2024-2025学年高二数学人教版上学期期末模拟卷03(含答案解析)

这是一份2024-2025学年高二数学人教版上学期期末模拟卷03(含答案解析)，共24页。试卷主要包含了测试范围，难度系数，已知，分别为双曲线C，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．测试范围：人教B版2019选择性必修第一册、第二册（空间向量与立体几何+平面解析几何+排列、组合与二项式定理+概率与统计）。
4．难度系数：0.7。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量，，若，，则的值是（ ）
A．或1B．3或1C．D．1
2．某市人民政府新招聘进名应届大学毕业生，分配给甲、乙、丙、丁四个部门，每人只去一个部门，每个部门必须有人，若甲部门必须安排人，则不同的方案数为（ ）
A．B．C．D．
3．已知5个成对数据的散点图如下，若去掉点，则下列说法正确的是（ ）
A．变量x与变量y呈正相关B．变量x与变量y的相关性变强
C．残差平方和变大D．样本相关系数r变大
4．随机变量服从若则下列选项一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍甍如图所示，底面 BCDE为矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆与圆，过动点分别作圆、圆的切线，（，分别为切点），若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．已知，分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，函数的值等于除以6得到的余数，．设，若存在，使得对于任意的，都不满足，则函数的个数是（ ）
A．729B．189C．378D．540
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，若函数为偶函数，则
B．数据7，5，3，10，2，6，8，9的上四分位数为8
C．已知，，若，则，相互独立
D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验（），可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05
10．已知抛物线，为其焦点，直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点为抛物线上的一点，点坐标为，则的最小值为
B．若直线过焦点，则以为直径的圆与相切
C．若直线过焦点，当时，则
D．设直线的中点坐标为，则该直线的斜率与无关，与有关
11．如图，内接于圆O，为圆O的直径，，，平面，E为的中点，若三棱锥的体积为2，则下列结论正确的有（ ）
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．直线与平面所成的角的余弦值为
C．点A到平面的距离为
D．平面与平面所成的角的大小为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．的展开式中，含的项的系数为 ．（用数字作答）
13．为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、武术类三个体育社团．甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，记三位同学所参加的社团种类的个数为，则 ．
14．甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为， 且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为 ．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知．
(1)求；
(2)指出，，，⋯，中最大的项．
16．（15分）
如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
17．（15分）
为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的课程，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习.学校统计了学生的选课情况，得到如下表格.
(1)根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断选择课程与性别有关？
(2)现从男生的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，再从这5名男生中抽取3人做问卷调查，求这3人中选择课程的人数比选择课程的人数多的概率.
附：.
18．（17分）
某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表：
(1)求该项性能指标的样本平均数的值．若这批零件的该项指标近似服从正态分布其中近似为样本平均数的值，，试求的值．
(2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件．
①求这件零件是次品的概率：
②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率；
③若从这批机器零件中随机抽取300件，零件是否为次品与该项性能指标相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）．
参考数据：若随机变量服从正态分布则，
19．（17分）
如图，轴垂足为点，点在的延长线上，且.当点在圆上运动时，点的轨迹方程为.

(1)求点的轨迹的方程；
(2)当时，点的轨迹方程记为.
（i）若动点为轨迹外一点，且点到轨迹的两条切线互相垂直，记点的轨迹方程记为，试判断与圆是否存在交点？若存在，求出交点的坐标；若不存在，请说明理由；
（ii）轨迹的左右顶点分别记为，圆上有一动点，在轴上方，，直线交轨迹于点，连接，，设直线，的斜率存在且分别为，，若，求的取值范围.
选择课程
选择课程
男生
40
60
女生
20
80
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
性能指标X
66
77
80
88
96
产品件数
10
20
48
19
3
2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷03
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．测试范围：人教B版2019选择性必修第一册、第二册（空间向量与立体几何+平面解析几何+排列、组合与二项式定理+概率与统计）。
4．难度系数：0.7。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量，，若，，则的值是（ ）
A．或1B．3或1C．D．1
【答案】A
【详解】因为，，且，，
所以，解得或，
所以或.
故选：A
2．某市人民政府新招聘进名应届大学毕业生，分配给甲、乙、丙、丁四个部门，每人只去一个部门，每个部门必须有人，若甲部门必须安排人，则不同的方案数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】名应届大学毕业生，分配给甲、乙、丙、丁四个部门，
甲部门先安排人有种，
剩余个人分配到乙、丙、丁三个部门有种，
故由分步乘法计数原理得，
故选：A.
3．已知5个成对数据的散点图如下，若去掉点，则下列说法正确的是（ ）
A．变量x与变量y呈正相关B．变量x与变量y的相关性变强
C．残差平方和变大D．样本相关系数r变大
【答案】B
【详解】由散点图可知，去掉点后，与的线性相关加强，且为负相关，
所以B正确，A错误；
由于与的线性相关加强，所以残差平方和变小，所以C错误，
由于与的线性相关加强，且为负相关，所以相关系数的绝对值变大，
而相关系数为负的，所以样本相关系数r变小，所以D错误.
故选：B.
4．随机变量服从若则下列选项一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为由正态分布的对称性，可得，正态分布方差无法判断，
，，
所以ABD错误.
故选：C.
5．刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍甍如图所示，底面 BCDE为矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】依题意得，，
所以
，
又，，
所以设异面直线AE与BD所成的角为，
则
故选：A.
6．已知圆与圆，过动点分别作圆、圆的切线，（，分别为切点），若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意得，，
因为，
又，即，
即，
化简得点的轨迹为，即在直线上，
表示的几何意义为点到原点距离的平方，
故只需计算原点到直线的距离再平方就可得最小值，
即最小值为.
故选：B.

