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沪教版暑假新九年级数学考点讲与练第01讲相似形与比例线段(考点讲与练)(原卷版+解析)
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这是一份沪教版暑假新九年级数学考点讲与练第01讲相似形与比例线段(考点讲与练)(原卷版+解析)，共26页。
一、相似形的概念及性质
1、相似形的概念
相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形．
2、相似多边形的性质
如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1．
二、比例的性质
1、比和比例
一般来说，两个数或两个同类的量与相除，叫做与的比，记作（或表示为）；
如果（或），那么就说、、、成比例．
2、比例的性质
（1）基本性质：
如果，那么；
如果，那么，，．
（2）合比性质：
如果，那么；
如果，那么．
（3）等比性质：
如果，那么．
三、比例线段
1、比例线段的概念
对于四条线段、、、，如果（或表示为），那么、、、叫做成比例线段，简称比例线段．
2、黄金分割
如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数．
四、三角形一边的平行线性质定理
1、三角形一边的平行线性质定理
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．
如图，已知，直线，且与、所在直线交于点和点，那么．
五、三角形一边的平行线性质定理推论
1、三角形一边的平行线性质定理推论
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
如图，点、分别在的边、上，
，那么．
2、三角形的重心
定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．
性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．
六、三角形一边的平行线判定定理及推论
1、三角形一边的平行线判定定理
如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
2、三角形一边的平行线判定定理推论
如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
如图，在中，直线与、所在直线交于点和点，如果那么//．
七、平行线分线段成比例定理
1、平行线分线段成比例定理
两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．
如图，直线////，直线与直线被直线、、所截，那么．
2、平行线等分线段定理
两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．
【考点剖析】
【考点1】相似形
例题1（奉贤2020一模4）下列命题中，真命题是（ ）
A. 邻边之比相等两个平行四边形一定相似B. 邻边之比相等的两个矩形一定相似
C. 对角线之比相等的两个平行四边形一定相似D. 对角线之比相等的两个矩形一定相似
【考点2】比例线段
例题2(2023华二紫双10月考5）如果线段b是线段a，c的比例中项，a：c = 4：9，那么下列结论中正确的是（ ）
A. a：b = 4：9; B. b：c = 2：3; C. a：b = 3：2; D. b：c = 3：2
例题3（崇明2020一模7）已知，那么___________．
例题4（奉贤2019期中8）已知点P是线段AB的黄金分割点，AB=4厘米，则较短线段AP的长是______厘米．
例题5(2023进才北10月考7）在比例尺为1：400000的地图上，量得线段AB两地距离是24cm，则AB两地实际距离为 km．
【考点3】三角形一边的平行线
例题6 （静安2020一模3）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=4：5，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
例题7 （浦东南片2019期中5）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=2，BD=4，那么由下列条件能够判断DE//BC的是（ ）
（A）； （B）；（C）；（D）．
例题8 (2023杨浦10月考12）如图，l1∥l2∥l3，已知AG＝6cm，BG＝12cm，CD＝15cm，CH＝_____cm．
【考点4】重心
例题9.如图，在中，，是的重心，过作边的平行线交于点，求的长．
【考点5】A型、X型综合
例10.如图，点在线段上，和都是等边三角形．
求证：（1）；（2）．
例题11.如图，，，，求的值．
例题12.如图，在梯形中，，对角线、交于点，点在上，且，已知，．求的长．
【过关检测】
1.（奉贤2020一模4）下列命题中，真命题是（ ）
A. 邻边之比相等两个平行四边形一定相似B. 邻边之比相等的两个矩形一定相似
C. 对角线之比相等的两个平行四边形一定相似D. 对角线之比相等的两个矩形一定相似
2.（崇明2020一模1）下列各组图形一定相似的是（ ）
A. 两个菱形；B. 两个矩形；C. 两个直角梯形；D. 两个正方形．
3.（普陀2019期中2）下列命题中，正确的是（ ）
A. 所有的矩形都相似；B. 所有的等腰梯形都相似；
C. 所有的等边三角形都相似；D. 含有角的所有等腰三角形都相似
4.(2023华二紫双10月考5）如果线段b是线段a，c的比例中项，a：c = 4：9，那么下列结论中正确的是（ ）
A. a：b = 4：9; B. b：c = 2：3; C. a：b = 3：2; D. b：c = 3：2
5.(2023华二紫双10月考1）已知：在一张比例尺为1：2000的地图上，量得A、B两地的距离是5cm，那么A、B两地的实际距离是（ ）
A. 50mB. 100mC. 500mD. 1000m
6.（青浦2020一模5）如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A. ；B. ；C. ；D. ．
7.（奉贤2019期中1）已知，下列说法中，错误的是（ ）
A. B. C. D.
8.（闵行2020期末2）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，那么下列比例式能成立的是( )
A. B.
C. D.
9.（奉贤2019期中5）已知线段 a,b,c 求线段 x,使 ac=bx,下列作法正确的是（ ）
A. B. C. D.
10.(2023新竹园9月考3）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是
A. B. C. D.
11.（崇明2020一模7）已知，那么___________．
12.（奉贤2019期中8）已知点P是线段AB的黄金分割点，AB=4厘米，则较短线段AP的长是______厘米．
13.(2023进才北10月考7）在比例尺为1：400000的地图上，量得线段AB两地距离是24cm，则AB两地实际距离为 km．
14．（浦东新区2020一模7）已知x＝3y，那么＝ ．
15.（奉贤2019期中7）已知线段 a = 4cm , b =9cm, 且线段 a 是线段 b 和线段 c的比例中项， 则线段 c 是_________．
16.(2023进才北10月考8）线段a是线段b，c的比例中项，且b=4cm，c=9cm，则a=____________cm
17.(2023华二紫双10月考13）如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站到舞台的黄金分割点P处，且，那么报幕员应走________米报幕；
18.（嘉定区2019期中8）已知点P是线段AB上的点，且BP2＝AP•AB，如果AB＝2cm，那么BP＝ cm．
19.（川中南2019期中13）如图，中，已知，F是CD的中点，则________
20.（奉贤2019期中11）如图，△ABC中，∠BAC=90°，点G是△ABC的重心，如果AG=4，那么BC=______.
