沪教版数学九年级上册考点讲练第01讲相似形、比例线段、相似三角形（3大考点12种解题方法）（2份，原卷版+解析版）

这是一份沪教版数学九年级上册考点讲练第01讲相似形、比例线段、相似三角形（3大考点12种解题方法）（2份，原卷版+解析版），文件包含沪教版数学九年级上册考点讲练第01讲相似形比例线段相似三角形3大考点12种解题方法原卷版doc、沪教版数学九年级上册考点讲练第01讲相似形比例线段相似三角形3大考点12种解题方法解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共85页， 欢迎下载使用。
一．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．
②合比性质．若＝，则＝．
③分比性质．若＝，则＝．
④合分比性质．若＝，则＝．
⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝．
二．比例线段
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
三．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．
四．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
五．相似图形
（1）相似图形
我们把形状相同的图形称为相似图形．
（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
（3）相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
六．相似多边形的性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
七．相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
八．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
九．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
十．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
十一．直角三角形相似
Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有：①AD2＝BD•DC；
②AB2＝BD•BC；AC2＝CD•BC．
考点精讲
一．比例的性质（共3小题）
1．已知＝，那么下列等式中成立的是（ ）
A．2a＝3bB．＝C．＝D．＝
【分析】利用比例的基本性质进行计算即可解答．
【解答】解：A．因为＝，所以3a＝2b，故A不符合题意；
B．因为＝，所以≠，故B不符合题意；
C．因为＝，所以＝，故C符合题意；
D．因为＝，所以＝﹣故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
2．已知x：y＝2：3，那么（x+y）：y＝ 5：3 ．
【分析】利用设k法进行计算即可．
【解答】解：∵x：y＝2：3，
∴设x＝2k，y＝3k，
∴＝＝＝，
故答案为：5：3．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
3．已知＝，那么＝ ．
【分析】利用设k法解答即可．
【解答】解：∵＝，
∴设x＝4k，y＝3k，
∴＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
二．比例线段（共5小题）
4．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．，b＝3，c＝2，D．a＝2，，，
【分析】根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．
【解答】解：A.4×10≠6×5，故不符合题意，
B.1×4≠2×3，故不符合题意，
C.≠2×3，故不符合题意，
D.，故符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
5．在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为（ ）
A．50cmB．500cmC．D．
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，列比例式，根据比例的基本性质即可求得结果．
【解答】解：设长度为10cm的线段实际长为xcm，则：
＝，
解得，x＝500．
故选：B．
【点评】本题考查了比例线段，能够根据比例尺定义列出方程是解题的关键．
6．在比例尺为1：5000的地图上，如果A、B两地的距离是10厘米，那么这两地的实际距离是（ ）
A．50000米B．5000米C．500米D．50米
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，列比例式即可求得甲乙两地的实际距离．要注意统一单位．
【解答】解：设甲乙两地的实际距离为x厘米，
根据题意得，1：5000＝10：x，
解得x＝50000，
50000厘米＝500米．
即甲乙两地的实际距离为500米．
故选：C．
【点评】本题考查了比例线段，熟练运用比例尺进行计算，注意单位的转换．
7．如果，且b是a和c的比例中项，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据比例中项的概念可得a：b＝b：c，则可求得b：c值．
【解答】解：∵，b是a和c的比例中项，
即a：b＝b：c，
∴＝．
故选：D．
【点评】本题考查了比例线段，熟练掌握在线段a，b，c中，若b2＝ac，则b是a，c的比例中项是解题的关键．
8．已知点B在线段AC上，AB＝2BC，那么AC：AB的比值是 ．
【分析】设BC＝k，则AB＝2BC＝2k，根据线段和的定义得出AC＝AB+BC＝3k，即可求出AC：AB的比值．
【解答】解：如图，设BC＝k，则AB＝2BC＝2k，
∵点B在线段AC上，
∴AC＝AB+BC＝2k+k＝3k，
∴AC：AB＝3k：2k＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例线段，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
三．黄金分割（共5小题）
9．已知线段AB的长为2厘米，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长线段AP的长是 （﹣1） 厘米．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长度．
【解答】解：由于P为线段AB的黄金分割点，
且AP是较长线段，
则AP＝2×＝（﹣1）厘米．
故答案为：（﹣1）．
【点评】本题主要考查了理解黄金分割点的概念，熟记黄金比的值进行计算，难度适中．
10．如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么的值等于（ ）
A．+1B．﹣1C．D．
【分析】由黄金分割的定义得＝，即可得出答案．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），
∴＝＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
11．我们知道，两条邻边之比等于黄金分割数的矩形叫做黄金矩形．如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，点E在边BC上，将这个矩形沿直线AE折叠，使点B落在边AD上的点F处，那么EF与CE的比值等于 ．
【分析】根据折叠的性质以及矩形的性质可证四边形ABEF是正方形，可得EF＝BE，进一步即可求出EF与CE的比值．
【解答】解：根据折叠，可知AB＝AF，BE＝FE，∠BAE＝∠FAE，
在矩形ABCD中，∠BAF＝∠B＝90°，
∴∠BAE＝∠FAE＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴BA＝BE，
∴AB＝BE＝EF＝FA，
又∵∠B＝90°，
∴四边形ABEF是正方形，
∴EF＝BE＝AB，
∵矩形ABCD是黄金矩形，
∴＝，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的判定和性质，熟练掌握黄金分割是解题的关键．
12．如图，某人跳芭蕾舞，踮起脚尖时显得下半身比上半身更修长．若以裙子腰节为分界点，身材比例正好符合黄金分割，已知从脚尖到头顶高度为176cm，那么裙子的腰节到脚尖的距离为 （88﹣88） cm．（结果保留根号）
【分析】设裙子的腰节到脚尖的距离为xcm，根据黄金分割的定义得＝，再计算即可．
【解答】解：设裙子的腰节到脚尖的距离为xcm，
∵以裙子腰节为分界点，身材比例正好符合黄金分割，已知从脚尖到头顶高度为176cm，
∴＝，
∴x＝88﹣88，
即裙子的腰节到脚尖的距离为（88﹣88）cm，
故答案为：（88﹣88）．
【点评】本题考查了黄金分割的定义，熟记黄金分割的比值是解题的关键．
13．已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，下列结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据黄金分割的定义判断即可．
【解答】解：∵点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，
∴AP2＝PB•AB，
∴点P是AB的黄金分割点，
∴＝，
故选：C．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键．
四．平行线分线段成比例（共7小题）
14．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F．如果AC：CE＝2：3，BD＝4，那么BF等于（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【解答】解：∵AC：CE＝2：3，
∴AC：AE＝2：5，
∵AB∥CD∥EF，
∴，
∴BF＝＝×4＝10，
故选：C．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，关键是找出对应的比例线段，写出比例式，用到的知识点是平行线分线段成比例定理．
