2或﹣D．2或﹣或﹣
13．当a﹣1≤x≤a时，二次函数y＝x2﹣4x+3的最小值为8，则a的值为（ ）
A．﹣1 或5B．0或6C．﹣1或6D．0或5
14．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（1，﹣3），且过点（2，﹣）．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）若该二次函数图象与直线y＝m（m是常数）交于点A、B，AB＝6，则m＝ ．
（3）当﹣3＜x＜3时，y的取值范围是 ．
15．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别相交于A（﹣3，0）、B（0，﹣3），二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）若二次函数y＝x2+mx+n图象与y轴交点为（0，3），请判断此二次函数的顶点是否在直线y＝kx+b（k≠0）的图象上？
（3）当n＞0，m≤5时，二次函数y＝x2+mx+n的最小值为t，求t的取值范围．
考点二：二次函数的增减性
【知识点睛】
常规问题需要由a与对称轴共同确定，且抛物线的增减性必须有对应的范围
对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）：
a＞0时，图象开口向上；
当时，y随x的增大而减小，反之则y随x的增大而增大；
a＜0 时，图象开口向下；
当时，y随x的增大而增大，反之则y随x的增大而减小；
y1、y2比较大小问题规律总结：
若点A（x1,y1）、B（x2,y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的两个点，则：
当a＞0时，A、B两点谁离对称轴越近，谁的纵坐标越小；
当a＜0时，A、B两点谁离对称轴越近，谁的纵坐标越大；
【类题训练】
1．关于抛物线y＝﹣x2+2，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．有最小值
D．当x＜0时，函数y随x的增大而减小
2．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，当﹣1＜x＜m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1B．﹣1＜m≤1C．m＞0D．﹣1＜m＜2
3．已知二次函数y＝（x+m﹣1）（x﹣m）+1，点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是其图象上两点，下列判断正确的是（ ）
A．若x1+x2＞﹣1，则y1＞y2B．若x1+x2＜﹣1，则y1＞y2
C．若x1+x2＞1，则y1＞y2D．若x1+x2＜1，则y1＞y2
4．已知关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+a2+1，当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，且2≤x≤3时，y的最大值为10，则a的值为（ ）
A．﹣3B．3C．D．±3
5．已知抛物线y＝﹣x2+2x+c，若点（0，y1）（1，y2）（3，y3）都在该抛物线上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y1＞y2B．y3＜y2＜y1C．y3＞y2＞y1D．y3＜y1＜y2
6．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+4的图象开口向上，若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（5，y3）都在该函数图象上，则y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2
7．已知a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，若b＞0，则二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．已知点A（m，n）、B（m+1，n）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的两个点，若当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知二次函数y＝x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（ ）
A．m＝﹣1B．m＝3C．m≤﹣1D．m≥﹣1
10．若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 ．
11．已知二次函数y＝﹣x2+2mx+1，当x＞4时，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
12．已知：二次函数y＝ax2﹣2ax+3a﹣1．
（1）求这个二次函数图象的对称轴；
（2）若该二次函数图象抛物线开口向上，当0≤x≤4时，y的最小值是3，求当0≤x≤4时，y的最大值；
（3）若点A（n+1，y1），B（n﹣1，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax+3a﹣1（a＜0）上，且y1＜y2，求n的取值范围．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点（﹣1，m），（2，n）在二次函数 y＝x2+bx﹣3 的图象上．
（1）当m＝n时，求b的值；
（2）在（1）的条件下，当﹣3＜x＜2时，求y的取值范围；
（3）若﹣1≤x≤2时，函数的最小值为﹣5，求m+n的值．
14．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．