21.（浦东四署2019期中18）如图，在中，，点在边上，线段绕点逆时针旋转，端点恰巧落在边上的点处.如果，.那么用含的代数式表示是：_________.
22.（普陀2019期中18）如图，中，，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点落在边上，已知，，则的长为_______.
23.(2023华二紫双10月考19）已知，，求：代数式的值.
24.（长宁天山2019期中20）如图，直线分别交直线于点交直线于点且，已知,.
（1）求的长；
（2）当时，求的长.
25.（浦东南片2019期中21）如图，已知∥∥，它们依次交直线、于点、、和点、、，，；
（1）求、的长；
（2）如果，，求的长；
26.(2023进才北10月考21）如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F．
求证：．
27.(2023育才10月考23）已知：如图所示，中，D、E分别在边AC、AB上，CD=3AD，BE：AE=3：2，求DF：FB的值．
第01讲 相似形与比例线段（核心考点讲与练）
【基础知识】
一、相似形的概念及性质
1、相似形的概念
相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形．
2、相似多边形的性质
如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1．
二、比例的性质
1、比和比例
一般来说，两个数或两个同类的量与相除，叫做与的比，记作（或表示为）；
如果（或），那么就说、、、成比例．
2、比例的性质
（1）基本性质：
如果，那么；
如果，那么，，．
（2）合比性质：
如果，那么；
如果，那么．
（3）等比性质：
如果，那么．
三、比例线段
1、比例线段的概念
对于四条线段、、、，如果（或表示为），那么、、、叫做成比例线段，简称比例线段．
2、黄金分割
如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数．
四、三角形一边的平行线性质定理
1、三角形一边的平行线性质定理
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．
如图，已知，直线，且与、所在直线交于点和点，那么．
五、三角形一边的平行线性质定理推论
1、三角形一边的平行线性质定理推论
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
如图，点、分别在的边、上，
，那么．
2、三角形的重心
定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．
性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．
六、三角形一边的平行线判定定理及推论
1、三角形一边的平行线判定定理
如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
2、三角形一边的平行线判定定理推论
如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
如图，在中，直线与、所在直线交于点和点，如果那么//．
七、平行线分线段成比例定理
1、平行线分线段成比例定理
两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．
如图，直线////，直线与直线被直线、、所截，那么．
2、平行线等分线段定理
两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．
【考点剖析】
【考点1】相似形
例题1（奉贤2020一模4）下列命题中，真命题是（ ）
A. 邻边之比相等两个平行四边形一定相似B. 邻边之比相等的两个矩形一定相似
C. 对角线之比相等的两个平行四边形一定相似D. 对角线之比相等的两个矩形一定相似
答案:B
解析：解：∵邻边之比相等的两个平行四边形，对应角不一定相等，∴邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，故A错误；∵邻边之比相等的两个矩形一定相似，故B正确；∵对角线之比相等的两个平行四边形对应角不一定相等，∴对角线之比相等的两个平行四边形不一定相似，故C错误；∵对角线之比相等的两个矩形，对应边之比不一定相等，∴对角线之比相等的两个矩形不一定相似，故D错误.故选B.
【考点2】比例线段
例题2(2023华二紫双10月考5）如果线段b是线段a，c的比例中项，a：c = 4：9，那么下列结论中正确的是（ ）
A. a：b = 4：9; B. b：c = 2：3; C. a：b = 3：2; D. b：c = 3：2
答案:B
解析：解：∵a：c=4：9，∴9a=4c，∴．∵线段b是线段a，c的比例中项，∴a：b=b：c，即b2=ac=c2=a2，∴b=c=a，∴a：b=c：c=2：3，∴b：c=a：b=2：3；故选：B．
例题3（崇明2020一模7）已知，那么___________．
答案:
解析：解:∵， ∴x＝, ∴．故答案为：．
例题4（奉贤2019期中8）已知点P是线段AB的黄金分割点，AB=4厘米，则较短线段AP的长是______厘米．
答案:；
解析：解：∵点P是线段AB的黄金分割点，∴较长线段BP=×4=2-2（厘米），∴较短线段AP=4-（2-2）=（厘米），故答案为．
例题5(2023进才北10月考7）在比例尺为1：400000的地图上，量得线段AB两地距离是24cm，则AB两地实际距离为 km．
答案:96；
解析：解：设AB两地实际距离为，根据题意得：，解得：（cm），∴AB两地实际距离为96km.
【考点3】三角形一边的平行线
例题6 （静安2020一模3）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=4：5，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案:B；
解析：解：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB=4∶5，则∴△ADE∽△ABC，∴，故A错误；则，故B正确；则，故C错误；则，故D错误.故选B.
