吉林省四平市2024-2025学年九年级(上)期末模拟(一)数学试卷(解析版)

这是一份吉林省四平市2024-2025学年九年级(上)期末模拟(一)数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题2分，共12分）
1. 下列图案，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
2. 下列是二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A．，符合二次函数的定义，故该选项符合题意；
B．，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意；
C．，不是整式，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意；
D．，不是整式，不符合二次函数定义，故该选项不符合题意；
故选：A．
3. 下列事件属于必然事件的是（ ）
A. 四边形内角和是
B. 校园排球比赛，九年级1 班获得冠军
C. 任意三条线段可以组成三角形
D. 打开电视，正在播放神舟十八号载人飞船发射实况
【答案】A
【解析】A、四边形内角和是，是必然事件，故A符合题意；
B、校园排球比赛，九年一班获得冠军，是随机事件，故B不符合题意；
C、任意三条线段可以组成三角形是随机事件，故C不符合题意;
D、打开电视，正在播放神舟十八号载人飞船发射实况，是随机事件，故D不符合题意；
故选：A.
4. 如图，四边形内接于，点是的中点，，则的度数为（ ）
A. B. C. 30°D.
【答案】A
【解析】∵四边形内接于，，
∴，
∵点为中点，即，
∴，
∴，
故选A．
5. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 有两个相等实数根
C. 有一个实数根D. 有两个不相等的实数根
【答案】A
【解析】，
，
，则一元二次方程的根的情况是没有实数根，
故选：A．
6. 如图，将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置，若，则的度数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由旋转的性质可知：，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线为_______．
【答案】
【解析】先把抛物线先左平移个单位长度，
∴，
再向下平移个单位长度，
∴，
故答案为：．
8. 第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角最小为______度．
【答案】60
【解析】，
则这个图案绕着它的中心旋转后能够与它本身重合，
故答案为：60．
9. 木箱里装有仅颜色不同的15个红球和若干个蓝球，随机从朱箱里摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次的重复实验，发现摸到红球的频率稳定在附近，则估计木箱中蓝球有________个．
【答案】10
【解析】设木箱中蓝球有x个，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
则估计木箱中蓝球有10个．
10. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是____________________．
【答案】且
【解析】根据题意得，
解得且．
11. 已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为________．
【答案】
【解析】设扇形的半径为，
扇形的圆心角为，弧长为，
，
解得：，
扇形的面积为，
故答案为：．
12. 若方程是关于x的一元二次方程，则k的值为______．
【答案】
【解析】由题意，得且，
解得，
故答案为：．
13. 如图，四边形内接于是直径，过C点的切线与的延长线交于P点，若，则的度数为___________．
【答案】
【解析】连接，如图：
由题意可得，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为______．
【答案】
【解析】设抛物线的解析式为
由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为，
，
解得：，
抛物线的解析式为：，
当x=0时，，
水管的高度为．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 解方程：.
解：,
,
,
∴．
16. 如图，两个转盘分别被分成四等分和三等分，并标有数字．两个转盘开始旋转到旋转停止时，每个转盘上的箭头各指向一个数字，若某个转盘的指针指向分隔线时，则重新旋转，直到指针指向数字所在的区域．通过画树状图或列表法求这两个转盘上的数字之和为偶数的概率．
解：列表如下：
共有12种等可能结果数，和为偶数的有5个
所以（和为偶数）.
17. 如图，的弦相交于点，求证：．
证明：如图，连接，
，
，
，
，
由圆周角定理得：，
在和中，，
∴，
．
18. 央广网年月日消息，贵州省宣布最后的个贫困县脱贫．其中某县某果农年的年收入为万元，由于党的精准扶贫的相关政策的落实，年年收入增加到万元，求平均每年年收入的增长率．
解：设平均每年年收入的增长率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：平均每年年收入的增长率为．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 如图．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为O0,0，A5,0，．将绕点顺时针旋转90°得到，点旋转后的对应点为．
（1）画出旋转后的图形，并写出点的坐标；
（2）求点经过的路径的长（结果保留）．
解：（1）如图所示，即为所求，
点的坐标为；
（2）由图知，
，，
∴点在旋转过程中所走过的路径长为．
20. 已知，如图，四边形ABCD的顶点都在同一个圆上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4．
（1）求∠A、∠B的度数；
（2）若D为的中点，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD的面积．
解：（1）设∠A、∠B、∠C分别为2x、3x、4x，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，即2x+4x＝180°，
解得，x＝30°，
∴∠A、∠B分别为60°、90°；
（2）连接AC，
∵∠B＝90°，
∴AC为圆的直径，AC＝＝5，△ABC的面积＝×3×4＝6，∠D＝90°，
∵点D为的中点，∴AD＝CD＝AC＝，
∴△ADC的面积＝，∴四边形ABCD的面积＝6+＝．
21. 已知抛物线与轴交于、两点，与轴正半轴交于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点的直线交于点，且刚好平分的面积，求点的纵坐标．
解：（1）∵抛物线过点，
∴，
把代入，
得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）令，解得，，
∴，即，
连接，设点的纵坐标为，
由题意，得，
∴，
∴，即点的纵坐标为．
22. 如图，AB是的直径，是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且．
（1）求证：CF为切线；
（2）连接BD．若，，求BD的长．
（1）证明：如图，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是直径，D是的中点，
∴，
∴，
∴，即，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．
（1）请在图中标出圆心P点位置，写出点P的坐标；的半径为_______；
（2）判断点与的位置关系；
（3）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面积_______．
解：（1）如图，点P为所作，
∴P点坐标为，
∵，
∴，即的半径为；