15．如图，AD∥EF∥BC，AE＝2BE，AD＝2，EF＝4，那么BC＝ 5 ．
【分析】作AM∥CD交BC于M，交EF于N．得出AD＝NF＝CM＝2，再证明△AEN∽△ABM，利用相似三角形的性质求出BM，代入BC＝BM+CM即可解决问题．
【解答】解：如图，作AM∥CD交BC于M，交EF于N．
∵AD∥EF∥BC，
∴四边形ADCM是平行四边形，四边形ADFN是平行四边形，
∴AD＝NF＝CM＝2，
∵EF＝4，
∴EN＝EF﹣FN＝4﹣2＝2，
∵EN∥BM，
∴△AEN∽△ABM，
∴＝＝，
∴＝，
∴BM＝3，
∴BC＝BM+CM＝3+2＝5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
16．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F，那么＝ ．
【分析】作DH∥BF交AC于H，根据平行线分线段成比例定理得到AF＝FH＝HC，得到答案．
【解答】解：作DH∥BF交AC于H，
∵DH∥BF，AD是△ABC的中线，
∴CH＝HF，
∵DH∥BF，E是AD中点，
∴AF＝FH，
∴AF＝FH＝HC，
∴AF：CF＝1：2，
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
17．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A，D，F和点B，C，E．如果，BE＝20，那么线段BC的长是 8 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∴，
∴BC＝8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
18．已知：如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，DF∥AC，BD＝2AD，AE＝2EC．
（1）如果AB＝2AC，求证：四边形ADFE是菱形；
（2）如果AB＝AC，且BC＝1，联结DE，求DE的长．
【分析】（1）根据菱形的判定方法解答即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵BD＝2AD，AE＝2EC，
∴＝，
∵DF∥AC，
∴＝，
∴＝，
∴EF∥AB，
又∵DF∥AC，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∵AB＝2AC，AE＝AC，
∴AE＝AB，
∴AD＝AE，
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴四边形ADFE是菱形；
（2）如图，在△ADE和△ACB中，∠A是公共角，
＝＝＝，＝＝＝，
∴△ADE∽△ACB，
∵BC＝1，
∴DE＝．
【点评】本题主要考查了菱形的判定和相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些判定定理和性质定理是解答本题的关键．
19．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中一定能判定DE∥AC的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据平行线分线段成比例判断即可．
【解答】解：A．因为＝，所以DE∥AC，故A不符合题意；
B．因为＝，所以DE∥AC，故B符合题意；
C．因为＝，所以DE∥AC，故C不符合题意；
D．因为＝，所以DE∥AC，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，根据题目的已知并结合图形去分析是解题的关键．
20．如图，已知点F在AB上，且AF：BF＝1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD＝2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．
【分析】过点F作FE∥BD，交AC于点E，求出＝，得出FE＝BC，根据已知推出CD＝BC，根据平行线分线段成比例定理推出＝，代入化简即可．
【解答】解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，
∴＝，
∵AF：BF＝1：2，
∴＝，
∴＝，
即FE＝BC，
∵BC：CD＝2：1，
∴CD＝BC，
∵FE∥BD，
∴＝＝＝．
即FN：ND＝2：3．
证法二、连接CF、AD，
∵AF：BF＝1：2，BC：CD＝2：1，
∴＝＝，
∵∠B＝∠B，
∴△BCF∽△BDA，
∴＝＝，∠BCF＝∠BDA，
∴FC∥AD，
∴△CNF∽△AND，
∴＝＝．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目．
五．相似图形（共2小题）
21．下列图形，一定相似的是（ ）
A．两个直角三角形B．两个等腰三角形
C．两个等边三角形D．两个菱形
【分析】根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解．
【解答】解：A．两个直角三角形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故A选项不符合题意；
B．两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故B选项不符合题意；
C．两个等边三角形的对应角一定相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故C选项符合题意；
D．两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了相似图形，熟悉各种图形的性质是解题的关键．
22．下列各组图形中，不一定相似的是（ ）
A．两个矩形
B．两个等腰直角三角形
C．各有一个角是50°的两个直角三角形
D．各有一个角是100°的两个等腰三角形
【分析】根据相似图形的定义，对应角相等，对应边成比例对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、两个矩形四个角都是直角，但对应边不一定成比例，不一定相似，故本选项符合题意；
B、两个等腰直角三角形，两腰成比例，夹角都是直角相等，一定相似，故本选项不符合题意；
C、各有一个角是50°的两个直角三角形，还有一个直角相等，一定相似，故本选项不符合题意；
D、两腰成比例，夹角100°相等，一定相似，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了相似图形，要注意从对应角和对应边两个方面考虑求解．
六．相似多边形的性质（共4小题）
23．下列说法正确的是（ ）
A．所有的矩形都相似
B．所有的菱形都相似
C．所有的正方形都相似
D．对应角分别相等的两个四边形相似
【分析】相似形就是形状相同的两个图形，即对应边的比相等，对应角相等的两个图形，依据定义即可进行判断．
【解答】解：A．所有的矩形对应边比值不一定相等，所以不一定相似，此选项错误；
B．所有的菱形对应边的比相等，但对应角不一定相等，故错误；
C．所有的正方形都相似，故此选项正确；
D．对应角相等的两个多边形，对应边比值不一定相等，所以不一定相似，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题考查了相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等．两个条件必须同时具备．
24．我们知道：四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形是相似四边形．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，BC＝2，E、F分别是边AB、CD上的点，且EF∥BC，如果四边AEFD与四边形EBCF相似，那么的值是 ．
【分析】根据相似多边形的性质得出＝，把AD＝1和BC＝2代入求出EF，再根据相似多边形的性质得出＝，再求出答案即可．
【解答】解：∵四边AEFD与四边形EBCF相似，
∴＝，
∵AD＝1，BC＝2，
∴＝，
解得：EF＝，
∵四边AEFD与四边形EBCF相似，
∴＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了梯形和相似多边形的性质，能根据相似多边形的性质得出比例式是解此题的关键．
25．如图，已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝ ．
【分析】根据折叠的性质得到AB＝AF＝1，根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：由折叠的性质可知，AB＝AF＝1，
∵矩形EFDC与矩形ABCD相似，
∴＝，即＝，
整理得，AD2﹣AD﹣1＝0，
AD＝，
由题意得，AD＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质、折叠的性质，掌握相似多边形的对应角相等、对应边的比相等是解题的关键．
26．已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，并且点A与点A1、点B与点B1、点C与点C1、点D与点D1对应．
（1）已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠C1＝90°，求∠D的度数；
（2）已知AB＝9，CD＝15，A1B1＝6，A1D1＝4，B1C1＝8，求四边形ABCD的周长．
【分析】（1）根据相似多边形的对应角相等解决问题即可．
（2）根据相似多边形的对应边成比例，解决问题即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∴∠C＝∠C1＝90°，
∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣40°﹣110°﹣90°＝120°．
（2）∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BC＝12，AD＝6，
∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝9+12+15+6＝42．