例题7 （浦东南片2019期中5）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=2，BD=4，那么由下列条件能够判断DE//BC的是（ ）
（A）； （B）；（C）；（D）．
答案:C；
解析：解：根据三角形一边平行线的判定定理可知：当时，可得DE//BC，又AD=2，BD=4，所以，所以，故答案选C.
例题8 (2023杨浦10月考12）如图，l1∥l2∥l3，已知AG＝6cm，BG＝12cm，CD＝15cm，CH＝_____cm．
答案:5；
解析：解：∵直线l1∥l2∥l3，∴＝，∵AG＝6cm，BG＝12cm，CD＝15cm，∴＝，解得：CH＝5（cm），故答案为：5．
【考点4】重心
例题9.如图，在中，，是的重心，过作边的平行线交于点，求的长．
【难度】★★
答案:2．
解析：连结并延长交于点，根据重心的定义，可知为中点，则，
根据重心的性质，又，可得：，求得．
【总结】考查三角形重心的性质．
【考点5】A型、X型综合
例10.如图，点在线段上，和都是等边三角形．
求证：（1）；（2）．
【难度】★★
解析：证明：（1）和是等边三角形，
．
∵点在线段上，
．
，．
（2）同（1）易证得，则有．
和是等边三角形，
，
， ．
【总结】初步认识相似三角形中的“”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．
例题11.如图，，，，求的值．
【难度】★★
答案:．
解析：由，得：，又，可得，故．
【总结】考查相似三角形中“双”字型的综合应用，得到比例关系．
例题12.如图，在梯形中，，对角线、交于点，点在上，且，已知，．求的长．
【难度】★★
答案:2．
解析：由，可得：，
故，由，，求得．
【总结】相似三角形中“”字型和“”字型的综合应用，可得到相等比例关系式．
【过关检测】
1.（奉贤2020一模4）下列命题中，真命题是（ ）
A. 邻边之比相等两个平行四边形一定相似B. 邻边之比相等的两个矩形一定相似
C. 对角线之比相等的两个平行四边形一定相似D. 对角线之比相等的两个矩形一定相似
答案:B
解析：解：∵邻边之比相等的两个平行四边形，对应角不一定相等，∴邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，故A错误；∵邻边之比相等的两个矩形一定相似，故B正确；∵对角线之比相等的两个平行四边形对应角不一定相等，∴对角线之比相等的两个平行四边形不一定相似，故C错误；∵对角线之比相等的两个矩形，对应边之比不一定相等，∴对角线之比相等的两个矩形不一定相似，故D错误.故选B.
2.（崇明2020一模1）下列各组图形一定相似的是（ ）
A. 两个菱形；B. 两个矩形；C. 两个直角梯形；D. 两个正方形．
答案:D；
解析：解：A．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
B．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；C．任意两个直角梯形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；D．任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意；故选：D．
3.（普陀2019期中2）下列命题中，正确的是（ ）
A. 所有的矩形都相似；B. 所有的等腰梯形都相似；
C. 所有的等边三角形都相似；D. 含有角的所有等腰三角形都相似
答案:C；
解析：解：A. ∵矩形的边不一定成比例，∴矩形不一定相似，故不正确； B. ∵等腰梯形的边不一定成比例，∴等腰梯形不一定相似，故不正确；；C. 所有的等边三角形都相似，正确；D. ∵含有角的等腰三角形的边不一定成比例，∴含有角的等腰三角形不一定相似，故不正确；故选C.
4.(2023华二紫双10月考5）如果线段b是线段a，c的比例中项，a：c = 4：9，那么下列结论中正确的是（ ）
A. a：b = 4：9; B. b：c = 2：3; C. a：b = 3：2; D. b：c = 3：2
答案:B
解析：解：∵a：c=4：9，∴9a=4c，∴．∵线段b是线段a，c的比例中项，∴a：b=b：c，即b2=ac=c2=a2，∴b=c=a，∴a：b=c：c=2：3，∴b：c=a：b=2：3；故选：B．
5.(2023华二紫双10月考1）已知：在一张比例尺为1：2000的地图上，量得A、B两地的距离是5cm，那么A、B两地的实际距离是（ ）
A. 50mB. 100mC. 500mD. 1000m
答案:B；
解析：解：设A，B两地的实际距离为xcm,由题意得： ，解：x=10000，又10000cm= 100m所以 A，B两地的实际距离是100m，故选B.
6.（青浦2020一模5）如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A. ；B. ；C. ；D. ．
答案:A；
解析：解：∵GE∥BD，∴，∵GF∥AC，∴，∴，A选项正确；
∵GE∥BD，∴，∵GF∥AC，∴，∴，B选项错误；∵GE∥BD，∴∵GF∥AC，∴，∴，C选项错误；∵GE∥BD，∴，D选项错误；故选：A.
7.（奉贤2019期中1）已知，下列说法中，错误的是（ ）
A. B. C. D.
答案:C；
解析：解：A、根据合比性质，由，得，故A正确；B、根据合比性质，由，得，故B正确；C、由得，5a=3b，所以a≠b；又由得，ab+b=ab+a即a=b．故C错误；D、由得，5a=3b；又由得，5a=3b．故该选项正确.故选C．
8.（闵行2020期末2）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，那么下列比例式能成立的是( )
A. B. C. D.
答案:A；
解析：解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，∴AP2=BP×AB，即，故A正确，B、C错误；，故D错误；故答案选A.
