沪教版暑假新九年级数学考点讲与练第03讲平面向量的线性运算(考点讲与练)(原卷版+解析)

这是一份沪教版暑假新九年级数学考点讲与练第03讲平面向量的线性运算(考点讲与练)(原卷版+解析)，共21页。
一：实数与向量相乘
1.平面向量的相关概念
向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；
向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；
零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；
相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；
互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；
平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．
2.平面向量的加减法则
几个向量相加的多边形法则；
向量减法的三角形法则；
向量加法的平行四边形法则．
3.实数与向量相乘的运算
设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作．
如果，且，那么的长度；
的方向：当k > 0时与同方向；当k < 0时与反方向．
如果k = 0或，那么．
4.实数与向量相乘的运算律
设m、n为实数，则
；；．
平行向量定理
如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使．
5.单位向量
单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则．
单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．
对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作．
由实数与向量的乘积可知：，．
二：向量的线性运算
1.向量的线性运算
向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算．
如、、、等，都是向量的线性运算．
一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数．
2.向量的合成与分解
如果、是两个不平行的向量，（m、n是实数），那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式．
平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解
【考点剖析】
【考点1】实数与向量相乘
例题1（川中南2019期中8）__________
例题2（闵行2020期末11）为单位向量，与的方向相反，且长度为6，那么=_____.
例题3（普陀2019期中19）如图，已知两个不平行的向量、.先化简，再求作：.（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量）

【考点2】向量的线性运算
例题4（川中南2019期中20）如图，中，点为上的一点，，与相交于点，如果.
(1)用向量分别表示下列向量:.
(2)在图中求作分别在和方向上的分向量(不写作法但要写出画图结果)

【过关检测】
一．选择题（共6小题）
1．(2023•普陀区二模）已知|a→|＝1，|b→|＝2，且b→与a→的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）
A．a→=2b→B．a→=−2b→C．b→=2a→D．b→=−2a→
2．(2023秋•徐汇区期末）已知点C是线段AB的中点，下列结论中正确的是（ ）
A．AC→=BC→B．AC+BC=0C．BC→=12AB→D．|CA→|=12|BA→|
3．(2023•青浦区二模）已知非零向量a→和单位向量e→，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．|a→|=|e→|a→B．e→=1|a→|a→C．a→=|e→|a→D．a→=|a→|e→
4．(2023•徐汇区二模）如图，▱ABCD的对角线AC和BD交于点O，下列选项中错误的是（ ）
A．AB→=DC→B．OA→+OC→=0C．|OB→|＝|OD→|D．AC→=2AO→
5．(2023春•浦东新区校级期中）已知a→，b→非零向量，且|a→+b→|＝|a→|+|b→|，则一定有（ ）
A．a→=b→B．a→∥b→，且a→，b→方向相同
C．a→=b→D．a→∥b→，且a→，b→方向相反
6．(2023春•浦东新区校级期中）在▱ABCD中，AB→+AD→等于（ ）
A．BD→B．AC→C．DB→D．CA→
二．填空题（共7小题）
7．(2023春•松江区校级期中）已知向量e→为单位向量，则|﹣3e→|＝ ．
8．(2023春•黄浦区期中）已知AD、BE是△ABC的中线，交于点O，设OB→=a→，OD→=b→，那么向量AB→用向量a→、b→表示是 ．
9．(2023•长宁区二模）如图，在△ABC中，点D在边AB上，且ADBD=23，点E是AC的中点，BA→=a→，AC→=b→，试用向量a→，b→表示向量DE→，那么DE→= ．
10．(2023•浦东新区二模）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如果AC→=a→，AB→=b→，那么用a→、b→表示BD→是 ．
11．(2023•嘉定区二模）如图，点D，E，F分别是△ABC边AB，BC，CA上的中点，AB→=a→，BC→=b→，用a→与b→的线性组合表示DE→= ．