【点评】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例．
七．相似三角形的性质（共6小题）
27．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为 2：3 ．
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比可求得其相似比，再根据对应高线的比等于相似比可得到答案．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的对应高的比为：2：3，
故答案为：2：3．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比、对应高线比等于相似比是解题的关键．
28．如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么这两个三角形的对应中线的比为（ ）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
【分析】根据相似三角形的性质判断即可．
【解答】解：因为两个相似三角形的周长比等于相似比，两个相似三角形的对应中线的比也等于相似比，
所以：如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么这两个三角形的对应中线的比为1：4，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
29．如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么它们的对应角平分线的比为（ ）
A．1：4B．1：2C．1：16D．
【分析】利用相似三角形的性质：相似三角形的对应周长的比等于相似比，对应角平分线的比等于相似比，据此作答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，
∴两个相似三角形的相似比为1：4，
∴它们的对应角平分线的比为1：4．
故选：A．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质，解答的关键是熟记相似三角形的性质并灵活运用．
30．如图，点A（1，7），B（1，1），C（4，1），D（6，1），若△CDE与△ABC相似，那么在下列选项中，点E的坐标不可能是（ ）
A．（6，2）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）
【分析】根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．
【解答】解：△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝3，AB：BC＝2．
A．当点E的坐标为（6，2）时，∠ECD＝90°，CD＝2，DE＝1，则AB：BC＝CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；
B．当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；
C．当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝4，则AB：BC＝DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；
D．当点E的坐标为（4，2）时，∠CDE＝90°，CD＝2，CE＝1，则AB：BC≠CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，难度中等．牢记判定定理是解题的关键
31．如果两个相似三角形的面积比为1：4，其中较大三角形的周长为18，那么较小三角形的周长是 9 ．
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．
【解答】解：设较小三角形的周长是x，则
x：18＝，
解得：x＝9．
故较小三角形的周长是9，
故答案为：9．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
32．如果两个相似三角形对应边之比是4：9，那么它们的周长之比等于 4：9 ．
【分析】根据相似三角形的性质得出即可．
【解答】解：∵两个相似三角形对应边之比是4：9，
∴它们的周长之比等于4：9，
故答案为：4：9．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，能熟记相似三角形的周长之比等于相似比是解此题的关键．
八．相似三角形的判定（共4小题）
33．如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（ ）
A．△BFEB．△BDAC．△BDCD．△AFD
【分析】根据等边三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴∠A＝∠BDF＝60°，
∵∠ABD＝∠DBF，
∴△BFD∽△BDA，
∴与△BFD相似的三角形是△BDA，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
34．下列格点三角形中，与已知格点△ABC相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设小正方形的边长是1，先求出△ABC的三边长，再分别求出每个选项中三角形的三边的长度，求出对应的边的比值，看看是否相等，再根据相似三角形的判定定理判定即可．
【解答】解：设小正方形的边长是1，
由勾股定理得：AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝，
A．三角形的三边的长度分别为：＝2，2，4，
∵＝，＝，＝，
∴＝＝，所以与格点△ABC相似，故本选项符合题意；
B．三角形的三边的长度分别为：2，＝，＝3，
∵＝1，＝，＝，
∴≠≠，所以与格点△ABC不相似，故本选项不符合题意；
C．三角形的三边的长度分别为：＝，＝，3，
∵＝1，＝，＝，
∴≠≠，所以与格点△ABC不相似，故本选项不符合题意；
D．三角形的三边的长度分别为：＝，＝3，＝2，
∵＝1，＝，＝，
∴≠≠，所以与格点△ABC不相似，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．
35．如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（ ）
A．△BFEB．△BDCC．△BDAD．△AFD
【分析】根据等边三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴∠A＝∠BDF＝60°，
∵∠ABD＝∠DBF，
∴△BFD∽△BDA，
∴与△BFD相似的三角形是△BDA，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
36．如图，M是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，AM的延长线交BC于点E，交DC的延长线于点F，图中相似三角形有（ ）
A．6对B．5对C．4对D．3对
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得AD∥BC，AB∥CD，从而得到△AMD∽△EMB，△EFC≌△AFD，△ABE∽△FCE，△ABM∽△FDM，则△AME∽△FDA，可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，∠ADB＝∠DBC，
∴△ABD∽△CDB，
∵AD∥BC，
∴△AMD∽△EMB，△EFC≌△AFD，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△FCE，△ABM∽△FDM，
∴△AME∽△FDA，
∴相似三角形共有6对，
故选：A．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定，注意相似的传递性是解题的关键．
九．相似三角形的判定与性质（共4小题）
37．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AO＝2，AD＝4，OC＝6，BC＝8，如果∠DAO＝∠CBO，那么AB：CD的值是 2：3 ．
【分析】由∠DAO＝∠CBO，∠AOD＝∠BOC，得出△AOD∽△BOC，得出，根据已知得出OB＝4，OD＝3，进而得出，再证明△AOB∽△DOC，得出，即可得出答案．
【解答】解：∵∠DAO＝∠CBO，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，
∴，
∵AO＝2，AD＝4，OC＝6，BC＝8，
∴，
∴OB＝4，OD＝3，
∴，
∵∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
∴，
故答案为：2：3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
38．如图，已知：△ABC和△ADE都是等边三角形，其中点D在边BC上，点F是AB边上一点，且BF＝CD．
（1）求证：DE∥CF；
（2）联结DF，设AD、CF的交点为M，如果DF2＝FM•FC，求证：DF∥AC．
【分析】（1）由等边三角形的性质证明△ACD≌△CBF，得出∠CAD＝∠BCF，由等边三角形的性质及三角形外角的性质得出∠BDE＝∠CAD，进而得出∠BDE＝∠BCF，即可证明DE∥CF；
（2）先证明△DFM∽△CFD，得出∠FDM＝∠FCD，由∠CAD＝∠BCF，得出∠FDM＝∠CAD，即可证明DF∥AC．
【解答】证明：（1）如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，
在△ACD和△CBF中，
，
∴△ACD≌△CBF（SAS），
∴∠CAD＝∠BCF，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝∠ACB＝60°，
∵∠ADE+∠BDE＝∠ACB+∠CAD，
∴∠BDE＝∠CAD，
∴∠BDE＝∠BCF，
∴DE∥CF；
（2）如图2，
∵DF2＝FM•FC，
∴，
∵∠DFM＝∠CFD，
∴△DFM∽△CFD，
∴∠FDM＝∠FCD，
