2024-2025学年高二上学期(人教版)期末模拟数学试卷05（含答案解析）

这是一份2024-2025学年高二上学期(人教版)期末模拟数学试卷05（含答案解析），共19页。试卷主要包含了测试范围，阅读下面材料，已知各项均为正数的等比数列满足，已知数列满足，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册+选择性必修第二册第4章（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．过点(1，0)和点(0，1)的倾斜角为（ ）
A．45°B．60°C．135°D．150°
2．数列是等差数列，，，记是的前9项和，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．如图，在直三棱柱中，，分别为棱AB，的中点.设，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线
5．阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为根据上述材料，解决下面问题：直线是两个平面与的交线，则（ ）是的一个方向向量．
A．B．C．D．
6．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
7．已知各项均为正数的等比数列满足：，则（ ）
A．60B．32C．15D．20
8．如图，正方体的棱长为1，中心为， ，，则四面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线的说法正确的是（ ）
A．实轴长为6B．虚轴长为2C．焦距为D．离心率为
10．已知数列满足，则（ ）
A．B．数列是等差数列
C．数列的最小项为4D．的前项和为
11．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
13．在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为 ．
14．已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）ΔABC三个顶点的坐标分别是.
(1)求ΔABC外接圆的方程；
(2)若圆与直线交于两点，求的弦长.
16．（15分）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
17．（15分）已知数列的前项和为，且.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求和：.
18．（17分）如图，四棱锥P-ABCD中，平面.

(1)若，求证：平面平面PCD；
(2)若AD=DC，PB中点为，试问在棱CD上是否存在点，使，若存在，指出点位置，若不存在说明理由；
(3)若与平面PBC成角大小，求DC边长.
19．（17分）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、，，的长半轴与的实半轴之差为，离心率之比为.
(1)求这两条曲线的方程；
(2)求曲线以点为中点的弦所在直线的方程；
(3)若为两条曲线的交点，求的余弦值.
2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷05
答案解析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册+选择性必修第二册第4章（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．过点(1，0)和点(0，1)的倾斜角为（ ）
A．45°B．60°C．135°D．150°
【答案】C
【解析】过点和点的直线的斜率，设倾斜角为，则，因为，所以.
故选：C
2．数列是等差数列，，，记是的前9项和，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【解析】设该等差数列的公差为d，则，
则，.
故选：D
3．如图，在直三棱柱中，，分别为棱AB，的中点.设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在直三棱柱中，，分别为棱AB，的中点，
.
故选：D
4．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线
【答案】A
【解析】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则：，设，可得：，
从而：，
结合题意可得：，整理可得：，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.
故选：A.
5．阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为根据上述材料，解决下面问题：直线是两个平面与的交线，则（ ）是的一个方向向量．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】同理可得平面与的一个法向量为和，设直线的一个方向向量为，则，不妨取，则，
故选：A.
6．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【解析】由题意得，，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，不妨设点在轴上方，代入得，，所以.
故选：B
7．已知各项均为正数的等比数列满足：，则（ ）
A．60B．32C．15D．20
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为.由，
可得，因，解得.
则
.
故选：A.
8．如图，正方体的棱长为1，中心为， ，，则四面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，
,则||= ，||=，，
∴．
．．
设平面OEB的一个法向量为，
由 取，得
又,∴F到平面OEB的距离,
∴四面体OEBF的体积.
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线的说法正确的是（ ）
A．实轴长为6B．虚轴长为2C．焦距为D．离心率为
【答案】AB
【解析】由双曲线方程可知，且，由题意，，代入解得：，故实轴长为，虚轴长为，故A项，B项都正确；
焦距，故C项错误；离心率为，故D项错误.
故选：AB.
10．已知数列满足，则（ ）
A．B．数列是等差数列
C．数列的最小项为4D．的前项和为
【答案】ABD
【解析】由，
因此是以为首项，公比为的等比数列，因此有
.
A：因为，所以A正确；
B：因为
，
所以数列是等差数列，因此B正确；
C：，
当且仅当时取等号，即当时取等号，因为是正整数，
所以上述不等式等号不成立，即，所以C错误，
D：因为，所以的前项和为，所以D正确；
故选：ABD
11．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
【答案】BD
【解析】易知，点在矩形内部（含边界）．
对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；
对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．
对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；
对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确．
故选：BD．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
【答案】2
【解析】由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
13．在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为 ．
【答案】
【解析】分别取的中点，连接，由正三柱性质可知，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
由，可得，
所以，
又，且；
所以.
故答案为：
14．已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【解析】设是椭圆的右焦点，连接，，
由对称性可知：，，则四边形为平行四边形，
则，即，且，
因为，则AF2=23a，，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，所以椭圆的离心率为.

