2024-2025学年高二上学期(人教版)期末模拟数学试卷04（含答案解析）

这是一份2024-2025学年高二上学期(人教版)期末模拟数学试卷04（含答案解析），共18页。试卷主要包含了测试范围，设函数，则关于的不等式的解集为，直线过定点__________等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册+选择性必修第二册
一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．某公司利用无人机进行餐点即时的送，利用空间坐标表示无人机的位置，开始时无人机在点处起飞，6秒后到达点处，15秒后到达点处，若，则（ ）
A．B．120C．150D．210
3．设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（ ）
A．11B．12C．121D．144
4．已知函数在区间上不单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．设函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
QUOTE ?0,0,0 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．若项数均为的两个数列满足，且集合，则称数列是一对“项紧密数列”．设数列是一对“4项紧密数列”，则这样的“4项紧密数列”有（ ）对．
A．5B．6C．7D．8
二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
10．直线过定点__________．
QUOTE 2,3 11．与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的方程为__________．
12．直棱柱中底面为直角三角形，是的中点，，则与面所成的角的正切值__________．
13．已知抛物线的焦点到准线的距离为4，抛物线的方程为__________．直线过点且与抛物线交于两点，若是线段的中点，则__________．
14．等差数列，的前项和分别为，，且则__________；若的值为正整数，则__________．
15．已知，，则的最小值为__________．
三、解答题（共5小题，满分75分）
16．（14分）
已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切.
(1)求圆的方程；
(2)经过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程.
17．（15分）
如图，三棱锥中，，为BC的中点.

(1)证明：;
(2)点N满足，求平面APB与平面PBN夹角的余弦值.
18．（15分）
已知椭圆，过点，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，若直线的斜率都存在且分别为，
(1)求椭圆的方程
(2)求的值
19．（15分）
已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设，当时，在区间上，若对于任意两个自变量的值都有，求实数的范围.
20．（16分）
设有穷数列的项数为，若（为常数，且），则称该数列为等积数列，叫做该数列的公共积.
(1)若是公共积为的等积数列，求该数列的公共积及；
(2)若是公共积为的等积数列，且（且为常数），证明：当时，对任意给定的，数列中一定存在相等的两项；
(3)若是公共积为1的等积数列，且是奇数，对任意的都存在正整数，使得，求证：是等比数列.
2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册+选择性必修第二册
一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
设其倾斜角为，则，又，
则，即倾斜角为，
故选D
2．某公司利用无人机进行餐点即时的送，利用空间坐标表示无人机的位置，开始时无人机在点处起飞，6秒后到达点处，15秒后到达点处，若，则（ ）
A．B．120C．150D．210
【答案】C
【解析】因为，
所以，
所以.
故选C.
3．设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（ ）
A．11B．12C．121D．144
【答案】C
【解析】在等差数列中，，
则，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为121.
故选C.
4．已知函数在区间上不单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，又函数的定义域是，
当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
，解得.
故选C
5．已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设，根据，得出的轨迹方程，再结合条件为直线上的点，得到直线与圆的位置关系，即可求解.
【解析】设，则，，
因为，所以，
即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上.
点在直线上，
所以直线与圆有公共点，
则，解得
故选B.
6．设函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】令，定义域为R，得到为奇函数，即，求导，得到在R上单调递增，变形得到，从而，求出解集.
【解析】令，定义域为R，
，
故为奇函数，即，
，
故在R上单调递增，
，
故，
即，
所以，，
解得或.
故选B
7．如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】在直三棱柱中，底面，
以点为坐标原点，，、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则A0,0,0、、，设点、，
，，
由于，则，可得，
，则，
.
故选C.
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，所以，
又，所以，，
，所以，
所以椭圆的离心率为.
故选D.
9．若项数均为的两个数列满足，且集合，则称数列是一对“项紧密数列”．设数列是一对“4项紧密数列”，则这样的“4项紧密数列”有（ ）对．
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】由条件知，
于是，
又，
所以，
于是“4项紧密数列”有；
共有6对.
故选B．
二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
10．直线过定点__________．
【答案】2,3
【解析】将直线方程化为，由可得，
因此，直线过定点.
故答案为：.
11．与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的方程为__________．
【答案】
【解析】设所求双曲线方程为，
将点代入双曲线方程得，故方程为．
故答案为：
12．直棱柱中底面为直角三角形，是的中点，，则与面所成的角的正切值__________．
【答案】1
【解析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
设为平面的一个法向量，
则，即，取，则，，
所以，
设与面所成的角为，
则，
∵，∴，
所以与面所成的角的正切值为.
故答案为：.
13．已知抛物线的焦点到准线的距离为4，抛物线的方程为__________．直线过点且与抛物线交于两点，若是线段的中点，则__________．
【答案】
【解析】∵抛物线的焦点到准线的距离为4 ，
∴根据抛物线定义可得，则抛物线方程为；
则有，又∵是线段的中点，
∴，即，
由可得，，故直线的方程为，
由，
则，故.
故答案为：；.
14．等差数列，的前项和分别为，，且则__________；若的值为正整数，则__________．
【答案】 或.
【解析】由等差数列的性质可得：，
（即anbn =s2n−1T2n−1 )因为
所以；
因为，
所以,
要使的值为正整数，所以为的约数，
所以或或，因为，所以或.
故答案为：；或.
15．已知，，则的最小值为__________．
【答案】2
【解析】，
设，则在函数的图象上，在函数的图象上，且与关于直线对称，
所以问题转化为求与图象上两点距离的平方的最小值，
，令，则，由对称性可得最小时，，
，
所以的最小值为.
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够把所求代数式转化为求与图象上两点距离的平方的最小值.
三、解答题（共5小题，满分75分）
16．（14分）
已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切.
(1)求圆的方程；
(2)经过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程.
【解析】（1）由题意，设圆心，半径，
∵圆M经过点，∴，
∵圆M与直线相切，
∴圆心到直线的距离，
∴，化简，解得，
则圆心，半径，
所以圆M的方程为．
（2）由题意，圆心到直线的距离，
若直线的斜率不存在，其方程为，显然符合题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离由，解得，
则直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或．
17．（15分）
如图，三棱锥中，，为BC的中点.