12．(2023春•静安区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．已知OD→=a→，CO→=b→，那么BC→= （用含有a→、b→的式子表示）．
13．(2023•青浦区二模）如图，已知平行四边形ABCD中，E是AD上一点，ED＝2AE，联结BE交AC于F，若向量BA→=a→，向量BC→=b→，则向量FA→= ．
三．解答题（共5小题）
14．(2023秋•浦东新区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE=23BC．
（1）如果AC＝6，求AE的长；
（2）设AB→=a→，AC→=b→，求向量DE→（用向量a→、b→表示）．
15．(2023秋•杨浦区期末）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE=23BC．
（1）如果AC＝6，求AE的长；
（2）设AB→=a→，AC→=b→，试用a→、b→的线性组合表示向量DE→．
16．(2023秋•宝山区期末）如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，AF＝2DF，BF交AC于点E，又AF→=14BC→．
（1）设AB→=a→，AD→=b→，用向量a→、b→表示向量BF→= ，AC→= ．
（2）如果∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，求BE的长．
17．(2023秋•长宁区期末）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB：CD＝3：2，点E是边CD的中点，联结BE交对角线AC于点F，若AB→=m→，AD→=n→．
（1）用m→、n→表示AC→、AF→；
（2）求作BF在BA→、BC→方向上的分向量．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）
18．(2023春•黄浦区期末）如图，点E在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上．
（1）填空：DA→+DC→= .AE→−BC→= ；
（2）求作：AB→+DE→（不写作法，保留作图痕迹，写出结果）
第03讲平面向量的线性运算（核心考点讲与练）
【基础知识】
一：实数与向量相乘
1.平面向量的相关概念
向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；
向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；
零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；
相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；
互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；
平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．
2.平面向量的加减法则
几个向量相加的多边形法则；
向量减法的三角形法则；
向量加法的平行四边形法则．
3.实数与向量相乘的运算
设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作．
如果，且，那么的长度；
的方向：当k > 0时与同方向；当k < 0时与反方向．
如果k = 0或，那么．
4.实数与向量相乘的运算律
设m、n为实数，则
；；．
平行向量定理
如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使．
5.单位向量
单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则．
单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．
对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作．
由实数与向量的乘积可知：，．
二：向量的线性运算
1.向量的线性运算
向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算．
如、、、等，都是向量的线性运算．
一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数．
2.向量的合成与分解
如果、是两个不平行的向量，（m、n是实数），那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式．
平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解
【考点剖析】
【考点1】实数与向量相乘
例题1（川中南2019期中8）__________
答案:；
解析：解：原式=.
例题2（闵行2020期末11）为单位向量，与的方向相反，且长度为6，那么=_____.
答案:-6；
解析：解：根据题意，得，故答案为-6.
例题3（普陀2019期中19）如图，已知两个不平行的向量、.先化简，再求作：.（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量）

答案:；
解析：解：==.如图即为所求．
【考点2】向量的线性运算
例题4（川中南2019期中20）如图，中，点为上的一点，，与相交于点，如果.
(1)用向量分别表示下列向量:.
(2)在图中求作分别在和方向上的分向量(不写作法但要写出画图结果)

答案:
解析：解：（1）； ； ； （2） 如图所示，分别在和方向上的分向量分别是和.
