2024~2025学年吉林省四平市九年级(上)期末模拟(五)数学试卷(解析版)

这是一份2024~2025学年吉林省四平市九年级(上)期末模拟(五)数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题2分，共12分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意．
故选：C．
2. 下列方程中，无实数根的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
3. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则二次函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵方程没有实数根，
∴，
解得：，
∴，
∴二次函数的图象开口向下，与y轴的交点在y轴正半轴，且关于y轴对称，
四个选项中，只有选项C符合，
故选：C．
4. 下列事件是随机事件的是（ ）
A. 三角形有且只有一个外接圆
B. 方程是一元二次方程
C. 直径是圆中最长的弦
D. 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
【答案】B
【解析】A、三角形有且只有一个外接圆，是必然事件，不是随机事件，故该选项不符合题意；
B、方程是一元二次方程，故原说法是随机事件，故该选项符合题意；
C、直径是圆中最长的弦是必然事件，不是随机事件，故该选项不符合题意；
D、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等是必然事件，不是随机事件，故该选项不符合题意；
故选：B．
5. 如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵所对的圆心角是，所对的圆周角是，
∴，
故选：A ．
6. 将抛物线向下平移5个单位后，经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由抛物线向下平移5个单位后得到，
把点代入得到，
，
∴，
∴，
故选：C
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 如果点关于原点的对称点为，则______．
【答案】2025
【解析】点关于原点的对称点为，
，，
．
故答案为：2025．
8. 若m是方程的根，则的值等于________．
【答案】8
【解析】 m是方程的根，
，
即，
则，
故答案为：8．
9. 在一个不透明的袋子里有红球、黄球共15个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中黄球的个数可能是________个．
【答案】9
【解析】设袋中红球有x个，
根据题意，可得：，
解得：，
则黄球的个数为（个），
故答案为：9．
10. 已知二次函数，当时，的取值范围是______．
【答案】
【解析】∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，的最小值为，
∵，
∴时，取得最大值，最大值为，
∴当时，的取值范围是，
故答案为：．
11. 如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是 _________．
【答案】
【解析】连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数是，
故答案为：．
12. 如图，正五边形内接于，、交于点，则的度数为 ______．
【答案】
【解析】五边形为正五边形，
，
圆周长，
，
，
．
13. 如图，在中，，，以中点D为圆心、长为半径作半圆交线段于点E，则图中阴影部分的面积为______．

【答案】
【解析】如图，连接，．

∵为直径，
∴．
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴阴影部分的面积=
．
14. 如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B，D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形．当抛物线是“美丽抛物线”时， ________．
【答案】8
【解析】依题意，∵，
∴抛物线的顶点A的坐标为，点C的坐标为，
∵“美丽抛物线”的定义，
∴点D的坐标为，
将代入，得，
解得（舍去）或．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 用适当的方法解下列方程：．
解：，
，，，
，
，
，．
16. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的对称轴．
解：（1）∵二次函数y＝x2－2mx＋5m的图象经过点(1，－2)，
∴－2＝1－2m＋5m，
解得；
∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5．
（2）二次函数图象的对称轴为直线；
故二次函数的对称轴为：直线；
17. 如图，把Rt△ABC绕点A.逆时针旋转40°，得到在Rt△ABʹCʹ，点Cʹ恰好落在边AB上，连接BBʹ，求∠BBʹCʹ的度数．

解：由旋转可知：∠BABʹ=40°，AB=ABʹ．
∴∠ABBʹ=∠ABʹB．
∴∠ABBʹ==70°．
∴∠BBʹCʹ=90°－70°=20°．
18. 笼子里关着一只小松鼠（如图），管理员决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（或），再经过第二道门（或或）才能出去．
（1）松鼠经过第一道门时，从口出去的概率是_____；
（2）请用画树状图或列表的方法表示松鼠出笼子的所有可能路线（经过两道门），并求松鼠经过门出去的概率．
解：（1）∵松鼠经过第一道门时，要么选择，要么选择，
∴松鼠经过第一道门时，从口出去的概率是，
故答案为：
（2）画树状图如下：
共有6种等可能的情况，其中松鼠经过门出去的情况有2种，
∴松鼠经过门出去概率是.
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）若方程的一个根是2，求的值；
（2）求的取值范围．
解：（1）把代入 得：，
解得；
（2）一元二次方程 有两个实数根，
，解得．
20. 已知在平面直角坐标系中位置如图所示．