(1)证明：;
(2)点N满足，求平面APB与平面PBN夹角的余弦值.
【解析】（1）法一：连接MP，MA，因为为BC中点，又，所以，
因为，所以与均为等边三角形，
所以，从而，
又平面PMA，
所以平面PMA，而平面PMA，
所以.
法二：依题意，
所以.
又，
所以，，
所以.
（2）依题意，，由及得，，
，，
又且平面ABC，
平面ABC.
以点M为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

，
，
所以，即有.
设平面PAB与平面PBN的一个法向量分别为,
设平面APB与平面PBN夹角为，
由，得，取，则；
由，得，取，则；
所以，
故平面APB与平面PBN夹角的余弦值为.
18．（15分）
已知椭圆，过点，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，若直线的斜率都存在且分别为，
(1)求椭圆的方程
(2)求的值
【解析】（1）因为椭圆的离心率为，所以，
又椭圆过点，则，
又，解得，，
所以椭圆C的方程：．
（2）过点的直线交椭圆于两点，
当直线斜率不存在时，有，，
，，
；
当直线斜率存在时，设直线方程为，设，，
由，消去得，
有，
.
综上可得.
19．（15分）
已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设，当时，在区间上，若对于任意两个自变量的值都有，求实数的范围.
【解析】（1）由，得，
所以，即在处的切线斜率为，
又，即切点为0,3，
所以曲线y=fx在处的切线方程为，即.
（2）由（1）可得，
，
因为，所以，
所以当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以的最小值.
又，，所以，
从而的最大值，
所以设，
则，
由，知，所以在上单调递增，
因为，，
所以的取值范围为
所以的范围为.
20．（16分）
设有穷数列的项数为，若（为常数，且），则称该数列为等积数列，叫做该数列的公共积.
(1)若是公共积为的等积数列，求该数列的公共积及；
(2)若是公共积为的等积数列，且（且为常数），证明：当时，对任意给定的，数列中一定存在相等的两项；
(3)若是公共积为1的等积数列，且是奇数，对任意的都存在正整数，使得，求证：是等比数列.
【解析】（1）为等积数列，.
；
（2）当时，
是公共积为的等积数列，，
又.
又，
，即原命题得证；
（3）设
是公共积为1的等积数列，且，
对任意的，都存在正整数，使得，
，这项均为中的项，
由题可知，，
必有，
又，
是公比为的等比数列.
是公比为的等比数列.