【过关检测】
一．选择题（共6小题）
1．(2023•普陀区二模）已知|a→|＝1，|b→|＝2，且b→与a→的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）
A．a→=2b→B．a→=−2b→C．b→=2a→D．b→=−2a→
分析：根据平面向量的性质即可解决问题．
【解答】解：∵|a→|＝1，|b→|＝2，且b→与a→的方向相反，
∴b→=−2a→，
故选：D．
【点评】本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．(2023秋•徐汇区期末）已知点C是线段AB的中点，下列结论中正确的是（ ）
A．AC→=BC→B．AC+BC=0C．BC→=12AB→D．|CA→|=12|BA→|
分析：根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．
【解答】解：∵点C是线段AB的中点，
∴AC→=CB→；AC→+BC→=0→；BC→=−12AB→；|CA→|=12|BA→|，
∴A，B，C错误，D正确，
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．
3．(2023•青浦区二模）已知非零向量a→和单位向量e→，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．|a→|=|e→|a→B．e→=1|a→|a→C．a→=|e→|a→D．a→=|a→|e→
分析：根据向量既有长度也有方向对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、|a→|=|e→|⋅|a→|，不符合题意；
B、e→=1|a→|a→不一定成立，因为非零向量a→和单位向量e→的方向不一定相同，不符合题意；
C、a→=|e→|a→，符合题意；
D、a→=|a→|e→不一定成立，因为非零向量a→和单位向量e→的方向不一定相同，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了向量的运算，向量的问题一定要注意从方向与模两方面考虑．
4．(2023•徐汇区二模）如图，▱ABCD的对角线AC和BD交于点O，下列选项中错误的是（ ）
A．AB→=DC→B．OA→+OC→=0C．|OB→|＝|OD→|D．AC→=2AO→
分析：利用平行四边形的性质和三角形法则进行判断．
【解答】解：A、在▱ABCD中，AB＝DC，且AB∥DC，则AB→=DC→，不符合题意；
B、在▱ABCD中，OA＝OC，则OA→+OC→=0→，符合题意；
C、在▱ABCD中，OB＝OD，则|OB→|＝|OD→|，不符合题意；
D、在▱ABCD中，AC＝2AO，则AC→=2AO→，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了平面向量和平行四边形的性质，注意：平面向量既有大小又有方向．
5．(2023春•浦东新区校级期中）已知a→，b→非零向量，且|a→+b→|＝|a→|+|b→|，则一定有（ ）
A．a→=b→B．a→∥b→，且a→，b→方向相同
C．a→=b→D．a→∥b→，且a→，b→方向相反
分析：根据向量数量积的应用，利用平方法进行判断即可．
【解答】解：∵a→，b→非零向量，且|a→+b→|＝|a→|+|b→|，
∴平方得|a→|2+|b→|2+2a→•b→=|a→|2+|b→|2+2|a→|•|b→|，
即a→•b→=|a→|•|b→|，
∴|a→|•|b→|cs＜a→，b→＞=|a→|•|b→|，
则cs＜a→，b→＞=1，即a→∥b→，且a→，b→方向相同．
故选：B．
【点评】本题主要考查向量数量积的应用，利用平方法是解决本题的关键．
6．(2023春•浦东新区校级期中）在▱ABCD中，AB→+AD→等于（ ）
A．BD→B．AC→C．DB→D．CA→
分析：利用平行四边形的对边平行且相等的性质和共线向量的性质得到AD→=BC→，然后在△ABC中，利用三角形法则解答．
【解答】解：在▱ABCD中，∵AD∥BC，AD＝BC，
∴AD→=BC→．
∴AB→+AD→=AB→+BC→=AC→．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平面向量和平行四边形的性质，利用“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD→=BC→是解题的突破口．
二．填空题（共7小题）
7．(2023春•松江区校级期中）已知向量e→为单位向量，则|﹣3e→|＝ 3 ．
分析：根据平面向量的模的几何意义作答．
【解答】解：∵向量e→为单位向量，
∴|﹣3e→|＝3．
故答案是：3．
【点评】本题主要考查了平面向量，平面向量的模即为某线段的长度．
8．(2023春•黄浦区期中）已知AD、BE是△ABC的中线，交于点O，设OB→=a→，OD→=b→，那么向量AB→用向量a→、b→表示是 2b→+a→ ．
分析：求出AO→，再根据AB→=AO→+OB→，求解即可．