（1）画出绕点C按顺时针方向旋转后的；
（2）在（1）中，点B旋转到点所经过的路线长=________（结果保留）．
解：（1）如图所示；

（2），．
21. 已经抛物线与直线相交于、两点．
（1）点为坐标原点，求的面积；
（2）当时，直接写出的取值范围．
解：（1）设直线AB与y轴交于点C,过点A作AD⊥y轴于D，过点B作BE⊥y轴于E
将x=0代入中，解得：y=3，
∴点C的坐标为（0,3），∴OC=3，
联立，消去y，得，
解得：，
当x=-2时，y=4；当x=时，y=，
∴点A的坐标为（-2,4），点B的坐标为（，），
∴AD=2，BE=，
∴S△ABC=S△AOC＋S△BOC=OC·AD＋OC·BE=×3×2＋×3×=.
（2）由图象可知：在AB之间时，，此时-2＜x＜，
即当时，-2＜x＜．
22. 如图1，的直径，和是它的两条切线，点E是圆上一点，过点E的直线与，分别相交于点D，C两点，连接并延长，交点P，．
（1）求证： 是的切线；
（2）若，求长．
解：（1）连接，，
是的切线，
，
是的直径，
．
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
（2）过点D作于Q，
，，都是的切线，
，， ，
∴四边形是矩形，
，， ．
设，则，，，
∵在中，，
，
解得，
即．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4．
（1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数．
（2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬过的最短距离．
解：（1）设∠ABC的度数为n，底面圆的周长等于2π×1＝，解得n＝90°；
（2）连接AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD＝45°．
∴是等腰直角三角形，
∵AB＝4，
∴AD＝BD＝4÷=2，
∴AC＝2AD＝4，
即这只蚂蚁爬过的最短距离4．
24. 用长为6米的铝合金条制成如图所示的框，若窗框的高为米，窗户的透光面积为平方米（铝合金条的宽度不计）．
（1）与之间的函数关系式为______（不要求写自变量的取值范围）；
（2）如何安排窗框的高和宽，才能使窗户的透光面积最大？并求出最大面积．
解：（1）根据题意，窗框的高为米，则宽为米，
根据题意，得，
故答案为：．
（2）根据题意，得，
∵，
∴当时，y有最大值，且最大值为，
即窗框的高为1米，宽为米，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是平方米，
答：窗框的高为1米，宽为米，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是平方米．
六、解答题 （每小题10分，共20分）
25. 如图，在正方形ABCD中，AB＝10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F．E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止．设△BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒．
（1）求证：CE＝EF；
（2）求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）求△BEF面积的最大值．
（1）证明：如图1，过E作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB⊥AD，
∴MN⊥AD，MN⊥BC，
∴∠AME=∠FNE=90°=∠NFE+∠FEN，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=∠AEM+∠FEN=90°，
∴∠AEM=∠NFE，
∵∠DBC=45°，∠BNE=90°，
∴BN=EN=AM，
∴△AEM≌△EFN（AAS），
∴AE=EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE，
∵DE=DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE=CE，
∴CE=EF；
（2）解：在Rt△BCD中，由勾股定理得：，
∴，
由题意得：BE=2x，
∴BN=EN=x，
由（1）知：AE=EF=EC，
分两种情况：
①当0≤x≤时，如图1，
∵AB=MN=10，
∴ME=FN=10-x，
∴BF=FN-BN=10-x-x=10-2x，
∴；
②当时，如图2，过E作EN⊥BC于N，
∴EN=BN=x，
∴FN=CN=10-x，
∴BF=BC-2CN=10-2（10-x）=2x-10，
∴；
综上，y与x之间关系的函数表达式为：；
（3）解：①当0≤x≤时，如图1，
，
∵-2＜0，
∴当x=时，y有最大值是；
②当＜x≤5时，如图2，
∴，
∵2＞0，
∴当x＞时，y随x的增大而增大
∴当x=5时，y有最大值是50；
综上，△BEF面积的最大值是50cm2．
26. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）当点在线段上运动时，求线段的最大值；
（3）当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值；
（4）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值．
解：（1）∵抛物线过、两点，
∴代入抛物线解析式可得，
解得，
∴抛物线解析式为，
令可得，，解，
∵点在点右侧，
∴点坐标为，
设直线解析式为，
把、坐标代入可得，解得，
∴直线解析式为；
（2）∵轴，点的横坐标为，
∴，，
∵在线段上运动，
∴点在点上方，
∴，
∴当时，有最大值，的最大值为；
（3）由（1）（2）得点坐标为，点坐标为0,3，
∴
∵
∴
∵轴，轴，
∴
∴
∴当是以为腰的等腰直角三角形时，，
∴点纵坐标为，
∴，解得或，
当时，则、重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
∴；
（4）由（）得，，
当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则有，
当点在线段上时，由（）得，
∴，此方程无实数根，
当点不在线段上时，则有，
∴，解得或，
综上可知当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为或．