9.（奉贤2019期中5）已知线段 a,b,c 求线段 x,使 ac=bx,下列作法正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案:C；
解析：解：由A得 ，即bc=ax；由B得，，即bc=ax；由C得，，即ac=bx；
由D得，，即ab=cx．故选：C．
10.(2023新竹园9月考3）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是
A. B. C. D.
答案:C；
解析：解：如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是矩形，∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=a，∴FM=a，∵AE∥FM，∴，故选C．
11.（崇明2020一模7）已知，那么___________．
答案:
解析：解:∵， ∴x＝, ∴．故答案为：．
12.（奉贤2019期中8）已知点P是线段AB的黄金分割点，AB=4厘米，则较短线段AP的长是______厘米．
答案:；
解析：解：∵点P是线段AB的黄金分割点，∴较长线段BP=×4=2-2（厘米），∴较短线段AP=4-（2-2）=（厘米），故答案为．
13.(2023进才北10月考7）在比例尺为1：400000的地图上，量得线段AB两地距离是24cm，则AB两地实际距离为 km．
答案:96；
解析：解：设AB两地实际距离为，根据题意得：，解得：（cm），∴AB两地实际距离为96km.
14．（浦东新区2020一模7）已知x＝3y，那么＝ ．
答案:；
解析：解：∵x＝3y，∴＝．故答案为：．
15.（奉贤2019期中7）已知线段 a = 4cm , b =9cm, 且线段 a 是线段 b 和线段 c的比例中项， 则线段 c 是_________．
答案:；
解析：解：∵c是线段a，b的比例中项，∴a2=bc，∵a=4cm，b=9cm，∴42=9c，∴c=cm．
16.(2023进才北10月考8）线段a是线段b，c的比例中项，且b=4cm，c=9cm，则a=____________cm
答案:6；
解析：解：由题意得，a2=bc，∵b=4cm，c=9cm，∴a2=36，∴a=6，a=-6（舍去）；故答案为：6．
17.(2023华二紫双10月考13）如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站到舞台的黄金分割点P处，且，那么报幕员应走________米报幕；
答案:；
解析：解：根据黄金分割的定义可知且AB=10，∴PB=5(-1)，又∵，∴AP=AB-AP=10-5(-1)=15-5.
18.（嘉定区2019期中8）已知点P是线段AB上的点，且BP2＝AP•AB，如果AB＝2cm，那么BP＝ cm．
答案:；
解析：解：∵点P在线段AB上，BP2＝AP•AB，∴点P为线段AB的黄金分割点，AB＝2cm，∴BP＝2×＝（）cm.
19.（川中南2019期中13）如图，中，已知，F是CD的中点，则________
答案:；
解析：解：延长BF交AD延长线于H，因为F是CD中点，易知BC=DH=AD，因为所以BE：BC=1：4，BE：AH=1：8，因为BC//AD，故GE：AG=BE：AH=1：8.
20.（奉贤2019期中11）如图，△ABC中，∠BAC=90°，点G是△ABC的重心，如果AG=4，那么BC=______.
答案:12；
解析：解：本题主要考查的是三角形的重心．延长AG交BC于点D，根据重心的性质可知点D为BC的中点，且AG=2DG=4，则AD=6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．延长AG交BC于点D．∵点G是△ABC的重心，AG=4，∴点D为BC的中点，且AG=2DG=4，∴DG=2，∴AD=AG+DG=6，∵△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边的中线，∴BC=2AD=12．
21.（浦东四署2019期中18）如图，在中，，点在边上，线段绕点逆时针旋转，端点恰巧落在边上的点处.如果，.那么用含的代数式表示是：_________.
答案:；
解析：解：作DH⊥AC于H，如图， ∵线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处，∴DE=DC，∴EH=CH，∵，即AE=nEC，∴AE=2nEH=2nCH，∵∠C=90°，∴DH∥BC，
∴，即.故答案为：2n+1．
22.（普陀2019期中18）如图，中，，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点落在边上，已知，，则的长为_______.
答案:；
解析：解：由旋转可得，BE=BE'=5，BD=BD'，∵D'C=4，∴BD'=BC﹣4，即BD=BC﹣4，∵DE∥AC，∴ ，即，解得BC=（负值已舍去），即BC的长为．
23.(2023华二紫双10月考19）已知，，求：代数式的值.
答案:8；
解析：解：设=k，则x=2k，y=3k，z=4k,又，即2k-3k+4k=6，解得k=2,所以x=4，y=6，z=8, 所以=12-12+8=8.
24.（长宁天山2019期中20）如图，直线分别交直线于点交直线于点且，已知,.
（1）求的长；
（2）当时，求的长.
答案:（1）AB=9；(2) CF=4；
解析：解：（1）∵，, AC=24， ∴即，∴
∴； （2）∵，∴，∴，∴OB=3，
∴OC=BC-OB=12，∴，∴CF=4.
25.（浦东南片2019期中21）如图，已知∥∥，它们依次交直线、于点、、和点、、，，；
（1）求、的长；
（2）如果，，求的长；
答案:（1）4，10；（2）9；
解析：【解】（1）∵AD∥BE∥CF，∴，∴， ∵AC＝14，∴AB=4，∴BC=；（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G又∵AD∥BE∥CF，AD=7∴AD=HE=GF=7，∵CF=14 ∴CG=14 - 7=7 ，∵BE∥CF，∴，∴BH=2，∴BE=2+7=9.
26.(2023进才北10月考21）如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F．
求证：．
【答案与解析】证明：∵GF∥BC，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴，∴．
27.(2023育才10月考23）已知：如图所示，中，D、E分别在边AC、AB上，CD=3AD，BE：AE=3：2，求DF：FB的值．
答案:;
解析：解：如图，连接AF，∵CD=3AD，∴ ,设，则，
又∵BE：AE=3：2，∴ ,设，则，又∵，
∴，∴,
∴.