7．已知，分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意可知：，，且，

在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
即，可得，
所以双曲线的离心率为.
故选：C.
8．已知，函数的值等于除以6得到的余数，．设，若存在，使得对于任意的，都不满足，则函数的个数是（ ）
A．729B．189C．378D．540
【答案】B
【详解】，函数与的关系如下图所示：
可以看出，由于函数的对应关系固定，
函数的个数只取决于的到的对应关系．
因为存在，使得对于任意的，都不满足y=fx，
所以的没有对应满中的所有元素．
考虑其反面，即对于任意的，总存在，使得y=fx，
即的对应满了中的所有元素．
求满足反面的的个数的问题等价于“6名工人到3间工厂应聘，
每名工人只去一间工厂，每间工厂至少有一名工人前来应聘，求应聘情况的总数”，
一共有种情况，
即满足反面的有540个，没有限制条件的有个，
因此满足题目条件的有个，故B正确．
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，若函数为偶函数，则
B．数据7，5，3，10，2，6，8，9的上四分位数为8
C．已知，，若，则，相互独立
D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验（），可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05
【答案】ACD
【详解】对A：因为为偶函数，即f−x=fx，
可得：，故可得，故A正确；
对B：将个数据按照从小到大的顺序排序：2，3，5，6，7，8，9，10，
故，故上四分位数为，故B错误；
对C：根据题意，，即，
即，故相互独立，C正确；
对D：，根据独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05，故D正确.
故选：.
10．已知抛物线，为其焦点，直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点为抛物线上的一点，点坐标为，则的最小值为
B．若直线过焦点，则以为直径的圆与相切
C．若直线过焦点，当时，则
D．设直线的中点坐标为，则该直线的斜率与无关，与有关
【答案】BCD
【详解】对于A选项，如下图所示：
抛物线的焦点为，准线为，
设点在直线上的射影点为，由抛物线的定义可得，
则，
当且仅当、、三点共线时，即当时，取最小值，A错；
对于B选项，若直线过焦点，则，
线段的中点到直线的距离为，所以，，
因此，以为直径的圆与相切，B对；
对于C选项，当时，直线的方程为，
联立可得，不妨取、，则，
此时，，C对；
对于D选项，线段的中点坐标为，
若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以直线的斜率存在，
由题意可得，
由作差得，
所以，，D对.
故选：BCD.
11．如图，内接于圆O，为圆O的直径，，，平面，E为的中点，若三棱锥的体积为2，则下列结论正确的有（ ）
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．直线与平面所成的角的余弦值为
C．点A到平面的距离为
D．平面与平面所成的角的大小为
【答案】AC
【详解】∵为圆O的直径，且，，∴为直角三角形，，
设，
由E为的中点可得，
解得，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系如下图所示：
则，，，，，
，，，，
对于A，易知，
所以异面直线与所成角的余弦值为，选项A正确；
对于B，设平面的法向量为，，即，
取，，
设与平面所成的角为，则，选项B不正确；
对于C，点A到平面的距离为，选项C正确.
对于D，设平面的法向量为，，
则，即，取，
，，
所以平面与平面的夹角大小为90°，选项D不正确.
故选：AC.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．的展开式中，含的项的系数为 ．（用数字作答）
【答案】
【详解】由题意得的展开式的通项为，
所以的展开式中，含的项为，
所以展开式中含的项的系数为.
故答案为：.
13．为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、武术类三个体育社团．甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，记三位同学所参加的社团种类的个数为，则 ．
【答案】/
【详解】依题意的可能取值为，
当时，甲、乙、丙三位同学选择同一个社团，有3种选法；
当时，甲、乙、丙三位同学仅选择两个社团，有种选法；
当时，甲、乙、丙三位同学选择不同的社团，有种选法；
则，
，
，
所以．
故答案为：
14．甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为， 且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为 ．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为
【答案】 0.7 0.22.
【详解】设甲击中无人机为事件，乙击中无人机为事件，无人机被击中为事件，无人机被击落为事件，
则，所以，
所以，
若无人机恰好被一人击中，即事件，
则，
若无人机被两人击中，即事件，
则，
所以
.
故答案为：，.
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知．
(1)求；
(2)指出，，，⋯，中最大的项．
【详解】（1）令，得，
令，得，
所以；--------------------------------------------5分
（2）判断中谁最大即判断展开式的系数谁最大．
展开式的通项，
由，得，因为，所以或6．
故中最大的项为．--------------------------------------------13分
16．（15分）
如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【详解】（1）如图，在梯形ABCD中，连接DE，因为E是BC的中点，所以，
又，所以，
又因为，所以四边形是平行四边形，
因为，所以四边形是菱形，从而，
沿着AE翻折成后，有
又平面，所以平面，
由题意，易知，所以四边形是平行四边形，
故，所以平面.--------------------------------------------5分
（2）因为平面，平面，则有，
由（1）知，故两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为，所以为等边三角形，同理也为等边三角形，
则，
设平面的一个法向量为，
则，
令得，故，
又平面的一个法向量为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为；--------------------------------------------10分
（3）假设线段上存在点，使得平面，
过点作交于，连接，如图所示：
所以，所以四点共面，
又因为平面，所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以是的中点，
故在线段上存在点，使得平面，且.--------------------------------------------15分
17．（15分）
为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的课程，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习.学校统计了学生的选课情况，得到如下表格.
(1)根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断选择课程与性别有关？
(2)现从男生的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，再从这5名男生中抽取3人做问卷调查，求这3人中选择课程的人数比选择课程的人数多的概率.
附：.
【详解】（1）零假设：选择课程与性别无关.
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为选择课程与性别有关.--------------------------------------------5分
（2）选出的5名男生中，选择课程的人数为，
选择课程的人数为，--------------------------------------------9分
这3人中选择课程的人数比选择课程的人数多有如下两种可能：
选择课程有3人，数选择课程有0人，此种有种选法；
选择课程有2人，数选择课程有1人，此种有种选法；
记“这3人中选择课程的人数比选择课程的人数多”为事件,
.--------------------------------------------15分
18．（17分）
某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表：
(1)求该项性能指标的样本平均数的值．若这批零件的该项指标近似服从正态分布其中近似为样本平均数的值，，试求的值．
(2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件．
①求这件零件是次品的概率：
②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率；
③若从这批机器零件中随机抽取300件，零件是否为次品与该项性能指标相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）．
参考数据：若随机变量服从正态分布则，
【详解】（1），
因为，所以，
则
；--------------------------------------------5分
（2）①设“抽取的零件为甲机床生产”记为事件，
“抽取的零件为乙机床生产”记为事件，
“抽取的零件为次品”记为事件，
则，，，，--------------------------------------------8分
则；---------------------------11分
②；--------------------------------------------13分
③由（1）及（2）①可知，这批零件是次品且性能指标在内的概率，
且随机变量，
所以，
所以随机变量Y的数学期望为4.--------------------------------------------17分
（17分）
如图，轴垂足为点，点在的延长线上，且.当点在圆上运动时，点的轨迹方程为.