∵∠CAD＝∠BCF，
∴∠FDM＝∠CAD，
∴DF∥AC．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判断，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
39．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB、AD上，DE与CF相交于点G．CD2＝CG•CF，∠AED＝∠CFD．
（1）求证：AB＝CD；
（2）延长AD至点M，联结CM，当CF＝CM时，求证：EA•AB＝AD•MD．
【分析】（1）根据已知可得＝，从而可得△CDG∽△CFD，然后利用相似三角形的性质可得∠CDG＝∠CFD，从而可得∠CDG＝∠AED，进而可得AB∥CD，最后证明四边形ABCD是平行四边形，从而利用平行四边形的性质即可解答；
（2）根据等腰三角形的性质可得∠CFD＝∠M，从而可得∠AED＝∠M，然后利用平行线的性质可得∠A＝∠CDM，从而可证△AED∽△DMC，进而利用相似三角形的性质即可解答．
【解答】证明：（1）∵CD2＝CG•CF，
∴＝，
∵∠DCG＝∠DCF，
∴△CDG∽△CFD，
∴∠CDG＝∠CFD，
∵∠AED＝∠CFD，
∴∠CDG＝∠AED，
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD；
（2）如图：
∵CF＝CM，
∴∠CFD＝∠M，
∵∠AED＝∠CFD，
∴∠AED＝∠M，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠CDM，
∴△AED∽△DMC，
∴＝，
∴AE•DC＝AD•DM，
∵AB＝DC，
∴EA•AB＝AD•MD．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定与性质是解题的关键．
40．如图，已知点D、E、F、G、H、I分别在△ABC的三边上，如果六边形DEFGHI是正六边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠A＝60°
B．
C．＝
D．＝
【分析】根据六边形DEFGHI是正六边形，得出△ABC是正三角形，然后判断各个选项即可．
【解答】解：∵六边形DEFGHI是正六边形，
∴∠ADE＝∠AED＝60°，
即△ADE是等边三角形，
∴∠A＝60°，
故A选项结论正确，不符合题意；
同理得出∠B＝∠C＝60°，
即△ABC是等边三角形，
∴AD＝DI＝BI，
即，
∵DE∥BC，
∴＝，
故B选项结论正确，不符合题意；
＝＝，
故C选项结论不正确，符合题意；
＝＝，
故D选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查正多边形和圆的知识，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
一十．相似三角形的应用（共6小题）
41．在某一时刻，直立地面的一根竹竿的影长为3米，一根旗杆的影长为25米，已知这根竹竿的长度为1.8米，那么这根旗杆的高度为 15 米．
【分析】根据同一时刻，物高与影长成正比即可列出等式．
【解答】解：根据同一时刻，物高与影长成正比得，旗杆的高度：1.8＝25：3，
∴旗杆的高度为15米，
故答案为：15．
【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握平行投影的基本特征：物高与影长成正比是解题的关键．
42．冬日暖阳，下午4点时分，小明在学恔操场晒太阳，身高1.5米的他，在地面上的影长为2米，则此时高度为9米的旗杆在地面的影长为 12 米．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【解答】解：设旗杆的高度为x米，根据题意得：
＝，
解得：x＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通解方程求出树的高度，体现了方程的思想．
43．如图所示，用手电来测量古城墙高度，将水平的平面镜放置在点P处，光线从点A出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙CD的顶端C处．如果AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝1.5米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是 10 米．
【分析】根据题意，可以得到△ABP∽△CDP，从而可以得到，再根据AB＝1.5米，BP＝1.8米，PD＝12米，即可求得CD的长．
【解答】解：由题意可得，
∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，
∴△ABP∽△CDP，
∴，
∵AB＝1.5米，BP＝1.8米，PD＝12米，
∴，
解得CD＝10，
即该古城墙的高度是10米，
故答案为：10．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出△ABP∽△CDP．
44．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M、N分别是正方形ABCD的边AD，AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点A，且ME＝100步，NF＝225步，那么该正方形城邑边长AD约为 300 步．
【分析】根据题意，可知Rt△AEM∽Rt△FAN，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形的边长．
【解答】解：∵点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，
∴AM＝AD，AN＝AB，
∴AM＝AN，
由题意可得，Rt△AEM∽Rt△FAN，
∴，
即AM2＝100×225＝22500，
解得：AM＝150（步），
∴AD＝2AM＝300（步）；
故答案为：300．
【点评】本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意．利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答．
45．如图，某时刻阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的“亮区”DE，光线与地面所成的角（如∠BEC）的正切值是，那么窗口的高AB等于 2 米．
【分析】由题意知CE＝2BC，CD＝2AC，进而得到CD＝DE+CE＝4+2BC，由BE∥AD得到△BCE∽△ACD，根据相似三角形的性质得到＝＝，化简即可求出AB．
【解答】解：由题意知tan∠BEC＝＝＝，DE＝4，
∴CE＝2BC，CD＝2AC，
∴CD＝DE+CE＝4+2BC，
∵AD∥BE，
∴△BCE∽△ACD，
∴＝，
∴＝＝，
∴BC+AB＝2+BC，
∴AB＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
46．学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF＝1.5米，“标杆”AB＝2.5米，又BD＝23米，FB＝2米．
（1）求大楼的高度CD为多少米（CD垂直地面BD）？
（2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼CD上点G的高度GD＝11.5米，那么相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动多少米？
【分析】（1）如图1中，过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J．则四边形EFBJ，四边形EFDH都是矩形．利用相似三角形的性质求出CH，可得结论．
（2）如图2中，过点E作ET⊥CD于点T交AB于点R．设BF＝x米，利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J．则四边形EFBJ，四边形EFDH都是矩形．
∴EF＝BJ＝DH＝1.5米，BF＝EJ＝2米，DB＝JH＝23米，
∵AB＝2.5米．
∴AJ＝AB﹣BJ＝2.5﹣1.5＝1（米），
∵AJ∥CH，
∴△EAJ∽△ECH，
∴＝，
∴＝，
∴CH＝12.5（米），
∴CD＝CH+DH＝12.5+1.5＝14（米）．
（2）如图2中，过点E作ET⊥CD于点T交AB于点R．设BF＝x米，
∵AR∥GT，
∴＝，
∴＝，
∴x＝2.5，
∵2.5﹣2＝0.5（米），
∴标杆AB应该向大楼方向移动0.5米．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
一十一．射影定理（共2小题）
47．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝4，BD＝9，则CD＝ 6 ．
【分析】根据两角相等证明△ACD∽△CBD，列比例式代入可得结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠ACD+∠A＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∵AD＝4，BD＝9，
∴CD2＝4×9＝36，
∴CD＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质，明确同角的余角相等，为证明三角形相似打基础，这在三角形相似证明角相等时经常运用，要熟练掌握．
48．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，如果AD＝2，BD＝6，那么AC的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据射影定理计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，
则AC2＝AD•AB，
∵AD＝2，BD＝6，
∴AC2＝2×（2+6）＝16，
∴AC＝4，
故选：A．
【点评】本题考查的是射影定理的应用，在直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
十二、重心