一、相似形的概念及性质
1、相似形的概念
相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形．
2、相似多边形的性质
如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1．
二、比例的性质
1、比和比例
一般来说，两个数或两个同类的量与相除，叫做与的比，记作（或表示为）；
如果（或），那么就说、、、成比例．
2、比例的性质
（1）基本性质：
如果，那么；
如果，那么，，．
（2）合比性质：
如果，那么；
如果，那么．
（3）等比性质：
如果，那么．
三、比例线段
1、比例线段的概念
对于四条线段、、、，如果（或表示为），那么、、、叫做成比例线段，简称比例线段．
2、黄金分割
如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数．
四、三角形一边的平行线性质定理
1、三角形一边的平行线性质定理
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．
如图，已知，直线，且与、所在直线交于点和点，那么．
五、三角形一边的平行线性质定理推论
1、三角形一边的平行线性质定理推论
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
如图，点、分别在的边、上，
，那么．
2、三角形的重心
定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．
性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．
六、三角形一边的平行线判定定理及推论
1、三角形一边的平行线判定定理
如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
2、三角形一边的平行线判定定理推论
如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
如图，在中，直线与、所在直线交于点和点，如果那么//．
七、平行线分线段成比例定理
1、平行线分线段成比例定理
两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．
如图，直线////，直线与直线被直线、、所截，那么．
2、平行线等分线段定理
两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．
【考点剖析】
【考点1】相似形
例题1（奉贤2020一模4）下列命题中，真命题是（ ）
A. 邻边之比相等两个平行四边形一定相似B. 邻边之比相等的两个矩形一定相似
C. 对角线之比相等的两个平行四边形一定相似D. 对角线之比相等的两个矩形一定相似
【考点2】比例线段
例题2(2023华二紫双10月考5）如果线段b是线段a，c的比例中项，a：c = 4：9，那么下列结论中正确的是（ ）
A. a：b = 4：9; B. b：c = 2：3; C. a：b = 3：2; D. b：c = 3：2
例题3（崇明2020一模7）已知，那么___________．
例题4（奉贤2019期中8）已知点P是线段AB的黄金分割点，AB=4厘米，则较短线段AP的长是______厘米．
例题5(2023进才北10月考7）在比例尺为1：400000的地图上，量得线段AB两地距离是24cm，则AB两地实际距离为 km．
【考点3】三角形一边的平行线
例题6 （静安2020一模3）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=4：5，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
例题7 （浦东南片2019期中5）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=2，BD=4，那么由下列条件能够判断DE//BC的是（ ）
（A）； （B）；（C）；（D）．
例题8 (2023杨浦10月考12）如图，l1∥l2∥l3，已知AG＝6cm，BG＝12cm，CD＝15cm，CH＝_____cm．
【考点4】重心
例题9.如图，在中，，是的重心，过作边的平行线交于点，求的长．
【考点5】A型、X型综合
例10.如图，点在线段上，和都是等边三角形．
求证：（1）；（2）．
例题11.如图，，，，求的值．
例题12.如图，在梯形中，，对角线、交于点，点在上，且，已知，．求的长．
【过关检测】
1.（奉贤2020一模4）下列命题中，真命题是（ ）
A. 邻边之比相等两个平行四边形一定相似B. 邻边之比相等的两个矩形一定相似
C. 对角线之比相等的两个平行四边形一定相似D. 对角线之比相等的两个矩形一定相似
2.（崇明2020一模1）下列各组图形一定相似的是（ ）
A. 两个菱形；B. 两个矩形；C. 两个直角梯形；D. 两个正方形．
3.（普陀2019期中2）下列命题中，正确的是（ ）
A. 所有的矩形都相似；B. 所有的等腰梯形都相似；
C. 所有的等边三角形都相似；D. 含有角的所有等腰三角形都相似
4.(2023华二紫双10月考5）如果线段b是线段a，c的比例中项，a：c = 4：9，那么下列结论中正确的是（ ）
A. a：b = 4：9; B. b：c = 2：3; C. a：b = 3：2; D. b：c = 3：2
5.(2023华二紫双10月考1）已知：在一张比例尺为1：2000的地图上，量得A、B两地的距离是5cm，那么A、B两地的实际距离是（ ）
A. 50mB. 100mC. 500mD. 1000m
6.（青浦2020一模5）如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A. ；B. ；C. ；D. ．
7.（奉贤2019期中1）已知，下列说法中，错误的是（ ）
A. B. C. D.
8.（闵行2020期末2）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，那么下列比例式能成立的是( )
A. B.
C. D.
9.（奉贤2019期中5）已知线段 a,b,c 求线段 x,使 ac=bx,下列作法正确的是（ ）
A. B. C. D.
10.(2023新竹园9月考3）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是
A. B. C. D.
11.（崇明2020一模7）已知，那么___________．
12.（奉贤2019期中8）已知点P是线段AB的黄金分割点，AB=4厘米，则较短线段AP的长是______厘米．
13.(2023进才北10月考7）在比例尺为1：400000的地图上，量得线段AB两地距离是24cm，则AB两地实际距离为 km．
14．（浦东新区2020一模7）已知x＝3y，那么＝ ．
15.（奉贤2019期中7）已知线段 a = 4cm , b =9cm, 且线段 a 是线段 b 和线段 c的比例中项， 则线段 c 是_________．
16.(2023进才北10月考8）线段a是线段b，c的比例中项，且b=4cm，c=9cm，则a=____________cm
17.(2023华二紫双10月考13）如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站到舞台的黄金分割点P处，且，那么报幕员应走________米报幕；
18.（嘉定区2019期中8）已知点P是线段AB上的点，且BP2＝AP•AB，如果AB＝2cm，那么BP＝ cm．
19.（川中南2019期中13）如图，中，已知，F是CD的中点，则________
20.（奉贤2019期中11）如图，△ABC中，∠BAC=90°，点G是△ABC的重心，如果AG=4，那么BC=______.