故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）ΔABC三个顶点的坐标分别是.
(1)求ΔABC外接圆的方程；
(2)若圆与直线交于两点，求的弦长.
【解析】（1）设，（1分）
……（3分）
……（5分）
所以ΔABC外接圆的方程为.……（6分）
（2）圆心到直线的距离……（10分）
所以 ，……（12分）
得.……（13分）
16．（15分）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
【解析】（1）当时，则，，
可得，，……（2分）
即切点坐标为，切线斜率，……（4分）
所以切线方程为，即.……（5分）
（2）解法一：因为的定义域为，且，……（6分）
若，则对任意恒成立，
可知在上单调递增，无极值，不合题意；……（7分）
若，令，解得；令，解得；……（8分）
可知在内单调递减，在内单调递增，……（9分）
则有极小值，无极大值，……（10分）
由题意可得：，即，……（11分）
构建，则，……（12分）
可知在内单调递增，且，……（13分）
不等式等价于，解得，……（14分）
所以a的取值范围为；……（15分）
17．（15分）已知数列的前项和为，且.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求和：.
【解析】（1）时，，有，……（3分）
又时，，有，……（5分）
所以数列是以1为首项，公比为2的等比数列．……（6分）
（2）由（1）得数列的通项公式，……（7分）
设
则①
②……（10分）
①②得：
……（14分）
.……（15分）
18．（17分）如图，四棱锥P-ABCD中，平面.

(1)若，求证：平面平面PCD；
(2)若AD=DC，PB中点为，试问在棱CD上是否存在点，使，若存在，指出点位置，若不存在说明理由；
(3)若与平面PBC成角大小，求DC边长.
【解析】（1）因为平面平面ABCD，所以，……（1分）
又，所以
……（3分）
又平面PAD
所以平面PAD，……（4分）
又平面PCD，所以平面平面PCD.……（5分）
（2）因为平面，所以AP，AB，AC两两垂直，如图建立空间直角坐标系
设，则，
则……（7分）
设，
，……（8分）
假设存在满足，因为等价于，……（9分）
解得，（1分）所以不存在……（10分）
（3）因为，所以，

，
设，其中，又，，
设平面PBC法向量，依题意，即
令则，所以，……（12分）
因为PD与平面PBC成角大小，所以
或，……（13分）
即……（15分）
又，此方程组无解……（16分）
综上可得.……（17分）
19．（17分）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、，，的长半轴与的实半轴之差为，离心率之比为.
(1)求这两条曲线的方程；
(2)求曲线以点为中点的弦所在直线的方程；
(3)若为两条曲线的交点，求的余弦值.
【解析】（1）设椭圆方程为，双曲线方程为，.
则，解得，，……（2分）
则，，……（3分）
因此，椭圆方程为，.……（4分）双曲线方程为.……（5分）
（2）曲线以点为中点的弦的两端点分别为、，
则，，……（6分）
若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，……（7分）
因为，这两个等式作差可得，……（8分）
所以，，可得，……（9分）
所以，直线的方程为，即，……（10分）
检验：联立可得，
则，合乎题意，……（11分）
因此，曲线以点为中点的弦所在直线的方程为.……（12分）
（3）不妨设、分别为两曲线的左、右焦点，是两曲线在第一象限的交点，
设，，由椭圆和双曲线的定义可得，解得，……（15分）
所以，.……（17分）