49.如图，在中，，是的重心，过作边的平行线交于点，求的长．
【难度】★★
【答案】2．
【解析】连结并延长交于点，根据重心的定义，可知为中点，则，
根据重心的性质，又，可得：，求得．
【总结】考查三角形重心的性质．
一．选择题（共12小题）
1．下列图形中不一定是相似图形的是（ ）
A．两个等边三角形
B．两个顶角相等的等腰三角形
C．两个等腰直角三角形
D．两个矩形
【分析】根据相似图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、两个等边三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故此选项不合题意；
B、两个顶角相等的等腰三角形，对应角相等，一定相似，故此选项不合题意；
C、两个等腰直角三角形，顶角都是直角相等，夹边成比例，一定相似，故此选项不合题意；
D、两个长方形，四个角都是直角相等，但对应边不一定成比例，不一定相似，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了相似图形的概念，注意从对应边成比例，对应角相等两个方面考虑．
2．在比例尺是1：200000的地图上，两地的距离是6cm，那么这两地的实际距离为（ ）
A．1.2kmB．12kmC．120kmD．1200km
【分析】设这两地的实际距离为xcm，根据比例尺的定义列出方程，然后求解即可得出答案．
【解答】解：设这两地的实际距离为xcm．
由题意得：＝，
解得x＝1200000，
经检验，x＝1200000是分式方程的解，
1200000cm＝12km，
故选：B．
【点评】本题考查比例线段，比例尺的定义，解题的关键是熟练掌握比例尺性质，属于中考常考题型．
3．如果＝，那么下列四个选项中，不正确的是（ ）
A．＝B．ad＝bcC．a：b＝c：dD．a：d＝c：b
【分析】直接利用比例的性质分析得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴＝，ad＝bc，a：b＝c：d，则选项A，B，C都正确，
无法得出：a：d＝c：b，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题关键．
4．已知数字4是数字2和另外一个数的比例中项，这个数是（ ）
A．8B．1C．2D．
【分析】设这个数是x，根据比例中项的概念，可得x：4＝4：2，则可求得x的值．
【解答】解：设这个数是x，
根据题意得，x：4＝4：2，
解得x＝8．
故选：A．
【点评】本题考查了比例中项的概念，根据两条数的比例中项的平方是这两个数的乘积，可得出方程求解．
5．如果两个相似三角形对应边之比1：9，那么它们的对应中线之比是（ ）
A．1：2B．1：3C．1：9D．1：81
【分析】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形对应边之比1：9，
∴两个相似三角形的相似比为1：9，
∴它们的对应中线之比是1：9，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应中线的比等于相似比是解题的关键．
6．已知△ABC与△A′B′C′相似，点A与A′，点B与B′对应，若＝，且△ABC的中线AD的长为5，则AD的对应中线A′D′的长为（ ）
A．10B．20C．80D．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、对应中线的比等于相似比解答．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，＝，
∴＝＝，
∵AD的长为5，
∴A′D′＝20，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．
7．如图，已知在△ABC中，点D在边AB上，那么下列条件中不能判定△ABC∼△ACD的是（ ）
A．B．AC2＝AD•ABC．∠B＝∠ACDD．∠ADC＝∠ACB
【分析】△ABC和△ACD有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：∵∠DAC＝∠CAB，
∴当∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC；
当，即AC2＝AD•AB时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
8．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.5m，BC＝12.5m，则建筑物CD的高是（ ）
A．10mB．11.2mC．12mD．12.2m
【分析】根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．
【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴，
∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.5m，
∴AC＝AB+BC＝14m，
∴＝，
解得DC＝11.2，
即建筑物CD的高是11.2m，
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F；AC与DF相交于点H，且AB＝2，BC＝3，EF＝4．则DF的值为（ ）
A．10B．C．D．6
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB＝2，BC＝3，EF＝4，
∴，
解得：DF＝，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
10．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，CE与AD交于点M，∠ACE＝∠B，下列结论中不正确的是（ ）
A．△ACM∽△ABDB．△ACE∽△ABCC．△AEM∽△CDMD．△AEM∽△ACD
【分析】利用相似三角形的判定依次判断可得结论．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，且∠ACE＝∠B，
∴△ACM∽△ABD，故A不符合题意；
∵∠ACE＝∠B，∠CAE＝∠CAB，
∴△ACE∽△ABC，故B不符合题意；
∵△ACE∽△ABC，
∴∠ACD＝∠AEC，且∠DAC＝∠BAD，
∴△AEM∽△ACD，故D不符合题意；
由条件无法证明△AEM与△CDM相似，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是本题的关键．
11．将两个完全相同的等腰直角三角形△ABC与△AFG摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为△ADE，那么图中一定相似的三角形是（ ）
A．△ABC与△ADEB．△ABD与△AECC．△ABE与△ACDD．△AEC与△ADC
【分析】△ABE∽△DCA，根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
【解答】解：△ABE∽△DCA
理由：∵△ABC与△AFG都为等腰直角三角形，
∴∠DAE＝∠B＝∠C＝45°，
∵∠AEB＝∠C+∠CAE＝45°+∠CAE＝∠CAD
∴△ABE∽△DCA，
故选：C．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定等知识，解题的关键是发现∠AEB＝∠CAD，∠ADC＝∠BAE．
12．如图，已知每个小正方形的边长均为1，△ABC与△DEF的顶点都在小正方形的顶点上，那么△DEF与△ABC相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先由勾股定理求得各三角形的三边长，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：AB＝，BC＝，AC＝3，
A、∵ED＝，EF＝2，DF＝3，
∴＝＝，
∴△DEF与△ABC相似；
B、∵DE＝，EF＝1，DF＝2，
∴≠≠，
∴△DEF与△ABC不相似；
C、∵DE＝，EF＝1，DF＝，
∴≠≠，
∴△DEF与△ABC不相似；
D、∵DE＝，EF＝2，DF＝，
∴≠≠，
∴△DEF与△ABC不相似．
故选：A．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，注意掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似定理的应用．
二．填空题（共11小题）
13．如果x：y＝5：2，那么（x+y）：y的值为 ．
【分析】利用设k法解答即可．
【解答】解：∵x：y＝5：2，
∴设x＝5k，y＝2k，
∴（x+y）：y＝（5k+2k）：（2k）＝（7k）：（2k）＝7：2，
∴（x+y）：y的值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
14．如图，∠DAB＝∠CAE，请你再添加一个条件 ∠D＝∠B或∠AED＝∠C或AD：AB＝AE：AC或AD•AC＝AB•AE（任意一个即可） ，使得△ADE∽△ABC．
【分析】由∠DAB＝∠CAE，可证得∠BAC＝∠DAE，然后由相似三角形的判定定理，可添加∠B＝∠D或∠C＝∠DEA或AB：AD＝AC：AE或AD•AC＝AB•AE等．
【解答】解：根据相似三角形的判定：两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
已知∠DAB＝∠CAE，则∠DAE＝∠BAC，要使△ADE∽△ABC，则补充的一个条件可以是∠D＝∠B或∠AED＝∠C或AD：AB＝AE：AC或AD•AC＝AB•AE．
故答案为：∠D＝∠B或∠AED＝∠C或AD：AB＝AE：AC或AD•AC＝AB•AE（任意一个即可）．
【点评】此题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
15．已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果△ADE和四边形BCED的面积分别为4和5，DE＝4，那么BC＝ 6 ．
【分析】由DE∥BC，△AED∽△ABC，利用相似三角形的性质结合△ADE和四边形BCED的面积分别为4和5，可得出＝，结合DE＝4，即可求出BC的值，经检验后即可得出结论．
【解答】解：依照题意画出图形，如图所示.