21.（浦东四署2019期中18）如图，在中，，点在边上，线段绕点逆时针旋转，端点恰巧落在边上的点处.如果，.那么用含的代数式表示是：_________.
22.（普陀2019期中18）如图，中，，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点落在边上，已知，，则的长为_______.
23.(2023华二紫双10月考19）已知，，求：代数式的值.
24.（长宁天山2019期中20）如图，直线分别交直线于点交直线于点且，已知,.
（1）求的长；
（2）当时，求的长.
25.（浦东南片2019期中21）如图，已知∥∥，它们依次交直线、于点、、和点、、，，；
（1）求、的长；
（2）如果，，求的长；
26.(2023进才北10月考21）如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F．
求证：．
27.(2023育才10月考23）已知：如图所示，中，D、E分别在边AC、AB上，CD=3AD，BE：AE=3：2，求DF：FB的值．
第01讲 相似形与比例线段（核心考点讲与练）
【基础知识】
一、相似形的概念及性质
1、相似形的概念
相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形．
2、相似多边形的性质
如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1．
二、比例的性质
1、比和比例
一般来说，两个数或两个同类的量与相除，叫做与的比，记作（或表示为）；
如果（或），那么就说、、、成比例．
2、比例的性质
（1）基本性质：
如果，那么；
如果，那么，，．
（2）合比性质：
如果，那么；
如果，那么．
（3）等比性质：
如果，那么．
三、比例线段
1、比例线段的概念
对于四条线段、、、，如果（或表示为），那么、、、叫做成比例线段，简称比例线段．
2、黄金分割
如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数．
四、三角形一边的平行线性质定理
1、三角形一边的平行线性质定理
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．
如图，已知，直线，且与、所在直线交于点和点，那么．
五、三角形一边的平行线性质定理推论
1、三角形一边的平行线性质定理推论
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
如图，点、分别在的边、上，
，那么．
2、三角形的重心
定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．
性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．
六、三角形一边的平行线判定定理及推论
1、三角形一边的平行线判定定理
如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
2、三角形一边的平行线判定定理推论
如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
如图，在中，直线与、所在直线交于点和点，如果那么//．
七、平行线分线段成比例定理
1、平行线分线段成比例定理
两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．
如图，直线////，直线与直线被直线、、所截，那么．
2、平行线等分线段定理
两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．
【考点剖析】
【考点1】相似形
例题1（奉贤2020一模4）下列命题中，真命题是（ ）
A. 邻边之比相等两个平行四边形一定相似B. 邻边之比相等的两个矩形一定相似
C. 对角线之比相等的两个平行四边形一定相似D. 对角线之比相等的两个矩形一定相似
答案:B
解析：解：∵邻边之比相等的两个平行四边形，对应角不一定相等，∴邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，故A错误；∵邻边之比相等的两个矩形一定相似，故B正确；∵对角线之比相等的两个平行四边形对应角不一定相等，∴对角线之比相等的两个平行四边形不一定相似，故C错误；∵对角线之比相等的两个矩形，对应边之比不一定相等，∴对角线之比相等的两个矩形不一定相似，故D错误.故选B.
【考点2】比例线段
例题2(2023华二紫双10月考5）如果线段b是线段a，c的比例中项，a：c = 4：9，那么下列结论中正确的是（ ）
A. a：b = 4：9; B. b：c = 2：3; C. a：b = 3：2; D. b：c = 3：2
答案:B
解析：解：∵a：c=4：9，∴9a=4c，∴．∵线段b是线段a，c的比例中项，∴a：b=b：c，即b2=ac=c2=a2，∴b=c=a，∴a：b=c：c=2：3，∴b：c=a：b=2：3；故选：B．
例题3（崇明2020一模7）已知，那么___________．
答案:
解析：解:∵， ∴x＝, ∴．故答案为：．
例题4（奉贤2019期中8）已知点P是线段AB的黄金分割点，AB=4厘米，则较短线段AP的长是______厘米．
答案:；
解析：解：∵点P是线段AB的黄金分割点，∴较长线段BP=×4=2-2（厘米），∴较短线段AP=4-（2-2）=（厘米），故答案为．
例题5(2023进才北10月考7）在比例尺为1：400000的地图上，量得线段AB两地距离是24cm，则AB两地实际距离为 km．
答案:96；
解析：解：设AB两地实际距离为，根据题意得：，解得：（cm），∴AB两地实际距离为96km.
【考点3】三角形一边的平行线
例题6 （静安2020一模3）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=4：5，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案:B；
解析：解：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB=4∶5，则∴△ADE∽△ABC，∴，故A错误；则，故B正确；则，故C错误；则，故D错误.故选B.
例题7 （浦东南片2019期中5）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=2，BD=4，那么由下列条件能够判断DE//BC的是（ ）
（A）； （B）；（C）；（D）．
答案:C；
解析：解：根据三角形一边平行线的判定定理可知：当时，可得DE//BC，又AD=2，BD=4，所以，所以，故答案选C.
