沪教版数学九年级上册考点讲练第03讲 锐角三角比（3种题型）（2份，原卷版+解析版）

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1.锐角的三角比定义：一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比.
正切：把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫这个锐角的正切.即；
余切：把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫这个锐角的余切.即；
正弦：把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫这个锐角的正弦.即；
余弦：把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫这个锐角的余弦.即；
2.性质
①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小；
②若，则；
③.
3.特殊角的三角比
4.锐角的三角比
考点精讲
一．锐角三角函数的定义（共6小题）
1．（2022春•浦东新区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（ ）
A．tanB＝B．ctB＝C．sinB＝D．csB＝
【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据锐角三角函数的定义判断即可．
【解答】解：如图，根据勾股定理得：BC＝＝＝3，
tanB＝＝，
ctB＝＝，
sinB＝＝，
csB＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握ctB＝是解题的关键．
2．（2021秋•浦东新区校级期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，那么下列式子中正确的是（ ）
A．sinA＝B．csA＝C．tanA＝D．ctA＝
【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后再利用锐角三角函数的定义逐一判断即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝＝＝3，
∴sinA＝＝，故A不符合题意；
csA＝＝，故B符合题意；
tanA＝＝，故C不符合题意；
ctA＝＝，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
3．（2021秋•崇明区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，那么csB的值是（ ）
A．B．C．D．2
【分析】根据勾股定理求出BC的长，然后进行计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，
∴BC＝＝＝，
∴csB＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握正弦，余弦，正切的定义是解题的关键．
4．（2021秋•青浦区期末）在△ABC中，∠C＝90°，如果tan∠A＝2，AC＝3，那么BC＝ 6 ．
【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，tan∠A＝2，AC＝3，
∴BC＝ACtan∠A＝3×2＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．
5．（2021秋•宝山区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果，那么sinA的值是 ．
【分析】根据题意设AC＝3k，则BC＝4k，由勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：由于在Rt△ABC中，∠C＝90°，，
可设AC＝3k，则BC＝4k，
由勾股定理可得，AB＝＝5k，
∴sinA＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的关键．
6．（2021秋•浦东新区期末）如果在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（3，4），射线OP与x轴的正半轴所夹的角为α，那么α的余弦值等于 ．
【分析】画出图形，根据勾股定理求出OP，根据锐角三角函数的定义求出即可．
【解答】
解：过P作PA⊥x轴于A，
∵P（3，4），
∴PA＝4，OA＝3，
由勾股定理得：OP＝5，
∴α的余弦值是＝，
过答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的计算能力．
二．特殊角的三角函数值（共6小题）
7．（2021秋•松江区期末）已知sinα＝，那么锐角α的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】根据sin60°＝解答．
【解答】解：∵sin60°＝，
∴∠A＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
8．（2022春•徐汇区校级期中）30°的 正切 值等于．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：30°的正切值等于．
故答案为：正切．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
9．（2021秋•浦东新区校级期末）计算：3ct60°+2sin45°＝ + ．
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答．
【解答】解：3ct60°+2sin45°
＝3×+2×
＝+，
故答案为：+．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
10．（2021秋•黄浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果，那么∠B＝ 60° ．
【分析】根据∠B的正弦值即可判断．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果，
那么sinB＝，
∴∠B＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键．
11．（2021秋•嘉定区期末）计算：．
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
12．（2021秋•崇明区期末）计算：3tan30°+2cs45°﹣2sin60°•ct45°．
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：3tan30°+2cs45°﹣2sin60°•ct45°．
＝3×+2×﹣2××1
＝
＝．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
三．计算器—三角函数（共2小题）
13．（2017秋•青浦区校级月考）按键MODE MODE 1，使科学计算器显示D后，求sin90°的值，以下按键顺序正确的是（ ）
A．sin 9 0 0′″＝B．9 sin＝
C．sin 9 0′″＝D．9 0′″sin＝
【分析】要求熟练应用计算器．
【解答】解：显示器显示D后，即弧度制；
求sin90°的值，需按顺序按下：sin，9，0＝．
故选：C．
【点评】本题要求同学们能熟练应用计算器，会用科学计算器进行计算．
14．（2017秋•青浦区校级月考）（1）验证下列两组数值的关系：
2sin30°•cs30°与sin60°；
2sin22.5°•cs22.5°与sin45°．
（2）用一句话概括上面的关系．
（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．
（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式．
【分析】（1）分别计算出各数，进而可得出结论；
（2）根据（1）中的关系可得出结论；
（3）任选一个角验证（3）的结论即可；
（4）用α表示一个锐角，写出这个关系式即可．
【解答】解：（1）∵2sin30°•cs30°＝2××＝，sin60°＝．
2sin22.5°•cs22.5≈2×0.38×0.92≈0.7，sin45°＝≈0.7，
∴2sin30°•cs30°＝sin60°，2sin22.5°•cs22.5＝sin45°；
（2）由（1）可知，一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值；
（3）2sin15°•cs15°≈2×0.26×0.97≈，sin30°＝；
故结论成立；
（4）2sinα•csα＝sin2α．
【点评】本题考查的是三角函数，根据题意找出规律是解答此题的关键．
巩固提升
一、选择题
1.（闵行2020期末1）如果把Rt△ABC的各边长都扩大到原来的n倍，那么锐角A的四个三角比值( )
A. 都缩小到原来的n倍B. 都扩大到原来的n倍；
C. 都没有变化D. 不同三角比的变化不一致.
【答案】C
【解析】解：∵各边都扩大n倍，∴新三角形与原三角形的对应边的比为n：1，∴两三角形相似，∴∠A的三角比值不变，故答案为C.
2．（虹口2020一模1）如果 ，那么锐角的度数为 ( )
A．30°；B．45°；C．60°；D．90°．
【答案】C；
【解析】解：因为，所以. 故答案选C.
3.（2019新竹园9月考5）在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AD=m，∠A=，那么BC的长为（ ）
A. m•tan•csB. m•ct•csC. D.
【答案】C；
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高， AD=m，∠A=α，∴tanα=，∴CD=m•tanα，
∵∠ACB=∠A+∠B=90°，∠BDC=∠B+∠BCD=90°，∠A=α，∴∠BCD=α，∴cs∠BCD=，即csα= ，∴BC=，故选C．
4.（青浦2020一模3）在Rt△ABC中，∠C=90º，AC=1，AB=3，则下列结论正确的是（ ）
A. ；B. ；C. ；D. ．
【答案】C；
【解析】解：如图所示：∵Rt△ABC中，∠C=90º，AC=1，AB=3，∴,
∴，，，故选：C
5.（松江2020一模6）如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角，它们重叠部分（阴影部分）的面积是1.5，那么的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C；
【解析】解：如图示：作交CD于C点，交CD于D点，由阴影部分是两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起可知，阴影部分是一个菱形，则有，，∴，∴解之得：，故答案选：C.
6.（长宁金山2020一模2）如图，已知在平面直角坐标系xOy内有一点A（2，3），那么OA与x轴正半轴y的夹角α的余切值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B；
【解析】解：过点A作AB⊥x轴，垂足为B，则OB＝2，AB＝3，在Rt△OAB中，ct∠AOB＝ctα＝，
故选：B．
二、填空题
7.（浦东四署2019期中14）如果是锐角，且，那么_______________度.
【答案】55；
【解析】解：∵是锐角时有，∴=55°.
8.（青浦2020一模16）如图，在菱形ABCD中，O、E分别是AC、AD的中点，联结OE．如果AB=3，AC=4，那么ct∠AOE=______．