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC．
又∵＝，
∴＝＝，
∴＝，即＝，
∴BC＝6，
经检验，BC＝6是原方程的解，且符合题意．
故答案为：6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
16．两个相似三角形的面积之比是9：25，其中较大的三角形一边上的高是5厘米，那么另一个三角形对应边上的高为 3 厘米．
【分析】设另一个三角形对应边上的高为x厘米，根据相似三角形的性质得出＝，再求出x即可．
【解答】解：设另一个三角形对应边上的高为x厘米，
∵两个相似三角形的面积之比是9：25，其中较大的三角形一边上的高是5厘米，
∴＝，
解得：x＝3，
∴另一个三角形对应边上的高为3厘米，
故答案为：3．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键，注意：①相似三角形的面积之比等于相似比的平方，②相似三角形的对应高之比等于相似比．
17．如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的一条面积等分线．已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D在边BC上，且BD＝4，过点D的面积等分线交△ABC的边于点E，那么线段AE的长等于 ．
【分析】过点A作AG⊥BC于G，过点E作EF⊥BC于F，根据三角形的面积列出方程可得BC•AG＝2×DC•EF，就可以求出EF的值，证明△CEF∽△CAG，由相似三角形的性质得出，求出CE的值从而得出结论．
【解答】解：过点A作AG⊥BC于G，过点E作EF⊥BC于F，
∴∠AGB＝∠AGC＝∠EFC＝90°，
∴EF∥AG．
∵AB＝AC＝10，
∴BG＝CG＝BC＝6．
在Rt△ABG中，由勾股定理，得AG＝＝8．
∵DC＝BC﹣BD，
∴DC＝12﹣4＝8．
∵S△ABC＝2S△EDC，
∴BC•AG＝2×DC•EF，
∴×12×8＝2××8•EF，
即EF＝6．
∵EF∥AG，
∴△CEF∽△CAG，
∴，
∴，
即EC＝，
∴AE＝10﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时正确作出辅助线是解答本题的关键，证明△CEF∽△CAG是解题的关键．
18．我们把两个三角形的重心之间的距离叫做重心距．如图，在△ABC中，∠A＝45°，
∠B＝30°，CD是△ABC中边AB上的高，如果BC＝6，那么△ADC和△BCD的重心距是 1+ ．
【分析】设△ADC和△BCD的重心分别为M、N，连接CM、CN交AB于E、F点，首先解直角三角形，可得AB的长，再根据重心的性质说明△MCN∽△ECF，得MN＝EF＝1+．
【解答】解：如图，设△ADC和△BCD的重心分别为M、N，
连接CM、CN交AB于E、F点，
在Rt△CBD中，∵∠B＝30°，
∴CD＝BC＝3，BD＝CD＝3，
在Rt△ACD中，∵A＝45°，
∴AD＝CD＝3，
∴AB＝AD+BD＝3+3，
∴EF＝AB＝，
∵△ADC和△BCD的重心分别为M、N，
∴，
∵∠MCN＝∠ECF，
∴△MCN∽△ECF，
∴MN＝EF＝1+，
故答案为：1+．
【点评】本题主要考查了重心的性质，三角形相似的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握重心的性质是解题的关键．
19．已知△ABC的两条中线BD、CE相交于点P，PE＝2，那么CP的长为 4 ．
【分析】根据三角形中线的交点可知点P为ABC的重心，根据重心的性质重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1即答．
【解答】解：如下图所示，
∵BD、CE是ABC的两条中线，且相交于点P，
∴点P为△ABC的重心，
∴．
又∵PE＝2，
∴CP＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了三角形重心的性质，明确重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．
20．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，如果BP＝﹣1，那么AP＝ 2 ．
【分析】设AB＝m，根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，构建方程求出m即可．
【解答】解：设AB＝m．
由于P为线段AB的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP＝AB＝m，
∴m﹣m＝﹣1，
解得m＝+1，
∴AP＝×（+1）＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．
21．如图，直线a∥b∥c，它们依次交直线m、n于点A、C、E和B、D、F，已知AC＝4，CE＝6，BD＝3，那么BF等于 7.5 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式＝，再代入求出DF，再求出BF即可．
【解答】解：∵直线a∥b∥c，
∴＝，
∵AC＝4，CE＝6，BD＝3，
∴＝，
解得：DF＝4.5，
∵BD＝3，
∴BF＝BD+DF＝3+4.5＝7.5，
故答案为：7.5．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能正确根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解此题的关键．
22．如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即CO＝2米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即AC＝1.8米），排球落地点离墙的距离是6米（即OD＝6米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD的长是 5.4 米．
【分析】依据题意可得∠AOC＝∠BOD，通过说明△ACO∽△BDO，得出比例式可求得结论．
【解答】解：由题意得：∠AOC＝∠BOD．
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°．
∴△ACO∽△BDO．
∴．
即．
∴BD＝5.4（米）．
故答案为：5.4．
【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，根据已知条件得出相似三角形是解题的关键．
23．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的最美分割线．在△ABC中，∠A＝50°，CD是△ABC的最美分割线．若△ACD为等腰三角形，则∠ACB的度数为 100°或115° ．
【分析】根据△ACD为等腰三角形，需要分三种情况讨论：①当AD＝CD时，②如当AD＝AC，③当AC＝CD，然后结合最美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，可以分别求出∠ACB的度数．
【解答】解：①当AD＝AC时，如图1，
∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣50°）＝65°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝50°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝65°+50°＝115°．
②当AD＝CD时，如图2，∠ACD＝∠A＝50°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝50°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝50°+50°＝100°．