【解答】解：∵AD、BE是△ABC的中线，交于点O，
∴AO＝2OD，
∴AO→=2b→，
∵AB→=AO→+OB→．
∴AB→=2b→+a→，
故答案为：2b→+a→．
【点评】本题考查平面向量，三角形法则，三角形的重心的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．(2023•长宁区二模）如图，在△ABC中，点D在边AB上，且ADBD=23，点E是AC的中点，BA→=a→，AC→=b→，试用向量a→，b→表示向量DE→，那么DE→= 25a→+12b→ ．
分析：求出DA→，AE→，利用三角形法则求解．
【解答】解：∵ADBD=23，
∴AD=25AB，
∴DA→=25a→，
∵E是AC的中点，
∴AE＝EC，
∴AE→=12AC→=12b→，
∴DE→=DA→+AE→=25a→+12b→．
故答案为：25a→+12b→．
【点评】本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，属于中考常考题型．
10．(2023•浦东新区二模）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如果AC→=a→，AB→=b→，那么用a→、b→表示BD→是 a→−2b→ ．
分析：首先证明OA＝OC，OB＝OD，求出BO→可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BO→=BA→+AO→=−b→+12a→，
∴BD→=2BO→=a→−2b→，
故答案为：a→−2b→．
【点评】本题考查平面向量，三角形法则，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．
11．(2023•嘉定区二模）如图，点D，E，F分别是△ABC边AB，BC，CA上的中点，AB→=a→，BC→=b→，用a→与b→的线性组合表示DE→= 12a→+12b→ ．
分析：首先利用三角形法则求得AC→，然后利用三角形中位线定理和共线向量的性质求解即可．
【解答】解：在△ABC中，AB→=a→，BC→=b→，则AC→=AB→+BC→=a→+b→．
∵点D，E分别是△ABC边AB，BC上的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DE∥AC，DE=12AC．
∴DE→=12AC→=12a→+12b→．
故答案是：12a→+12b→．
【点评】本题主要考查了平面向量和三角形中位线定理，掌握共线向量的定义和性质是解题的关键．
12．(2023春•静安区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．已知OD→=a→，CO→=b→，那么BC→= a→−b→ （用含有a→、b→的式子表示）．
分析：利用平行四边形的对边平行且相等的性质和共线向量的性质推知OA→=b→；然后利用三角形法则求得AD→；最后再次利用共线向量的性质解答．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，AO＝CO，AD∥BC，AD＝BC，
∵CO→=b→，
∴OA→=b→．
∵OD→=a→，
∴AD→=OD→−OA→=a→−b→．
∴BC→=AD→=a→−b→．
故答案是：a→−b→．
【点评】本题主要考查了平面向量的线性运算和平行四边形的性质，解题时，需要掌握三角形法则和共线向量的性质．
13．(2023•青浦区二模）如图，已知平行四边形ABCD中，E是AD上一点，ED＝2AE，联结BE交AC于F，若向量BA→=a→，向量BC→=b→，则向量FA→= 14a→−14b→ ．
分析：利用三角形法则，可求得CA→，易证得△AEF∽△CBF，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AFFC=AEBC=13，继而求得答案；
【解答】解：（1）∵向量BA→=a→，向量BC→=b→，
∴CA→=BA→−BC→=a→−b→，
∵▱ABCD中，ED＝2AE，
∴AE=13AD=13BC，AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴AFFC=AEBC=13，
∴FA→=14CA→=14a→−14b→．
故答案是：14a→−14b→．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．
三．解答题（共5小题）
14．(2023秋•浦东新区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE=23BC．
（1）如果AC＝6，求AE的长；
（2）设AB→=a→，AC→=b→，求向量DE→（用向量a→、b→表示）．
分析：（1）由平行线截线段成比例求得AE的长度；
（2）利用平面向量的三角形法则解答．
【解答】解：（1）如图，∵DE∥BC，且DE=23BC，
∴AEAC=DEBC=23．
又AC＝6，
∴AE＝4．
