人教版数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》同步单元基础与培优高分必刷卷（2份，原卷版+解析版）

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第二十一章《一元二次方程》同步单元基础与培优高分必刷卷全解全析1．A【分析】将x=1代入ax+bx+1=0即可求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax+bx+1=0的一个解是x=1，∴a+b+1=0，∴a+b=−1，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是明确一元二次方程的解的含义．2．A【分析】方程移项，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．【详解】解：方程+4x-1=0，移项得：+4x=1，配方得：+4x+4=1+4，即=5．故选：A．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．D【分析】利用配方法解方程即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，解得，故选D．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．4．B【分析】求出已知方程的解，确定出等腰直角三角形斜边上的高，利用三线合一得到此高为斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出斜边的长．【详解】解：方程x2-3x-4=0因式分解得：（x-4）（x+1）=0，解得：x=4或x=-1（舍去），∴等腰直角三角形斜边上的高为4，即为斜边上的中线，则这个直角三角形斜边的边长为8．故选：B．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，等腰三角形的性质，以及直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握性质是解本题的关键．5．B【分析】根据根与系数关系求出=3，a=3，再求代数式的值即．【详解】解：∵一元二次方程的两根分别记为，，∴+=2，∵，∴=3，∴·=-a=-3，∴a=3，∴．故选B．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键．6．C【分析】设长方形的宽为x，则长为( x+1 ) ，利用长方形的面积计算公式，即可得出关于x的一元次方程，解之即可得出x的值，将其正值代入2[ ( x+1 ) +x]中即可求出该长方形的周长．【详解】解∶设长方形的宽为x，则长为(x+l)，依题意得x(x+1)=1，解得∶ ， (不合题意，舍去)，∴该长方形的周长故选∶C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．A【分析】如果营业额每月平均增长率为x，根据某商店今年1月份的营业额为100万元，3月份营业额为360万元，可列方程．【详解】解：∵一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为x，∴二月份的营业额为100×（1+x）万元，∴三月份营业额为100×（1+x）×（1+x），∴可列方程为，故选：A．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识，平均增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．8．C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解可得，，且，即，则=，进行计算即可得．【详解】解：∵p，q是一元二次方程的两个根，∴，，且，即，则====12故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握这些知识点．9．D【分析】先计算判别式的意义，然后根据判别式的意义判断根的情况．【详解】解：∵ ∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．10．D【分析】m＝0化为一元一次方程，即可得；当时，代入方程mx2+x﹣m+1＝0，得，即可得方程的另一个根，根据求根公式得，，解得当时，，根据求根公式得当时，方程有两个不相等的实数根，综上即可得．【详解】解：当m＝0时，代入方程mx2+x﹣m+1＝0，得，，∴当m＝0时，方程只有一个实数根，当时，代入方程mx2+x﹣m+1＝0，得，解得，，此时方程为，，，，，则方程的另一个根为-1；当时，，当时，，当时，，解得，，，∴无论m取何值，方程都有一个负数根，∴当时，方程有两个不相等的实数根，综上，选项A、B、C正确，故选D．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系和分类讨论．11．D【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得，再根据一元二次方程的解的意义得，即，再把代入计算即可．【详解】∵、是一元二次方程的两个根，∴，，∴，∴．故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的意义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．12．C【分析】先根据一元二次方程的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵是方程的实数根，∴，∴，∴，∵，是方程的两个实数根，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，．也考查了一元二次方程的解．13．-1【分析】根据一元二次方程的定义，必须满足三个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0，（3）是整式方程，据此即可求解．【详解】解：根据题意得，|m−1|＝2且m−3≠0，解得：m＝−1．故答案为：−1．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．14．①③【分析】仿照题意所给的方法，得到原方程为，由此求解即可．【详解】解；∵一元三次方程三个非零实数根分别，∴，∴，∴，∴，∴，，，∴①③正确，②不正确；∵，∴④不正确，故答案为：①③．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简，多项式乘法的应用，正确理解题意是解题的关键．15．【分析】根据题意列出2022年人均收入的代数式即可解答．【详解】解：设2020年到2022年该地区居民年人均收入平均增长率为x，根据题意，可得2021年人均收入将达到万元，2022年人均收入将达到万元，即为．