【答案】；
【解析】解：如图，连接BD，在菱形ABCD中，O是AC的中点，∴O也是对角线的交点，且AC与BD垂直平分，∵O、E分别是AC、AD的中点，∴，∴，在中，，,∴，∴ct∠AOE=
.
9.（浦东南片2019期中12）在Rt中，若，则______________；
【答案】；
【解析】解：在Rt中，若，根据勾股定理，得，则
.
10.（浦东四署2019期中10）若α为锐角，已知csα= ， 那么tanα=________ .
【答案】；
【解析】解：因为csα=，可得：α=60°，则tanα=tan60°=．
11．（虹口2020一模18）如图7，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，sinC=，AB=9，AD=6，点E、F分别在边AB、BC上，联结EF，将△BEF沿着EF翻折，使BF的对应线段B’F经过顶点A，交对角线BD于点P，当⊥AB时，AP的长为 ．

【答案】；
【解析】解：如图所示，若⊥AB，则，所以，设AF=4k，BF=5k,所以AB=3k=9，所以k=3，故AF=12，BF=15，又AD//BC，所以，所以，解得.
12.（青浦2020一模13）在△ABC中，∠C=90°，如果tanB=2，AB=4，那么BC=______．
【答案】；
【解析】解：在△ABC中，∠C=90°，tanB=2，∵ tanB=，∴，∵,
∴，∴，∴.
13.（闵行2020期末13）已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点E处，那么=______.
【答案】
【解析】解：由题意，得BD=BE=，，故答案为.
14．（虹口2020一模17）如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，点D为边AB上一动点，正方形 DEFG的顶点E、F都在边BC上，联结BG，tan∠DGB的值为 ．
【答案】；
【解析】解：设正方形DEFG的边长为x，则由DE//AC，得，所以BE=2x，所以BF=3x，所以在Rt△GFB中，tan∠DGB=.
15.（2019新竹园9月考15）如图，把个边长为1的正方形拼接成一排，求得，，，计算__________，……按此规律，写出__________（用含的代数式表示）．

【答案】(1)， (2)；
【解析】解：试题解析：作CH⊥BA4于H，由勾股定理得，BA4=，A4C=，△BA4C的面积=，∴ ，解得，CH=，则A4H==， ∴tan∠BA4C==， 1=12-1+1，，3=22-2+1，，7=32-3+1，∴tan∠BAnC=.故答案为: ， .
16.（2019新竹园9月考13）如图，由10个完全相同的正三角形构成的网格图中， 如图所示，则=______.