（2）∵AB→=a→，AC→=b→，
∴BC→=AC→−AB→=b→−a→．
又DE∥BC，DE=23BC，
∴DE→=23BC→=23（b→−a→）．
【点评】考查了平面向量，需要掌握平面向量的三角形法则和平行向量的定义．
15．(2023秋•杨浦区期末）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE=23BC．
（1）如果AC＝6，求AE的长；
（2）设AB→=a→，AC→=b→，试用a→、b→的线性组合表示向量DE→．
分析：（1）根据相似三角形的性质得出等式求解即可；
（2）根据平面向量的加减运算法则即可求解．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AEAC=DEBC，
∵DE=23BC，
∴AE＝4；
（2）由（1）知，DEBC=23，
∴DE=23BC，
∵BC→=AC→−AB→=b→−a→，
∴DE→=23BC→=23(b→−a→)．
【点评】本题考查了平面向量，相似三角形的性质等知识，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．
16．(2023秋•宝山区期末）如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，AF＝2DF，BF交AC于点E，又AF→=14BC→．
（1）设AB→=a→，AD→=b→，用向量a→、b→表示向量BF→= 23b→−a→ ，AC→= 83b→+a→ ．
（2）如果∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，求BE的长．
分析：（1）根据平面向量的加减运算法则即可求解；
（2）先证明△ABF∽△BCA，得∠ABF＝∠BCA，从而得出△ABF∽△ECB，再根据相似三角形对应边成比例得出比例式求解即可．
【解答】解：（1）∵AF＝2DF，
∴AF=23AD，
∵AD→=b→，
∴AF→=23b→，
∴BF→=AF→−AB→
=23b→−a→，
∵AF→=14BC→，
∴BC→=4AF→=83b→，
∴AC→=BC→−BA→
=83b→+a→，
故答案为：23b→−a→，83b→+a→；
（2）∵AF→=14BC→，
∴AF∥BC，AF=14BC，
∴∠BAF＝∠ABC＝90°，∠AFB＝∠CBE，
∵AD＝3，AF＝2DF，
∴AF＝2，
∴BC＝8，
在Rt△ABF中，
BF=AF2+AB2=25，
又∵AFAB=ABBC=12，
∴△ABF∽△BCA，
∴∠ABF＝∠BCA，
∴△ABF∽△ECB，
∴AFBE=BFBC，
∴2BE=258，
∴BE=855．
【点评】本题考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，证明△ABF∽△ECB是解第（2）问的关键．
17．(2023秋•长宁区期末）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB：CD＝3：2，点E是边CD的中点，联结BE交对角线AC于点F，若AB→=m→，AD→=n→．
（1）用m→、n→表示AC→、AF→；
（2）求作BF在BA→、BC→方向上的分向量．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）
分析：（1）利用三角形法则，平行线分线段成比例定理求解即可．
（2）利用平行四边形法则作出图形即可．
【解答】解：（1）∵AB：CD＝3：2，
∴CD=23AB，
∴DC→=23m→，
∴AC→=AD→+DC→=n→+23m→，
∴DE＝EC，CE∥AB，
∴CFAF=ECAB=13，
∴AF=34AC，
∴AF→=34（n→+23m→）=34n→+12m→．
（2）如图，BF在BA→、BC→方向上的分向量分别为BP→，BQ→．
【点评】本题考查平面向量，梯形的性质等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则，属于中考常考题型．
18．(2023春•黄浦区期末）如图，点E在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上．
（1）填空：DA→+DC→= DB→ .AE→−BC→= DE→ ；
（2）求作：AB→+DE→（不写作法，保留作图痕迹，写出结果）
分析：（1）根据向量的平行四边形法则写出DA→+DC→即可，根据平行四边形的对边平行且相等可得AD→=BC→，然后根据向量的三角形法则求解即可；
（2）根据平行四边形的对边平行且相等可得DC→=AB→，然后根据向量的平行四边形法则作出以DC、DE为邻边的平行四边形，其对角线即为所求．
【解答】解：（1）DA→+DC→=DB→，
∵AD→=BC→，
∴AE→−BC→=AE→−AD→=DE→；
故答案为：DB→；DE→．
（2）如图，DF→即为所求AB→+DE→．
【点评】本题考查了平面向量，平行四边形的性质，向量的问题，熟练掌握平行四边形法则和三角形法则是解题的关键．