故答案为∶ ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用——增长率问题，审清题意、列出2022人均收入达到的代数式是解答本题的关键．16．4【分析】先设，原方程可化为，解此一元二次方程，再验根即可．【详解】解：设，原方程可化为，化为一般式得：，解得：t=4或t=-2，∵，∴t=4，∴4，故答案为：4．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解决本题的关键是熟练掌握用换元法解方程．17．2036【分析】由m，n是方程x2-2x-1=0的两个实数根可得：m2=2m+1，n2=2n+1，m+n=2，代入所求式子即可得到答案．【详解】解：∵m，n是方程x2-2x-1=0的两个实数根，∴m2-2m-1=0，n2-2n-1=0，m+n=2，∴m2=2m+1，n2=2n+1，∴2m2+4n2-4n+2022=2（2m+1）+4（2n+1）-4n+2022=4m+2+8n+4-4n+2022=4（m+n）+2028=4×2+2028=2036，故答案为：2036．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的概念，解题的关键是整体思想的应用．18．1【分析】根据方程的根得到，，再将所求式子变形，整体代入计算即可．【详解】解：，是一元二次方程的两个根，，，，．故答案为：1．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键．19．(1)，(2)，【分析】（1）将方程进行移项，配方，进行计算即可得；（2）将方程左边进行配方，开方计算即可得．（1）解：，；（2）解：，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法．20．(1)(2)【分析】（1）由此方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式，即可求得答案；（2）由此方程的两根互为倒数，将方程系数化为1得，则 ==1，继而求得答案．（1）解：由方程有两个不相等的实数根可知则∴解得（2）解：设此方程的两个根分别为：，将系数化为1得则==1，则 【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意二次项系数为1，常用以下关系：，是方程的两根时，+=-p，=q．21．(1)年平均增长率为20%(2)当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．【分析】（1）设年平均增长率为x，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解出x，再舍去不合题意的解即可；（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可．（1）设景区2021至2023年春节长假期间接待游客人次的平均增长率为x，由题意得：，解得：（舍）．答：年平均增长率为20%；（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得： ，整理得：，解得：．∵要让顾客获得最大优惠，∴y=20．答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．22．(1)(2)50万元/台【分析】（1）把，代入，即可求解；（2）根据题意，列出方程，即可求解．（1）解：把，代入∴        ∴∴即年销售量y与销售单价x的函数关系式为．（2）解：根据题意得：解得：．∵此设备的销售单价不得高于70万元，∴．答：该设备的销售单价应是50万元/台．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．23．(1)甲校平均每班捐书量是50本，乙校平均每班捐书量是45本．(2)第二轮甲校参与捐书的班级有28个【分析】（1）设乙校平均每班捐书量是x本，则甲校平均每班捐书量是（x+5）本，利用班级数＝该校捐书量÷平均每班捐书量，结合乙校的班级总数是甲校班级总数的，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出乙校平均每班捐书量，再将其代入（x+5）中即可求出甲校平均每班捐书量；（2）设第二轮甲校参与捐书的班级有y个，则第二轮乙校参与捐书的班级有（40﹣y）个，利用捐书总量＝平均每班捐书量×参与班级数，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．（1）设乙校平均每班捐书量是x本，则甲校平均每班捐书量是（x+5）本，依题意得：＝×，解得：x＝45，经检验，x＝45是原方程的解，且符合题意，∴x+5＝45+5＝50．答：甲校平均每班捐书量是50本，乙校平均每班捐书量是45本．（2）设第二轮甲校参与捐书的班级有y个，则第二轮乙校参与捐书的班级有（40﹣y）个，依题意得：50×（1﹣28%）y+45×（1+）（40﹣y）＝1800+1080﹣1272，解得：y＝28．答：第二轮甲校参与捐书的班级有28个．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．24．(1)(2)把销售单价定为75元，公司每天所获利润能达到元【分析】（1）设出花边的宽，利用面积公式表示出其面积，即可列出方程求解；（2）先根据题意设每件工艺品降价为元出售，则降价元后可卖出的总件数为件，每件获得的利润为元，此时根据获得的利润=卖出的总件数×每件工艺品获得的利润-各种费用，列出二次方程，求解即可．（1）解：设花边的宽度为，根据题意得，，整理得，解得或（舍去），答：丝绸花边的宽度为；（2）设每件工艺品降价元出售，根据题意得，，整理得，，解得，∴销售单价定为（元），答：把销售单价定为75元，公司每天所获利润能达到元．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出一元二次方程模型．25．(1)，(2)为秒或秒(3)存在，为秒【分析】（1）先确定出，再用含角的直角三角形的性质即可得出结论；（2）先确定出，再利用三角形面积公式建立方程求解即可得出结论；（3）先确定点是的中点，，再利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论．（1）解：∵，∴，在中，，∴，∴，∴．∴线段的长为，点的坐标为．（2）如图，过点作于点，∴轴，是直角三角形，∴，∵从出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，从出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为秒，∴，，∴，在中，，∴，∴，∵的面积为，∴，∴，．∴秒或秒时，的面积为．（3）如图，连接、，过点作于点，∵四边形是平行四边形，∴，点是和的中点，∵轴恰好将平行四边形的面积分成两部分，∴，∴点是的中点，∴点的纵坐标为，∵，∴，∴点的纵坐标为，∵为的中点，，∴，∵点是和的中点，∴，∴点的纵坐标为，由（2）可知：，∴，∴点的纵坐标为，∴，∴．∴当为秒时，轴恰好将平行四边形的面积分成两部分．