故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴的长等于圆的半径，
∴点M在上；
（3）∵，，
∴，
∴为直角三角形，，
设该圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得，
解得，
∴该圆锥的底面积．
24. 【问题初探】（1）如图1，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小.李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转60°，点的对应点为，画出旋转后的图形，再连接.将求分成求和的和即可.请你按照李明同学给出的旋转的思路，求的大小；
【问题解决】（2）如图2，在正方形中，，分别为，边上的点，满足，若，，求的面积；
【问题拓展】（3）如图3，在四边形，，，，求的长.
解：（1）如图，将绕B点逆时针旋转得到，连接，则
，，
∴为等边三角形.
∴，
又∵
∴
∴ 是直角三角形，，

（2）由正方形的性质得：，，
如图，将绕点逆时针旋转得到，
，，
∴，
，
∵，，，

（3）∵，，
∴是等腰直角三角形，，
如图，将绕点顺时针旋转得到，连接.
则，，，
为等腰直角三角形.
，
又
六、解答题 （每小题10分，共20分）
25. 如图所示，在中．，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．

（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的面积为．
（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的长度等于．
（3）在（1）中的面积能否等于？说明理由．
解：（1）设x秒后，的面积为，
此时，，，，
则，
令，即，
整理得：，
解得：或，
当时，，说明此时点Q越过点C，不合要求，舍去，
答：1秒后的面积为；
（2）由，得，
整理得，
解方程得：（舍去），，
所以2秒后的长度等于；
（3）的面积不可能等于，理由如下：
设
即，整理得，
∵，
∴方程没有实数根，
所以的面积不可能等于．
26. 如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图象经过A，B，C三点．
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值．
解：（1）∵点B的坐标为，∴，
∵，
∴，
∴点；
（2）设抛物线的表达式为：，
把点代入得：，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（3）∵直线过点，
∴可设其函数表达式为：，
将点代入得：
解得：，
故直线的表达式为：，
过点P作y轴的平行线交于点H，
∵，
，
∵轴，
，
∴，
∵，
∴，
设点 ，则点，
∴，
∵，
∴有最大值，当时，其最大值为，此时点．