例题8 (2023杨浦10月考12）如图，l1∥l2∥l3，已知AG＝6cm，BG＝12cm，CD＝15cm，CH＝_____cm．
答案:5；
解析：解：∵直线l1∥l2∥l3，∴＝，∵AG＝6cm，BG＝12cm，CD＝15cm，∴＝，解得：CH＝5（cm），故答案为：5．
【考点4】重心
例题9.如图，在中，，是的重心，过作边的平行线交于点，求的长．
【难度】★★
答案:2．
解析：连结并延长交于点，根据重心的定义，可知为中点，则，
根据重心的性质，又，可得：，求得．
【总结】考查三角形重心的性质．
【考点5】A型、X型综合
例10.如图，点在线段上，和都是等边三角形．
求证：（1）；（2）．
【难度】★★
解析：证明：（1）和是等边三角形，
．
∵点在线段上，
．
，．
（2）同（1）易证得，则有．
和是等边三角形，
，
， ．
【总结】初步认识相似三角形中的“”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．
例题11.如图，，，，求的值．
【难度】★★
答案:．
解析：由，得：，又，可得，故．
【总结】考查相似三角形中“双”字型的综合应用，得到比例关系．
例题12.如图，在梯形中，，对角线、交于点，点在上，且，已知，．求的长．
【难度】★★
答案:2．
解析：由，可得：，
故，由，，求得．
【总结】相似三角形中“”字型和“”字型的综合应用，可得到相等比例关系式．
【过关检测】
1.（奉贤2020一模4）下列命题中，真命题是（ ）
A. 邻边之比相等两个平行四边形一定相似B. 邻边之比相等的两个矩形一定相似
C. 对角线之比相等的两个平行四边形一定相似D. 对角线之比相等的两个矩形一定相似
答案:B
解析：解：∵邻边之比相等的两个平行四边形，对应角不一定相等，∴邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，故A错误；∵邻边之比相等的两个矩形一定相似，故B正确；∵对角线之比相等的两个平行四边形对应角不一定相等，∴对角线之比相等的两个平行四边形不一定相似，故C错误；∵对角线之比相等的两个矩形，对应边之比不一定相等，∴对角线之比相等的两个矩形不一定相似，故D错误.故选B.
2.（崇明2020一模1）下列各组图形一定相似的是（ ）
A. 两个菱形；B. 两个矩形；C. 两个直角梯形；D. 两个正方形．
答案:D；
解析：解：A．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
B．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；C．任意两个直角梯形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；D．任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意；故选：D．
3.（普陀2019期中2）下列命题中，正确的是（ ）
A. 所有的矩形都相似；B. 所有的等腰梯形都相似；
C. 所有的等边三角形都相似；D. 含有角的所有等腰三角形都相似
答案:C；
解析：解：A. ∵矩形的边不一定成比例，∴矩形不一定相似，故不正确； B. ∵等腰梯形的边不一定成比例，∴等腰梯形不一定相似，故不正确；；C. 所有的等边三角形都相似，正确；D. ∵含有角的等腰三角形的边不一定成比例，∴含有角的等腰三角形不一定相似，故不正确；故选C.
4.(2023华二紫双10月考5）如果线段b是线段a，c的比例中项，a：c = 4：9，那么下列结论中正确的是（ ）
A. a：b = 4：9; B. b：c = 2：3; C. a：b = 3：2; D. b：c = 3：2
答案:B
解析：解：∵a：c=4：9，∴9a=4c，∴．∵线段b是线段a，c的比例中项，∴a：b=b：c，即b2=ac=c2=a2，∴b=c=a，∴a：b=c：c=2：3，∴b：c=a：b=2：3；故选：B．
5.(2023华二紫双10月考1）已知：在一张比例尺为1：2000的地图上，量得A、B两地的距离是5cm，那么A、B两地的实际距离是（ ）
A. 50mB. 100mC. 500mD. 1000m
答案:B；
解析：解：设A，B两地的实际距离为xcm,由题意得： ，解：x=10000，又10000cm= 100m所以 A，B两地的实际距离是100m，故选B.
6.（青浦2020一模5）如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A. ；B. ；C. ；D. ．
答案:A；
解析：解：∵GE∥BD，∴，∵GF∥AC，∴，∴，A选项正确；
∵GE∥BD，∴，∵GF∥AC，∴，∴，B选项错误；∵GE∥BD，∴∵GF∥AC，∴，∴，C选项错误；∵GE∥BD，∴，D选项错误；故选：A.
7.（奉贤2019期中1）已知，下列说法中，错误的是（ ）
A. B. C. D.
答案:C；
解析：解：A、根据合比性质，由，得，故A正确；B、根据合比性质，由，得，故B正确；C、由得，5a=3b，所以a≠b；又由得，ab+b=ab+a即a=b．故C错误；D、由得，5a=3b；又由得，5a=3b．故该选项正确.故选C．
8.（闵行2020期末2）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，那么下列比例式能成立的是( )
A. B. C. D.
答案:A；
解析：解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，∴AP2=BP×AB，即，故A正确，B、C错误；，故D错误；故答案选A.