【答案】.
【解析】解：给图中各点标上字母，连接DE，如图所示．
在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，
∴∠α=30°．同理，可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α．又∵∠AEC=60°，∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=2×sin60°•a=a，∴，∴cs（α+β）=．
三、解答题
17.（崇明2020一模19）计算：
【答案】；
【解析】解：原式
18.（青浦2020一模19）计算：．
【答案】．
【解析】解：原式===．
19.（浦东四署2019期中19）计算：
【答案】；
【解析】解：原式=．
20.（长宁金山2020一模19）计算：
【答案】．
【解析】解：原式＝＝．
21.（静安2020一模19）先化简，再求值：，其中x=sin45°，y=cs60°．
【答案】；
【解析】解：原式＝＝． 当x=sin45°=，y=cs60°=时，原式＝．
22.（2019育才10月考21）已知：如图所示，中，CD⊥AB，，BD=1，AD=4，求AC的长．
【答案】；
【解析】解：∵CD⊥AB，∴且，∴sin∠A=sin∠BCD，∴∠A=∠BCD，且∠ADC=∠BDC=90°，∴△ACD∽△CBD，∴，∴CD2=BD•AD=4∴CD=2，∴．
23.（浦东四署2019期中21）如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 6，AC = 8．点D是AB边上一点，过点D作DE // BC，交边AC于E．过点C作CF // AB，交DE的延长线于点F．
（1）如果，求线段EF的长；
（2）求∠CFE正弦值．
【答案】（1）4；（2）；
【解析】解：（1）∵ DE // BC，∴ ． 又∵ BC = 6，∴ DE = 2． ∵ DF // BC，CF // AB，∴ 四边形BCFD是平行四边形． ∴ DF = BC = 6．∴ EF = DF – DE = 4．（2）∵ 四边形BCFD是平行四边形， ∴ ∠B =∠F． 在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 6，AC = 8，利用勾股定理，得． ∴ ．∴ ．
24.（嘉定2020一模25）已知：点P在△ABC内，且满足∠APB=∠APC（如图10），∠APB+∠BAC=180°，
求证：△PAB∽△PCA：
如果∠APB=120°，∠ABC=90°求的值；
当∠BAC=45°，△ABC为等腰三角形时，求tan∠PBC的值.
【答案】（1）见解析；（2）4；（3）2或或1；
【解析】（1）∵∠APB+∠PBA+∠PBA=180°，∠APB+∠BAC=180°， ∴∠BAC=∠PAB+∠PBA
∴∠PBA=∠PAC ∵∠APB=∠APC ∴△PAB∽△PCA；（2）∵△PAB∽△PCA ∴ ∴；∵∠APB=120°， ∴∠BAC=60°，∵∠ABC=90°，∴， ∴；

（3）∵∠BAC=45° ∴∠APB=135°=∠APC∴∠BPC=90°，tan∠BPC=，∵∠BAC=45°，△ABC是等腰三角形，∴BA=BC，CA=CB ,AB=AC ，∴tan∠PBC=2或或1.

25．（虹口2020一模25）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，sin∠ABC=，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF．过点A作AG∥BD，交直线BE于点G．
（1）当点D在BC的延长线上时（如图13），如果CD=2，求tan∠FBC；
（2）当点D在BC的延长线上时（如图13），设，，求y关于x的函数
关系式（不写函数的定义域）；
（3）如果AG =8，求DE的长．
【答案】
【解析】（1）在Rt△BED中，∠EDB+∠EBD=90°,同理∠ADC+∠DAC=90°,∴∠DAC=∠EBD即∠DAC=∠FBC，由sin∠ABC=可得tan∠ABC= ,在Rt△ABC中，AC=,
又∵CD=2,在Rt△ACD中，,∴,（2）∵AG∥BD, ∴,∴, ∴ ,∴,∵, ∴,∴, ∴,∴,由sin∠ABC=可得tan∠ABC=, ∴,∴,即;（3）①当点D在BC的延长线上时， ∵AG∥CB，∴，, ∴FC=1， ∴,∴，∴,②当点D在边BC上时，∵AG∥CB， ∴ ∴，∴FC=3,∴, ，；综上，.
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