③当AC＝CD时，如图3，∠ADC＝∠A＝50°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝50°，
∴∠ADC＝∠BCD（不合题意）．
综上所述，∠ACB＝100°或115°．
【点评】本题考查了相似三角形的性质以及等腰三角形的性质，理解最美分割线的定义是解决本题的关键．
三．解答题（共10小题）
24．已知：如图，在△ABC中，D是边BC上一点，G是线段AD上一点，且AG＝2GD，联结BG并延长，交边AC于点E．
（1）求证：＝；
（2）如果D是边BC的中点，P是边BC延长线上一点，且CP＝BC，延长线段BE，交线段AP于点F，联结CF、CG，求证：四边形AGCF是平行四边形．
【分析】（1）通过证明△DHG∽△AEG，由相似三角形的性质可得DH＝AE，通过证明△BDH∽△BCE，可得结论；
（2）通过证明△DGC∽△DAP，可得∠DGC＝∠DAP，可证GC∥AP，可证GE＝EF，可得结论．
【解答】（1）证明：如图，过点D作DH∥AC，交BE于H，
∵DH∥AC，
∴△DHG∽△AEG，
∴，
∵AG＝2GD，
∴DH＝AE，
∵DH∥AC，
∴△BDH∽△BCE，
∴＝，
∴；
（2）证明：如图，
∵D是边BC的中点，
∴BC＝2BD＝2CD，
∴＝1，
∴AE＝CE，
∵CP＝BC＝2CD，
∴＝，
∵AG＝2GD，
∴＝，
∴，
又∵∠ADP＝∠GDC，
∴△DGC∽△DAP，
∴∠DGC＝∠DAP，
∴GC∥AP，
∴△GEC∽△FEA，
∴，
∴GE＝EF，
∴四边形AGCF是平行四边形．
【点评】本题考查了相似三角形判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
25．如图，将矩形ABCD绕点B旋转，点A落到对角线AC上的点E处，点C、D分别落在点F、G处．
（1）联结BG、CG，求证：四边形ABGC是平行四边形；
（2）联结GE并延长交边AD于点H，求证：AB2＝AD•AH．
【分析】（1）由旋转的性质，矩形的性质证明△ABC≌△BEG，得出∠ACB＝∠BGE，AC＝BG，再证明AC∥BG，即可证明四边形ABGC是平行四边形；
（2）先证明Rt△BAH≌Rt△BEH，得出∠ABH＝∠EBH，利用等腰三角形的性质得出BH⊥AE，进而证明∠ABH＝∠DAC，证明△BAH∽△ADC，再利用相似三角形的性质即可得出AB2＝AD•AH．
【解答】证明：（1）如图1，
∵矩形BFGE是由矩形BCDA旋转得到，
∴AB＝BE，∠ABC＝∠BEG＝90°，BC＝EC，
∴△ABC≌△BEG（SAS），
∴∠ACB＝∠BGE，AC＝BG，
∵AB＝BE，∠ABC＝∠BEG＝90°，
∴∠BAE＝∠BEA，∠BAE+∠ACB＝90°，∠BEG+∠CEG＝90°，
∴∠CEG＝∠ACB，
∴∠BGE＝∠CEG，
∴AC∥BG，
∴四边形ABGC是平行四边形；
（2）如图2，连接BH，
在Rt△BAH和Rt△BEH中，
，
∴Rt△BAH≌Rt△BEH（HL），
∴∠ABH＝∠EBH，
∵BA＝BE，
∴BH⊥AE，
∴∠ABH+∠BAC＝90°，
∵∠BAC+∠CAD＝90°，
∴∠ABH＝∠DAC，
∵∠BAH＝∠ADC＝90°，
∴△BAH∽△ADC，
∴，
∵AB＝CD，
∴，
∴AB2＝AD•AH．
【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
26．已知：如图，正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，AE⊥BF．
（1）求证：AE＝BF；
（2）联结BE、EF，如果∠DEF＝∠ABE，求证：DF2＝AF•AD．
【分析】（1）设BF与AE交于O点，根据同角的余角相等得∠ABF＝∠DAE，再利用ASA证明△ABF≌△DAE，得AE＝BF；
（2）根据两个角相等证明△DEF∽△CEB，得，由（1）得，△ABF≌△DAE，则AF＝DE，等量代换即可．
【解答】证明：（1）设BF与AE交于O点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAF＝∠D＝90°，
∵AE⊥BF．
∴∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，∠BAO+∠DAE＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴AE＝BF；
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BEC，
∵∠DEF＝∠ABE，
∴∠DEF＝∠BEC，
∵∠D＝∠C，
∴△DEF∽△CEB，
∴，
由（1）得，△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE，
∴CE＝DF，
∴DF2＝AF•AD．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明△DEF∽△CEB是解题的关键．
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．
（1）求线段DE的长；
（2）取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可．
【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，
∴CD＝2，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，
∴BC＝6，
∴BD＝BC﹣CD＝4，
∵DE∥CA，
∴，
∴DE＝4；
（2）如图，
∵点M是线段AD的中点，
∴DM＝AM，
∵DE∥CA，
∴，
∴DF＝AG，
∵DE∥CA，
∴，
∴，
∵BD＝4，BC＝6，DF＝AG，
∴．
【点评】考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．
28．如图，已知：正方形ABCD中，一个以点A为顶点的∠EAF＝45°绕着点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，联结EF．
（1）如图（1），若∠EAF被对角线AC平分时，求证：CE＝CF．
（2）如图（2），求证：CE•CF＝2AB2．
【分析】（1）根据正方形的性质可得∠BCA＝∠DCA＝45°，再利用对顶角相等可得∠ACF＝∠ACE，然后根据角平分线的定义可得∠EAC＝∠FAC，从而证明△ACE≌△ACF，利用全等三角形的性质即可解答；
（2）根据正方形的性质可得AC＝AB，再利用三角形的外角和已知∠EAF＝45°，可得∠E＝∠FAC，然后再利用（1）的结论可证明△ECA∽△ACF，利用相似三角形的性质即可解答．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA＝∠DCA＝45°，
∵∠BCF＝∠DCE，
∴∠BCF+∠ACB＝∠DCE+∠DCA，
∴∠ACF＝∠ACE，
∴AC平分∠EAF，
∴∠EAC＝∠FAC，
∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF（ASA），
∴CE＝CF；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝AB，
∵∠EAF＝45°，
∴∠FAC+∠EAC＝45°，
∵∠ACB是△ACE的一个外角，
∴∠ACB＝∠CAE+∠E＝45°，
∴∠E＝∠FAC，
由（1）得：∠ACF＝∠ACE，
∴△ECA∽△ACF，
∴＝，
∴AC2＝CE•CF，
∴（AB）2＝CE•CF，
∴CE•CF＝2AB2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