9.（奉贤2019期中5）已知线段 a,b,c 求线段 x,使 ac=bx,下列作法正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案:C；
解析：解：由A得 ，即bc=ax；由B得，，即bc=ax；由C得，，即ac=bx；
由D得，，即ab=cx．故选：C．
10.(2023新竹园9月考3）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是
A. B. C. D.
答案:C；
解析：解：如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是矩形，∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=a，∴FM=a，∵AE∥FM，∴，故选C．
11.（崇明2020一模7）已知，那么___________．
答案:
解析：解:∵， ∴x＝, ∴．故答案为：．
12.（奉贤2019期中8）已知点P是线段AB的黄金分割点，AB=4厘米，则较短线段AP的长是______厘米．
答案:；
解析：解：∵点P是线段AB的黄金分割点，∴较长线段BP=×4=2-2（厘米），∴较短线段AP=4-（2-2）=（厘米），故答案为．
13.(2023进才北10月考7）在比例尺为1：400000的地图上，量得线段AB两地距离是24cm，则AB两地实际距离为 km．
答案:96；
解析：解：设AB两地实际距离为，根据题意得：，解得：（cm），∴AB两地实际距离为96km.
14．（浦东新区2020一模7）已知x＝3y，那么＝ ．
答案:；
解析：解：∵x＝3y，∴＝．故答案为：．
15.（奉贤2019期中7）已知线段 a = 4cm , b =9cm, 且线段 a 是线段 b 和线段 c的比例中项， 则线段 c 是_________．
答案:；
解析：解：∵c是线段a，b的比例中项，∴a2=bc，∵a=4cm，b=9cm，∴42=9c，∴c=cm．
16.(2023进才北10月考8）线段a是线段b，c的比例中项，且b=4cm，c=9cm，则a=____________cm
答案:6；
解析：解：由题意得，a2=bc，∵b=4cm，c=9cm，∴a2=36，∴a=6，a=-6（舍去）；故答案为：6．
17.(2023华二紫双10月考13）如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站到舞台的黄金分割点P处，且，那么报幕员应走________米报幕；
答案:；
解析：解：根据黄金分割的定义可知且AB=10，∴PB=5(-1)，又∵，∴AP=AB-AP=10-5(-1)=15-5.
18.（嘉定区2019期中8）已知点P是线段AB上的点，且BP2＝AP•AB，如果AB＝2cm，那么BP＝ cm．
答案:；
解析：解：∵点P在线段AB上，BP2＝AP•AB，∴点P为线段AB的黄金分割点，AB＝2cm，∴BP＝2×＝（）cm.
19.（川中南2019期中13）如图，中，已知，F是CD的中点，则________
答案:；
解析：解：延长BF交AD延长线于H，因为F是CD中点，易知BC=DH=AD，因为所以BE：BC=1：4，BE：AH=1：8，因为BC//AD，故GE：AG=BE：AH=1：8.
20.（奉贤2019期中11）如图，△ABC中，∠BAC=90°，点G是△ABC的重心，如果AG=4，那么BC=______.
答案:12；
解析：解：本题主要考查的是三角形的重心．延长AG交BC于点D，根据重心的性质可知点D为BC的中点，且AG=2DG=4，则AD=6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．延长AG交BC于点D．∵点G是△ABC的重心，AG=4，∴点D为BC的中点，且AG=2DG=4，∴DG=2，∴AD=AG+DG=6，∵△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边的中线，∴BC=2AD=12．
21.（浦东四署2019期中18）如图，在中，，点在边上，线段绕点逆时针旋转，端点恰巧落在边上的点处.如果，.那么用含的代数式表示是：_________.
答案:；
解析：解：作DH⊥AC于H，如图， ∵线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处，∴DE=DC，∴EH=CH，∵，即AE=nEC，∴AE=2nEH=2nCH，∵∠C=90°，∴DH∥BC，
∴，即.故答案为：2n+1．
22.（普陀2019期中18）如图，中，，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点落在边上，已知，，则的长为_______.
答案:；
解析：解：由旋转可得，BE=BE'=5，BD=BD'，∵D'C=4，∴BD'=BC﹣4，即BD=BC﹣4，∵DE∥AC，∴ ，即，解得BC=（负值已舍去），即BC的长为．
23.(2023华二紫双10月考19）已知，，求：代数式的值.
答案:8；
解析：解：设=k，则x=2k，y=3k，z=4k,又，即2k-3k+4k=6，解得k=2,所以x=4，y=6，z=8, 所以=12-12+8=8.
24.（长宁天山2019期中20）如图，直线分别交直线于点交直线于点且，已知,.
（1）求的长；
（2）当时，求的长.
答案:（1）AB=9；(2) CF=4；
解析：解：（1）∵，, AC=24， ∴即，∴
∴； （2）∵，∴，∴，∴OB=3，
∴OC=BC-OB=12，∴，∴CF=4.
25.（浦东南片2019期中21）如图，已知∥∥，它们依次交直线、于点、、和点、、，，；
（1）求、的长；
（2）如果，，求的长；
答案:（1）4，10；（2）9；
解析：【解】（1）∵AD∥BE∥CF，∴，∴， ∵AC＝14，∴AB=4，∴BC=；（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G又∵AD∥BE∥CF，AD=7∴AD=HE=GF=7，∵CF=14 ∴CG=14 - 7=7 ，∵BE∥CF，∴，∴BH=2，∴BE=2+7=9.
26.(2023进才北10月考21）如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F．
求证：．
【答案与解析】证明：∵GF∥BC，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴，∴．
27.(2023育才10月考23）已知：如图所示，中，D、E分别在边AC、AB上，CD=3AD，BE：AE=3：2，求DF：FB的值．
答案:;
解析：解：如图，连接AF，∵CD=3AD，∴ ,设，则，
又∵BE：AE=3：2，∴ ,设，则，又∵，
∴，∴,
∴.
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