(1)求点的轨迹的方程；
(2)当时，点的轨迹方程记为.
（i）若动点为轨迹外一点，且点到轨迹的两条切线互相垂直，记点的轨迹方程记为，试判断与圆是否存在交点？若存在，求出交点的坐标；若不存在，请说明理由；
（ii）轨迹的左右顶点分别记为，圆上有一动点，在轴上方，，直线交轨迹于点，连接，，设直线，的斜率存在且分别为，，若，求的取值范围.
【详解】（1）设Mx,y，
因为，则，
又因为点在圆上，则，
所以点的轨迹的方程为.--------------------------------------------5分
（2）若，则的方程为，即，
（i）与圆没有交点，理由如下：
由题意可知：圆在椭圆内（有且仅有两个交点），
但动点为轨迹外一点，所以与圆没有交点；--------------------------------------------8分
（ⅱ）由题意可知：，

设，则直线，
联立方程，
消去y可得，-------------------------------------------10分
则，可得，
则，-------------------------------------------13分
令，解得，
由题意可知，
因为，则，--------------------------------------------15分
又因为，可得，
所以的取值范围为.--------------------------------------------17分
选择课程
选择课程
男生
40
60
女生
20
80
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
性能指标X
66
77
80
88
96
产品件数
10
20
48
19
3