29．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，点E在线段OB上，AE的延长线与BC相交于点F，OD2＝OB•OE．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）如果BC＝BD，AE•AF＝AD•BF，求证：AE•DC＝AD•BE．
【分析】（1）由已知得出，由平行线得出△AOD∽△COB，得出，证出，得出AF∥CD，即可得出结论；
（2）由平行线得出∠AED＝∠BDC，△BEF∽△BDC，得出，证出BE＝BF，由平行四边形的性质得出AF＝CD，由已知AE•AF＝AD•BF，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵OD2＝OE•OB，
∴，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴，
∴，
∴AF∥CD，
∴四边形AFCD是平行四边形；
（2）∵AF∥CD，
∴∠AED＝∠BDC，△BEF∽△BDC，
∴，
∵BC＝BD，
∴BE＝BF，
∵四边形AFCD是平行四边形，
∴AF＝CD，
∵AE•AF＝AD•BF，
∴AE•DC＝AD•BE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、梯形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质和平行四边形的判定是解题的关键．
30．一把梯子如图所示，其中四边形AKLB是梯形．已知AC＝CE＝EG＝GK，BD＝DF＝FH＝HL，AB＝0.5m，GH＝0.74m，求CD、EF的长．
【分析】先证明△ACD'∽△AGH'，找到CD'，再利用梯形CGHD的中位线等于两底和的一半，找到EF的值．
【解答】解：延长KA、LB交于点P，过A作AL'∥BL交CD、EF、GH、KL于点D'、F'、H'、L'，
∵AB∥KL，
∴＝．
又∵AC＝CE＝EG＝GK，BD＝DF＝FH＝HL，
∴＝，
∴＝．
∴AB∥CD．
同理得AB∥CD∥EF∥GH∥KL．
∴四边形AD'DB，D'F'FD，F'H'HF都为平行四边形边；
即AB＝D'D＝F'F＝H'H＝0.5m；GH＝0.74m，
∴GH'＝0.24m，
∵CD∥AH，
∴△ACD'∽△AGH'，
∴＝，AG＝3AC，
∴CD'＝GH'＝0.24×＝0.08m，
CD＝0.08+0.5＝0.58．
∵EF为梯形CGHD的中位线，
∴EF＝（CDtGH）＝0.66m．
【点评】本题考查了梯形CGHD的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半，解题的关键是掌握相似的判定．
31．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，联结EF交边AB于点G，连接AC．
（1）求证：△AEF∽△DAC；
（2）如果FE平分∠AFB，联结CG，求证：四边形AGCE为菱形．
【分析】（1）根据矩形的性质可得AB∥CD，AB＝DC，∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝∠D＝90°，根据垂直定义可得∠FAE＝90°，从而可得∠BAF＝∠DAE，进而可得△ABF∽△ADE，然后利用相似三角形的性质可得＝，再利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明，即可解答；
（2）根据角平分线的定义可得∠AFE＝∠CFE，从而证明△AFE≌△CFE，进而可得AF＝CF，AE＝EC，然后再证△AFG≌△CFG，从而可得∠FAG＝∠FCG，再结合（1）的结论可得∠DAE＝∠FCG，最后利用等角的余角相等可得∠DCG＝∠AED，从而可得AE∥CG，进而利用菱形的判定方法即可解答．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝DC，∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABF＝180°﹣∠ABC＝90°，
∵AE⊥AF，
∴∠FAE＝90°，
∴∠FAE﹣∠BAE＝∠DAB﹣∠BAE，
∴∠BAF＝∠DAE，
∵∠D＝∠ABF＝90°，
∴△ABF∽△ADE，
∴＝，
∴＝，
∵∠D＝∠FAE＝90°，
∴△AEF∽△DAC；
（2）如图：
∵FE平分∠AFB，
∴∠AFE＝∠CFE，
∵∠FAE＝∠BCD＝90°，EF＝EF，
∴△AFE≌△CFE（AAS），
∴AF＝CF，AE＝EC，
∵FG＝FG，
∴△AFG≌△CFG（SAS），
∴∠FAG＝∠FCG，
∵∠BAF＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠FCG，
∵∠DAE+∠AED＝90°，∠BCG+∠DCG＝90°，
∴∠DCG＝∠AED，
∴AE∥CG，
∵AB∥CD，
∴四边形AGCE是平行四边形，
∵AE＝EC，
∴四边形AGCE为菱形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
32．已知：如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E为对角线BD的中点，点F在边AD上，CF交BD于点G，CF∥AE，CF＝BD．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）如果∠DCG＝∠DEC，求证：AE2＝AD•DC．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线可得AE＝DE＝BD，CE＝BD，再结合已知CF＝BD，从而可得AE＝CF，进而可得四边形AECF是平行四边形，然后再根据AE＝CE，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得AE＝CF＝DE，AD∥CE，从而可得∠ADE＝∠DEC，进而可得∠ADE＝∠DCG，再利用平行线的性质可得∠EAD＝∠CFD，然后证明△ADE∽△FCD，利用相似三角形的性质即可解答．
【解答】证明：（1）∵∠BAD＝90°，E为BD的中点，
∴AE＝DE＝BD，
∵CF＝BD，
∴AE＝CF＝DE，
∵CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BCD＝90°，E为BD的中点，
∴CE＝BD，
∴AE＝CE，
∴四边形AECF为菱形；
（2）∵四边形AECF为菱形，
∴AD∥CE，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵∠DCG＝∠DEC，
∴∠ADE＝∠DCG，
∵AE∥CF，
∴∠EAD＝∠CFD，
∴△ADE∽△FCD，
∴＝，
∴CF•DE＝AD•CD，
∵AE＝CF＝DE，
∴AE2＝AD•DC．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
33．一块三角形的余料，底边BC长1.8米，高AD＝1米，如图．要利用它裁剪一个长宽比是3：2的长方形，使长方形的长在BC上，另两个顶点在AB、AC上，求长方形的长EH和宽EF的长．
【分析】根据比例设EH、EF分别为3k、2k，然后根据△AEH和△ABC相似，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比列式比例式求出k值，即可得解．
【解答】解：∵长方形的长宽比是3：2，
∴设EH、EF分别为3k、2k，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得k＝，
∴EH＝米，EF＝米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，利用“设k法”表示出边更简便．